Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đa thức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH
KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM
CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH
KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM
CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự
trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu trí tuệ.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả

Đào Việt Hùng


ii

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người đã tận tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái
Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã
giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận
văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Đào Việt Hùng


iii

Mục lục

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản

3

1.1. Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna . . . . .
1.1.1. Các hàm Nevanlinna và tính chất

3

. . . . . . . . .

3

1.1.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Quan hệ số khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ . . . . . .

10

1.2.1. Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo
hàm

23

2.1. Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau
một hàm nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau
một giá trị có trọng số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

45


1

Mở đầu
Bài toán xác định duy nhất một hàm phân hình trên C thông qua ảnh
ngược của các tập hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học
trên thế giới: G.Pólya, R. Nevanlinna, F.Gross .... Với mỗi a ∈ C ∪ {∞},
ta kí hiệu

E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a} và E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a kể cả bội }.
Với một tập S ⊂ C ∪ {∞}, kí hiệu

E(S, f ) =

E(a, f );
a∈S

E(a, f ).

E(S, f ) =
a∈S

Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh, nếu hai hàm phân hình khác
hằng f, g thoả mãn

E(ai , f ) = E(ai , g) ∀i = 1, 5
trong đó ai là các giá trị phân biệt, thì f và g phải trùng nhau.
Một vấn đề tự nhiên được đặt ra bởi Gross ([5]) vào năm 1976: tồn tại
một tập hợp hữu hạn S , điều kiện E(S, f ) = E(S, g) kéo theo f ≡ g ?
Năm 1995, H.X. Yi ([13]) trả lời câu hỏi của Gross cho trường hợp hàm
nguyên và năm 1998, G. Frank và M. Reinders xem xét cho hàm phân
hình. Trong thực tế, câu hỏi của Gross có thể được phát biểu như sau:
khẳng định tồn tại hay không đa thức P sao cho với bất cứ cặp hàm phân
hình khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu P (f ) và P (g) chung nhau một
giá trị một giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa ra câu hỏi sau: tồn
tại hay không đa thức chứa đạo hàm d sao cho với bất cứ cặp hàm phân


2

hình khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu d(f ) và d(g) chung nhau một giá
trị CM? Đã có một số công trình công bố theo hướng nghiên cứu này.
Chẳng hạn, I. Lahiri và R. Pal ([8]), A. Benerjee và S. Mukhejee ([3]),
C. Meng ([9]), .... Các tác giả đã đưa ra các điều kiện đại số để hai hàm
phân hình đồng nhất bằng nhau khi hai đa thức chứa đạo hàm bậc nhất
của chúng chung nhau một giá trị.
Với mục đích tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu theo hướng này,
chúng tôi chọn đề tài “Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đa
thức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị”. Mục đích chính của
luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu gần đây của C. Meng
([9]) và S. Shahoo and S. Seikh ([10]) về các điều kiện đại số xác định

duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm bậc nhất. Luận văn
gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ
sở, cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong chương 2 như: lý
thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, hàm phân hình chung nhau một giá
trị.
Chương 2: Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo
hàm, trình bày một số điều kiện đại số để hai hàm phân hình là trùng
nhau khi hai đa thức chứa đạo hàm bậc nhất của chúng chung nhau một
giá trị.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác Giả
Đào Việt Hùng


3

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
1.1.

Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna

1.1.1.

Các hàm Nevanlinna và tính chất

Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:

log+ x = max{log x, 0}.
Khi đó log x = log+ x − log+ (1/x).
Cho f là một hàm phân hình trên C, r > 0, với mỗi ϕ ∈ [0; 2π], ta có

log |f (reiϕ )| = log+ |f (reiϕ )| + log+

1
,
f (reiϕ )

nên
2π

2π

1
log f (reiϕ ) dϕ =
2π

1
2π
0

2π

log+

1
f (reiϕ ) dϕ−
2π

0

log+

1
dϕ.
f (reiϕ )

0

Định nghĩa 1.1. Hàm
2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiϕ ) dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f .
Bây giờ ta định nghĩa các hàm đếm. Cho f là hàm phân hình và r > 0.
Kí hiệu n(r, 1/f ) là số không điểm kể cả bội, n(r, 1/f ) là số không điểm


4

không kể bội của f , n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực
điểm không kể bội của f trong Dr = {z ∈ C : |z|

r|}.

