Btl l07 nhóm 10 (final)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 10:
Ứng dụng của phân tích SVD để khử nhiễu hình ảnh

LỚP L07 _ NHĨM 10
GV HƯỚNG DẪN: Nguyễn Xn Mỹ

Tp.HCM, 4/2022


Danh sách thành viên:
MSSV

Họ và tên

Ghi chú

2114565

Lê Đăng Quí

WORD

2114610

Vũ Trọng Quý

WORD

2114586

Phan Ngọc Quyên

WORD

2114657

Đặng Minh Sơn

MATLAB

2110507

Đổng Hoàng Sơn

MATLAB

2114678

Bùi Nguyễn Nhật Tài

2114691

Nguyễn Thành Tài

2

WORD
TỔNG HỢP


MỤC LỤC
TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO.............................................................................. 5
LỜI CẢM ƠN................................................................................................... 6
DANH MỤC HÌNH ẢNH................................................................................ 7
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA PHÂN TÍCH SVD........................ 8
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.

MA TRẬN....................................................................................................8
MA TRẬN TRỰC GIAO................................................................................9
VEC TƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG.............................................................10
CHUẨN CỦA VEC TƠ................................................................................11
CHUẨN CỦA MA TRẬN.............................................................................11
HẠNG CỦA MA TRẬN...............................................................................12
VẾT CỦA MA TRẬN..................................................................................13

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH SVD................................................................... 14
2.1.
2.2.
2.3.

2.4.
2.5.
2.6.

SƠ LƯỢC VỀ SVD....................................................................................14
COMPACT SVD........................................................................................14
PHÂN TÍCH SVD......................................................................................15
CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH SVD....................................................................17
CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN........................................................................17
VÍ DỤ :......................................................................................................22

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH SVD TRONG VIỆC KHỬ
NHIỄU HÌNH ẢNH....................................................................................... 24
3.1. NGUYÊN LÝ KHỬ NHIỄU ẢNH..................................................................24
3.2. TÌNH HÌNH ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ................................................25
CODE MATLAP............................................................................................ 30
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

GIAO DIỆN CODE XỬ LÍ NHIỄU HÌNH ẢNH..............................................30
PHẦN CODE ĐỀ TÀI..................................................................................31
GIẢI THÍCH MỘT SỐ CÂU LỆNH..............................................................34
KẾT QUẢ SAU KHI CHẠY CHƯƠNG TRÌNH..............................................35
3


KẾT LUẬN..................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 38

4


TĨM TẮT BÀI BÁO CÁO
Phương pháp phân tích suy biến (singular value decomposition) được viết tắt là
SVD là một dạng khai triển của ma trận có rất nhiều ứng dụng trong những vấn
đề liên quan đến nghịch đảo và số hóa các dữ liệu. Ban đầu mục đích của
phương pháp này là tìm ra một phép xoay khơng gian sao cho tích vơ hướng
của các vector khơng thay đổi. Từ mối liên hệ này khái niệm về ma trận trực
giao đã hình thành để tạo ra các phép xoay đặc biệt. Hiện nay phân tích SVD
của ma trận xuất hiện rất nhiều trong các ứng dụng thực tế như về tín hiệu số,
tính các giá trị xấp xỉ trong kĩ thuật, công nghệ thông tin, và được ứng dụng
trong các cơng cụ tìm kiếm trên các website. Và với đề tài “Ứng dụng của phân
tích SVD để khử nhiễu hình ảnh” nhóm nghiên cứu sẽ đưa đến cho người đọc
những kiến thức cơ bản cũng như cái nhìn tổng quan về cơ sở lí thuyết của
phân tích SVD.

5


LỜI CẢM ƠN
Nhóm nghiên cứu xin chân thành gửi lời cảm ơn đến cô giáo, ThS.
Nguyễn Xuân Mỹ bộ môn toán ứng dụng khoa khoa học ứng dụng trường
đại học Bách Khoa Tp.HCM đã cung cấp kiến thức cũng như chỉ dẫn
hướng đi để nhóm có thể hồn thành tốt đề tài nghiên cứu.

