De hsg bang b 2021 2022(de chinh thuc + dap an)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2021 - 2022
Mơn: Tốn
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20/02/2022
(Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang)
Họ và tên thí sinh:..............................................................................
Số báo danh:.......................................................................................
Câu 1: (3,0 điểm)

(C ) , với m là tham số
(C ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A ( - 3;0) , B và C sao cho hai
thực. Tìm giá trị của m để
B, C
(C ) : x + y = 1.
điểm
có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngồi đường trịn
Cho hàm số

y = x3 + ( 3- 2m) x2 + ( 1- 5m) x + 3m + 3

có đồ thị là

m

m

2

2

Câu 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình

(

)

3x x2 + 4 = x2 - 6x + 4

3

2

(

)

2

x + x - 3 = x - x - 1 .2022

b) Phương trình
nhiêu nghiệm thực?
Câu 3: (2,0 điểm)
Tìm giá trị n , biết n là số tự nhiên thỏa mãn

trên tập số thực.

x3+x- 2

(

)

2

+ x3 + x - 2 .2022x - x- 1

có bao

1
1
1
22023 - 1
C n0 + C n1 + C n2 +×××+
C nn =
×
2
3
n +1
2023
Câu 4: (2,0 điểm)

AB = c, BC = a, CA = b
Cho tam giác ABC có
thỏa mãn b.cosC + c.cosB = a.cot B.cotC .

Chứng minh tam giác ABC là một tam giác vuông.
Câu 5: (2,0 điểm)

ìï u = 2
ïï 1
2
í
ïï u = un + 2021un , n ẻ Ơ *
n+1
(u )
2022
Cho dóy n c xỏc nh bi ùùợ
.
n
ui
Sn = ồ
ì
lim Sn .
u
1
( Sn )
i =1 i +1
nđ+Ơ

Xột dóy s
Cõu 6: (2,0 im)

vi

Tỡm

Trong mt phng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A và D có đáy lớn là CD,

đường thẳng AD có phương trình 3x - y = 0, đường thẳng BD có phương trình x - 2y = 0 , góc tạo
0
bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích hình
thang ABCD bằng 24 và điểm B có hồnh độ dương.
Câu 7: (2,0 điểm)

(

D ¢ thỏa mãn C ¢
A vng góc mặt phẳng
Cho hình lăng trụ ABCD.A ¢B ¢C ¢

)

(

)

(

và AC = 5. Tính thể tích khối lăng trụ

và

c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng

ABCD.A ¢B ¢C ¢

D ¢.
Cho ba số thực khơng âm

ab + bc + ca - 2abc „

a, b

biết

)

d BB ¢;CC ¢ = 6, d A; BB ¢ = 5, d A; CC ¢ = 4
Câu 8: (2,0 điểm)

( ABCD ) ,

7
×
27
-------------------------- Hết --------------------------


- Thí sinh khơng sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2021 – 2022
Mơn thi: Tốn – Bảng B

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
Câu

Đáp án
(C m ) và trục Ox là
Phương trình hồnh độ giao điểm của
x3 + ( 3 - 2m) x2 + ( 1- 5m) x + 3m + 3 = 0 Û ( x + 3) ( x2 - 2mx + m + 1) = 0
éx = - 3
Û ê
êx2 - 2mx + m + 1 = 0 2
( ).
ê
ë
(C m )

Để đồ thị

1
(3,0 điểm)

(

) (

)

B xB ; 0 , C xC ; 0

trong đó

xB , xC

0,75

là nghiệm của phương trình

( 2) .

ìï x + x = 2m
C
ï B
í
( * *)
ïï xB .xC = m + 1
ỵ
Ta có
B, C

Hai điểm

(C ) : x

2

0,75

có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngồi đường trịn

(

)(

)

2

2

+ y2 = 1 Û xB2 - 1 xC2 - 1 < 0 Û ( xB xC ) - ( xB + xC ) + 2xB xC + 1 < 0

é
êm < - 2
2
Û - 3m + 4m + 4 < 0 Û ê
3.
ê
m>2
ê
ë
( **)

2

 10 
m    ;     2;   \   
*

3

 7
Đối chiếu với điều kiện ( ) , ta có
2a
(3,0 điểm)

(

)

3x x2 + 4 = x2 - 6x + 4 ( 1)

Xét phương trình
3x ( x2 + 4) …0 Û x …0 ( *)
Điều kiện:
Đặt

x2 + 4 = u …2, 3x = v …0

Khi đó

( 1)

0,75

Û ( 2)
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
có hai nghiệm phân

ìï é
1- 5
ïï ê
m<
ï
ê
ìï m2 - m - 1 > 0 ïï ê
2
ïï
ïï ê
Û í
Û í êm > 1 + 5 ( *)
ïï m ạ - 10
ùù ờ
2
ở
ùùợ
7
ùùù
10
ùù m ạ 7
ợù
bit khỏc - 3

Gi

im

.