Định nghĩa 1.2. Hàm
r

N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cực
điểm). Hàm
r

N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm không kể bội. Trong đó

n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ).
t→0

t→0

Định nghĩa 1.3. Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )
gọi là hàm đặc trưng của hàm f .
Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f )
là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn gọi là các hàm
Nevanlinna.
Định lý sau là một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm đếm, hàm
đặc trưng.
Định lý 1.1. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , · · · , fp , khi đó:
p

(1)

p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(2)

ν=1
p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(3)

m(r, fν ) + log p;
m(r, fν );
ν=1
p

fν ) ≤

N (r,
ν=1

N (r, fν );
ν=1


5
p

(4)

p

fν ) ≤

N (r,
ν=1
p

(5)

ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1
p

(6)

N (r, fν );
T (r, fν ) + log p;
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1

T (r, fν ).
ν=1

Tiếp theo ta đề cập đến một số hàm đếm mở rộng thường dùng trong
chứng minh các định lý về xác định duy nhất hàm phân hình. Cho f là
hàm phân hình và r > 0, kí hiệu nk (r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k
trong Dr của f (tức là các cực điểm bội l > k chỉ được tính k lần trong
tổng nk (r, f )). Hàm
r

Nk (r, f ) =

nk (r, f ) − nk (0, f )
+ nk (0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k , trong đó nk (0, f ) = lim nk (r, f ).
t→0

Số k trong nk (r, f ) được gọi là chỉ số bội cắt cụt.
Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C. Một hàm phân
hình a(z) được gọi là một hàm nhỏ của f nếu như T (r, a) = S(r, f ), tức
là

T (r, a)
= 0.
r→∞ T (r, f )
lim

Cho a là một hằng số (hữu hạn hay vô hạn) hoặc là hàm nhỏ của f .

Kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, nk) (r, 1/(f − a))
là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội không vượt
quá k ; n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, n(k (r, 1/(f − a))
là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội ít nhất bằng


6

k . Đặt

Nk) (r,

r

nk) (t,

r

nk) (t,

r

n(k (t,

r

n(k (t,

1
)=

f −a

1
1
) − nk) (0,
)
1
f −a
f −a
+ nk) (0,
) log r,
t
f −a

0

N k) (r,

1
)=
f −a

1
1
) − nk) (0,
)
1
f −a
f −a
+ nk) (0,

) log r,
t
f −a

0

1
)=
f −a

N(k (r,

1
1
) − n(k (0,
)
1
f −a
f −a
+ n(k (0,
) log r,
t
f −a

0

N (k (r,

1
)=

f −a

1
1
) − n(k (0,
)
1
f −a
f −a
+ n(k (0,
) log r,
t
f −a

0

trong đó

nk) (0,

1
1
1
1
) = lim nk) (t,
), nk) (0,
) = lim nk) (t,
),
t→0
t→0

f −a
f −a
f −a
f −a

n(k (0,

1
1
1
1
) = lim n(k (t,
), n(k (0,
) = lim n(k (t,
).
t→0
t→0
f −a
f −a
f −a
f −a

Dễ thấy

Nk r,

1
f −a

= N r,

1
1
1
+N (2 r,
+· · ·+N (k r,
f −a
f −a
f −a

và

N r,

1
h

+ N (2 r,

1
h

= N2 r,

1
h

≤ N r,

1

.
h

Kí hiệu nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) là số các không điểm kể cả bội
(không kể bội) tại các không điểm chung cùng bội của f − a và g − a và

n0 (r, a; f, g), (n0 (r, a; f, g)) số các không điểm kể cả bội (không kể bội)


7

tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a. Đặt
r

NE (r, a; f, g) =

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
+ nE (0, a; f, g) log r,
t

0
r

N E (r, a; f, g) =
0
r

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
+ nE (0, a; f, g) log r,
t

n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g)
+ n0 (0, a; f, g) log r,
t

N0 (r, a; f, g) =
0
r

N 0 (r, a; f, g) =

n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g)
+ n0 (0, a; f, g) log r.
t

0

trong đó

nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g),
t→0

t→0

n0 (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g), n0 (t, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g).
t→0

t→0

Các hàm NE (r, a; f, g), (N E (r, a; f, g)) được gọi là hàm đếm kể cả bội
(hàm đếm không kể bội) tại các không điểm chung cùng bội của f − a

và g − a, N0 (r, a; f, g); (N 0 (r, a; f, g)) là hàm đếm kể cả bội (hàm đếm
không kể bội) tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a.
1.1.2.

