Bài tập trắc nghiệm tích phân và ứng dụng của tích phân vận dụng cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.37 MB, 125 trang )
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá
trị của tích phân
1
f ' x dx bằng
0
1
3
C. 1.
D. .
.
2
2
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 1. Biết rằng
A. 0.
1
e
0
x
B.
2018
b 2018 .
f x f x dx ae b. Tính Q a
B. Q 2 .
A. Q 2 2017 1 .
C. Q 0 .
D. Q 2 2017 1 .
Câu 3. Cho các hàm số y f x , y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
2
2
f ' x g x dx 2,
0
0
2
0
B. I 1.
A. I 1.
C. I 5.
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
D. I 6.
x2
0
1
A. f .
4
2
/
f x g ' x dx 3. Tính tích phân I f x g x dx .
1 1
B. f .
4 2
1
f t dt x .sin x . Tính f .
4
1
D. f 1 .
4
2
1
C. f 1.
4
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
x
a
f t
dt 6 2 x với mọi
t2
x a. Tính f 4 .
A. f 4 2.
B. f 4 4.
C. f 4 8.
D. f 4 16.
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
Câu 6. Cho
2017
f x dx 2 . Tính tích phân I
0
A. I 1.
e 2017 1
0
B. I 2.
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên và
x
. f ln x 2 1 dx .
x 1
2
C. I 4.
9
f
x dx 4,
x
1
D. I 5.
2
f sin x cos xdx 2. Tính tích
0
3
phân I f x dx .
0
A. I 2.
B. I 6.
C. I 4.
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và
4
D. I 10.
1
f tan x dx 4,
0
0
x 2 f x
dx 2. Tính tích
x 2 1
1
phân I f x dx .
0
A. I 6.
B. I 2.
C. I 3.
1
D. I 1.
Câu 9. Cho hàm số
f x liên tục trên
và thỏa mãn
4
tan x. f cos x dx 1,
2
0
e2
e
f ln x
2
f 2 x
dx .
x
2
dx 1. Tính tích phân I
x ln x
1
4
B. I 2.
C. I 3.
1
Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ;2 , thỏa
2
A. I 1.
D. I 4.
2
f x
1
1
dx .
f x f x 2 2 2. Tính tích phân I 2
x
1
x
x
1
2
3
A. I .
2
5
C. I .
2
B. I 2.
D. I 3.
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi
x.
Tính I
3
2
f x d x .
3
2
B. I 0 .
A. I 6 .
C. I 2 .
D. I 6 .
Câu 12. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x 4 x 3 2 x 1 với
5
mọi x . Tích phân
8
f x dx bằng
2
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
Câu 13. Cho các hàm số f x , g x liên tục trên 0;1, thỏa m. f x n. f 1 x g x với
m, n là số thực khác 0 và
1
0
1
f x dx g x dx 1. Tính m n.
0
1
B. m n .
C. m n 1.
D. m n 2.
2
Câu 14. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1, thỏa mãn f ' x f ' 1 x với mọi
A. m n 0.
1
x 0;1. Biết rằng f 0 1, f 1 41. Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 41.
B. I 21.
C. I 41.
D. I 42.
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f x f x x với mọi x .
3
2
Tính I f x dx .
0
4
A. I .
5
5
C. I .
4
4
B. I .
5
2
5
D. I .
4
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
Câu 16. Cho hàm số f x thỏa mãn
3
0
3
f x
f x
x . f x .e dx 8 và f 3 ln 3 . Tính I e dx .
0
B. I 11.
A. I 1.
C. I 8 ln 3.
D. I 8 ln 3.
Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
2
2
f 0 3. Tích phân
2
f ' x cos 2 xdx 10 và
0
f x sin 2 xdx bằng
0
B. I 7.
A. I 13.
C. I 7.
D. I 13.
Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
2
f x 1 dx 3 và
1
f 1 4. Tích phân
1
x
3
f ' x 2 dx bằng
0
1
1
B. .
C. .
D. 1.
2
2
Câu 19. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f 0 1
A. 1.
và f x f 2 x e 2 x
2
2
4 x
với mọi x 0;2 . Tính tích phân I
0
A. I
14
.
3
B. I
Câu 20. Cho biểu thức S ln 1
32
.
5
C. I
16
.
3
x 3 3x 2 f ' x
f x
dx .
D. I
16
.
5
2 cot x
, với số thực m 0. Chọn khẳng định
x
e
x
2
sin
2
d
n
2
4 m
2
đúng trong các khẳng định sau.
A. S 5.
C. S 2 cot
2 ln sin
.
4 m 2
4 m 2
B. S 9.
D. S 2 tan
2 ln
.
4 m 2
4 m 2
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
Câu 21. Biết
2
ln 9 x dx a ln 5 b ln 2 c
2
với a, b, c . Tính P a b c .
1
B. P 18.
A. P 13.
1
Câu 22. Biết
0
C. P 26.
D. P 34.
x 2 ex 2
1
1
e
dx
.ln p
với m, n, p là các số nguyên
m e ln n
e
e.2 x
3
x
3
x
dương. Tính tổng P m n p.