. = u2 - 2v2
tr thnh uv
2

ổ
ử v
vữ
v
v2
ỗ
ữ

2
ỗ

= 1- 2 2
ữ + u - 1= 0
ỗ
ốu ữ
ứ
u
u (do u 2)
Trang 1

0,5

0,25
1,0

év
ê =- 1
v 1
ê
Û êu
Þ
=
u 2
êv = 1
ê
ëu 2
(do u …2, v …0).
v 1
=
2
2
Với u 2 thì x + 4 = 2 3x Û x + 4 = 12x

0,75

éx = 6 - 4 2
ê
Û x - 12x + 4 = 0 Û ê
êx = 6 + 4 2
ë
.

0,75

2

x = 6 - 4 2, x = 6 + 4 2

Thử lại
Xét phương trình

là nghiệm của phương trình

( 1) .

0,5

x3 + x2 - 3 = ( x2 - x - 1) .2022x +x- 2 + ( x3 + x - 2) .2022x - x- 1 ( 1)
3

2

ìï x2 - x - 1 = u
ï
í 3
ï x +x - 2= v
1
Đặt ïïỵ
. Khi đó phương trình ( ) trở thành

(

)

(

)
1) .v( 2022 - 1) „ 0 ( a)

0,5

u + v = u.2022v + v.2022u Û u 2022v - 1 + v 2022u - 1 = 0 ( 2)

2
Phương trình ( )

(

2b
(2,0 điểm)

có nghiệm

(

Û u 2022v -

u

)

u 2022u - 1 = ( u - 0) é
2022u - 20220 ù
…0, " u Ỵ ¡
ê
ú

ë
û
Mặt khác
(Vì hàm số
( - ¥ ;+¥ )
y = 2022u

đồng biến trên khoảng
).
v
u
v( 2022 - 1) …0
u ( 2022 - 1) .v( 2022v - 1) …0 ( b)
Tương tự
. Suy ra
Từ

( a) ,( b)

Vậy phương trình
có 3 nghiệm thực.
1
1
1
22023 - 1
C n0 + C n1 + C n2 +×××+
C nn =
( 1)
2
3

n
+
1
2023
Xét
Ta có

0,5

suy ra dấu " = " xảy ra, tức là

é 1+ 5
êx =
ê
2
ê
2
é
éu = 0
ê
x
x
1
=
0
ê
ê
ê 1- 5
êv = 0 Û êx3 + x - 2 = 0 Û êx = 2 .
ê

ê
ê
ë
ë
êx = 1
ê
ê
ë
( 1)

3
(2,0 điểm)

0,25

1
1
n!
1
C nk =
×
=
C nk++11.
k +1
k + 1 k !.( n - k) ! n + 1

1 é1
22023 - 1
2
n+1 ù

( 1) Û n + 1×ëêC n+1 +C n+1 +×××+ C n+1 ûú= 2023
Khi đó
1 é n+1
22023 - 1
Û
×ê2 - 1ù
=
( 2)
ú
û
n +1 ë
2023
Trang 2

0,5

0,25

0,25

0,75


Xét hàm số
Ta có

g( n) =

g( 2022) =

g¢( n) =

22023 - 1
2023

(

) = 2 . éêë( n + 1) ln2 -

2n+1.ln2.( n + 1) - 2n+1 - 1

( n + 1)

v
*
Vỡ n ẻ Ơ nờn

( n + 1) ln2 -

2

n+1

( n + 1)

2

1ự
+1
ỳ

ỷ ì

0,5

ổử
4ữ
ữ
12ln2 - 1 = ln ỗ
> 0.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốeứ

g n > 0, " n ẻ Ơ .
2
Suy ra ( )
Khi đó ( ) có nghiệm duy nhất n = 2022.
Ta có b.cosC + c.cosB = a.cot B .cotC
sin A.cosB.cosC
Û sin B.cosC + sinC .cosB =
×
sin B.sinC
Û sin ( B +C ) .sin B.sinC = sin A.cosB.cosC
¢

4
(2,0 điểm)

2n+1 - 1
,n Î ¥ *.
n +1

*

0,5
0,75

ésin A = 0
Û ê
êsin B.sinC = cosB.cosC
ê
ë
.

0,75

Û cos( B +C ) = 0 Û B +C =

p
×
2

0,5

Khi đó tam giác ABC vng tại A.
Từ giả thiết, suy ra
Vì

un ( un - 1)
2022

2 = u1 < u2 < ×××< un < ×××

nên

Giả sử dãy

5
(2,0 điểm)

un+1 =

(u )
n

bị chn trờn, tc l

+ un , " n ẻ Ơ *

(u )
n

0,5

.

l mt dóy tng.

$M ẻ ộ
ờ2; +Ơ
ở

)

tha món

lim un = M

nđ+Ơ

.

