Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích_Lê Thị Vân

MỤC LỤC
1. Lời cảm ơn
2. Lời cam đoan
3. Ghi chú chữ viết tắt
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Cấu trúc khóa luận
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ
1.2. Tô pô trong không gian metric
1.3. Ánh xạ liên tục
1.4 .Tập hợp compact và bị chặn
1.5. Không gian vectơ
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch
1.7. Tính lồi
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
1.9. Phương trình vi phân thường
CHƯƠNG 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach
2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn
2.3. Định lý điểm bất động Brouwer
2.4. Định lý điểm bất động Schauder

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG
3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường
3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân
3.3. Áp dụng vào đại số giải tích

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng,
người thầy đã luôn quan tâm động viên và truyền cho tôi những kinh nghiệm quí báu trong quá trình hoàn
thành khóa luận.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán và tổ giải tích cùng toán thể các quý
thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học và hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Người thực hiện
Lê Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài do chính tôi nghiên cứu và tìm hiểu dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Nguyễn
Văn Hùng. Đề tài được tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa và phát huy những công trình nghiên
cứu có liên quan. Kết quả đề tài không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.


Người thực hiện

Lê Thị Vân
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau:
Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X vào chính nó,
xét phương trình phi tuyến Ax = x, x ∈ M dưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của
phương trình đó.Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập

M.
Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán
học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán
học và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến. Ngay
đầu thế kỉ 20, các nhà toán học đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm
bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết những bài toán khác
nhau do thực tế đặt ra.
Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach,
Brouwer, Schauder nhưng kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động đồng thời cũng là những công trình
khởi đầu cho lĩnh vực này đó là nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer được áp dụng
ở nhưng lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều
khiển, lý thuyết tối ưu hóa…
Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên điểm bất động được phát triển theo hai hướng chính:
Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất
động Brouwer.
Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co
Banach.
Vào những năm 60 của thế kỉ 20 một hướng mới có thể xem là trung gian của hai hướng trên đó là
việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng dụng rất hiệu quả cho ngành toán
học hiện đại.
Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài:
“Điểm bất động và ứng dụng
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về điểm bất động và việc áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn
chiều và không gian lồi địa phương.

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình vi phân
thường, phương trình tích phân và đại số giải tích.
4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3.
Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động
Schauder, chưng minh định lý, các ví dụ áp dụng.
Bước đầu tìm hiểu về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa
phương.
Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương
trình tích phân và đại số giải tích.
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1
Cho X ≠ ∅, ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập số thực
¡
thỏa
mãn 3 tiên đề sau:
i) (∀x,y ∈ X ) d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất)
ii) (∀x,y ∈ X) d(x,y) = d(y,x) (tiên đề đối xứng)
iii) (∀x,y, z ∈ X ) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (tiên đề tam )
Không gian metric là cặp (X,d) trong đó:
● X ≠ ∅ được gọi là tập nền
● d là metric trong X
● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y ∈ X
● Các phần tử của X gọi là các điểm
Ví dụ 1.1.1:
Cho X

≠

∅
,
∀
x,y
∈
X
d(x,y) =
0 khi x y
1 khix y
=


≠

.
Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d còn
được gọi là metric rời rạc )
 Ta có mỗi cặp (x,y) ∈ X×X có duy nhất d(x,y) ∈
¡
Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric
Tiên đề 1 : d(x,y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X , d(x,y) = 0 nếu x ≠ y thì d(x,y) = 1 (trái giả
thiết) ⇒ x = y ∀x, y ∈ X
Tiên đề 2 : Nếu x = y thì y = x do đó d(x,y) = d(y,x) = 0 ∀ x, y ∈ X
Nếu x ≠ y thì y ≠ x do đó d(x,y) = d(y,x) = 1 ∀ x, y ∈ X
Tiên đề 3 : ∀ x, y, z ∈ X
Nếu x = y thì d(x,y) = 0
Ta có 0≤ d(x,z) + d(z,y) = d(x,y)
Nếu x ≠ y thì