B. P 6.
A. P 5.
Câu 23. Biết
2
0
Tính P ac b.
5
A. P .
4
C. P 7.
x 2 2 x cos x cos x 1 sin x
x cos x
dx a 2 b ln
D. P 8.
c
với a, b, c là các số hữu tỉ.
3
3
B. P .
2
C. P 2.
3
D. P 3.
ln 8
Câu 24. Biết
ln 3
1
e
2x
1 b
dx 1 ln a a b với a, b . Tính P a b.
a
2
1 e
x
B. P 1.
A. P 1.
2
Câu 25. Biết
dx
x 1
x x x 1
1
4
0
sin 4 x
2
2
cos x 1 sin x 1
A. P 10.
Câu 27. Biết
1
a 2 b 6 c
với a, b, c . Tính P a b c .
6
C. P 14.
2 x
2 x
B. P 2.
e
Câu 29. Biết I
1
C. P 3.
6
D. P 4.
ln x ln x
1
b
với a, b . Tính P b a.
dx
2
a
ln x x 1
e 2
3
B. P 6.
D. P 3.
2
A. P 8.
C. P 3.
dx a b 2 c với a, b, c . Tính P a b c .
A. P 1.
6
D. P 36.
1
x e
dx a e b e c với a, b, c . Tính P a b c .
4x
xe 2 x
B. P 4.
2
0
Câu 30. Biết
dx
D. P 46 .
x
A. P 5.
Câu 28. Biết
C. P 24 .
B. P 12.
4
D. P 5.
a b c với a, b, c . Tính P a b c .
B. P 18 .
A. P 12 .
Câu 26. Biết
C. P 3.
x cos x
1 x 2 x
A. P 37.
dx a
C. P 6.
D. P 10.
3
2
với a, b, c là các số nguyên. Tính P a b c .
b
c
B. P 35.
C. P 35.
D. P 41.
Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh
2
x 1
khi x 0
Câu 31. Cho hàm số f x
Tính
tích
phân
I
.
2x
f x dx .
e
khi x 0
1
2
2
2
11e 2 11
3e 1
7e 1
9e 1
B. I
C. I
D. I
A. I
.
.
.
.
2
2
2
2e 2
2e
2e
2e
1
2
Câu 32. Cho hàm số f x xác định trên \
, f 0 1 và f 1 2.
, thỏa f x
2
2 x 1
Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
A. ln15.
Câu 33. Cho hàm số
B. 2 ln15.
C. 3 ln15.
D. 4 ln15.
f x xác định trên \ 2;1, thỏa mãn
f x
1
,
x x 2
2
1
f 3 f 3 0 và f 0 . Giá trị biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng
3
1
1
1
1
1 8
A. ln 20 .
B. ln 2 .
C. ln 80 1.
D. ln 1.
3 5
3
3
3
3
Câu 34. Cho hàm số
f x xác định trên 0; \ e , thỏa mãn
f x
1
1
f 2 ln 6 và f e 2 3. Giá trị biểu thức f f e 3 bằng
e
e
A. 3 ln 2 1.
B. 2 ln 2.
C. 3 ln 2 1.
4
D. ln 2 3.
1
,
x ln x 1
1
với x \ k , k .
1 sin 2 x
4
11
Biết F 0 1, F 0 , tính giá trị biểu thức P F F
.
12
12
Câu 35. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
B. P 2 3.
A. P 0.
C. P 1.
D. Không tồn tại P .
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
Câu 36. Cho hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 . Biết rằng
0
f x dx 2 và
2
2
1
4
f 2 x dx 4. Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 10.
B. I 6.
C. I 6.
D. I 10.
Câu 37. Cho hàm số f x là hàm số chẵn, liên tục trên 1;6 . Biết rằng
2
f x dx 8 và
1
3
1
6
f 2 x dx 3. Tính tích phân I f x dx .
1
A. I 2.
B. I 5.
C. I 11.
D. I 14.
Câu 38. Cho hàm số f x liên tục trên 3;7 , thỏa mãn f x f 10 x với mọi x 3;7 và
7
3
7
f x dx 4. Tính tích phân I xf x dx .
3
A. I 20.
B. I 40.
C. I 60.
D. I 80.
Câu 39. Cho hàm số y f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn ; , thỏa mãn
0
f x
dx bằng
2018 x 1
f x dx 2018. Giá trị của tích phân I
A. I 0.
Câu 40. Biết
B. I
1
.
2018
C. I 2018.
D. I 4036.
x sin 2018 x
a
với a, b . Tính P 2a b.
d
x
sin 2018 x cos 2018 x
b
0
A. P 6.
B. P 8.
C. P 10.
D. P 12.
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên ; và thỏa mãn 2 f x f x cos x . Tính
2 2
2
tích phân I f x dx .
2
3
C. I .
2
2
B. I .
3
A. I 2.
D. I 2.
Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và thỏa mãn 2 f x 3 f x
2
Tính tích phân I f x dx .
2
A. I .
10
B. I
.
20
C. I
5
.
20
D. I
.
10
1
.
4 x2
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn x 2 f x f 1 x 2 x x 4 .
