Trình bày tóm tắt khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích

Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
PHN 1: M U
1. Lý do chn ti
Nhiu bi toỏn khỏc nhau ca khoa hc k thut ó dn ti vic nghiờn cu vn sau:
Cho X l mt khụng gian bt kỡ no ú, A l ỏnh x t tp con M ca khụng gian X vo chớnh nú, xột
phng trỡnh phi tuyn Ax = x, x

M di cỏc iu kin c th hóy khng nh s tn ti nghim ca
phng trỡnh ú.im x

M tha món phng trỡnh Ax = x c gi l im bt ng ca ỏnh x A trờn tp
M.
Lý thuyt im bt ng l mt trong nhng lnh vc quan trng ca gii tớch hm phi tuyn. Ngay
u th k 20, cỏc nh toỏn hc ó quan tõm n vn ny v cho ti nay cú th khng nh lý thuyt im
bt ng ó phỏt trin ht sc sõu rng, tr thnh cụng c khụng th thiu gii quyt nhng bi toỏn khỏc
nhau do thc t t ra.
S phỏt trin ca lnh vc ny gn lin vi tờn tui cỏc nh toỏn hc ln trờn th gii nh: Banach,
Brouwer, Schauder nhng kt qu kinh in ca lý thuyt im bt ng ng thi cng l nhng cụng
trỡnh khi u cho lnh vc ny ú l nguyờn lý ỏnh x co Banach, nguyờn lý im bt ng Brouwer c
ỏp dng nhng lnh vc ca toỏn hc hin i nh: phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh tớch phõn.
Trờn c s cỏc nguyờn lý c bn trờn im bt ng c phỏt trin theo hai hng chớnh:
Hng th nht l nghiờn cu im bt ng ca cỏc ỏnh x liờn tc, m u l nguyờn lý im bt
ng Brouwer.
Hng th hai l nghiờn cu im bt ng ca cỏc ỏnh x dng co, m u l nguyờn lý ỏnh x co
Banach.
Vỡ cỏc lý do ú m em ó la chn ti: im bt ng v ng dng.
2. Mc ớch nghiờn cu
Bc u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc v thc hin khúa lun tt nghip.
Nghiờn cu mt s vn c bn v im bt ng v vic ỏp dng nú vo ngnh toỏn hc hin i.
3. Nhim v nghiờn cu
Nghiờn cu mt s nh lý im bt ng trong khụng gian Banach, khụng gian nh chun hu hn

chiu.
Nghiờn cu vic ỏp dng cỏc nh lý im bt ng trong vic gii bi tp v phng trỡnh vi phõn
thng, phng trỡnh tớch phõn v i s gii tớch.
4. Cu trỳc ca khúa lun
Ngoi phn m u v phn kt lun, ni dung chớnh ca khúa lun gm 3 chng.
Chng 1: Mt s kin thc chun b quan trng s s dng trong chng 2 v chng 3.
Chng 2: Nờu nguyờn lý ỏnh x co Banach, nh lý im bt ng Brouwer, nh lý im bt ng
Schauder, chng minh nh lý, cỏc vớ d ỏp dng.
Chng 3: p dng cỏc nh lý im bt ng vo vic gii phng trỡnh vi phõn thng, phng
trỡnh tớch phõn v i s gii tớch.
SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1
Cho
X
≠ ∅
, ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes X
×
X vào tập số thực
¡
thỏa mãn 3 tiên đề sau:
)( , ) ( , ) 0, ( , ) 0i x y X d x y d x y x y
∀ ∈ ≥ = ⇔ =
(tiên đề đồng nhất)
)( , ) ( , ) ( , )ii x y X d x y d y x
∀ ∈ =
(tiên đề đối xứng)

)( , , ) ( , ) ( , ) ( , )iii x y z X d x y d x z d z y
∀ ∈ ≤ +
(tiên đề tam )
Không gian metric là cặp (X,d) trong đó:
●
X
≠ ∅
được gọi là tập nền
● d là metric trong X
● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y
∈
X
● Các phần tử của X gọi là các điểm
Ví dụ 1.1.1:
Cho
X
≠ ∅
,
∀
x,y
∈
X

