Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (đại số tuyến tính) phần 2

Chủ đề 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1. Tóm tắt lý thuyết

1) Cho hệ phương trình tuyến tính

yk HX, Fon
i5

4,,%,inn =,

†4ayX;

đuX, =,

AX, $4, %) tu

4, %,

đụ 4p
A=|ay 4z
đạm - đạy

đụ
đạ
«đạm

qa

=5,
a, ho

4, An

đụ

đạn đạp

im
a,

b,

>;

đạp Py)

Lân lượt gọi là ma trận các hệ số và ma trận mở rộng của hệ (1)
2)Dinh lý (Krơnecker-Capel) Hệ (l)có nghiệm
© r49=r(
Suy ra
Nếu z(4) = r(4) = m thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu r(4) = r(4) =k < n (số ẩn) thì hệ có vơ số nghiệm.

3) Nếu mm = n (số phương trình bằng số ẩn) và z(4) = m thì

(1) là hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi:

105

i=In

trong đó D=det(4),

D, suy ra từ D

bằng cách thay cột thứ ¿ bởi cột số hạng tự do.

4) Nếu b, =6, =...=, =0 thì hệ (1) trở thành hệ thuần
nhất

OX, Fgh tot a,x, =0
Oy), 44%, ton 4%, =0

ý

4,,%, +4,,%, +..+4,,%, =

Hệ (2) ln có ít nhất một nghiệm x,

gọi là nghiệm tầm thường.

Nếu r(4) = n thì hệ (2) có nghiệm duy nhất là nghiệm tắm
thường.
Định lý: Hệ thuần nhất (2) có nghiệm khơng tâm thường.
© r4)Hệ quả:
a) Một hệ tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số

ẩn có nghiệm khơng tẩm thường © định thức của ma trận các

hệ số bằng 0.
b) Nếu hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn
số ẩn thì nó có nghiệm khơng tầm thường.

1a


§2. Các dạng bài toán thường gặp
Vi du 1: Giải hệ

x, +2x, -x,
x, +4, +3x,
a) 2x, +3x,2 - 6x,
3x, +2x, 9x,

=6
=2
=6
=4

8í, -5t, -2t, =-8
9, ~3t,~Ái,= =9
b)
-2t, =-7
Tt, -8t, -t, =—12

Giải: Ta giải hai hệ này nhờ phương pháp Gauss
a) Xét
-1 6)
(1 2-1

6
32] > jo 3 2
8
-6 6|
|o -1 -4 -6
-9 4)
\o -4 -6 -14
1 0 -9 -6)
(1 0 -9 -6
> 0 0-10 -10| - |0 -1 -4 -6
0-1 -4 -6|}
|0 0
1 1
0 0 10 10)
lo 0 0 9
Suy ra hệ đã cho tương đương:
x.
—9,=-6
2 Gux,x)=(2)

ta


b) Xét
8-3

<2

9-3-3

8

Sk

at

3

-T

<8

4-5
20
1-3
5-8

5

8-3-2

|

-12)

3

8

-

8
2

S38

oF

7

-12,

-=§

<1

0 -6
07
-1 -1
06
>
0 -5
1-3
0 -HJ
|0 7

0
-1
0
0

>|

—31,

<2

Ty

J

-1

-12)

2x, + 7x, -x,
a) )x, ~3x, #2x,-x, =2
4x, +x, +3x, -2x,

b)

x, + 2x, +3x,=0
x, —x,
+ 6x, 0
+5x,
x
x, +x, +41,

=§

14
1-3 0 -5)
9
0 6-1 9
>
-5J
|0 1 0 2
14)
(0 0 0 90

> (t,t,
5t,) = (2,3)

Vi du 2: Giải các hệ phương trình

-8

BoB)

=-5

6t,

-2

SN...

Suy ra hệ đã cho tương đương
4

-5


Giải:
a) Xét
27-1

0-1) (0 13-5
2 ~

4=ll-3
2 -1 2by1
4

1

3-2 1J

\O

00002

32-1
13-5

2)
2-7)

\0

3

2-1
13-5

2
2 -7,

'Từ dòng đầu của ma trận cuối suy ra hệ vô nghiệm
b) Xét
1 2 ghi
4ã
1-1
6}
|0 -3 3
A=
>
>
1 0 -5J
|0 -2 2
11
4)
lo -1 1

nfl
3D, =|

2

“|=~!£0

=r(#=r(4)=2<3=

số

in

=> hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 3~2 = I tham số.
Theo trén hệ đã cho tương đương {