1
Tính tích phân I f x dx .
0
1
A. I .
2
3
B. I .
5
2
C. I .
3
4
D. I .
3
1
1
Câu 44. Cho hàm số f x liên tục trên ;2 và thỏa mãn f x 2 f 3 x . Tính tích
x
2
2
f x
dx .
phân I
x
1
3
B. I .
2
5
C. I .
2
2
1
A. I .
2
7
D. I .
2
Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Tính
1
tích phân I f x dx .
0
A.
.
20
B.
.
16
C.
.
6
D.
.
4
Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa f x f x 3 x 5 6 x 2 . Biết rằng f 0 2, tính f 2 2.
A. f 2 2 64.
B. f 2 2 81.
C. f 2 2 100.
D. f 2 2 144.
Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1; ,
thỏa f 1 0, e
2
. f x 4 x 2 4 x 1 với mọi x 1; . Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. 0 f 4 1.
C. 1 f 4 2.
D. 2 f 4 3.
A. 1 f 4 0.
2 f x
Câu 48. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 15 x 4 12 x với mọi x và
f 0 f 0 1. Giá trị của f 2 1 bằng
2
5
9
B. .
C. 8.
D. 10.
.
2
2
Câu 49. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn
A.
f x 0, x 1;2 . Biết rằng
2
f x dx 10 và
1
A. f 2 20.
2
1
B. f 2 10.
f x
f x
dx ln 2. Tính f 2.
C. f 2 10.
D. f 2 20.
Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1 , thỏa mãn f x 0, x và
f ' x 2 f x 0 . Biết rằng f 1 1 , giá trị của f 1 bằng
A. e 2 .
B. e 3 .
C. e 4 .
D. 3.
Câu 51. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
f x 0, x
x 2
f ' x e f x , x .
1
f 0
2
Tính giá trị của f ln 2.
6
1
A. f ln 2 .
4
1
B. f ln 2 .
3
1
1
C. f ln 2 ln 2 .
D. f ln 2 ln 2 2 .
2
2
Câu 52. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , biết f ' x 2 x 3 f 2 x 0,
1
f x 0 với mọi x 0 và f 1 . Tính P 1 f 1 f 2 ... f 2018.
6
1009
2019
3029
4039
A. P
B. P
C. P
D. P
.
.
.
.
2020
2020
2020
2020
Câu 53. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 3 , thỏa mãn f x 1, f 0 0 và
f x x 2 1 2 x f x 1. Giá trị của f
A. 0.
3 bằng
B. 3.
C. 7.
D. 9.
Câu 54. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 1;4 , đồng biến trên 1;4 , thoản mãn
4
3
x 2 xf x f x với mọi x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính tích phân I f x dx .
2
1
2
9
1188
D. I .
.
2
45
Câu 55. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0; , thỏa f x . f ' x cos x 1 f 2 x
2
A. I
1186
.
45
B. I
1187
.
45
C. I
với mọi x 0; và f 0 3. Giá trị của f bằng
2
2
B. 1.
C. 2.
A. 0.
D. 2 2.
Câu 56. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f x . f x 2 x f 2 x 1 với
mọi x 0;3 và f 0 0. Giá trị của f 3 bằng
A. 0.
B. 1.
C.
D. 3 11.
3.
Câu 57. Cho hàm số f x có đạo hàm khơng âm trên 0;1, thỏa mãn f x 0 với mọi
x 0;1 và f x . f ' x . x 2 1 1 f x . Biết f 0 2, hãy chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau đây.
3
5
7
5
B. 2 f 1 .
C. f 1 3.
D. 3 f 1 .
A. f 1 2.
2
2
2
2
Câu 58. Cho hàm số f x liên tục trên \ 0; 1, thỏa mãn x x 1. f x f x x 2 x
4
2
3
với mọi x \ 0; 1 và f 1 2 ln 2. Biết f 2 a b ln 3 với a, b , tính P a 2 b 2 .
1
3
13
9
A. P .
B. P .
C. P .
D. P .
2
4
2
4
Câu 59. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 1 và
f x 2 f x
với mọi x 0;1. Đặt P f 1 f 0 , khẳng định nào sau đây đúng?
f x 0
B. 1 P 0.
C. 0 P 1.
D. 1 P 2.
A. 2 P 1.
Câu 60. Cho hai hàm số
f x và g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 , thỏa mãn
2
f ' 0. f ' 2 0 và g x . f ' x x x 2 e x . Tính tích phân I f x . g ' x dx .
0
A. I 4.
B. I 4.
C. I e 2.
7
D. I 2 e.
Câu 61. Cho hàm số
f x 0 xác định và có đạo hàm trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
g x 1 2018 f t dt
Tính
.
I
0
0
g x f 2 x
1009
A. I
B. I 505.
.
2
x
g x dx .
2019
.
2
f 1 g 1 4
Câu 62. Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;4 , thỏa mãn
g x xf x với mọi
f x xg x
C. I
1011
.
2
D. I
4
x 1;4 . Tính tích phân I f x g x dx .