0 khi x y
d(x, y)
1 khi x y
=

=


≠

.
Khi đó d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d
còn được gọi là metric rời rạc ).
Định nghĩa 1.1.2.
- Dãy hội tụ
- Dãy cơ bản
- Không gian đủ
1.2 Tô pô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2.1:
Cho không gian (X,d), r > 0, a
∈
X
Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x
∈
X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r.
Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x
∈
X: d(x,a)
≤
r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
Định nghĩa 1.2.2:
Cho không gian (X,d), A
⊂
X
Tập mở: A được gọi là tập mở nếu
x A
∀ ∈
thì x là điểm trong của A

Điểm trong : x
∈
A được gọi là điểm trong của A nếu
0 : ( , )B x A
ε ε
∃ > ⊂
Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = A
c
là tập mở
Quy ước
∅
, X vừa là tập đóng vừa là tập mở
Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở
SVTH: Lª ThÞ V©n 2 K35G_SP To¸n
Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
nh lý 1.2.2: Cho khụng gian metric (X,d), F

X
F l tp úng
{ }
n
x F
v x
n

x thỡ x

F
nh lý 1.2.3: Cho (X,d) l khụng gian metric thỡ:
a) Hp ca mt h tựy ý cỏc tp m l tp m

b) Giao ca hu hn cỏc tp m l tp m:
c) Hp ca hu hn cỏc tp úng l tp úng:
d) Giao ca mt h tựy ý cỏc tp hp úng l tp úng:
1.3. nh x liờn tc
nh ngha 1.3.1: nh x liờn tc
nh ngha 1.3.2: nh x liờn tc u
1.4. Tp hp compact v b chn.
nh ngha 1.4.1:
Khụng gian compact
Tp compact.
nh lý 1.4.1: (nh lý v tớnh cht ca ỏnh x liờn tc trờn tp compact)
nh x liờn tc f: X

Y t khụng gian metric
( , )
X
X d
vo khụng gian metric
( , )
Y
Y d
. K l tp
compact trong X th thỡ:
1. f liờn tc u trờn K
2. f(K) l tp compact trong Y
nh ngha 1.4.2:
Tp hp b chn.T ú suy ra: A b chn

B(a,R): A

B(a,R).
Tp hon ton b chn.
H qu:
Tp con ca tp hon ton b chn l tp hon ton b chn
Hp ca hu hn cỏc tp hon ton b chn l tp hon ton b chn
Trong khụng gian Euclid
k

tp A b chn A hon ton b chn.
1.5. Khụng gian vect (khụng gian tuyn tớnh)
nh ngha 1.5.1: Khụng gian vect
Vớ d 1.5.1:
[a,b
C
]
= {x(t) liờn tc trờn [a,b] } c trang b hai phộp toỏn
[ , ]
) , : ( ) ( )
a b
a x y C x y x t y t
+ = +
[ , ]
) , : ( )
a b
b x C x x t

=Ă
Khi ú nú l khụng gian vect.

1.6. Khụng gian nh chun khụng gian Banach
nh ngha 1.6.1: Khụng gian nh chun
nh ngha 1.6.2: S hi t
nh ngha 1.6.3: Dóy c bn
nh ngha 1.6.4: Khụng gian Banach
SVTH: Lê Thị Vân 3 K35G_SP Toán
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
Định lý 1.6.1:
Cho không gian định chuẩn X. Với mọi x,y
∈
X thì:
a)
x y x y
− ≤ −
b) Đặt
d(x,y) x y= −
thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với)
chuẩn.
Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ở định
lý trên. Do đó mọi khái niệm mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định
chuẩn.
Nhận xét:
• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy
• Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy
Định nghĩa 1.6.5: Tính liên tục
1.7. Tính lồi
1.7.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một không gian tuyến tính,
¡

là tập các số thực. Tập A
⊂
X được gọi là lồi nếu:
∀
x
1,
x
1
∈
X, ∀
λ
∈
¡
:
1 2
0 1 x (1 )x A
≤ λ ≤ ⇒ λ + −λ ∈
Mệnh đề 1.7.1.
Giả sử A
α