x ≠ y ≠ z thì d(x,y) = 1 < d(x,z) + d(z,y) = 2
x ≠ y, x = z thì d(x,y) = 1 = 0 + 1 = d(x,z) + d(z,y)
x ≠ y, y = z thì d(x,y) = 1 = 1 + 0 = d(x,z) + d(z,y)
Vậy d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian metric (X,d)
Dãy hội tụ : dãy x
n
⊂ X gọi là hội tụ đến a∈ X nếu (∀ ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀ n ≥ n
0
) thì d(x
n
, a) < ε ,
kí hiệu:
n
n
lim x a
→∞
=
hay x
n
→ a (n → ∞)
Điểm a còn được gọi là giới hạn của dãy (x
n

) trong không gian metric (X,d)
Dãy cơ bản : dãy x
n
⊂ X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy ) ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀m, n ≥ n
0
) thì
d(x
n
, x
m
) < ε ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀ n ≥ n
0
) (∀ p ∈
¥
*
) thì d(x
n + p
, x
n
) < ε hay x

n
là dãy cơ bản ⇔
m n
m,n
lim d(x , x )
→∞
= 0 hoặc
n p n
n
lim d(x , x )
+
→∞
= 0 ∀ p = 1,2,…
Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ.


1.2 Tô pô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2.1:
Cho không gian (X,d), r > 0, a ∈ X
Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r.
Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) ≤ r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
Định nghĩa 1.2.2:
Cho không gian (X,d), A ⊂ X
Tập mở: A được gọi là tập mở nếu ∀ x∈ A thì x là điểm trong của A
Điểm trong: x ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu ∃ ε > 0 : B(x, ε) ⊂ A
Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = A
c
là tập mở
Quy ước
∅

, X vừa là tập đóng vừa là tập mở
Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở
Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F ⊂ X
F là tập đóng ⇔ ∀ {x
n
} ⊂ F và x
n
→ x thì x ∈ F
Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì:
a) Hợp của một họ tùy ý cac tập mở la tập mở:
G
α
mở ∀ α∈
∧
⇒
G
α
α∈∧
U
là tập mở
b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:
G
i
là tập mở ∀ i =
1,n
⇒
n
i
i 1
G

=
I
là tập mở
c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng:
F
i
đóng ∀ i =
1,n
⇒
n
i
i 1
F
=
U
là tập đóng
d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng:
F
α
đóng ∀ α =
1,n
⇒
F
α
α∈∧
I
là tập đóng
1.3. Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3.1:
Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d

X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là liên tục tại x
0
nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x ∈ X): d
X
(x, x
0
) < δ thì d
Y
(f(x),f(x
0
)) < ε
Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A ⊂ X thì ta nói f liên tục trên A ⊂ X
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X
Định nghĩa 1.3.2:
Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là liên tục đều
trên A ⊂ X nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x, x’ ∈ X):
d
X
(x, x’) < δ thì d
Y
(f(x),f(x’)) < ε
Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục
1.4. Tập hợp compact và bị chặn.

Định nghĩa 1.4.1:
Không gian compact: Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với mỗi dãy điểm {x
n
} ⊂
X, ∃ {
k
n
x
} ⊂ {x
n
}:
k
n
x
→ x ∈ X (k → ∞).
Tập compact: Tập A ⊂ X là tập compact nếu không gian con A l à không gian compact nghĩa là ∀
{x
n
} ⊂ A, ∃ {
k
n
x
} ⊂ {x
n
}:
k
n
x
→ x ∈ A (k→ ∞).
Định lý 1.4.1: (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

Ánh xạ lien tục f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
). K là tập compact
trong X thế thì:
1. f liên tục đều trên K
2. f(K) là tập compact trong Y
Định nghĩa 1.4.2:
Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d). Số δ(A) =
x,y A
supd(x,y)
∈
được
gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu δ(A) < ∞ thì A được gọi là tập hợp bị
chặn
Từ đó suy ra:
A bị chặn ⇔ ∃ B(a,R): A ⊂ B(a,R).
Tập hoàn toàn bị chặn: A được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu ∀ ε > 0, ∃ x
j
∈ X (j =
1,n
) sao cho A
⊂
n
j
j 1
B(x , )
=
ε