1
B. I 4 ln 2.
A. I 3 ln 2.
C. I 6 ln 2.
D. I 8 ln 2.
Câu 63. Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên 1;2 , thỏa mãn f 1 g 1 0 và
x
g x 2017 x x 1 f x
x 12
, x 1;2 .
3
x
2
g x f x 2018 x
x 1
2
x
x 1
Tính tích phân I
g x
f x dx .
x 1
x
1
1
3
A. I .
B. I 1.
C. I .
2
2
D. I 2.
f 3 x . f x 1
Câu 64. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3, thỏa mãn
với mọi
f x 1
3
xf ' x
1
x 0;3 và f 0 . Tính tích phân I
dx .
2
2
2
0 1 f 3 x . f x
1
3
5
B. I 1.
C. I .
D. I .
A. I .
2
2
2
Câu 65. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn af b bf a 1 với mọi
1
a, b 0;1. Tính tích phân I f x dx .
0
1
A. I .
2
1
B. I .
4
C. I
.
2
D. I
.
4
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thoả mãn 3 f x xf x x 2018 với
1
mọi x 0;1. Tính I f x dx .
0
1
A. I
.
2018 2021
Câu
67.
Cho
B. I
hàm
số
1
.
2019 2020
f x
có
C. I
đạo
hàm
1
.
2019 2021
liên
tục
D. I
trên
0;4 ,
f x f x e x 2 x 1 với mọi x 0;4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. e 4 f 4 f 0
26
.
3
B. e 4 f 4 f 0 3e.
C. e 4 f 4 f 0 e 4 1.
D. e 4 f 4 f 0 3.
8
1
.
2018 2019
thỏa
mãn
Câu 68. Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f ' x 2018 f x 2018 x 2017 e 2018 x với
mọi x và f 0 2018. Tính giá trị f 1.
A. f 1 2018e 2018 . B. f 1 2017e 2018 .
C. f 1 2018e 2018 .
D. f 1 2019e 2018 .
Câu 69. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f x xf x 2 xe x và
2
f 0 2. Tính f 1.
1
B. f 1 .
e
A. f 1 e.
2
C. f 1 .
e
2
D. f 1 .
e
f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn hệ thức
2
x
f x tan xf x
. Biết rằng 3 f f a 3 b ln 3 trong đó a, b . Tính giá
3
3
6
cos x
Câu 70. Cho hàm số
trị của biểu thức P a b.
2
4
A. P .
B. P .
9
9
7
C. P .
9
D. P
14
.
9
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
Câu 71. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa
2
2
f
0
2
2
.
x 2 2 f x sin x dx
4
D. I
.
2
2
2
Tính tích phân I f x dx .
0
A. I 0.
B. I
.
4
C. I 1.
Câu 72. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa
1
0
2
f x 2 ln 2
1
2
dx 2 f x ln x 1 dx .
e
0
1
Tích phân I f x dx .
0
e
A. I ln .
4
B. I ln
4
.
e
C. I ln
e
.
2
D. I ln
2
.
e
Câu 73. Cho hàm số f x có đạo liên tục trên 0;1, f x và f ' x đều nhận giá trị dương
trên 0;1
và thỏa mãn
f 0 2
và
1
0
1
1
f ' x . f x 2 1 dx 2
0
f ' x . f x dx .
Tính
3
I f x dx .
0
15
15
17
19
B. I .
C. I .
D. I .
.
4
2
2
2
Câu 74. Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 1,
A. I
1
1
1
2
3
1
3 f ' x . f x dx 2 f ' x . f x dx . Tính I f x dx .
9
0
0
0
3
5
5
A. I .
B. I .
C. I .
4
2
6
9
7
D. I .
6
Câu 75. Cho hàm số
f 1 f 0 1 và
1
y f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1, thỏa
1
f ' x f x dx . Giá trị của tích phân
f ' x f 2 x 1 dx 2
0
1
f x
3
dx
0
0
bằng
A.
3
.
2
B.
5 33 27
.
18
C.
5 33
.
18
D.
5 33 54
.
18
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2
Kỹ thuật Holder
1
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
0
1
f x
2
dx 4 . Giá trị của tích phân
0
1
f x
3
1
f x dx xf x dx 1 và
0
dx bằng
0
A. 1.
B. 8.
C. 10.
D. 80.
Câu 77. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
1
0
1
0
f x dx 5. Giá trị của tích phân
2
A.
5
.
6
B.
1
f x
3
0
dx bằng
0
6
.
5
C. 8.
D. 10.
Câu 78. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
1
xf 2 x dx x 2 f x dx
0
1
Giá trị của tích phân
x f x dx 1 và
xf x dx
0
1
.
16
f x dx bằng
0
A.
1
.
5
B.
1
.
4
C.
1
.
3
D.
2
.
5
D.
3
.
2
Câu 79. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;8 và thỏa mãn
2
1
Tích phân
8
2
8
1
1
2
f x 3 dx 2 f x 3 dx 2 f x dx 38 .
3
15
f x dx bằng
1
A.
8 ln 2
.
27
B.
Câu 80. Cho hàm số
1
f x
2
dx 7 và
0
1
x
2
0
A. 1 .
1
x
0
5
f x dx
11
và
78
A. f 2 2.
1
C.