∈
X (
α

∈
I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó
I
A A
α

α∈
=
U
cũng lồi.
Mệnh đề 1.7.2.
Giả sử X,Y là các không gian tuyến tính, T: X
→
Y là toán tử tuyến tính, khi đó
a) A
⊂
X lồi suy ra T(A) lồi
b) B
⊂
Y lồi suy ra nghịch ảnh T
-1
(B) của ảnh B là tập lồi
Định lý 1.7.1: Giả sử A
⊂
X lồi, x
1
, x
2
,…,x
m

∈
A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x
1
, x
2

,…,x
m
.
1.7.2.Bao lồi và bao đóng
Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A
⊂
X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu
là CoA
Nhận xét 1.7.1.
a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A
b) A lồi ⇔ CoA = A.
Định nghĩa 1.7.3. Giả sử tập A
⊂
X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập
A và kí hiệu là
CoA
Nhận xét 1.7.2:
CoA
là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A
Định nghĩa 1.7.4:
SVTH: Lª ThÞ V©n 4 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
Cho M
⊂
X, X là không gian tuyến tính trên trường K, khi đó ta định nghĩa: spanM là không gian
con tuyến tính nhỏ nhất chứa M.
1.7.3.Liên tục trên tập compact
Mệnh đề 1.7.3: Cho
M
→

¡
là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn
X. Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M.
Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho A : M
⊆
X
→
Y là toán tử
tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên M.
Định nghĩa 1.7.5: Toán tử compact
Định lý 1.7.2. Cho A, B là các toán tử compact: X
→
Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì ∀ p, q ta có
pA + qB là toán tử compact
Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.8.1
Mệnh đề 1.8.1
Cho (u
n
) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, dimX > 0. Khi đó u
n

→
u trong
X khi n
→

∞
, nếu và chỉ nếu dãy các thành phần tương ứng (với một cơ sơ cố định) hội tụ đến các tọa độ

tương ứng của u trong X
Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian Banach
Hệ quả 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, khi đó:
1) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn
2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng.
Mệnh đề 1.8.2:
Cho M là tập con khác rỗng lồi và bị chặn, đóng của không gian định chuẩn X, ở đây M có một điểm
trong khi đó M đồng phôi với hình cầu
{ }
: 1B u X u
= ∈ ≤

Mệnh đề 1.8.3:
Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X. Khi đó M đồng
phôi với các N_ đơn hình trong X, N = 1.2…
1.9. Phương trình vi phân thường
1.9.1. Một số khái niệm:
1.9.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải:
a) Phương trình vi phân có biến số phân li:
( )
dy
f x
dx
=
( )
dy
f y
dx
=
M

1
(x) N
1
(y) dx + M
2
(x) N
2
(y) dy = 0
b) Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:
SVTH: Lª ThÞ V©n 5 K35G_SP To¸n
Khóa luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 2
'
y
y f
x

=
ữ

c) Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1
Dng tng quỏt: y + P(x) y = Q(x)
d) Phng trỡnh Bernoulli:
Dng tng quỏt: y + P(x) .y = Q(x) .y

e) Phng trỡnh vi phõn ton phn:
Dng tng quỏt: P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 (1.5)
trong ú : P(x,y) , Q(x,y) l cỏc hm s liờn tc cựng vi cỏc o hm riờng trờn min n liờn D v tha
món : Q
x
(x,y) =P

y
(x,y) trờn D.
f) Phng trỡnh vi phõn a c v dng phng trỡnh thun nht cp 1.
1 1 1
dy ax by c
f
dx a x b y c

+ +
=
ữ
+ +

(1.6)