Các định lý cơ bản

Định lý sau đây là một cách viết lại của công thức Jensen, được gọi là
Định lý cơ bản thứ nhất.
Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f ≡ 0 là một hàm phân


8

hình trên C. Khi đó, với mỗi r > 0, ta có:

1
f

+ N r,

1
f

+ log |cf |

(1)

T (r, f ) = m r,

(2)

Với mỗi số phức a ∈ C,
1
1
− N r,
T (r, f ) − m r,
f −a
f −a
c1
≤ log
+ log+ |a| + log 2,
f −a

trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f
trong lân cận điểm 0, c1 /(f − a) là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển
Taylor của hàm 1/(f − a) trong lân cận điểm 0.

Nhận xét 1.1. Ta thường dùng (2) của Định lý cơ bản thứ nhất dưới
dạng

1
) = T (r, f ) + O(1),
f −a
trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r → ∞.
T (r,

Cho f là một hàm phân hình, r > 0. Kí hiệu

Nram (r, f ) = N r,

1
f

+ 2N (r, f ) − N (r, f )

và gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0
Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f là hàm phân hình khác
hằng trên C, a1 , · · · , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó với
mỗi ε > 0, bất đẳng thức
q

(q − 1)T (r, f ) ≤

N r,
j=1

1
f − aj

+ N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f )

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)
q

≤

N r,
j=1

1

f − aj

+ N (r, f ) + log T (r, f )

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)


9

đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

1.1.3.

Quan hệ số khuyết

Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪ {∞} và k là một số
nguyên dương. Ta kí hiệu

1
1
)
)
N (r,
f −a
f −a
δf (a) = lim inf
= 1 − lim sup
;
r→∞
T (r, f )

T (r, f )
r→∞
1
)
Nk (r,
f −a
k
;
δf (a) = 1 − lim sup
T (r, f )
r→∞
m(r,

1
)
f −a
;
Θf (a) = 1 − lim sup
T (r, f )
r→∞
1
1
N (r,
) − N (r,
)
f −a
f −a
θf (a) = lim inf
.
r→∞

T (r, f )
N (r,

Định nghĩa 1.4. δf (a) được gọi là số khuyết, δfk (a) là số khuyết bội cắt
cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θf (a) gọi là số khuyết không
kể bội, θf (a) gọi là bậc của bội của số khuyết.

1
) = 0 với mọi r
f −a
suy ra δf (a) = 1. Chẳng hạn f (z) = ez thì δf (0) = 1.
1
) = o(T (r, f )) khi đó δf (a) = 1. Như vậy số khuyết
2. Nếu N (r,
f −a
bằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó.
Nhận xét. 1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N (r,

3. Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0

δf (a)

δfk (a)

Θf (a)

1.

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ
đề quan hệ số khuyết.


10

Định lý 1.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp
các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

δf (a) + θf (a)
a∈C

Θf (a)

2.

a∈C

1.2.

Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ

1.2.1.

Khái niệm mở đầu

Cho f là một hàm phân hình, a là một hàm nhỏ của f . Kí hiệu E(a, f )
là tập các không điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm
phân biệt của f − a.
Định nghĩa 1.5. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a CM, nếu
E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a IM1 .
Chú ý rằng, trong định nghĩa trên nếu a là một giá trị hữu hạn thì ta
nói f và g chung nhau giá trị a.
Định nghĩa 1.6. Nếu

N r,

1
f −a

+ N r,

1
g−a

− 2N E (r, a; f, g) = S(r, f ) + S(r, g),

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM”. Nếu

N r,

1
f −a

+ N r,

1
g−a

− 2N 0 (r, a; f, g) = S(r, f ) + S(r, g),

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM”.
Ta dễ dàng chứng minh được nếu f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị)

a CM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM”, chung nhau hàm
nhỏ (giá trị) a IM thì chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM”. Do đó có thể
nói điều kiện “CM” (“IM”) lỏng hơn điều kiện CM (tương ứng IM).
1 CM

là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là

không kể bội.