4
.
3
f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1
f x dx . Tích phân
3
B.
Câu 81. Cho hàm số
ln 2
.
27
7
.
5
1
f 1 0 ,
f x dx bằng
0
C.
7
.
4
D. 4 .
f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
f x d f x
0
B. f 2
f 1 1 ,
4
. Tính f 2.
13
251
.
7
C. f 2
10
256
.
7
D. f 2
261
.
7
Câu 82. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 2, f 0 0 và
1
0
1
2
f ' x dx 4. . Tích phân
f
x 2018 x dx . bằng
3
0
B. 1011.
A. 0.
C. 2018.
D. 2022.
2
Câu 83. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 , thỏa mãn
2
x 1
1
f 2 0 và
2
f ' x
2
dx 7. Tích phân
1
A.
7
.
20
2
1
f x dx ,
3
f x dx bằng
1
7
C. .
5
7
.
20
B.
D.
7
.
5
Câu 84. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 1,
1
f ' x
2
dx
0
và
1
1
2
f x dx 5 . Tích phân
9
5
f x dx bằng
0
0
1
B. I .
4
1
A. I .
5
3
D. I .
4
3
C. I .
5
Câu 85. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 0,
1
f ' x cos x dx
0
A.
1
.
và
2
1
1
f 2 x dx . Tích phân
2
0
2
.
B.
1
f x dx bằng
0
C. .
D.
Câu 86. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa mãn
3
.
2
f ' x sin xdx 1 và
0
f 2 x dx
0
2
. Tích phân
6
A. .
xf x dx
bằng
0
4
B. .
C.
2
.
D.
Câu 87. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa f 1 0,
1
0
1
0
x
1
cos f x dx . Tích phân
2
2
A.
1
.
1
2
f ' x dx và
8
2
f x dx bằng
0
2
.
B.
4
.
C.
.
2
Câu 88. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
D. .
1
f ' x sin x dx và
0
1
f 2 x dx 2. Tích phân
1
0
0
6
A. .
x
f dx bằng
2
4
B. .
C.
4
.
D.
Câu 89. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; , thỏa f 0,
2
2
x
sin x x f 2 dx 6.
0
Tích phân
2
f x
3
dx bằng
0
11
6
.
2
0
f 2 x dx 3 và
2
A. .
B. 0.
C. 3.
D. 9.
Câu 90. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn f 1 0 và
1
f ' x
2
0
1
1
dx x 1 e x f x dx
0
e 2 1
. Tính tích phân I f x dx .
4
0
e 1
e
e2
.
B. I .
C. I e 2.
D. I .
A. I
2
2
4
Câu 91. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 0, f 1 1 và
1
0
2
f ' x
dx 1 . Tích phân
e 1
ex
A.
e 2
.
e 1
B.
1
f x dx bằng
0
e 1
.
e 2
D.
1
e 1e 2
C. 1.
.
Câu 92. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 0, f 1 1 và
1
0
2
1 x 2 f ' x dx
1
ln 1 2
. Tích phân
1
0
f x
1 x 2
dx bằng
2 1 2
1 2
1
B.
D. 2 1 ln 1 2 .
ln 1 2 . C. ln 1 2 .
ln 1 2 .
2
2
2
Câu 93. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;1, thỏa mãn f 1 0,
A.
1
1
1
2
f ' x dx 112 và
B. I
Câu 94. Cho hàm số
1
0
1
x 2 f x dx
1
84
A. I .
5
16
. Tính tích phân I f x dx .
3
1
35
.
2
C. I
35
.
4
D. I
168
.
5
f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
2
f ' x dx 3 2 ln 2 và
2
f x
1
1
3
dx 2 ln 2 . Tích phân
2
2
x 1
0
f 1 0,
f x dx bằng
0
1 2 ln 2
3 2 ln 2
3 4 ln 2
1 ln 2
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
2
2
2
Câu 95. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 , đồng biến trên 1;2 , thỏa mãn
A.
f 1 0 ,
2
f x
2
2
dx 2 và
1
A.
f x .f ' x dx 1. Tích phân
B.
f x dx bằng
1
1
2
.
2
2
C. 2.
2.
D. 2 2.
1
Câu 96. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 1 0 ,
f 2 x dx 1
0
và
1
f x
0
2
3
f 2 x dx . Giá trị của f
4
2
2 bằng
3 1 2
3 1 2
3
3
B. .
C.
D.
A. .
.
.
2
2
2
2
Câu 97. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;2 , thỏa mãn f 2 1 ,
2
x 2 f x dx
0
3
A. .
2
8
và
15
2
0
32
f ' x dx 5 . Giá trị của tích phân
4
2
B. .
3
7
C. .
3
12
2
f x dx bằng
0
D.
7
.
3
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM
Câu 98. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên 0;1, thỏa
mãn f 1 ef 0 và
1
0
1
2
dx
f ' x dx 2. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2
f x 0
2e
.
e 1
A. f 1
B. f 1
2 e 2
e 1
C. f 1
.
2e 2
.
e 2 1
D. f 1
2 e 2
e 1
.