CHNG 2: IM BT NG
2.1 Nguyờn lý ỏnh x co Banach
nh ngha 2.1.1:
nh x co: nh x f: X

Y t khụng gian metric
( , )
X
X d
vo khụng gian metric
( , )
Y
Y d
c gi
l ỏnh x co nu [0,1) sao cho x, x X ta u cú:

( )
( ), ( ') ( , ')
y x
d f x f x d x x


Hin nhiờn, mt ỏnh x co l liờn tc u
nh lý 2.1.1 Nguyờn lý ỏnh x co Banach
Mt ỏnh x co f: X

X t khụng gian metric (X,d
X
) vo chớnh nú thỡ cú duy nht mt im bt
ng ngha l tn ti duy nht mt im
x X

sao cho
( )f x x
=
2.1.2. Cỏch phỏt biu khỏc ca nguyờn lớ ỏnh x co Banach trong khụng gian nh chun.
Vi metric xỏc nh bi cụng thc
( , )d x y x y=
nguyờn li ỏnh x co Banach c phỏt biu
trong khụng gian nh chun nh sau:
Gi s, M l tp úng khỏc rng trong khụng gian Banach X trờn trng K. Toỏn t A: M

M
tha món
Ax Ay k x y

x, y

M (*) vi k c nh, k

[0,1)
Khi ú cỏc kt qu sau l ỳng:
i) Tn ti v duy nht nghim x ca phng trỡnh x = Ax (**)
ii) Vi mi x
0


M dóy {x
n
} to bi x
n+1
= Ax
n
, (

n = 0, 1, 2) hi t n nghim duy nht x ca
phng trỡnh (**)
SVTH: Lê Thị Vân 6 K35G_SP Toán
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
2.2. Định lý điểm bất động Brouwer.
Định nghĩa 2.1.1
Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n-đơn hình nếu S = Co{u
0
,
u

1
, ,u
n
} với u
0
, u
1
, ,u
n
∈ X và các vectơ u
1
-u
0
, u
2
-u
0
, ,u
n
-u
0
độc lập tuyến tính. Các điểm u
i
được gọi là đỉnh,
bao lồi của k+1 đỉnh được gọi là k-diện của S.
Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các n-đơn hình con nếu giao nếu
giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó.
Đối với một tam giác phân của S, Sperner (1928) đã đưa ra một phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn
hình con một trong các số 0, 1, , n theo qui tắc sau đây: Nếu Co{u
0

, u
1
, ,u
n
} là diện nhỏ nhất của S chứa v
thì v được gán cho một trong các số i
0
, i
1
, , i
k
.
Như vậy, đỉnh u
i
phải được gán số i. Ta gọi đó là phép gán số Sperner
Bổ đề Sperner:
Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ đơn
hình tốt.
Định nghĩa 2.2.2
Cho n = 1, 2, và X là không gian tuyến tính trên trường K, n-đơn hình S = Co{u
0
, ,u
n
}. Khi đó, điểm
1
1
1
n
j
j

b u
n
=
=
+
∑
được gọi là trọng tâm của hình S
Định nghĩa 2.2.3 Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1-đơn hình S = Co{u
0
,u
1
} là tập hợp của hai 1-đơn
hình S
0
= Co{b,u
0
} và S
1
= {b,u
1
} ở đây b là trọng tâm của S.
Tổng quát, phép chia nhỏ bởi tất cả các n-đơn hình Co{b,v
1
, ,v
n-1
} ở đây v
1
, ,v
n-1
là các đỉnh của (n-

1)-đơn hình bất kì thu được từ phép chia nhỏ bởi trọng tâm của (n-1) - diện của S.
Định nghĩa 2.2.4 Cho một đơn hình S = Co{u
0
, ,u
n
}. Khi đó, mỗi điểm x ∈ S được biểu diễn duy nhất dưới
dạng
0
n
i i
i
x x u
=
=
∑
với x
i
> 0,
1
1
n
i
i
x
=
=
∑
và mỗi x
i
được gọi là tọa độ trọng tâm của x, nó cũng biến đổi liên tục

theo x.
Bổ đề 2.2.2: Bổ đề Knaster, Kusutowski, Mazurkirwicz (bổ đề KKM)
Cho S=Co{u
0
, ,u
n
} là một n_đơn hình trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, n=0,1,2,
giả sử đã cho các tập đóng C
0
, ,C
n
trong X sao cho:
Co
0
{ , , }
k
i i
u u
0
i
m
k
m
C
=
⊆
U
(2.2.2)
Với tất cả các bộ chỉ số {i
0