6

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình ảnh 1.......................................................................................................14
Hình ảnh 2.......................................................................................................15
Hình ảnh 3.......................................................................................................16
Hình ảnh 4.......................................................................................................23
Hình ảnh 5.......................................................................................................23
Hình ảnh 6.......................................................................................................24
Hình ảnh 7: Bên trái là ảnh chụp MRI gốc, bên phải là ảnh chụp MRI
chứa nhiễu.......................................................................................................24
Hình ảnh 8: Kết quả chạy chương trình khử nhiễu SVD MATLAB.........25
Hình ảnh 9: Khử nhiễu ảnh scan..................................................................26
Hình ảnh 10: PET bằng SVD........................................................................26
Hình ảnh 11 : Khử nhiễu ảnh nhận diện Barrack Obama sử dụng SVD. .27
Hình ảnh 12: Ảnh chụp biển số xe vi phạm được khử nhiễu nhờ SVD......28
Hình ảnh 13: Giao diện xử lí nhiễu ảnh được hiện ra sau khi chạy code...29
Hình ảnh 14: Các chức năng được thể hiện trên giao diện xử lí nhiễu......29

7


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA PHÂN TÍCH
SVD
1.1. Ma trận
a) Định nghĩa 1: Ma trận một bảng gồm mxn số thực được sắp xếp
thành m dòng, n cột và gọi là ma trận cấp mxn.
Ký hiệu ma trận

(

a 11 a12

a21 a22
⋮
⋮
am 1 a m 2

… a1 n a11 a 12
… a2 n a21 a 22
⋱ ⋮
⋮
⋮
… a mn am 1 am 2

)[

hoặc

… a 1n
a 11 a12
… a 2n
a
a22
A = 21
⋱ ⋮
⋮
⋮
… amn
am 1 a m 2

](
[ ]

a11 a 12
a
a 22
A = 21
⋮
⋮
am 1 am 2

… a1 n
… a2 n
,
⋱ ⋮
… a mn

… a 1n
… a 2n
⋱ ⋮
… amn

hoặc
A = ( a ij ) mxn
Trong đó aij là phần tử của ma trận nằm trên dòng i, cột j,
i=1,2,. .. ,m , j=1,2,. .. ,n .

Các phần tử aii gọi là phần tử nằm trên đường chéo chính.
b) Ma trận đơn vị
Định nghĩa 2: Ma trận đơn vị là ma trận có mọi phần tử nằm trên
đường chéo chính bằng 1, các phần tử khác bằng 0, và có dạng sau:
1 0 … 0

0 1 … 0
I= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 1

(

c) Ma trận đường chéo
8

)

)


Định nghĩa 3: Ma trận đường chéo là ma trận vng có các phần tử nằm
trên đường chéo chính khác 0, mọi phần tử nằm ngồi đường chéo chính
bằng 0.
Ma trận đường chéo có dạng
a11 0
0 a22
D=
⋮
⋮
0
0

(

… 0
… 0

⋱ ⋮
⋯ a nn

)

d) Ma trận dịng, cột
Ma trận dịng có dạng:
X = ( a1 , a2 , … a n )
Ma trận cột có dạng:
a1
a
Y= 2
⋮
an

()

e) Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 4: Ma trận AT của ma trận A có các dòng là các cột của
ma trận A (giữ nguyên thứ tự) gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A.
a11 a21 … am 1
a
a
… am 2
AT = 12 22
⋮
⋮
⋱ ⋮
a1 n am 2 … amn

(

)

1.2. Ma trận trực giao
Định nghĩa 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu
AT.A = I
Tính chất:
a) Ma trận A = [ a ij ] là ma trận trực giao khi và chỉ khi
n

∑ aik . a jk =δ ij= 0,1, ii=j
≠j

{

k =1

Trong đó δ ij là kí hiệu Kronecker.
b) Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có A-1 = AT.
9


c) Mặt khác ta cũng thấy ma trận A trực giao khi và chỉ khi các vec tơ
cột và các hàng của A tạo thành các hệ trực chuẩn.
T
d) Ta có: | A A|=|I |=1→| A|=± 1

1.3. Vec tơ riêng – Giá trị riêng
Định nghĩa 6: Cho A là ma trận vuông cấp n

a11 a12
a
a
A = 21 22
⋮
⋮
an 1 am 2

[

… a1 n
… a2 n
⋱ ⋮
… ann

]

Khi đó:


Đa thức bậc n của biến λ :

a11− λ
a12
…
a1 n
a 21
a22−λ …
a2 n
PA( λ ) = det (A- λ .I) =

⋮
⋮
⋱
⋮
an 1
am 2
… a nn−λ

|

|

= (-1)n. λ n + an-1. λ n-1 +….+ a1. λ 1 + a0
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.


Các nghiệm của đa thức đặc trưng PA( λ ) gọi là giá trị riêng của ma
trận A.