11

Cho a là một hàm nhỏ hoặc a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu Ek (a, f ) là tập
tất cả các không điểm của f − a với một không điểm bội m được tính m
lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k . Năm 2001, I. Lahiri ([7]) đưa ra
khái niệm
Định nghĩa 1.7. Nếu Ek (a, f ) = Ek (a, g) thì ta nói f và g chung nhau
giá trị a với trọng số k .
Từ định nghĩa ta có nếu f và g chung nhau giá trị a với trọng số k thì

z0 là không điểm của f − a với bội m(≤ k) nếu và chỉ nếu nó là không
điểm của g − a với bội m(≤ k) và z0 là không điểm của f − a với bội

m(> k) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của g − a với bội n(> k), với

m không nhất thiết bằng n. Ta viết f, g chung nhau (a, k) có nghĩa là
f, g chung nhau giá trị a với trọng số k . Rõ ràng nếu f và g chung nhau
(a, k) thì f và g chung nhau (a, p) với tất cả số nguyên p : 0 ≤ p < k .
Từ định nghĩa ta thấy f và g chung nhau a giá trị a IM (hoặc CM) nếu
và chỉ nếu f và g chung nhau (a, 0) (hoặc (a, ∞)).
Cho f và g chung nhau giá trị a “IM” và k là một số nguyên dương
E

hoặc ∞. Kí hiệu N k) (r, a; f, g) là hàm đếm không kể bội tại các a−điểm
O

chung của f và g với bội bằng nhau và không lớn hơn k . N (k (r, a; f, g)
là hàm đếm không kể bội tại các a−điểm chung của f và g và cả hai bội
với bội không nhỏ hơn k . Gần đây, Lin giới thiệu kí hiệu chung nhau yếu
với trọng số như sau:
Định nghĩa 1.8. Với a ∈ C ∪ {∞}, nếu k là một số nguyên dương hoặc

∞ và
1
f −a
1
r,
g−a
1
r,
f −a
1
r,
g−a

E

N k) r,

− N k) (r, a; f, g) = S(r, f ),

N k)

− N k) (r, a; f, g) = S(r, g),

N (k+1
N (k+1

E

O

− N (k+1 (r, a; f, g) = S(r, f ),
O

− N (k+1 (r, a; f, g) = S(r, g),


12

hoặc nếu k = 0 và

N r,

1

f −a

− N 0 (r, a; f, g) = S(r, f ),

N r,

1
g−a

− N 0 (r, a; f, g) = S(r, g),

thì ta nói f và g chung nhau yếu giá trị a với trọng số k . Ta viết f, g
chung nhau “(a, k)” nghĩa là f, g chung nhau yếu giá trị a với trọng số

k.
Rõ ràng chung nhau có trọng số và chung nhau yếu có trọng số là sự
tương ứng giữa IM, CM và "IM", "CM". Hiển nhiên, hai hàm chung nhau
có trọng số thì cũng chung nhau yếu có trọng số nên có thể nói điều kiện
chung nhau yếu có trọng số chứa điều kiện chung nhau có trọng số.
Định nghĩa 1.9. Với a ∈ C ∪ ∞ ta kí hiệu N (r, a; f | = 1) là hàm
đếm các a−điểm đơn của f . Với mỗi số nguyên dương p, ta kí hiệu