, ,i
k
} và mọi k=0,1, ,n. Khi đó có một điểm bất động v trong S sao cho v
∈
C
j
, j=1,2, ,n
∗ Định lý điểm bất động Brouwer
Cho M là một tập khác rỗng, lồi, compact trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X trên
trường K. Khi đó, toán tử liên tục A:M
→
M có một điểm bất động.
Hệ quả 2.2:
SVTH: Lª ThÞ V©n 7 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
Toán tử B: K
→
K có một điểm bất động nếu K là tập con của một không gian định chuẩn sao cho
nó đồng phôi với tập M như đã xét trong định lý điểm bất động Brouwer.
Ví dụ 2.2
Cho M=[a,b],với . Khi đó, mỗi hàm số liên tục A: [a,b]
→
[a,b] có một điểm bất động u.
2.3. Định lý điểm bất động Schauder
Năm 1930, Schauder đã chứng minh một định lý điểm bất động của toán tử compact
A: M
→
M. Vẫn như Banach ông xem xét toán tử compact A trong không gian định chuẩn tuy nhiên tập M
phải thỏa mãn các điều kiện: khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn.
∗Định lý điểm bất động Schauder

Toán tử compact A: M
→
M có một điểm bất động u nếu tập M là tập con khác rỗng, đóng, lồi , bị
chặn trong không gian Banach X trên trường K.
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường
3.1.1 Bài toán 1:
∗Xét phương trình vi phân:
( )
( , ( ))
dx t
f t x t
dt
=
( t∈ ) (3.1)
Với điều kiện ban đầu: x(t
0
) = x
0
(3.1’)
Trong đó t
0
, x
0
là 2 số cho trước, f (t,u) là hàm liên tục cho trước của hai biến t,u (t,u ∈). Giả thiết
f(t,u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, theo nghĩa sau đây:
Với mỗi số nguyên dương n tồn tại một hằng số L=L(n) > 0 sao cho
∀t∈ [-n,n] ta đều có:
1 2 1 2
( , ) ( , )f t u f t u L u u− < −

Khi đó (3.1) với điều kiện (3.1’) có một nghiệm duy nhất x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng
thực .
3.1.2. Bài toán 2:
Ta cần giải bài toán ban đầu sau:
0 0
0 0
' ( , )
,
( )
u F x u
x h x x h
u x u
=

− < < +

=

(3.3)
Với (x
0
,u
0
) ∈ ta sẽ tìm một nghiệm u = u(x) của (3.3) sao cho:
u: [x
0
-h, x
0
+h] → (3.3’)
khả vi và (x,u(x)) ∈ S, ∀x

∈
[x
0
-h, x
0
+h] trong đó:
S= {(x,u)∈
2
:
0 0
, }x x r u u r− ≤ − ≤
, với r cố định
SVTH: Lª ThÞ V©n 8 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
Đặt X ∈ C[x
0
– h, x
0
+ h] và
0
{ : }M x X u u r= ∈ − ≤
Ta xác định chuẩn:
0 0
max ( )
x h x x h
u u x x X
− ≤ ≤ +
= ∀ ∈
Ta xét phương trình tích phân:
0