U
.
Tập A
⊂
X hoàn toàn bị chặn thì bị chặn
Hệ quả:
Tập con của tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn
Hợp của hữu hạn các tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn
Trong không gian Euclid
k
ℜ
tập A bị chặn ⇔ A hoàn toàn bị chặn.
1.5. Không gian vectơ (không gian tuyến tính)
Định nghĩa:
Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K =
£

∨

¡
) trên có hai phép toán “+” và “.” thỏa mãn 8
tiên đề sau:
1) ∀ x, y ∈ X ta có: x + y = y + x
2) ∀ x, y, z ∈ X ta có; (x + y) + z = x + (y+z)
3) ∀ x∈ X,
θ
∈ X: x +
θ
= x
4) ∀ x∈ X, ∃ x’∈ X: x + (-x’) =

θ
kí hiệu: x – x’ =
θ
5) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: α(β(x)) = (αβ)x
6) ∀ x, y ∈ X, α∈ K: α(x + y) = αx + αy
7) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: (α + β)x = αx + βx
8) ∀ x∈ X, α∈ K: αx =
θ
⇔
x
α =θ


=θ


Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K
Ví dụ:
[a ,b
C
]
= { x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán
a)
∀
x, y
∈
[a ,b
C
]
: x + y = x(t) + y(t)

b)
∀
x
∈
[a ,b
C
]
,
α∈
¡
:
α
x =
α
x(t)
Khi đó nó là không gian vectơ
Thật vậy
1) ∀ x, y ∈
[a ,b
C
]
: x + y = x(t) + y(t) = y(t) + x(t) = y + x
2) ∀ x, y, z∈
[a ,b
C
]
: x + (y + z) = x(t) + (y(t) + z(t)) = (x(t) + y(t)) + z(t) = (x + y)+z
3) ∀ x∈
[a ,b
C

]
,
Xθ∈
: x +
θ
= x(t) +
θ
= x(t) = x
4) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∃ -x∈
[a ,b
C
]
: x + (-x) = x(t) + (-x(t)) = x – x =
θ
5) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∀ α, β∈
¡
:
( x) ( x(t)) ( )x(t) ( )xα β =α β = αβ = αβ

6) ∀ x, y ∈
[a ,b
C

]
, ∀ α∈
¡
:
(x y) (x(t) y(t)) x(t) y(t) x yα + =α + =α +α =α +α

7) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∀ α, β∈
¡
:
( )x ( )x(t) x(t) x(t) x xα+β = α +β =α +β =α +β
8) ∀ x∈
[a ,b
C
]
, ∀ α∈
¡
:
x x(t)
x(t) x
α=θ α=θ
 
α =θ⇔ α =θ ⇔ ⇔
 
=θ =θ
 
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1:
Không gian định chuẩn:
Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ
. :X
x x
→¡
a
thỏa mãn các tính chất sau:
a) x X : x 0, x 0 x 0
b) x X : K: x x
c) x, y X : x y x y
∀ ∈ ≥ = ⇔ =
∀ ∈ ∀α∈ α = α
∀ ∈ + ≤ +

Khi đó ánh xạ
.
được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ X. Không gian X cùng với
một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn. Kí hiệu là:
( X, . )
,
x
là chuẩn của x∈ X
Định nghĩa 1.6.2:
Sự hội tụ:
Dãy điểm {x
n
} hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X
n
n

0 0 n
lim x a 0
0, n : n n x a
→∞
− =
⇔∀ε> ∃ ∀ ≥ ⇒ − <ε

Kí hiệu:
n n
n
lim x a hay x a(n )
→∞
= → → ∞

Định nghĩa 1.6.3:
Dãy cơ bản:
Dãy điểm x
n
trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) ⇔ (∀ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
):
(∀m, n ≥ n
0
) thì
n m
x x−
< ε