=,x,.x,)=(-5ø,a,ø)
Ví dụ 3: Giải các hệ

x,+2x, tây

,øefR

—x,+ầx, Ty —x, =2
x,+tât +7x +5

X †x, -ẦM tx, =2
T4 +x, tốc, +ât =12
tao


Giải:

a) Xét
a3

4-1

13.7

2
50

11-3 I1

1

2

71
5 312
1

4

0

3-1-1

0

6

0

4-4

6

4

3-1-12
03321

04

0

0 22 -2 -4 26

0

-2

01

0 11-1 -2 13

12

¬1

3

0

eee

conto

2

HN

(2,1,0,-1),

-2

3

13-171

244
0

0

00
0

37

214

329

1-53

0

153

00000

0-2 -201

oy
+

ass

1

a
Bug
22

i

¡ i
2 1-1

HH

ee

1 +
mui nh mụn
tấn
+f
ˆ
Sais
Nes

=I
"=5.
#

=G,x,,x;,x/)
b)

"

ma

11

1

0

4

|

1

0

01-53
0

0-301


71a
3
+ Guxix,x,)=G+2ve0~Š
(XuXy,xy,x,)=(C+2,8,0,—
Ví dụ 4: Giải các hệ

4x, +x, TÁN
a){ x, +2x, 42x,
6x, +5x,

+x,
tây,
+7x,

=4

x +x,
`...
bd x, tây,
3x, +7x, -3x,
2x, 48x, —4x,

+2

-=5
=-1

+5x,
+9x,
+2x,

Giải
2) Xét
4 1-4 1

4=|1l2

23

65

afl

4) (0

-7 -12 -11

-1Il2|1
2 2 3-1

07

3)

(0-7
-122 -11 9

0

-7

-12

-il

8

o

0

0

0

1

2

2

3-1

Từ dịng cuối => hệ vơ nghiệm

8


b) Xét

1102 5) (1102
5) (11 0 2
24-15 ¬| |02-1 1H |02-1 1-H
13 05 -3|Ð02 0 3 -8B00 12 3
37-39 -14| |04 -3 3-29 |00-1 1-7
28-42-22 |0 6-4 -2 37 loo 1s 1
110
2
5)
(1102
5
02-1
1 -HỊ |0 2 =1 1-H
00
1 2
3||00
12
3
00 0 3 -4|
|00 03 -4
00 0-3

4)
(00 00
0
x, +x,
2x,
= he
2

=

,x,x,,x,)

Ví dụ Š: Giải các hệ

a)

2x, tx, tx,
x 43x, 3 4x,
x +2x, +5x,
2x, +3x, 3x,

=2
=
=-7
=14


x,

tx,

3x,

b)

+2x,
x,
44x,

Sx,

Giải:
a) Xét
24

1

tx,

tx,

+x,
+2x,
+3x,

2

0

4%,

+x,
+2x,
43x,
-5

-L

=7

-3x,
+6x,
-x,

=-2
=23
=12

-8

0

0-21

52

0-17

49

1
5J |I
3z 1213 s-7|
IJo ¬ 3 41 ¬2|5| Q|1 J1 0 13-31
4-12

23-3

14 |0 -3-s4) lo
2x,

Suy ra hệ , tương đương

4”" cxy

"Từ dịng đầu và dịng cuối =

b)
11111

32

ĐIỆN,
+4xy

AI
=-12
-Hx, =40
Hệ vơ nghiệm.

7

11-3
-2| |0

0122

623)

|0

35433
-! 12

(0

11
1 1 1
7
0 -1 -2 -2 -6 -23
"lo 0 0 0 0
0
00000

=52

9

Pitdsd

|.

-1 -2 -2 -6 -23
1
-1

2

2

6 23

-2

-2

-6 -23


Suy ra hệ tương đương.
x

+x,
—x,

SĨ
=-23

Ty
+2x,

TN
+2x,

TẾ
+6x,

> (6;x,1,x,x,)=(Cl6tz+/8+5y,23-2a~28-67,ø,8));287
Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm

a)Jx

x

-y

+2y

6x

b)4

+z

+20

+ím +l)z

+(m+3),

mx

+my

+(m+lz

=m

(Om+x

+my

+(2m+3)z

=1

mx

+my

=5

+(m-lz

=mỄ—m

=m

Giải:

a) Xét

1-10

4512

0

1

2)