0 0 0
( ) ( , ( )) ; ,
x
x
u x u F y u y dy x h x x h u M= + − ≤ ≤ + ∈
∫
(3.4)
Cùng với phép lặp:
0
1 0 0 0
( ) ( , ( )) ; , 1,2
x
n n
x
u x u F y u y dy x h x x h n
+
= + − ≤ ≤ + =
∫
(3.5)
Với u
1
(x) = u
0
Mệnh đề 3.1:
Giả sử
a) Hàm số F: S→ liên tục và có các đạo hàm riêng F
n
: S→ cũng liên tục.
b) Đặt
( , )

max ( , )
x u S
M F x u
∈
=
và
( , )
max ( , )
n
x u S
L F x u
∈
=
, và chọn số thực h trong trường hợp này sao cho 0 <
h ≤ r, hM ≤ r, và hL < 1
Khi đó các điều kiện sau là đúng
i) Bài toán ban đầu (3.3) có nghiệm duy nhất dạng (3.3’)
ii) Đây là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân (3.4)
iii) Dãy u
n
tạo bởi (3.5) hội tụ đến u trong không gian Banach X
iv) Với n=0,1 ta có đánh giá sai số
1
1 0
1 1
(1 )
(1 )
n
n
n

n n n
u u k n u u
u u k n u u
−
+ +
− ≤ − −
− ≤ − −
Ví dụ 3.1: Bài toán ban đầu
2
1
' ( , )
1 1
9 2
2 2
(0) 0
u
u F x u x
x
u

= = +

− ≤ ≤


=

Có nghiệm duy nhất trên tập S =
{( , )x u ∈
:

1 1
,
2 2
x u≤ ≤
}
3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân
3.2.1. Bài toán 3
Ta muốn giải phương trình tích phân:
( ) ( , , ( )) ( )
b
a
u x F x y u y dy f x a x b
λ
= + ≤ ≤
∫
(3.6)
Bằng phương pháp lặp
1
( ) ( , , ( )) ( ) , 0,1,
b
n n
a
u x F x y u y dy f x a x b n
λ
+
= + ≤ ≤ =
∫
(3.6’)
SVTH: Lª ThÞ V©n 9 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2

Với -∞ < a < b < +∞
Mệnh đề 3.2 Giả sử có các điều kiện sau:
1) Hàm số f: [a,b] → liên tục
2) Hàm số
:[ , ] [ , ]F a b a b× ×
→ liên tục và đạo hàm riêng
:[ , ] [ , ]
n
F a b a b
× ×
→ cũng liên tục
3) Có một số L sao cho
( , , ) , , [ , ]
u
F x y u L x y a b≤ ∀ ∈
, u∈
4) Có một số thực
λ
cho trước sao cho
( ) 1b a L
λ
− <
5) Tập X = C[a,b] và
max ( )
a x b
u u x
≤ ≤
=
Khi đó, các điều kiện sau đây được thõa mãn
i) Bài toán ban đầu (3.6) có nghiệm duy nhất u ∈ X

ii) Dãy (u
n
) tạo bởi (3.6’) hội tụ đến u trong X, n=1,2,
iii) ∀n=0,1, ta có các đánh giá sai số:
1
1
1
1 1
(1 )
(1 )
n
n
n n n
u u k k u
u u k k u u
−
−
+ +
− ≤ −
− ≤ − −
với
( )k b a L
λ
= −
3.2.2 Bài toán 4:
Ta cần giải phương trình tích phân:
( ) ( , , ( )) (3.8.1)
b
a
u x F x y u y dy a x b

λ
= ≤ ≤
∫
ở đây -∞ < a < b < +∞ và
λ
∈ .
Gọi
{( , , )Q x y u= ∈
:
, [ , ], }x y a b u r∈ ≤
với r > 0 cho trước.
Mệnh đề 3.3 Giả sử rằng
1) Hàm số F: Q→ liên tục
2) Ta định nghĩa
( , , )
( ) max ( , , )
x y u Q
b a M F x y u
∈
− =
. Có một tỉ số thực
λ
đã cho thỏa mãn
M r
λ
≤
.
Khi đó phương trình ban đầu (3.8) có một nghiệm u
∈
M