Câu 99. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0;1, có đạo hàm dương và liên tục trên
0;1, thỏa mãn f 0 1 và
1
1
1
f 3 x 4 f ' x 3 dx 3 f ' x f 2 x dx . Tính I f x dx .
0
0
0
e 1
e 2 1
.
D. I
.
2
2
Câu 100. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0;1, có đạo hàm dương liên và tục trên
A. I 2
B. I 2 e 2 1.
e 1 .
0;1, thỏa mãn
1
0
C. I
xf ' x
1
dx 1 và f 0 1, f 1 e 2 . Tính giá trị của f .
2
f x
1
A. f 1.
2
1
C. f e .
2
1
B. f 4.
2
1
D. f e.
2
Câu 101. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1
f x f ' x
2
dx 1 và
0
1
f 0 1, f 1 3. Tính giá trị của f .
2
1
1
B. f 3.
A. f 2.
2
2
1
D. f e.
2
1
C. f e .
2
Câu 102. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f ' x liên tục trên 1;2 , thỏa
mãn
2
1
2
f ' x
dx 24 và f 1 1, f 2 16. Tính giá trị của f
xf x
A. f
2 1.
B. f
2
C. f
2.
2 .
2 2.
D. f
2 4.
Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân
Câu 103. Cho hàm số f x liên tục trên , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x . f x e x x
và f 2 2e, f 0 e 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f 2 4 e 1.
B. f 2 2e e 2 .
C. f 2 e 2 2e.
D. f 2 12.
Câu 104. Cho hàm số f x dương và liên tục trên 1;3, thỏa max f x 2, min f x
1;3
1;3
3
3
1
1
biểu thức S f x dx .
A.
3
.
5
1
và
2
3
1
dx đạt giá trị lớn nhất, khi đó hãy tính I f x dx .
f x
1
B.
7
.
5
C.
7
.
2
D.
5
.
2
Câu 105. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f x f x 1 với mọi
x và f 0 0. Giá trị lớn nhất của f 1 bằng
A. e 1.
B.
e 1
.
e
C.
13
e
.
e 1
D. e.
Câu 106. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên 0;1, thỏa
1
mãn f 1 2018 f 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M
0
B. 2 ln 2018.
A. ln 2018.
C. m 2e.
1
1
Câu 107. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 và
1
2
1 x
0
nhỏ nhật của biểu thức
1
f x
2
2
dx f x dx bằng
2
f x
0
D. m 2018e.
1
f x dx . Giá trị
3
dx f 0 bằng
0
A.
1
.
3
B.
2
.
3
1
C. .
3
2
D. .
3
1
Câu 108. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
xf x dx 0
và max f x 1.
[0; 1]
0
Tích phân
1
e
x
f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
0
5
A. ; .
4
5
C. ;
4
3
B. ; e 1.
2
Câu 109. Cho hàm số
3
.
2
D. e 1; .
f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 0;1. Đặt
x
g x 1 f t dt . Biết g x
f x với mọi x 0;1 , tích phân
0
1
0
1
dx có giá trị lớn nhất
g x
bằng
A.
1
.
3
B.
1
.
2
C.
2
.
2
D. 1.
Câu 110. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
x
f 2 x 1 3 f t dt g x với mọi x 0;1 , tích phân
0
A.
4
.
3
B.
7
.
4
C.
1
g x dx có giá trị lớn nhất bằng
0
9
.
5
D.
5
.
2
Câu 111. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1, thỏa mãn
1
x
f x 2018 2 f t dt với mọi x 0;1. Biết giá trị lớn nhất của tích phân
f x dx có
0
0
dạng ae 2 b với a, b . Tính a b.
B. 1009.
A. 0.
C. 2018.
D. 2020.
Câu 112. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;1. Đặt
x2
g x 1 f t dt . Biết g x 2 xf x 2 với mọi x 0;1 , tích phân
0
nhất bằng
A. 1.
B. e 1.
C. 2.
1
g x dx
có giá trị lớn
0
D. e 1.
Câu 113. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa f ' x f x 0, x 0;1.
1
Giá trị lớn nhất của biểu thức f 0.
0
A. 1.
B.
1
dx bằng
f x
e 1
.
e
C.
14
e 1
.
e
D. e 1.
Câu 114. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa mãn
f x dx cos xf x dx 1. Giá
0
trị nhỏ nhất của tích phân
0
f 2 x dx bằng
0
A.
2
.
3
.
B.
C.
4
.
D.
Câu 115. Cho hàm số f x liên tục trên 0; , thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
3
.
2
0
0
sin xf x dx cos xf x dx 1.
f 2 x dx bằng
0
2
A. .
3
B. .
C.
4
.
D.
Câu 116. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1, thỏa mãn
1
0
là giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
f x
2
3
.
2
1
f x dx e x f x dx 1. Gọi m
0
dx . Mệnh đề nào sau đây đúng?
0
B. 1 m 2.
A. 0 m 1.
C. 2 m 3.
Câu 117. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
f x dx
0
nhỏ nhất của tích phân
1
D. 3 m 4.
1
x f x dx 1. Giá trị
0
f 2 x dx bằng
0
A.