2

(0A0

5

6 0 mề31 m3 mì =m)

1-1
ajo 3
0

0
1

0

0
2

m-=L m-1

- Nếu m=1
thì 3Ð
3D

-2|

|0

0

12

2

~?
7

m'-m+12

lo

0

1

2

2
7

|0 6 mì+l m3 m —mHl

k m

1

=|0

03

0

7|=24z0


=>r(A)=2

,r(A)=3

= hệ vơ nghiệm

-— Nếu m#i thì
3D =Ì0

l

~l

0

3

=2|=3m-l)#0 =r(0=r(4)=3

o6 0 m¬I

= hệ có nghiệm. Vậy hệ đã cho có nghiệm @
b) Xét
m

1
|0

m+l

mị|>|0

m

1)

2m+3
1

1-2m

m°+m

1

2m?

0

-2

0

m#0

và

m#-Ithì

* Nếu

nghiệm.
* Nếu
m =0 thì
10 3
4o|0

00-20
*Néu m=—1 thi
0

m

0

-2

0

—m

1

1-2m

r(4)=r(4)=3 =hệ

0|=r(4)=r(2)=2
= hệ có nghiện:

3

3

1

2|l0

00-20)
=> hệ võ nghiệm.

„(1Ì

m+Ì

1

01

21

mm

mm-]l
—m

0

4|0

m

m#1

1113

0

1 2|—r(4=2

(0004

có


Tóm lại hệ có nghiệm V m # —1
Ví dụ 7: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

-x -2y
+Áz
-2x +y - +
-x +8y
+6.
5y +(l0-a)z

a)

ax
| TY
3x
(@-a)x

-3y
TỜ
ty
+6y

+(a-lz
#32
-2z

+(@-Ùz

Giải:

=4
=8
-=2
=-2
=1
=3

2
=-6

a) Cộng dòng bốn vào dịng hai và cộng dịng đầu vào dịng
ba thì có:
-l -2.
4
4)
(-1-2
4
4
-2 1
a@
8] > |-2 6
0
6
-1 8
6
2|

]-2 6
10
6
0 5 10-z -2j
(0 5 10-a -2

-2

6

10

6

0

5

10-a

-2

Suy ra hệ đã cho tương đương,
"1S


x

-2y

+4z

-2x +y - +l0z
Sy +(10-a)z
ml

=2

+2

6

0

5

4

fl

10|=|0
10-

0

6 nghiÂm duy nhat <>

2

4

10

2

5

10-

|=10a-9040

~

aƠ9

b) Cng dòng bốn vào dòng đâu và cộng dòng hai vào dịng
ba thì có:
a

-3

a-l

7

-1

2

=

BS

3

1

-2

-2

2-a

6

2-a

-6

23

1

¬

2

3

1

1

-1

2

3

3

2

3

2-a

6

1

2-a

-6

1

.y - 2 3 3
0 0 0 0
2-a 6 2-a -6

Suy ra hé tuong duong
23x
+3y
+z
-x
(2-a)x

+2y
+6y

+ây
+(2-a)z

có nghiệm duy nhat <>
„ra


2

3

1

2:

và

7

Dp=|-I 2 3|=Ð1

2
3
b-a 6 2-al
|0 10-2a 8-44
14(I+4)#0

©

3x
a) 42x
4x
x
b) 43x,

+x,

tx,

2x, —4x,

3°1

+(m -6)x,

-2

¬|2

0

-7

4
0

m-1

—]

-Z|2|2

0

m+3

1

-L
-2
0 -2m+1

=4

=ốx,

=lLl

-3
-l

+x,
72x,

=8+m

7?

0

mat

4

=f

2

-2-14

0

7

a#-l


0

|Z7z0

=r(0=2

Do đó nếu -2m+l=0

@

m

;

thì các định thức con.

cấp 3 của ma trận cuối déu bằng 0 = z(4)=r(=2<3=
sốẩn

=>

Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 1 tham số

b) Xét
_

A=|3

12

¬3

1

1

1

-2

-2

12

4|olšs5

2-4 m'-6 -6 m+8)

12
ali

-3

1 -2\

-l

0

0

8 8 m-24 0 m-4)

Néu m=4 thi 20: |

Hl

=

-3

1

-5

(8 8 m-240

~2

0

0

m4,

(12

-3

1 -2

|Bl1 1

-1

0

0

(0 0 m-16 0 m-4

—2|

g7 2.0 và các ah he on

cấp 3 của B đều bằng 0 =z(4)=z(9=2<4=

Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.

số ẩn

Ví dụ 9: Tìm mm để hệ sau có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.