⇔ (∀ε > 0) (∃ n
0
∈
¥
*
): (∀ n ≥ n
0
) (∀ p = 1,2… thì
n p n
x x
+
− <ε

Định nghĩa 1.6.4:
Không gian Banach:
Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ
Định lý 1.6.1:
Cho không gian định chuẩn X. Với mọi x,y
∈
X thì:
a)
x y x y− ≤ −

b) Đặt
d(x, y) x y= −
thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với) chuẩn.
 a) Ta có:
Từ (1) và (2) ta có:
x y x y− ≤ −
b) ∀x, y, z ∈ X ta có: d(x+z, y+z) = d(x,y)

∀x, y ∈ X ⇒ (x-y)∈ X do đó ∃ d(x,y) =
x y−

Kiểm tra các tiên đề:
i)∀ x, y∈ X ta có
d(x, y) x y= −
≥ 0
d(x,y) = 0 ⇔
x y−
= 0 ⇔ x – y = 0
⇔ x = y
ii)∀ x, y∈ X ta có
d(x, y) x y ( 1)(y x) 1 y x y x d(y, x)= − = − − = − − = − =

iii)∀ x, y, z∈ X :

d(x, y) x y (x z) (z y) x z z y d(x, z) d(z, y)= − = − + − ≤ − + − = +

Vậy
d(x, y) x y= −
là một metric
Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ở định
lý trên. Do đó mọi khái niệm mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định
chuẩn.
Nhận xét:
• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy
• Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy
Định nghĩa 1.6.5:
Tính liên tục: Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K, M ⊆ X. Khi đó
x (x y) y x y y

x y x y (1)
y (y x) x y x x
x y x y (2)
= − + ≤ − +
⇔ − ≤ −
= − + ≤ − +
⇔ − ≥− −
Toán tử A: M → Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {x
n
}⊂ M,
n = 1, 2… sao cho:
n
n
n
n
lim x x M
suy ra lim Ax Ax
→∞
→∞
= ∈
=
1.7. Tính lồi
 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một không gian tuyến tính,
¡
là tập các số thực. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu:
∀x
1,
x

1
∈ X, ∀
λ
∈
¡
:
1 2
0 1 x (1 )x A≤ λ ≤ ⇒ λ + − λ ∈

Mệnh đề 1.7.1.
Giả sử A
α
∈ X (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó
A =
I
A
α
α∈
U
cũng lồi.
Chứng minh:
Lấy x
1,
x
1
∈ A khi đó x
1,
x
1
∈ A

α
(∀α∈ I)
∀α∈ I, do A
α
là lồi nên:
1 2
x (1 )x A ( I)
α
λ + − λ ∈ ∀α∈
⇒
1 2
x (1 )x Aλ + − λ ∈
(∀
λ
∈
¡
:
0 1
≤ λ ≤
)
Mệnh đề 1.7.2.
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T: X → Y là toán tử tuyến tính, khi đó
a) A ⊂ X lồi suy ra T(A) lồi
b) B ⊂ Y lồi suy ra nghịch ảnh T
-1
(B) của ảnh B là tập lồi
Định lý 1.7.1: Giả sử A ⊂ X lồi, x
1
, x
2

,…,x
m
∈ A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x
1
, x
2
,…,x
m
.
 Bao lồi và bao đóng
Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A⊂ X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu
là CoA
Nhận xét 1.7.1.
a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A
b) A lồi ⇔ CoA = A.
Định nghĩa 1.7.3. Giả sử tập A⊂ X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập
A và kí hiệu là
CoA

Nhận xét 1.7.2:
CoA
là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A
Định nghĩa 1.7.4:
Cho M ⊂ X, X là không gian tuyến tính trên trường K, khi đó ta định nghĩa:
spanM là không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M.
 Liên tục trên tập compact
Mệnh đề 1.7.3: Cho M
→¡
là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X.
Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M.