Nếu λ là một giá trị riêng của A thì det (A- λ .I) = 0. Khi đó hệ
phương trình thuần nhất:
x1
0
(A- λ .I) ⋮ = ⋮
0
x2

[ ] []

(1)

có vô số nghiệm.


Không gian của hệ (1) gọi là không gian con riêng của ma trận A
tương ứng với giá trị riêng λ .



Các vec tơ khác không là nghiệm của hệ (1) gọi là vec tơ riêng của
ma trận A ứng với giá trị riêng λ .



Các cơ sở tạo thành một cơ sở của không gian riêng (tức là các vec
tơ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của hệ (1)) gọi là các vec tơ riêng
độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λ .
10


1.4. Chuẩn của vec tơ
Định nghĩa 7: Cho vectơ x, chuẩn của x kí hiệu là ‖x‖được xác định là
một số khơng âm thỏa mãn các tính chất sau:
a) ‖x‖≥ 0 và ‖x‖=0 khi và chỉ khi x=0.
b) ‖αxx‖=|αx|‖x‖ với mọi αx ∈ R.
c) ‖x + y‖≤‖x‖+‖ y‖ (Bất đẳng thức tam giác).
Chuẩn Euclide:
Chuẩn Euclide của vec tơ x được xác định như sau:

1

‖x‖E =‖x‖=( x 21+ x22 +...+ x 2n ) 2

1.5. Chuẩn của ma trận
Định nghĩa 8: Cho ma trận A kích thướcm× n, chuẩn của A kí hiệu ‖ A‖
là một số không âm thỏa mãn:
a) ‖ A‖≥0 và ‖ A‖=0 khi và chỉ khi A=0.
b) ‖αxA‖=|αx|‖ A‖ với mọi αx ∈ R.
c) ‖ A+ B‖≤‖ A‖+‖B‖ (Bất đẳng thức tam giác).
- Chuẩn F (Frobeneous):
Cho A=( a ij )mxnta định nghĩa chuẩn F của ma trận A là

‖ A‖F =

11

(

m

n

∑ ∑ a 2ij
i=1 j=1

)

1
2

1.6. Hạng của ma trận
Định nghĩa 9: (Định thức con của ma trận)
Xét ma trận A=( a ij )mxn Từ A ta lấy các phần tử trên giao của s dịng và s
cột thì ma trận thu được gọi là ma trận vuông con cấp s của A với s là số
nguyên dương và s ≤ min ( m , n ).
Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp s của ma
trận A.
Kí hiệu:

D ij ij........i j
1

1 2

2

s

s

gọi là định thức con cấp s của A.

Định nghĩa 10: (Hạng của ma trận)
Định thức con cấp cao nhất khác không của ma trận A gọi là định thức
con cơ sở của ma trận A.
Một ma trận A có thể có nhiều định thức con cơ sở đều có cùng cấp.
Hạng của ma trận A là cấp của định thức con cơ sở.
Ký hiệu hạng của ma trận A là rank (A) hay r(A).

Một số tính chất về hạng của ma trận:
-rank ( A mxn . Bnxl )=rank ( Amxn )
- rank (Cmxn . A nxk )=rank ( A nxk )

nếu

rank (B nxl)=n

nếu rank (Cmxn )=n

1.7. Vết của ma trận
Vết của một ma trận vuông A bậc nxn được xác định bằng tổng các phần
tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới
bên phải) của A.
n

tr (A )=a 11 +a22 +...+ann=∑ aii
i=1

với aii là ký hiệu phần tử ở hàng thứ i và cột thứ i của A. Tương đương
với vết của ma trận là tổng của các trị riêng của nó, và nó bất biến khi
thay đổi cơ sở. Sự đặc trưng hóa này có thể sử dụng để xác định vết cho
các tốn tử tuyến tính trong trường hợp tổng quát.
12


Ký hiệu của nó thường là Sp hoặc Tr

13

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH SVD
2.1. Sơ lược về SVD
Cho A là một ma trận thực mxn. Ta chứng minh rằng tập hợp các trị riêng khác
không của A AT và AT A là trùng nhau. Thật vậy, giả sử λ o là một trị riêng
(eigenvalue) khác 0 của A AT và X o là vector riêng (eigenvector) của A AT
tương ứng. Khi đó :
A AT X o=λ o X o

