Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (đại số tuyến tính) phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

NGUYÊN NGỌC HIỀN

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
TOAN CAO CAP
PHAN |

DAI SO TUYEN TINH
[TRUONG DAI HO’

HÀ NỘI - 2004


Mã số

33-335
TK 2004

33-1233-2004.

-


LỜI NĨI ĐẦU
“Tốn cao cấp là một trong những mơn học chính ở những

năm đâu bậc đại học. Đặc trưng của nó là mơn tốn cơ sở mang

tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng, bởi vậy việc học

tập và thi hết mơn Tốn cao cấp như là một thách thức với nhiều
bạn sinh viên. Để giảm bớt khó khăn, lúng túng trong q trình

học tập và giành kết quả tốt trong các kỳ thi học kì chúng tôi

biên soạn cuốn sách này với mong muốn:
- Giúp các bạn nhìn ra những vấn để cốt lõi của giáo trình

Tốn cao cấp 1 (Phần đại số tuyến tính) theo chương trình của Bộ.

Giáo dục và Đào tạo giành cho sinh viên các trường đại học khối
kinh tế hệ dài hạn tập trung.
~ Hướng dẫn gi: các dạng toán cơ bản thường gặp trong
mỗi phân của giáo trình lý thuyết.
Cuốn sách được trình bày dưới dạng các chủ đẻ, bám sát các nội
dung của giáo trình lý thuyết. Trong mỗi chủ đẻ có phần tóm tắt lý
thuyết, phần hướng dẫn giải các bài toán thường gặp và phần bài tập để
bạn đọc tự rèn luyện.
“Trong hàng loạt các ví dụ đẻ cập đến, bạn đọc hãy xem lời

giải của chúng chỉ là một cách giải chứ không phải lời giải mẫu
mực, đặng tìm ra những lời giải khác hay hơn.


Đối tượng chính của cuốn sách này là sinh viên hệ đài hạn
tập trung của trường Đại học Thương Mại. Ngồi r4, chắc chắn

nó sẽ là tài liệu'tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường Đại

học khác thuộc khối kinh tế.

Trong quá trình biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song

khơng thể nào tránh khỏi sai sót. Chúng tơi chờ mong những ý.

kiến đóng góp phê bình ở quý đồng nghiệp và bạn đọc.
k2

—

Tác giả


Chủ đề 1

SỐ PHỨC
§1. Tóm tắt lý thuyết

1) Dinh nghia: Don vi 40 i được định nghĩa bởi: ¡2

=—1

Biểu thức a+bi, trong đó a va be R goi là một số phức,

kí hiệu Z=a+
bi. Tập hợp C= |a+ bi: a và be R }gọi
là tập

hợp các số phức

© Hai sốphức a+bi =e+di c;

J2”
b=d

© Cho Z=a+bi eC thi Z=a-bi goi là số phức liên hợp

của Z

* Cho Z=a+bi #0 tương đương với cho 4(2,6)#0(0,0)

trong mặt phẳng xOy:

. Goi r =|04) và ø là góc định y ‡

hướng giữa ox và tỉa Ø4, ta có:
a=rcosø

b=rsing

b

2

F

?

a

Sốr gọi là mơ dun cia Z ,kfhieu
r =|Z|= Va? +5? = modZ


Gócø xác định sai kém &2z, k e Z, gọi là Ácgumen của

Z và viết p=argZ,

được xác định từ hệ.

[pe

b

„ ta thường lấy 0< ø< 2z

Suy ra a+ bỉ = r(cosø
+ isin Ø)

®

VE trái (*) gọi là dạng đại số của số phức Z.
'Vế phải (*) gọi là dạng lượng giác của Z
2

it

tốn trị

Œ

« Cho Z, a+bi , Z,=c+di , tadinh nghia:
Z,+Z¿ =(a+e)+(b+đ)i

Z,-Z,=(a-0)+(0-@i
Z,.Z; = (ae~=b4)
+ (ad + be)i
Z4

Z,

actbd

+d

(be-ad)i

oad

v6i Z, #0

s_ Nếu cho dưới dạng lượng giée Z, = r,(cos, +isin g,)
Z, =n (cos g, +isin g,) thi

Zi.Z; = nen leos(ø, + ø,)+ ïsin (ø, + ø;}

Ấn = be, — ø,)x rán ø — ø,]

+ Nếu n nguyên dương thì ta định nghĩa Z" =ZZ.....Z(n thừa số)
« Nếu Zz0, quyước Z° =l

* Cho Z=r(cosy+isin g) thì với n nguyên dương:
a) (cos + isin g)" =cosng + ¿sin nọ gọi là cong thie Moivre

b) Can bac n của Z, kí hiệu 4/Z có n giá trị khác nhau

WZ

dcos 282n isin)
n

Ị 20,12

neg

Chú ý: Các phép tốn trên Œ thoả mãn đầy đủ các tính chất
của các phép tốn trênIR, do đó khi biến đổi các biểu thức số
phức ta cổ thể sử dụng tất cả các quy tắc và công thức quen biết
trên IR.