N (r, a; f | ≤ p)(N (r, a; f | ≥ p)) là hàm đếm các a−điểm của f với bội
không lớn hơn (nhỏ hơn) p, với mỗi a−điểm được đếm số lần bằng bội của
nó. N (r, a; f | ≤ p) và N (r, a; f | ≥ p) được định nghĩa tương tự, chỉ đếm
các a- điểm của f mà không tính bội. N (r, a; f | < p) và N (r, a; f | > p)
cũng được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa 1.10. Với mỗi số nguyên k(≥ 2),N (r, a; f | = k) kí hiệu là
hàm đếm rút gọn của các a−điểm của f với bội đúng bằng k .
Định nghĩa 1.11. Cho p là một số nguyên dương hoặc vô cực. Ta kí

hiệu Np (r, a; f ) là hàm đếm các a−điểm của f với mỗi a−điểm bội m
được tính m lần nếu m ≤ p và p lần nếu m > p. Như vậy

Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2) + · · · + N (r, a; f | ≥ p).
Định nghĩa 1.12. Cho m là một số nguyên dương và Em) (a; f ) =

Em) (a; g) với mỗi a ∈ C. Cho z0 là một không điểm của f − a với bội p và
là một không điểm của g − a với bội q . Ta kí hiệu N L (r, a; f ) là hàm đếm


13
(m+1

các a- điểm của f và g với p > q ≥ m + 1, N E

(r, a; f ) là hàm đếm rút

gọn các a- điểm của f và g với p = q ≥ m + 1, và N f >m+1 (r, 1; g) là hàm
đếm rút gọn của f và g với p ≥ m + 2 và q = m + 1. Ta cũng kí hiệu

N f ≥m+1 (r, a; f |g = a) là hàm đếm các a−điểm của f và g với p ≥ m + 1
(m+1

và q = 0. Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa N L (r, a; g), N E

(r, a; g)

và N g≥m+1 (r, a; g|g = a).
Định nghĩa 1.13. Cho a, b ∈ C ∪ {∞}. Ta kí hiệu N (r, a; f |g =

b)(N (r, a; f |g = b)) là hàm đếm các a−điểm của f tính theo số bội
và là các b−điểm (không là các b−điểm) của g .
Định nghĩa 1.14. Cho a, b ∈ C ∪ {∞} và p là một số nguyên dương. Ta
kí hiệu N (r, a; f | ≥ p|g = b)(N (r, a; f | ≥ p|g = b) là hàm đếm rút gọn
các a−điểm của f với bội ≥ p và là các b−điểm (không là các b−điểm)
của g .
1.2.2.

Một số tính chất

Trong phần này, ta sẽ giới thiệu và một số tính chất của hàm phân
hình hình, cần thiết cho việc chứng minh các định lý chính trong Chương
2.
Bổ đề 1.5 ([11]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng và a0 , a1 , . . . , an
là các số phức hữu hạn, an = 0. Khi đó

T (r, an f n + · · · + a1 f + a0 ) = nT (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.6 ([9]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n(> 6) là
một số nguyên dương và cho F = f n (f 3 − 1)f , G = g n (g 3 − 1)g . Nếu F
và G chung nhau (1, 0) thì S(r, f ) = S(r, g).


14

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.5 ta có:

(n + 3)T (r, f ) = T (r, f n (f 3 − 1)) + S(r, f )
≤ T (r, F ) + T (r, f ) + S(r, f )
≤ T (r, F ) + 2T (r, f ) + S(r, f ).

Bởi vậy

T (r, F ) ≥ (n + 1)T (r, f ) + S(r, f ).
Theo Định lý cơ bản thứ hai, ta có
1
1
T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N r,
+ N r,
+ S(r, f )
F
F −1
1
1
1
≤ N (r, f ) + N r,
+ N r, 3
+ N r,
f
f −1
f
1
+ N r,
+ S(r, f )
G−1

≤ 7T (r, f ) + T (r, G) + S(r, f ).
Chú ý rằng

T (r, G) ≤ T (r, g n (g 3 − 1)) + T (r, g ) ≤ (n + 5)T (r, g) + S(r, g).
Suy ra

(n − 6)T (r, f ) ≤ (n + 5)T (r, g) + S(r, f ) + S(r, g).
Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Bổ đề 1.7 ([7]). Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng, nếu F và

G chung nhau (1, 2) thì xảy ra một trong các trường hợp sau:
1
1
(1) T (r, F ) ≤ N2 r,
+ N2 r,
+ N2 (r, F ) + N2 (r, G)
F
G
+ S(r, F ) + S(r, G),
1
1
T (r, G) ≤ N2 r,
+ N2 r,
F
G
+ S(r, F ) + S(r, G),
(2) F ≡ G;
(3) F G ≡ 1.