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho
A : M ⊆ X → Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên
M.
Định nghĩa 1.7.5:
Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn
Toán tử tuyến tính A: X → Y được gọi là toán tử compact nếu A biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành
tập compact tương đối trong Y.
Định lý 1.7.2. Cho A, B là các toán tử compact: X → Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì ∀ p, q ta có
pA + qB là toán tử compact
 Giả sử E là tập bị chặn trong X, {y
n
} là dãy tùy ý các phần tử của tập
(pA + qB)(E) ⇒ ∃{x
n
} ⊂ X: y
n
= (pA + qB)x
n
, n = 1, 2…
Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con
k
n n
) ( )(Ax Ax⊂
hội tụ trong Y
Vì B là toán tử compact nên tồn tại dãy con
k k
j
n n
) (B )(Bx x⊂
hội tụ trong Y

⇒ dãy
k k k
j j j
n n n
(pA qB)x p qBxAx+ = +
(j = 1, 2,…) hội tụ trong Y hay y
n
chứa dãy con hội tụ trong Y
⇒ (pA + qB)(E) là tập compact tương đối trong Y
Vì vậy pA + qB là toán tử compact
Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)
Cho A : M ⊆ X → Y là một toán tử compact, ở đây X, Y là các không gian Banach trên trường K, M là tập
con bị chặn khác rỗng của X. Khi đó với mọi n = 1,2,… có một dãy toán tử liên tục A
n
: M → Y sao cho

u M
Sup
∈

n
1
Au A u
n
− ≤
và dim (Span A
n
(M)) < ∞
Cũng như
A

n
(M) ⊆ CoA(M)
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.8.1
Cho X là không gian định chuẩn n_chiều trên trường K, n = 1,2,…,m. Một cơ sở {e
1
,…,e
n
} của X ta
hiểu là tập hợp các phần tử e
1
,…,e
n
của X sao cho ∀u ∈ X đều có thể biểu diễn dưới dạng
u =
1 1 n n
e eα + + α

Với
1 n
, ,α α
∈
¡
, xác định duy nhất bởi u. Các số
1 n
, ,α α
được gọi là các phần tử của u
Mệnh đề 1.8.1
Cho (u
n

) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X dimX > 0, khi đó u
n
→ u trong X
khi n → ∞, nếu và chỉ nếu dãy các thành phần tương ứng (với một cơ sơ cố định) hội tụ đến các tọa độ tương
ứng của u trong X
Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian Banach
Hệ quả 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, khi đó:
1) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn
2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng.
Mệnh đề 1.8.2:
Cho M là tập con khác rỗng lồi và bị chặn, đóng của không gian định chuẩn X, ở đây M có một điểm
trong khi đó M đồng phôi với hình cầu
B = {u ∈ X:
u 1≤
}
Mệnh đề 1.8.3:
Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X. Khi đó M đồng
phôi với các N_ đơn hình trong X, N = 1.2…
1.9. Phương trình vi phân thường
1.9.1. Một số khái niệm:
Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng :
F(x,y,y’,y”,…,y
(n)
) =0 ; (1.4)
Trong đó: x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm
y’,y”,…,y
(n)
là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x).
Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình
Hàm số y=ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay y = ϕ(x) ,y’=ϕ’(x),…, y

(n)
=ϕ
(n)
(x) vào
(1.4) thì (1.4) trở thành đồng nhất thức.
Hàm số y = ϕ(x,c) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với mọi c ∈R
1.9.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:
a) Phương trình vi phân có biến số phân li:

dx
dy
= f(x) ⇒ y=
∫
dxxf )(
+c

dx
dy
= f(y) ⇒
∫
)(yf
dy
= x+c
M
1
(x) N
1
(y) dx + M
2
(x) N

2
(y) dy = 0
⇔
)(
)(
2
1
xM
xM
dx +
)(
)(
1
2
yN
yN
dy =0
(M
2
(x).N
1
(y) ≠0)
b) Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:
y’ = f(
x
y
)
Giả thiết hàm số xác định với mọi x ≠0.Để giải phương trình này ta đặt u=
x
y