➪

Suy ra: AT A AT X o= A T λo X o

Điều này tương đương với AT A ( A T X 0 )= λo ( A ¿ ¿T X o )¿ . Vì λ o khác 0 nên AT X o
khác 0. Suy ra λ o là trị riêng của AT A và AT X 0 là vector riêng của AT A .
Vì ma trận A AT và AT A là 2 ma trận đối xứng, nên chúng chéo hóa trực giao
được. Khi đó:
 A AT ¿ ( QΣΣ PT ) ( QΣΣ PT )

T

¿ QΣΣ PT P Σ T QΣT
¿ QΣΣ Σ T QΣT (vì PT P=I , I là ma trận đơn vị)
¿ QΣ D 1 QΣ T

 AT A=( QΣΣ PT )T ( QΣΣ PT )
¿ PΣ T QΣT QΣΣ PT
¿ PΣ T Σ PT (vì QΣ T QΣ=I , I là ma trận đơn vị)
¿ P D 2 PT

Suy ra:
- Các cột của ma trận QΣ là những cơ sở của các không gian con riêng của ma
trận A AT sau khi trực giao hóa Gram - Schmidt và các σ 12 , σ 22 , … σ r2 là các trị
riêng khác 0 của A AT
- Các cột của ma trận Plà những cơ sở của các không gian con riêng của ma
trận của AT A sau khi trực giao hóa Gram - Schmidt và các σ 12 , σ 22 , … σ r2 là
các trị riêng khác 0 của AT A
- D1 , D2 là ma trận chéo với trị riêng tương ứng của A AT và AT A là
σ 12 , σ 22 , … σ r2. Ta sắp xếp các σ 12 , σ 22 , … σ r2 sao cho σ 12 > σ 22> … ¿ σ r2

2.2. Compact SVD
Gọi QΣ=( q1|q 2| …|q m ) và P=( p1| p 2|…| p n )
Viết lại biểu thức dưới dạng tổng với Rank (A) = 1
14


A=σ 1 q1 p 1T +σ 2 q 2 p2T + …+ σ r q r p rT

Với mỗi q i piT là một ma trận có hạng bằng 1
Rõ ràng với cách phân tích này, ta nhận thấy rằng ma trận A phụ thuộc vào r
cột đầu tiên của QΣ , P và r phần tử khác không trên đường chéo Σ. Ta có phân
tích gọn hơn của A gọi là Compact SVD :
A=QΣr Σ r PTr

Với QΣ r và Pr là các ma trận được tạo nên từ các cột của QΣ và P tương ứng, Σr là
ma trận con được tạo bởi r hàng đầu tiên và r cột đầu tiên của Σ. Nếu ma
trận A có rank nhỏ hơn rất nhiều so với số hàng và số cột r ≪ m, n, ta sẽ được
lợi nhiều về việc lưu trữ.
Dưới đây là ví dụ minh hoạ với m=4 , n=6 , r=2.

Hình ảnh 1
(Hình ảnh 1 : Biểu diễn SVD dạng thu gọn và biểu diễn ma trận dưới dạng
tổng các ma trận có rank bằng 1.)

2.3. Phân tích SVD
2.3.1. Mục tiêu của phân tích SVD
Phương pháp SVD sẽ tìm ra một lớp các ma trận xấp xỉ tốt nhất với một
ma trận cho trước dựa trên khoảng cách norm Frobenios giữa 2 ma trận. Người
ta đã chứng minh được rằng ma trận xấp xỉ tốt nhất được biểu diễn dưới dạng
tích của 3 ma trận rất đặc biệt bao gồm 2 ma trận trực giao (orthogonal
matrix) và 1 ma trận đường chéo (diagonal matrix). Quá trình nhân ma trận
thực chất là quá trình biến đổi các điểm dữ liệu của ma trận gốc thông qua
những phép xoay trục (rotation) và phép thay đổi độ lớn (scaling) và từ đó tạo
15


ra những điểm dữ liệu mới trong không gian mới. Điều đặc biệt của ma trận
đường chéo đó là các phần tử của nó chính là những căn giá trị riêng của ma
trận gốc. Những điểm dữ liệu trong không gian mới có thể giữ được 100%
thơng tin ban đầu hoặc chỉ giữ một phần lớn thông tin của dữ liệu ban đầu
thông qua các phép truncate SVD. Bằng cách sắp xếp các trị riêng theo thứ tự
giảm dần trên đường chéo chính thuật tốn SVD có thể thu được ma trận xấp xỉ
tốt nhất mà vẫn đảm bảo giảm được hạng của ma trận sau biến đổi và kích
thước các ma trận nhân tử nằm trong giới hạn cho phép. Do đó nó tiết kiệm
được thời gian và chi phí tính tốn và đồng thời cũng tìm ra được một giá trị dự
báo cho ma trận gốc với mức độ chính xác cao.