Ví dụ 3.3;
Cho
[ , ]X C a b=
với -∞ < a < b < +∞ và
max ( )
a x b
u u x
≤ ≤
=
.Khi đó phương trình tích phân
( ) ( ) ( ) ,
b
a
u x b a u y dy u X= − ∀ ∈
∫
có nghiệm duy nhất u
∈
X
*
với
2
*
( )
:
2
b a
X u X u
 
−
= ∈ =

 
 
3.3 Áp dụng vào đại số giải tích
Cho hệ phương trình sau:
SVTH: Lª ThÞ V©n 10 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =


+ + + =




+ + + =

(3.3)

11 12 13
21 22 23
1 2

n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
hay
ij 1
( )
n
A a=
với detA ≠ 0.Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
Ax=b (3.3’)
trong đó
1 1
2 2
,

n n
x b

x b
x b
x b
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Định nghĩa 3.3.1. Ma trận (đường) chéo trội
3.3.1.Bài toán 1:Giải hệ phương trình (3.3) bằng phương pháp lặp đơn.Ta đưa phương trình (3.3’) về dạng
tương đương x = Bx + g (3.3*)
Đặt Tx = Bx + g thì (3.3’) ⇔ x = Tx. Nếu x
*
là điểm bất động của T: Tx
*
= x
*
thì x
*
là nghiệm của
(3.3’) tức là Ax
*
= b
Ví dụ 3.3.1: Giải hệ phương trình sau với 3 bước lặp
1 2 3
1 2 3
1 2 3

10 2 10
10 2 12
10 8
x x x
x x x
x x x
+ + =


+ + =


+ + =

(1)

10 2 1
1 10 2
1 1 10
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
ta có
ij
1,3,
ii

j i
i a a
≠
∀ = <
∑
do đó là ma trận chéo trội. Khi đó (1) A
1 2 3
2 2 3
3 1 2
0.2 0.1 1
0.1 0.2 1.2
0.1 0.1 0.8
x x x
x x x
x x x
= − − +


⇔ = − − +


= − − +


Khi đó ta xây dựng được dãy lặp hội tụ sau:
( 1) ( )
1 2 3
( 1) ( ) ( )
2 1 3
( 1) ( ) ( )

3 1 2
0.2 0.1 1
0.1 0.2 1.2 ( 1,3 )
0.1 0.1 0.8
n n n
n n n
n n n
x x x
x x x n
x x x
+
+
+

= − − +

= − − + =


= − − +

Chọn x
(0)
= (0,0,0)
(1) (2) (3)
1 0.68 0.754
1.2 , 0.94 , 1.016
0.8 0.58 0.638
x x x
     

 ÷  ÷  ÷
⇒ = = =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
SVTH: Lª ThÞ V©n 11 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
3.3.2. Bài toán 2. Giải hệ phương trình (3.3) bằng phương pháp Jacobi (đường chéo trội)
Định nghĩa 3.3.2: Cho ma trận
11 12 13
21 22 23
1 2

n n nn
a a a
a a a
B
a a a
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Khi đó:
{ }
{ }
ij
1

1
1
11 21 1 12 22 2 1 2
ij
1
1
11 12 1 21 22 2 1 2
1
2
2
2
1
max
max , ,
max
max , ,
n
j n
i
n n n n nn
n
i n
j
n n n n nn
n
i
i
B a
a a a a a a a a a
B a

a a a a a a a a a
B x
≤ ≤
=
∞
≤ ≤
=
=
=
= + + + + + + + + +
=
= + + + + + + + + +
 
=
 ÷
 
∑
∑
∑
Định lý 3.3.2:Cho phương trình dạng
Ax b
=
(1) ta đưa phương trình về dạng
x Bx g= +
(2). Nếu
1B <
(
1 2
, ,B B B
∞

) thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất x
*
là giới hạn của dãy
( )
n
x
với
1
, 1, 2
n n
x Bx g n
−
= + =
Sai số:
*
1 0
1
n
n
B
x x x x
B
− ≤ −
−
hoặc
*
1
1
n n n
B

x x x x
B
−
− ≤ −
−
Nếu ma trận A của phương trình (1) thỏa mãn một trong hai điều kiện
ij
(1)
ii
i j
a a
≠
<
∑
hoặc
ij
(2)
jj
j i
a a
≠
<
∑
thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất theo nguyên lý ánh xạ co.
Ví dụ 3.3.2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đường chéo trội
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 2
10 3 4