, sau đó đưa về việc giải
phương trình vi phân có biến số phân li.
c) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát: y’ + P(x) y = Q(x)
+) Q(x) ≠ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1
+) Q(x) ≡ 0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:
y= e
∫
− dxxP )(






+
∫
∫
cdxexQ
dxxP )(
)(
d) Phương trình Bernoulli:
Dạng tổng quát: y’ + P(x) .y = Q(x) .y
α
+) α=1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1
+) α=0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1
+) α≠0, α≠1: ta chia cả 2 vế của phương trình cho y
α
Sau đó, đặt z=y

1-α
và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.
e) Phương trình vi phân toàn phần:
Dạng tổng quát: P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 trong đó : P(x,y) , Q(x,y)
là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn : Q’
x
(x,y)
=P’
y
(x,y) trên D.
Nếu D=R
2
, giả sử (x
0
,y
0
) ∈ D thì tích phân tổng quát của (1.5) là:
u(x,y) =
dxxxP
x
x
),(
0
0
∫
+
∫
y
y
dyyxQ

0
),(
=
∫
x
x
dxyxP
0
),(
+
∫
y
y
dyyxQ
0
),(
0
f) Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.

dx
dy
= f









++
++
111
cybxa
cbyax

Nếu c=c
1
=0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1
Nếu c≠0, c
1
≠0,
11
b
b
a
a
≠0
Đặt



+=
+=
β
α
1
1
yy
xx

, (α, β_const)



CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 2.1.1:
Ánh xạ co: Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d
X
) vào không gian metric (Y,d
Y
) được gọi là
ánh xạ co nếu ∃ α ∈[0,1) sao cho ∀x, x’∈ X ta đều có
d
y
((f (x),f(x’)) ≤ αd
x
(x,x’)
Hiển nhiên, một ánh xạ co là liên tục đều
Định lý 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Một ánh xạ co f: X
→
X từ không gian metric đủ (X,d
X
) vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất
động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm
x
∈
X sao cho
( ) =f x x

 Chứng minh:
Vì f là ánh xạ co từ X vào chính nó nên ∃ α ∈[0,1) sao cho ∀x, x’∈ X ta có
d
y
((f (x),f(x’)) ≤ αd
x
(x,x’)
Lấy x
0
∈ X, lập dãy x
n
= f(x
n-1
); n = 1, 2,…
Ta có:
d(x
2
,x
1
) = d(f(x
1
),f(x
0
)) ≤ αd(x
1
,x
0
) = d(f(x
0

,x
0
)
d(x
3
,x
2
) = d(f(x
2
),f(x
1
)) ≤ αd(x
2
,x
1
) ≤
2
α
d(f(x
0
,x
0
)
………………
d(x
n+1
,x
n
) = d(f(x
n

),f(x
n-1
)) ≤ αd(x
n
,x
n-1
) ≤
n
α
d(f(x
0
,x
0
)
Do đó ∀p = 1, 2…
d(x
n+p
,x
n
) ≤ d(x
n+p
,x
n+p-1
) + d(x
n+p-1
,x
n+p-2
) + …+ d(x
n-1
,x

n
)
≤
1 2
( )
+ − + −
+ + +
n p n p n
α α α
d(f(x
0
,x
0
) =
1
1
−
−
p
n
α
α
α
d(f(x
0
,x
0
)
<
1−

n
α
α
d(f(x
0
,x
0
)
Vì 0 ≤ α < 1 nên
lim 0
→∞
=
n
n
α
. Suy ra
lim ( , ) 0
+
→∞
=
n p n
n
d x x
∀p = 1, 2…
Do đó {x
n
} là dãy cơ bản trong không gian metric đủ (X,d)
⇒ {x
n
} hội tụ nên

:lim
→∞
∃ ∈ = ∈
n
n
x X x x X

Do đó:
1
1
0 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) ( ( ), ( )) ( , )
( , ) ( , ) 0 ( )
−
−
≤ ≤ + = +
≤ + → → ∞
n n n n
n n
d f x x d f x x d x x d f x f x d x x
d x x d x x n
α