3) Đinh lý: Đalampe (d’ ALEMBERT)

Mọi đa thức bậc n với hệ số phức có đủ n nghiệm phức
(phân biệt hoặc trùng nhau).


§2. Các dạng bài tốn thường gặp

Ví dự 1: Tính
Z=(I+2¡)@-3¡)(e+¡)G~2¡)

Gidi:Tacé:

Z =(2+4i-3i-6i7)(6-4i+31-2i7)
=(8+i)(8—-i)=(64+8i-8/- 17)= 65

Ví dự 2: Tìm mơ đun và Acgumen cita céc số phức:
a)Z=-2+23¡
b) Z=-3-3437

Giải:
a) CáchL :
Tacó
4

—

r=(-2}+ÉV3Ÿ=4
-1

|sino= “2.

>

ont

= modZ=4

sb, kez

le Eston, Bebo

=> nghiệm của hệ ø= 2 shan = My argz =
Cách 2:
“Ta có.

2z


=modZ=4

b) Tương tự

vàlấy argZ=

z-4

=molZ.=6,agZ=ø=
Ví dụ 3: Đưa các số phúc sau vé dang a+bi

az=itt i
l+xi
got.

9 29 Tey = ts

Gidi:

_(#iX+i)_

“(=ii+i)

wz

Iti+i+i

tie

bens V5-i)_ V5 +34
(+¡jM-j)

_ 243 +2¡

V3 1,

3413-

ous


_Éx+x`~x}+@x' ~x)
+ li

4x74 (2-1)

_ Út +1)

(e 41h

+l

x +l
(+i)
Ví dụ 4: Đưa các số phức sau về dạnga + bỉ

b) Tacé V3-i -f-1)) fool

Suy ra:

=) sisn(-2)]


= coo 243 +162) -isin( 2%3 +162}
1 J5
= cos Qn isin 2Qe =_ - 1-3;
3
32.2.
©) Ta có:
1ti/3__——

~14+iv3

iva Je

(V3 -1)V3
+1)

B+I} -2+2ã_
1 V3,
=)

—
Suy ra:

-4°

a
see:
2)
“`.
=
3
3)

=[=L3)»=L9Ƒ

2

2


- cose + 24x) sinfr+24)+1¢{ 08 = +sin2)
=-9+83¡

Ví dụ 5: Đưa các số phức sau về dạng a+ bi
a) Z= (Neos

1à

sn 4]

29

1+i/3 _
bì Z=——
» 2° 530" isin"
Gidi:


eS
(

Sa.

J cos—

6

3)

+isin—

6

Vi du 6: Duta céc sO phitc sau về dạng lượng giác
3)Z=l-eosZ-isinf

b) Z=1+005
"2% + isin

TF

S

9

Z=————~

sn ` ‹|I~ees'))

3”

9



sin?

oi
on
ora
2
3)
sin =

2

$
Vidu 7: Đưa các số phức sau về dạng lượng giác
5

a) Z=44+2/3+2i

b)

z-x6=H2

=4{

1+cos= +isin=

2-2i

+}
z=

°

ey

Giải:

a) Z=4|

Bah

2”?

eng

=4) 2cos?
4 +isinZ | =8cos4| cos
+ isin
12

6

12

12

12

= (JE + V6 { cos + isin 2)
b)

be

2-11)
2
2

«a(-2)xs(-5)
6

"{<@-2°-6-?]
a; isin

= 1] cos 4+
[
12

18


> ; : i : ax(!
# iy

lí

= GP

=8

= -8 = 8(co Z + /sin Z)
Ví dụ 8: Tính

„” — =cos 5.2004 a+isin——x
5.2004
=| ( cos or +isin—=|
6
6
6
6
= cos (835 .27)+ isin (835 .27)= cos 0 + isin 0 =1


1 HƯƠNG

= 2cos

..

MẠI

2cos 668 .2z

0 bod LES
“Í=-]-=Llll'2l=ei]
2"| "mm...
cos
+isin
3.7
3

+cos
7ne + jsin nt
3
3

=2”.2cos tte 2"*!.cos 22
VI

Z=-—

3

= 00s 2+ sin 2% nên

Z'+Z?4+Z?

7


Sản. ĐK...

og 48
tos + isin 2W + cos 4a + isin
23
3
3
3
00s 2n + isin 2x =0

Ví dự 9: Chứng minh rằng:
ở

0<

=i,

lí

¬¬

li

2i

et}
_
2T
ine
PS
VI()ai tia

+

=!(1+2+i+)=¡!1.0=0

Ví dự 10: Tính
a) 4Ÿ\3+¡

3
8 „L1
iso!

oii43

Giải :

a) V3+i=

Rio
6

XE
3)

=2| cos—+isin—

°

Z+k2z

Z+k2z

#Đ3+¡= 2| cos S$ —

+ isin 6

>

„k=0,1,23

=42| cof 2442 ]+isinl = +42 ]] ,&=0,1,2,3

24

”2

2472