3 10 5
x x x
x x x
x x x
+ + =


+ + =


+ + =

Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình ở bước thứ 5.Cho xấp xỉ ban đầu
(0) (0) (0)
1 2 3
( , , ) (0,0,0)x x x =
Hệ phương trình trên có ma trận
10 1 1
1 10 3
3 1 10
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
.Ta thấy
ij
, 1,3

ii
i j
a a i j
≠
< =
∑
do đó A là ma
trận chéo trội nên ta có thể đưa hệ phương trình ban đầu về dạng:
x Bx g= +
SVTH: Lª ThÞ V©n 12 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
1 2 3
2 1 3
3 1 2
0.1 0.1 0.2
0.1 0.3 0.4
0.3 0.1 0.5
x x x
x x x
x x x
= − − +


= − − +


= − − +


trong đó

0 0.1 0.1 0.2
0.1 0 0.3 , 0.4
0.3 0.1 0 0.5
B g
− −
   
 ÷  ÷
= − − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
}
{
3
ij
1
1 3
1
max max 0.4,0.2,0.4 0.4 1
j
i
B b
≤ ≤
=
= = = <
∑

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
Với

1
1B <
thì mọi dãy lặp
1 0
, 0,
n n
x Bx g n x
+
= + ≥
cho trước đều hội tụ.
Xấp xỉ ban đầu
(0) (0) (0)
1 2 3
( , , ) (0,0,0)x x x =
( 1) ( ) ( )
1 2 3
( 1) ( ) ( )
2 1 3
( 1) ( ) ( )
3 1 2
0.1 0.1 0.2
0.1 0.3 0.4
0.3 0.1 0.5
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+

+
+

= − − +

= − − +


= − − +

(1) ( 2) (3)
(4) (5)
0.2 0.11 0.137
0.4 , 0.23 , 0.269
0.5 0.4 0.444
0.1287 0.13149
0.2531 , 0.25755
0.432 0.43608
x x x
x x
     
 ÷  ÷  ÷
⇒ = = =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
   
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
Sai số:
Gọi
*
x
là nghiệm đúng của hệ phương trình.Ta có:
3
(5) * (5) (4) (5) * 3
1
1 1 1
1 3
2.79.10
0.4
4.45.10 0.002967
1 1 0.4
4.08.10
B
x x x x x x
B
−
−
−
 
 ÷
− ≤ − ⇔ − ≤ =
 ÷
− −
 ÷
 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
* (5)
1 1
* (5)
2 2
* (5)
3 3
0.002967
0.002967
0.002967
x x
x x
x x
−
−
−

= +


= +


= +


SVTH: Lª ThÞ V©n 13 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: “Điểm bất động và ứng dụng”. Nội dung chính của khóa

luận được đề cập đến là:
- Nêu lên các khái niệm; định lý quan trọng của không gian metric, không gian Bamach, không gian
định chuẩn hữu hạn chiều, hệ phương trình vi phân.
- Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder;
chứng minh định lý và các ví dụ áp dụng
- Nêu lên một số ứng dụng của định lý điểm bất động. Tuy nhiên do thời gian và kiến thức có hạn
nên khóa luân không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý
báu của thầy cô và các bạn sinh viên.

Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Lê Thị Vân
SVTH: Lª ThÞ V©n 14 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kĩ thuật.
2. Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục.
3. Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lý về điểm bất động, Nxb Đại học Sư phạm.
4. Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học và Trung học
chuyên nghiệp.
5. Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
SVTH: Lª ThÞ V©n 15 K35G_SP To¸n
Khãa luËn tèt nghiÖp Trêng §HSP Hµ Néi 2
SVTH: Lª ThÞ V©n 16 K35G_SP To¸n