⇒
( ( ), ) 0 ( )= ⇔ = ∈d f x x f x x X

Vậy f có điểm bất động
x

∗ Giả sử x
*

cũng là điểm bất động của f ⇒ f(x
*
) = x
*

Khi đó:
* * *
*
0 ( , ) ( ( ), ( )) ( , ) [0,1)
( 1) ( , ) 0 [0,1)
≤ = ≤ ∀ ∈
⇒ − ≥ ∀ ∈
d x x d f x f x d x x
d x x
α α
α α
*
( , ) 0⇒ ≤d x x

Mặt khác
*
( , )d x x
≥ 0 từ đó ta suy ra
*
( , )d x x
= 0 ⇔
*
=x x

Vậy điểm bất động là duy nhất

Ví dụ 2.1.1
Cho ánh xạ f ánh xạ nửa khoảng [1+
∞
) vào chính nó xác định bằng công thức f(x) = x +
1
x

f có phải là ánh xạ co không?
f có điểm bất động không?Vì sao?
Giải: Ta có [1+∞) là tập con đóng của
¡
với metric d(x,y) =
−x y

Do đó [1+∞) cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy.
Xét ánh xạ f: [1+∞)
a
[1+∞)
x
a
f(x) = x +
1
x

Giả sử f là ánh xạ co ⇒ f có điểm bất động duy nhất hay ∃!x
0
∈ [1+∞) sao cho
f(x
0
) = x

0
⇔ x
0
+
0
1
x
= x
0
⇔
0
1
x
= 0 (vô lý)
Vậy f không có điểm bất động do đó f không là ánh xạ co
Ví dụ 2.1.2
2.1.2 Cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn.
Với metric xác định bởi công thức d(x,y) =
x y−
nguyên li ánh xạ co Banach được phát biểu trong
không gian định chuẩn như sau:
Giả sử, M là tập đóng khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K. Toán tử A: M
→
M thỏa
mãn
Ax Ay k x y− ≤ −

∀
x, y
∈

M (*) với k cố định, k
∈
[0,1)
Khi đó các kết quả sau là đúng:
i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phương trình x = Ax (**)
ii) Với mỗi x
0

∈
M dãy {x
n
} tạo bởi x
n+1
= Ax
n
, (
∀
n = 0, 1, 2…) hội tụ đến nghiệm duy nhất x của
phương trình (**)
 Ta chứng minh ii)
Trước hết, ta chỉ ra rằng {x
n
} là một dãy Cauchy. Thật vậy, với mỗi
n = 1, 2… sử dụng (*) ta có:
1 1
1 1 2
2
1 2 1 0
Ax Ax
Ax Ax

n n n n
n n n n
n
n n
x x
k x x k
k x x k x x
+ −
− − −
− −
− = −
≤ − = −
≤ − ≤ ≤ −
Với n = 1, 2… và m = 1, 2… từ bất đẳng thức tam giác ta có:
1 1 2 1
1 1 2 1
1 1
1 0
2 1
1 0
1 0
( ) ( ) ( )

( )
(1 )
1
1
n n m n n n n n m n m
n n n n n m n m

n n n m
n m
n
x x x x x x x x
x x x x x x
k k k x x
k k k k x x
k x x
k
+ + + + + − +
+ + + + − +
+ + −
−
− = − + − + + −
≤ − + − + + −
≤ + + + −
≤ + + + + −
< −
−

Vì k ∈ [0,1) nên
lim 0
n
n
k
→∞
=
.Vậy dãy {x
n
} là dãy Cauchy do X là không gian Banach nên dãy {x

n
} hội tụ tới
phần tử x∈ X hay x
n
→ x khi n → ∞.
* Từ x
0
∈ M, x
1
= Ax
0
, A(M) ⊆ M và x
1
∈ M. Bằng quy nạp ta được x
n+1
= Ax
n
và x
n
∈ M, ∀n = 0, 1,
Vì M đóng nên x ∈ M ⇒ Ax ∈ M
Từ (*) ta có:
Ax Ax 0
n n
k x x khi n− ≤ − → →∞