2
.
3
B. 1.
C.
8
.
3
D. 3.
Câu 118. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 , thỏa
2
x
3
f x dx 31. Giá trị
1
nhỏ nhất của tích phân
2
f 4 x dx bằng
1
B. 3875.
A. 961.
Câu 119. Cho hàm số
C. 148955.
D. 923521.
f x liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên 0;2 thỏa
f 0 2 f 1 f 2 1. Giá trị nhỏ nhất của tích phân
2
f '' x
2
dx bằng
0
A.
2
.
3
B.
3
.
2
C.
4
.
5
D.
5
.
4
Câu 120. Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1;3 và f 1 0, max f x 10. Giá trị nhỏ
1;3
nhất của tích phân
3
f ' x
2
dx bằng
1
A. 1.
B. 5.
C. 10.
15
D. 20.
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Tính tích phân theo định nghĩa…………………………………….………………… 02
2. Kỹ thuật đổi biến………………………………………………………………………………….03
3. Kỹ thuật tích phân từng phần………………………………………….……………… 07
4. Tính a, b, c trong tích phân………………………………………………………………. 09
5. Tính tích phân hàm phân nhánh………………………………………….………… 12
6. Tính tích phân dựa vào tính chất……………………………………….…………… 14
7. Kỹ thuật phương trình hàm…………………………………………………….………. 15
8. Kỹ thuật biến đổi………………………………………………………………………………….18
9. Kỹ thuật đưa về đạo hàm đúng……………………………………...……………… 24
10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1……………………………………………… 25
11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder……………27
12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM……………………………………………………………. 38
13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân…………………………………………….……. 42
1
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x 2 . Giá
1
trị của tích phân
f ' x dx bằng
0
A. 0.
B.
Lời giải. Ta có
1
.
2
C. 1.
1
D.
3
.
2
1
f x dx f x f 1 f 0.
0
0
2
f 0
2
f
0
3
f
1
1
5
Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x 2
.
3
f
f
2
1
3
0
0
f 1
5
1
3 2
Vậy I f ' x dx f 1 f 0 1. Chọn C.
5 5
0
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 1. Biết rằng
1
e
x
0
f x f x dx ae b. Tính Q a 2018 b 2018 .
A. Q 2 2017 1 .
Lời giải. Ta có
B. Q 2 .
1
e
C. Q 0 .
1
x
0
D. Q 2 2017 1 .
/
f x f x dx e x f x dx e x f x
0
1
0
ef 1 f 0
f 0 f 11
e 1.
a 1
2018
Suy ra
Q a 2018 b 2018 12018 1 2. Chọn B.
1
b
Câu 3. Cho các hàm số y f x , y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
2
2
f ' x g x dx 2,
0
0
2
/
f x g ' x dx 3. Tính tích phân I f x g x dx .
A. I 1.
0
B. I 1.
2
C. I 5.
D. I 6.
2
Lời giải. Ta có I f x g x dx f ' x g x f x g ' x dx
/
0
2
2
0
0
0
f ' x g x dx f x g ' x dx 2 3 5. Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
x2
0
1
A. f .
4
2
Lời giải. Từ
x2
1 1
B. f .
4 2
1
f t dt x .sin x . Tính f .
4
1
D. f 1 .
4
2
1
C. f 1.
4
f t dt x .sin x , đạo hàm hai vế ta được 2 xf x 2 sin x x cos x .
0
1
1
Cho x ta được 2. . f
2
2
1
sin cos 1
4
2 2
2
1
f 1. Chọn C.
4
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên a; với a 0 và thỏa
x
a
f t
dt 6 2 x với mọi
t2
x a. Tính f 4 .
A. f 4 2.
Lời giải. Từ
x
a
B. f 4 4.
C. f 4 8.
f x
f t
1
.
dt 6 2 x , đạo hàm hai vế ta được
2
2
x
t
x
2
D. f 4 16.
Suy ra f x x x
f 4 4 4 8. Chọn C.
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
2017
Câu 6. Cho
f x dx 2 . Tính tích phân I
0
e 2017 1
0
A. I 1.
x
. f ln x 2 1 dx .
x 1
2
C. I 4.
xdx
2 xdx
dt
Lời giải. Đặt t ln x 2 1, suy ra dt 2
2
.
x 1
x 1 2
x 0 t 0
Đổi cận:
.
x e 2017 1 t 2017
Khi đó I
1
2
B. I 2.
2017
f t dt
0
1
2
2017
0
D. I 5.
1
f x dx .2 1. Chọn A.
2
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên và
9
f
x dx 4,
x
1
2
f sin x cos xdx 2. Tính tích
0
3
phân I f x dx .
0
A. I 2.
B. I 6.
Lời giải. Xét
9
f
C. I 4.
x dx 4. Đặt t
x
1
9 f
x 1 t 1
Suy
ra
Đổi cận
.
4
x 9 t 3
1
Xét
2
D. I 10.
x t 2 x , suy ra 2tdt dx .
x dx 2
x
3
1
3
f t 2dt
f t dt 2.