+ N2 (r, F ) + N2 (r, G)


15

Bổ đề 1.8 ([12]). Nếu f là một hàm phân hình khác hằng thì ta có:

N r,

1
f (k)

≤ N r,

1
f

+ kN (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.9 ([8]). Nếu f và g là hai hàm phân hình khác hằng thì

f n (f 3 − 1)f g n (g 3 − 1)g ≡ 1
với n là một số nguyên dương.
Bổ đề 1.10 ([9]). Kí hiệu

F ∗ = f n+1

1
f3
−
,
n+4 n+1

G∗ = g n+1

g3

1
−
,
n+4 n+1

với n (≥ 4) là một số nguyên và n + 1 không chia hết cho 3, nếu F ∗ ≡ G∗
thì f = g .
Chứng minh. Đặt h = g/f . Giả sử h không là hằng số. Từ F ∗ = G∗ ,
ta có

n + 4 hn+1 − 1
f =
.
.
n + 1 hn+4 − 1
Đẳng thức trên đúng với giả thiết hn+1 ≡ 1. Nếu hn+1 = hn+4 ≡ 1, thì
3

ta có phương trình tầm thường 0 = 0. Vậy ta phải giả sử rằng n + 1
không chia hết cho 3. Đặt d = (n + 1, n + 4). Ta có thể viết n + 1 =

dm1 , n + 4 = dm2 , với m1 , m2 là hai số nguyên dương và m1 < m2 . Vậy
(n + 4) − (n + 1) = d(m2 − m1 ),
dẫn đến d(m2 − m1 ) = 3. Do d là một số nguyên dương, ta chứng minh
được d = 1 hoặc d = 3. Vậy số không điểm chung của hn+1 − 1 và

hn+4 − 1 nhiều nhất là 3 và hn+4 − 1 có ít nhất n + 1 không điểm mà
không phải là không điểm của hn+1 − 1. Kí hiệu n + 1 không điểm đó là

uk , k = 1, 2, · · · n + 1. Từ f 3 không có cực điểm đơn, dẫn đến h − uk = 0

không có nghiệm đơn với k = 1, 2, · · · , n + 1. Như vậy

Θ(uk ; h) ≥ 1/2 với k = 1, 2, · · · , n + 1(≥ 5),


16

điều này không thể xảy ra. Vì vậy h là hằng hằng số. Nếu h = 1 thì dẫn
đến vô lý. Vậy h = 1 và f ≡ g . Bổ đề được chứng minh.
Với hai hàm phân hình F và G, ta sẽ xây dựng hàm H như sau:

H=

F
2F
−
F
F −1

−

G
2G
−
G
G−1

Bổ đề 1.11 ([1]). Cho F, G là các hàm phân hình và H xác định như
trên. Nếu F và G chung nhau (1, 1) và H ≡ 0 thì

T (r, F ) ≤N2 r,

1
F

+ N2 (r, F ) + N2 r,

1
G

+ N2 (r, G)

1
1
1
+ N r,
+ N (r, F ) + S(r, F ) + S(r, G),
2
F
2
1
1
T (r, G) ≤N2 r,
+ N2 (r, F ) + N2 r,
+ N2 (r, G)
F
G
1
1
1

+ N (r, F ) + S(r, F ) + S(r, G).
+ N r,
2
F
2
Bổ đề 1.12 ([14]). Cho H được định nghĩa như trên. Nếu F và G chung
nhau (1, 0) và H ≡ 0 thì
1)

NE

r,

1
F −1

≤ N (r, H) + S(r, F ) + S(r, G).