Cho n → ∞ từ x
n+1
= Ax
n

ta có x = Ax.
2.2. Định lý điểm bất động Brouwer.
Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động,đó cũng là một trong
những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến.Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1910 dựa vào
công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Trước tiên ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.1
Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n-đơn hình nếu S = Co{u
0
,
u
1
, ,u
n
} với u
0
, u
1
, ,u
n
∈ X và các vectơ u
1
-u
0
, u
2
-u
0
, ,u
n
-u

0
độc lập tuyến tính. Các điểm u
i
được gọi là đỉnh,
bao lồi của k+1 đỉnh được gọi là
k-diện của S.
Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các n-đơn hình con nếu giao nếu
giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó.
Đối với một tam giác phân của S, Sperner (1928) đã đưa ra một phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn
hình con một trong các số 0, 1, , n theo qui tắc sau đây: Nếu Co{u
0
, u
1
, ,u
n
} là diện nhỏ nhất của S chứa v thì
v được gán cho một trong các số i
0
, i
1
, , i
k
.
Như vậy, đỉnh u
i
phải được gán số i. Ta gọi đó là phép gán số Sperner
Bổ đề Sperner:
Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ đơn
hình tốt.
 Chứng minh

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều
* n = 1
Đơn hình là đoạn u
0
u
1
, đỉnh u
0
được gán số 0, đỉnh u
1
được gán số 1, các đỉnh còn lại của các đơn hình
con nhận các số 0 hoặc 1
Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu là đỉnh chung được tính hai lần). Ta có k là
số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính hai lần
Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (của đơn hình con chứa đỉnh đó) cũng nhận số 0
Số đơn hình tốt bằng k-h là số lẻ. Vậy bổ đề đúng với n = 1
* Giả sử bổ đề đúng với n = m. Ta đi chứng minh bổ đề đúng với n = m+1
Gọi k là số các m-diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các số 0, 1, ,m (gọi tắt là diện tốt) của
(m+1)-đơn hình con. Khi đó k = k
1
+ k
2
trong đó:
k
1
: số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S
k
2
: số các diện tốt thuộc phần trong của S
Vì biên của S chứa các diện tốt chính là m-diện Co{u

0
, , u
n
} của S, cũng là một m-đơn hình, theo giả
thiết quy nạp k
1
lẻ, k
2
chẵn vì chung 2 đơn hình con nên được tính 2 lần. Vậy k lẻ
Gọi h là số diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m+1 do vậy đỉnh đó sẽ được gán một trong các
số 0, 1, , m. Vì vậy (m+1)-đơn hình con của S chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt. Do đó h là số chẵn. Vì vậy
(m+1)-đơn hình tốt bằng k-h phải là số lẻ.
Định nghĩa 2.2.2
Cho n = 1, 2, và X là không gian tuyến tính trên trường K, n-đơn hình S = Co{u
0
, ,u
n
}. Khi đó,
điểm b =
1
1
1
n
j
j
u
n
=
+
∑

được gọi là trọng tâm của hình S
Định nghĩa 2.2.3 Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1-đơn hình S = Co{u
0
,u
1
} là tập hợp của hai 1-đơn
hình S
0
= Co{b,u
0
} và S
1
= {b,u
1
} ở đây b là trọng tâm của S.
Tổng quát, phép chia nhỏ bởi tất cả các n-đơn hình Co{b,v
1
, ,v
n-1
} ở đây v
1
, ,v
n-1
là các đỉnh của (n-1)-đơn
hình bất kì thu được từ phép chia nhỏ bởi trọng tâm của
(n-1)-diện của S.
Định nghĩa 2.2.4 Cho một đơn hình S = Co{u
0
, ,u
n

}. Khi đó, mỗi điểm x ∈ S được biểu diễn duy nhất dưới
dạng x =

1
0
11
0