2x
=x
a)
3x
mx

tây
+2y
ty
3y

+z
+3z
-22
+(m=l)z

B

=


10x
b)

+l2y

+(Œ-mz

4(1-m)x

=0

+(2-2m)z

1
2

Giải.

a) Xét

+

>

0

7

7

7

0

2m-3

4m-l

3m+7.

-1

2

3

3

0

1

1

1

0

2m-3

4m-1

3m+7

0

0

0

0

Suy ra hệ đã cho tương đương,

—x.

+23,
x

+âXy

+x

(2m+2)x,
- Hé 6 nghiệm duy nhất
t^n

“h2

¬

=3
=1

3

3

0

1

1

1

0

0

2m+2

m+10

0

0

0

0

=m+10

4


@D=|0

bi 2

3

1
1 |==-Am+)
#0 me-1
0 0 2m+2

- Khi m=-1 thi 3D) =

Li 2

vaD,=|0

1 I|=-9#0=r(4)=2
; r(4)=3= hệ vô nghiệm

00
b) Xét định thức của ma trận các hệ số, cộng vào cột hai cột

ba thi:

10

lal|4|=ÌÌ-m
0

12_

09

7m
2-2m|

I-m

m-1

=m) 10

10.

=

7-m

2-2m

2-2m|

0

m-1

m

19-m

0

219-m
AT "0cm 2 (+m)

Nếu z # +1 thì hệ đã cho là hệ Cramer - có nghiệm duy nhất
Nếu m =1 thìhệlà
Nếu

10x

2x
Ox

ly +l2y +6

=

40x

=l

+0y

0

+0y

+0z

+0z =-2

vơ nghiệm

œ= —l thì hệ đã cho là:

+l2y

+0y
+2y

+8z

+42

-2z

=0

=1
1


1012

Z-|2

0

8

0

2-2

06-6
allo

4

0

5640

5640

1fsl204
1fol1 024

-2) |4

2,60

-2| foo
2
2 ;I2|19

213 0)

0 2
2
25

=> hé vonghiem

Vi dy 10: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm

x

+(-ay +z =2
~+ay
=2
+ấy
+âz =2
+(6-ajy +4 =4

a) Xét
1 Ia
2

-la02

¬

5

32

-L

6a

4 4

0

a-3

-2

-2

07-2

5

6

07-242

5

6

Đổi chỗ cột hai và cột ba =>
11
isa 2
0

=9

00
199

ty
-z
Hay +6
+7y +az
+ấy +@-9z =4

12) (ita
lt 2) fl

-2

+

x
ý) [oe
sx
2x

5

=4:

=g|

0

0

7-2a

6

0

=|

ta

1

2

a-3

-2

-2

07-24
5 6
0

0

LT

yee

0

a-l1

,|.”E “z”

22

00

=1
j

W


Nếu =1

=r(4)=2

va 3D =|0

I1
0

2

=1 -l|=-l#0

0

1

=r(9=3

= Hệ vô nghiệm

Néu a1 thisea 3D, =
=> r(A)=r(A)=3

=> Hé 6 nghiệm duy nhất

b) Xét

=qe

1

-2

-2

|2

4

7

5

7

3

3

17

a+5

15
8

Ì
|\


_ [i012
8 0) (5 6 4 0)
(5.6
4 0)
4=|2 0 4 1/9/20 4 1Jo}1 02 5
0 2-2-2)
(42,690) |2 130,
06-6

-2} foo o 2
2
2
¬llỎ0 2
110922
01-1 -1| |0 1-1-1

= hệ vơ nghiệm

Vi du 10: Tim a để hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm

a)

x
&

+(-ay

-(tay

=x

+(6-đ)y +4z =4

-2x

+

+z

=2
=2

x -2y
foe +9

+3z =2

5 +Dy

-z
+6

+az

2x +5y +@-39z

=4

Giải:
a) Xét
1 La12)
(lta
l 2) (1 ba 1 2
2 -l-a 02] |0 a-3
-2 -2| |0 a-3 -2 -2
-2 5
- 6ø

32|
|0 1-z s
44] 07-2 5

6| |0 7-z
5 6
6] |0 0 00

Đổi chỗ cột hai và cột ba =>

11
lêg
0 -2 a-3
la
s 1-2:
0 00
122

2

-2
6|
0

[g 9

#