2.3.2. Q trình phân tích SVD :
Singular Value Decomposition là ứng dụng nổi bật trong Đại số tuyến
tính. Bất kỳ một ma trận A nào với cấp mxn (không nhất thiết phải là ma trận

vuông), ta đều có thể phân tích thành dạng:
Am × n=QΣ m × m Σ m × n ( P n× n )T (!)

Trong đó Q và P là các ma trận trực giao; và Σ là ma trận chéo không
vuông (cấp mxn) với các phần tử trên đường chéo σ 1 ≥ σ 2 ≥⋯ ≥ σ r ≥ 0=0=⋯=0 ,
mặc dù Σ khơng phải ma trận vng nhưng, ta vẫn có thể coi nó là ma trận
chéo miễn là các phần tử khác 0 của nó chỉ nằm trên đường chéo (tức là tại các
vị trí có chỉ số hàng và chỉ số cột như nhau); r là Rank(A) bằng số lượng phần
tử khác 0 trong ma trận đường chéo Σ.
*Chú ý rằng cách biểu diễn (!) không là duy nhất, vì ta chỉ cần đổi dấu
Q và P thì vẫn thỏa mãn.
2.3.3. Biểu diễn SVD qua các trường hợp của ma trận A:
+TH1: m
Hình ảnh 2

16


+TH2: m>n

Hình ảnh 3
(Hình ảnh 2,3 : SVD cho ma trận A khi: m<n (hình trên), và m>n (hình
dưới). Σ là một ma trận đường chéo với các phần tử trên đó giảm dần và khơng
âm. Màu đỏ càng đậm thể hiện giá trị càng cao. Các ô màu trắng trên ma trận
này thể hiện giá trị 0.)

2.4. Các bước phân tích SVD
Bước 1 : Xác định ma trận A(cỡ bao nhiêu) để tiến hành phân tích SVD
Bước 2 : Thực hiện chéo hóa trực giao : A AT =QΣ D1 QΣT

2.1 : Viết phương trình đặc trưng của A AT . Từ đó chúng ta sẽ tính được các
giá trị riêng của A AT . Viết được ma trận đường chéo D1 có các phần tử là
những giá trị riêng, ta vừa tìm được.(Lưu ý phải sắp xếp nó theo thứ tự
giảm dần)
2.2 : Tìm vecto riêng của A AT . Từ đó ta tính được ma trận QΣ , các cột của QΣ
là các vecto riêng của A AT .
Bước 3 : Thực hiện chéo hóa trực giao AT A=P D2 PT .
 Tương tự các bước 2.1, 2.2 ta tính được P và D2.
 Chọn Σm ×n bằng cách chọn ma trận cỡ tương ứng phù hợp với D1 hay D2.
Sau đó lấy căn bậc 2 của tất cả những phần tử trên đường chéo.
T
Bước 4 : Vậy phân tích SVD của ma trận A sẽ là : Am × n=QΣm × n Σ m × n ( Pn × n ) .

Nhận xét: Như vậy từ dữ liệu ban đầu, chúng ta có thể viết nó dưới dạng một
ma trận. Q q trình chéo hóa trực giao ma trận và ma trận chuyển vị của nó,
chúng ta được phân tích SVD. Trên cơ sở đó, ta có thể dễ dàng ứng dụng chúng
vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong khoa học.

2.5. Các định lý liên quan
Trong chương này sẽ trình bày khai triển SVD, một số tính chất và hệ quả liên
quan.
2.5.1. Định lý 1
17


Với mọi ma trận Am × n bất kỳ, khi đó mọi giá trị riêng của ma trận AT A đều
không âm.
CHỨNG MINH:
Gọi λ là giá trị riêng của ma trận AT A và v là vec tơ riêng tương ứng. Dễ thấy:
2

‖ AX‖ =¿
Do λ là giá trị riêng của ma trận AT A :
( AT A – λ I). X = 0
⇒

AT A .X = λ I X = λ vX
2
⇒ v T A T AX = vT λ X = λ ‖ X‖ = λ
2

⇒ λ ≥ 0.