Bổ đề 1.13 ([14]). Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

F và G chung nhau giá trị 1 IM. Nếu H ≡ 0 thì
T (r, F ) ≤N r,

1
F

+ N L r,

+ N (r, F ) + N r,
1

F −1

− N0 r,

1
F

1
G

1)

+ N (r, G) + NE
− N0 r,

r,

1
F −1

1
G

+ S(r, F ) + S(r, G),
trong đó N0 (r, 1/F ) là hàm đếm tại các không điểm của F mà không
phải là không điểm của F và F −1, N0 (r, 1/G ) là hàm đếm tại các không
điểm của G mà không phải là không điểm của G và G − 1.
Bổ đề 1.14 ([15]). Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

17

F và G chung nhau giá trị 1 IM. Thì ta có
1
1
N L r,
≤ N r,
+ N (r, F ) + S(r, F ),
F −1
F
1
1
N L r,
≤ N r,
+ N (r, F ) + S(r, G),
G−1
G
Bổ đề 1.15 ([2]). Cho H được định nghĩa như trên, nếu F và G chung
nhau “(1, 2)” và H ≡ 0 thì

T (r, F ) ≤N2 r,

1
F

+ N2 r,

∞

−

N (p r,
p=3

G
G

1
G

+ N2 (r, F ) + N2 (r, G)

+ S(r, F ) + S(r, G).

Ta cũng có bất đẳng thức tương tự cho T (r, G).
Bổ đề 1.16 ([3]). Cho H được định nghĩa như trên. Nếu E 4) (1, F ) =

E 4) (1, G) và E2) (1, F ) = E2) (1, G) và H ≡ 0 thì
T (r, F ) + T (r, G) ≤ 2 N2 r,

1
F

+ N2 (r, F ) + N2 r,

1
G

+ N2 (r, G)

+ S(r, F ) + S(r, G).
Bổ đề 1.17 ([10]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho

an (z)(≡ 0), an−1 (z), · · · , a0 (z) là các hàm phân hình sao cho T (r, ai (z)) =
S(r, f ) với i = 0, 1, 2 · · · , n thì ta có:
n−1
T (r, an f n + an−1
+ · · · + a1 f + a0 ) = nT (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.18 ([10]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng, ta có:

N (r, 0; f (k) ) ≤ N (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.19 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu

f
2f
g
2g
−
≡
−
f
f −1
g
g−1
và

N (r, 0; f ) + N (r, 0; g) + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g)
<1
T (r)

r→∞,r∈E
lim sup

thì f ≡ g hoặc f g ≡ 1.


18

Bổ đề 1.20 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu

Ek) (1; f ) = Ek) (1; g) và 2 ≤ k < ∞ thì
N (r, 1; f | = 2) + 2N (r, 1; f | = 3) + · · · + (k − 1)N (r, 1; f | = k)
(k+1

+kN E

(r, 1; f ) + kN L (r, 1; f ) + (k + 1)N L (r, 1; g) + kN g≥k+1 (r, 1; g|f = 1)
≤ N (r, 1; g) − N (r, 1; g).

Bổ đề 1.21 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và

E2) (1; f ) = E2) (1; g) thì
1
1
1
N f ≥3 (r, 1; f |g = 1) ≤ N (r, 0; f )+ N (r, ∞; f )− N0 (r, 0; f )+S(r, f ),
2
2
2
với N0 (r, 0; f ) là hàm đếm các không điểm của f mà không phải là các

không điểm của f (f − 1), mỗi điểm được đếm số lần bằng bội của nó.
Bổ đề 1.22 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
(2

2N L (r, 1; f ) + 2N L (r, 1; g) + N E (r, 1; f ) + N g≥2 (r, 1; g|f = 1)
− N f >2 (r, 1; g) ≤ N (r, 1; g) − N (r, 1; g).
Bổ đề 1.23 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
N f ≥2 (r, 1; f |g = 1) ≤ N (r, 0; f ) + N (r, ∞; f ) + N 0 (r, 1; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.24 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
N f >2 (r, 1; g)+N f ≥2 (r, 1; f |g = 1)
≤ N (r, 0; f ) + N (r, ∞; f ) − N0 (r, 0; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.25 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và