1
f sin x cos xdx 2. Đặt u sin x , suy ra du cos xdx .
0
1
2
x 0 u 0
Đổi cận
. Suy ra 2 f sin x cos xdx f t dt .
x u 1
0
0
2
3
1
3
0
0
1
Vậy I f x dx f x dx f x dx 4. Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và
4
1
f tan x dx 4,
0
0
x 2 f x
dx 2. Tính tích
x 2 1
1
phân I f x dx .
0
A. I 6.
Lời giải. Xét
B. I 2.
4
C. I 3.
D. I 1.
f tan x dx 4.
0
Đặt t tan x , suy ra dt
1
dt
dx tan 2 x 1 dx
dx
.
2
cos x
1 t 2
x 0 t 0
1
1
4
f t
f x
Đổi cận:
Khi
đó
.
4
tan
d
d
dx .
f
x
x
t
2
t 1
x 2 1
x t 1
0
0
0
4
3
1
1
0
0
Từ đó suy ra I f x dx
Câu 9. Cho hàm số
1
f x
x 2 f x
x
d
x 2 1 dx 4 2 6. Chọn A.
x 2 1
0
f x liên tục trên
và thỏa mãn
4
tan x. f cos x dx 1,
2
0
e2
e
f ln x
2
x ln x
2
dx 1. Tính tích phân I
1
4
A. I 1.
f 2 x
dx .
x
B. I 2.
C. I 3.
D. I 4.
4
Lời giải. ● Xét A tan x . f cos 2 x dx 1 . Đặt t cos 2 x .
0
Suy ra dt 2 sin x cos xdx 2 cos 2 x tan xdx 2t .tan xdx
tan xdx
dt
.
2t
x 0
t 1
Đổi cận:
1.
x
t
4
2
1
1
1
1
2
f x
1 f t
1 f t
1 f x
Khi đó 1 A
dt
dt
dx
dx 2.
2 1 t
2 1 t
2 1 x
x
1
2
f ln 2 x
e2
● Xét B
x ln x
e
Suy ra du
2
2
dx 1. Đặt u ln 2 x .
2 ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx
dx
dx
.
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u
x e
u 1
Đổi cận:
.
x e 2
u 4
4
4
4
f x
1 f u
1 f x
Khi đó 1 B
du
dx
dx 2.
2 1 u
2 1 x
x
1
2
● Xét tích phân cần tính I
1
2
f 2 x
dx .
x
1
1
dx dv
x 1
v
2
Đặt v 2 x , suy ra
. Đổi cận:
4
2.
v
v 4
x
x 2
2
4
4
1
4
f v
f x
f x
f x
dv
dx
dx
dx 2 2 4. Chọn D.
Khi đó I
v
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
1
Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ;2 , thỏa
2
2
f x
1
1
dx .
f x f x 2 2 2. Tính tích phân I 2
x
x 1
x
1
2
3
A. I .
2
5
C. I .
2
B. I 2.
4
D. I 3.
1
1
Lời giải. Đặt x , suy ra dx 2 dt . Đổi cận:
t
t
1
1
1
f
2 f
2 f
x
t 1
t
. 2 dt 2
dt 2
dx .
1
t
t 1
x 1
1
1
1
2
2
t2
1
2
Khi đó I
2
2
Suy ra 2 I
1
2
2
1
2
1
x
t 2
2
.
1
x 2
t
2
1
1
1
2
f
2 f x f
2 x
2
x
x
x2
dx
dx
dx
2
2
2
x 1
x 1
x 1
1
1
f x
dx
x 2 1
1
2
2
2
2
x 2 1
1 1 dx x 1
d
x
2
2
x
x
x
1
2
1
2
2
3
3
I . Chọn A.
2
2
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa f x f x 2 2 cos 2 x với mọi
x.
Tính I
3
2
f x d x .
3
2
A. I 6 .
C. I 2 .
3
3
x
t
2
2 .
Lời giải. Đặt t x
dx dt . Đổi cận:
3
3
x
t
2
2
B. I 0 .
3
2
Khi đó I f t dt
3
2
Suy ra 2 I
3
2
3
2
3
2
f t dt
3
2
3
2
f t f t dt
f x dx .
3
2
3
2
D. I 6 .
3
2
2 2 cos 2t dt
3
2
CASIO
2 cos t dt 12
I 6. Chọn D.
3
2
Câu 12. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f x 5 4 x 3 2 x 1 với
mọi x . Tích phân
8
f x dx bằng
2
A. 2.
B. 10.
C.
32
.
3
D. 72.
x 2 t 1
Lời giải. Đặt x t 5 4 t 3, suy ra dx 5t 4 4 dt . Đổi cận
.
x 8 t 1
Khi đó
8
2
1
1
1
1
f x dx f t 5 4 t 35t 4 4 dt 2t 15t 4 4 dt 10. Chọn B.
Câu 13. Cho các hàm số f x , g x liên tục trên 0;1, thỏa m. f x n. f 1 x g x với
m, n là số thực khác 0 và
1
0
A. m n 0.
1
f x dx g x dx 1. Tính m n.
0
1
B. m n .
2
C. m n 1.
5
D. m n 2.