⇒‖ AX ‖ = λ

Như ta đã chứng minh trên mọi giá trị riêng của AT A đều không âm.
Ta có định nghĩa và cách xác định của giá trị kì dị của ma trận A:
σ i = √ λi = ‖ A X i‖

2.5.2. Định lý 2 (Về sự phân tích SVD của ma trận)
Với mọi ma trận Am × n bất kỳ đều có thể phân tích dưới dạng:
A = U. Σ. V T
Với U và V T là các ma trận trực giao. Ma trận ∑ được xây dựng:
D r ×r ⋯ 0
∑ m ×n = ⋮
⋱ ⋮
0
⋯ 0

[

]

σ1 ⋯ 0
với D = ⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ σr

[

Ví dụ 2:

[1

1 0

Tìm khai triển SVD của ma trận A = 0 0 1
Giải:
Ta tìm các giá trị riêng của ma trận AT A .
1 0
1 1 0
1 1 0
1
0
Ta có A A =
.0 0 1 = 1 1 0
0 1
0 0 1
T

[ ][

]

[ ]
18

]

]


Giải phương trình det (A- λ .I) = 0 ta được các giá trị riêng của ma trận AT A là
λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3= 0.
Với mỗi giá trị riêng λ i, giải phương trình (A - λ i I)x = 0 ta được các vec tơ
riêng tương ứng là:
0
v2 = 0 ,
1

1/ √ 2
v1 = 1/ √ 2 ,
0

[ ]

−1/ √2
v3 = 1/ √ 2
0

[ ]

[]

[

Ta được ma trận VT =

1/ √2 1/ √ 2 0
0
0
1
−1/ √2 1/ √ 2 0

]

Các giá trị kì dị của ma trận A là σ 1= √ 2 ,

√2 0 0
Từ đó ta được ma trận Σ =

[

0

1 0

σ 2 = 1,

σ3 = 0

]

Tìm ma trận U:
1
ui
= σi A v

⇒

u1

1  1 1 0  1/ √2
1


2  0 0 1  1/ √2
=
= 0
0

[ ]
][ ]

[]

1 1 1 0 0
0
u2 =
1 0 0 1
1

[

⇒U=

[ 0]

= 1

[ 10 01]

⇒ Phân tích SVD của ma trận A là:
1 1 0
Σ VT
0
0
1
A=
= U. .
=

[

]

 2 0 0
1 0 

0 1  0 1 0

[ ]

[

1/ √2 1/ √ 2 0
0
0
1
−1/ √2 1/ √ 2 0

]

2.5.3. Định lý 3 (Về dạng khai triển của phân tích SVD)
Mọi ma trận A có dạng khai triển: A= U. Σ. V T =σ 1 u1 vT1 +…..+σ r ur vTr
Với σ i, ui , vi là các giá trị đã được nói đến ở định lí 2.
CHỨNG MINH:
Ta có:

19


T
D r ×r ⋯ 0 v 1
U. Σ. V T =[u1 ...um ] ⋮
⋱ ⋮ ⋮
0
⋯ 0 v Tn

][ ]

[

vT1
⋮
vTr

[]

Dr ×r ⋯ 0
=[u1 ...ur , ur +1 …u m] ⋮
⋱ ⋮
T
0
⋯ 0 v r +1
⋮
vTn

[

]

T
v Tr +1
σ 1 ⋯ 0 v1
= [u1 ...ur ] ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ + [ur +1 ...um ][ 0 ] ⋮
0 ⋯ σ r v Tr
v Tn

][ ]

[

[]

Đặt Ur = [ u1 ,u 2 , ... ,u r ] , Vr = [ v1 , v 2 ,... , v r ]

T
σ 1 ⋯ 0 v1
= [u1 ...ur ] ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
0 ⋯ σ r v Tr

][ ]

[

v T1
= [σ 1 u1 …σ r u r ] ⋮
v Tr

[]

= Ur . D. Vr

=σ 1 u1 vT1 +…..+σ r ur vTr

2.5.4. Định lý 4:
Với ‖ A‖F là chuẩn Frobeneous của ma trận A vàσ 1, σ 2, …. , σ r > 0 là các giá trị kì
dị của A.

‖ A‖F = √ σ 21 +…+ σ 2r

Khi đó:
CHỨNG MINH:

Đầu tiên ta chứng minh tính chất sau:

‖QΣA‖F = ‖ A‖F với QΣ m × m là ma trận trực giao và Am × n là ma trận bất kì.
2

Ta có:‖QΣA‖F = ‖[ QΣ a1 ; … . ; QΣan ]‖F
=‖QΣa1‖E

2

2

+…+‖QΣan‖E
20

2