α(≡ 0, ∞) là một hàm nhỏ của f và g . Cho n và m là hai số nguyên
dương sao cho n > 3m + 1 thì

f n P (f )f g n P (g)g ≡ α2 ,


19

trong đó

P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0

với a0 = 0, a1 , · · · , am−1 , am = 0 là các hằng số phức.
Chứng minh. Ta giả sử rằng

f n P (f )f g n P (g)g ≡ α2 ,

(1.1)

ta viết

P (z) = am (z − b1 )l1 (z − b2 )l2 · · · (z − bi )li · · · (z − bs )ls ,
trong đó

s
i=1 li

= m, 1 ≤ s ≤ m; bi = bj , i = j, 1 ≤ i, j ≤ s; bi là hằng

số khác 0 và li là số nguyên dương, i = 1, 2, · · · , s. Cho z0 (α(z0 ) = 0, ∞)
là không điểm của f với bội p thì ta nói z0 là cực điểm của g với bội q .
Từ (1.1) ta có: np + p − 1 = nq + mq + q + 1 và như vậy

mq + 2 = (n + 1)(p − q)
Từ (1.2) ta có q ≥

p≥

n−1
m

(1.2)

và từ (1.2) suy ra

1
(n + m + 1)(n − 1)
n+m−1
+2 =
.
n+1
m
m

Cho z1 (α(z1 ) = 0, ∞) là một không điểm của P (f ) bậc p và là không
điểm của f −bi bậc qi với i = 1, 2, · · · , s. Do đó p = li qi với i = 1, 2, · · · , s.
Vì vậy z1 là một cực điểm của g với bội q . Vậy từ (1.1) ta có:

qi li + qi − 1 = (n + m + 1)q + 1 ≥ n + m + 2
nghĩa là, qi ≥

n+m+3
li +1

với i = 1, 2, · · · , s. Vì một cực điểm của f (mà

không là cực điểm của α) hoặc là không điểm của g n P (g) hoặc là không
điểm của g , ta có:

N (r, ∞; f ) ≤N (r, 0; g) +

sN (r, bi ; g) + N 0 (r, 1; g ) + S(r, f ) + S(r, g)

i=1

≤

m
m+s
+
T (r, g) + N 0 (r, 1; g )
n+m−1 n+m+3
+ S(r, f ) + S(r, g),


20

trong đó N 0 (r, 0; g ) biểu thị hàm đếm rút gọn của các không điểm của

g mà không là các không điểm của gP (g).
Theo định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna, ta có:
s

sT (r, f ) ≤N (r, ∞; f ) + N (r, 0; f ) +

N (r, bi ; f ) − N 0 (r, 0; f ) + S(r, f )
i=1

m+s
m
+
{T (r, f ) + T (t, g)}
n+m−1 n+m+3

≤

+ N 0 (r, 1; g ) − N 0 (r, 0; f ) + S(r, f ) + S(r, g).

(1.3)

Tương tự

sT (r, g) ≤

m
m+s
+
{T (r, f ) + T (t, g)}
n+m−1 n+m+3
+ N 0 (r, 1; f ) − N 0 (r, 0; g ) + S(r, f ) + S(r, g).

(1.4)

Cộng (1.3) và (1.4) ta có:

s−

2m
2(m + s)
−
{T (r, f ) + T (t, g)} ≤ S(r, f ) + S(r, g),
n+m−1 n+m+3

mâu thuẫn với n > 3m + 1. Bổ đề được chứng minh.
Chú ý.
1. Nếu P (z) = a0 z + a1 , với bất kì các hằng số khác không a0 , a1 , bổ
đề trên đúng với n ≥ 5.
2. Nếu P (z) là một đa thức có bậc ≥ 2 và tất cả các không điểm là
không điểm đơn thì bổ đề trên đúng với n ≥ 4.
Bổ đề 1.26 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và

F = f n+1

am−1 m−1
a0
am
fm +
f
+ ···
n+m+1
n+m
n+1

G = g n+1

am
am−1 m−1
a0
gm +
g
+ ···
n+m+1
n+m

n+1

và

trong đó a0 (= 0), a1 , · · · , am−1 , am (= 0) là các hằng số phức. Hơn nữa
cho F0 =

F
α

và F0 =

F
α

với α(= 0, ∞) là một hàm nhỏ của f và g . Thì