ộM = 0
M + 2021M
M =
ờ
ờM = 1
lim u = +Ơ .
2022
ờ
ở
Khi ú
(khụng tha món). Suy ra nđ+Ơ n
un ( un - 1) = 2022( un+1 - un )

Mặt khác

2

0,5

2022( un+1 - un )

0,5

é 1
1 ù
ú
= 2022. ê
êu - 1 u - 1ú×
un+1 - 1 ( un+1 - 1) ( un - 1)
ê
ú
n+1
ën
û
é 1
é
1 ù
1 ù
ú= 2022. ê1ú
Sn = 2022. ê
êu - 1 u - 1ú
ê u - 1ỳì
ờ
ỳ
ờ
ỳ

n+1
n+1
ở1
ỷ
ở
ỷ
Do ú
lim Sn = 2022.
ị

Vy

un

=

nđ+Ơ

Trang 3

0,5


A

B

D

0,25

C

ìï 3x - y = 0
ï
Û
í
ïï x - 2y = 0
Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình ỵ

Vậy

(

).

ìï x = 0
ï
í
ïï y = 0
ỵ
.

D 0; 0

Vectơ pháp tuyến của các đường thẳng AD và BD lần lượt là
uu
r
n2 = ( 1;- 2)

6
(2,0 điểm)

uu
r
n1 = ( 3;- 1)

và

.

uu
r uu
r
1
1
·
·
cos n1, n2 =
cosADB
=
Þ ADB
= 450.
2 , suy ra
2
Ta có
Do đó AD = AB.
·
0
0

Vì góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 nên BCD = 45 .

(

)

0,5

Suy ra D CBD vng cân tại B, do đó DC = 2AB.
Mặt khác

SABCD = 24 Û

0,75

1
( AB +CD ) AD = 24 Þ AB = 4.
2

Suy ra BD = AB 2 = 4 2 .
ổ x ử
ữ
ỗ
Bỗ
xB ; B ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2ứ

x >0
Gi ố
thuc ng thng BD , B
.

ổ
ử
ỗ8 10 4 10ữ
ữ
Bỗ
;
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
5
5
ữ
ỗ
ố
ứ
Vy

2

BD = 4 2

ổ
ử

xB ữ
8 10
ữ
ỗ
x +ỗ
= 4 2 xB =
ì
ữ
ỗ
ỗ
5
ố2 ữ
ứ
2
B

0,5

ng thng BC i qua B v vuụng góc với BD suy ra phương trình BC là
2x + y - 4 10 = 0.

7
(2,0 điểm)

A'

0,5

D'
C'

B'

N
K
4

H
6
5

A

D

5

M
B

C

Gọi M , N và K lần lượt là hình chiếu của điểm A trên BB ¢, DD ¢ và CC ¢.
Trang 4


Ta có AM ^ BB ¢, BB ¢/ / CC ¢. Suy ra CC ¢^ AM .
Tương tự AN ^ CC ¢.
CC ¢^ ( MANK )

Khi đó
. Suy ra CC ¢^ MK .
Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên AK .
MH Ì ( MANK ) ,CC ¢^ ( MANK )
Ta có MH ^ AK , MH ^ CC Â( vỡ
)
MH ^ (C Â
AC ) .

Suy ra
Ta cú

1
1
ìAC ¢.SABCD = 2. ×d B;(C ¢
AC ) .SC ¢AC ( 1)
3
3
d B ;(C ¢
AC ) = d M ;(C ¢
AC ) = MH
C¢
A ^ ( ABCD )

(
)

VC ¢.ABCD = 2VC ¢.ABC = 2VB .C ¢AC Û

Vì

BB ¢/ / ( C ¢
AC )

và

nên

(

)

(

)

,

0,5

1
20
SC ¢AC = AC .AC ¢ AC ¢=
×
2
3
và

Khi đó

( 1) Û

SABCD = MH .AC

.

AM = 5, AK = 4, MK = 6
Xét tam giác MAK , ta có
.
Herong

Ta có
Vậy

SDAMK =

VABCD .A ¢B ¢C ¢D ¢ = SABCD .AC ¢= MH .AC .AC ¢=

Ta có

0,75

15 7 1
15 7
= MH .AK Û MH =
×
4
2
8

ab + bc + ca - 2abc „

15 7 20 375 7
.5. =
×
8
3
6

0,25

7
27

7
7
Û a ( b + c) + ( 1- 2a) bc „
Û a ( 1- a) + ( 1- 2a) bc „
do b + c = 1- a
27
27
.

(

)

8
(2,0 điểm)

Đồ thị hàm số
Ta có

f ( u)

trên đoạn

f ( 0) = a ( 1- a)

2ù
é
ê ( 1- a) ú
ê0;
ú
ê
4 ú
ê
ú
ë
û

0,5
là một đoạn thẳng.

2

„

AM - GM

éa + 1- a ù 1
ê
ú= < 7
ê 2
ú 4 27
ë
û

2ù
é
ỉư
ê( 1- a) ú 1
1÷ 7
ú= - 2a3 + a2 + 1 „ max g( a) = gỗ
ữ=
fờ
ỗ
ộ0; 1ự
ữ
ờ 4 ỳ 4
ỗ
3ữ
ố
ứ 27
ờ ỷ
ỳ
ở
ờ
ỳ
ở

ỷ

(

v

)

1
- 2a3 + a2 + 1 ,a Ỵ
4
với
2ù
é
ê ( 1- a) ú
7
ú
f ( u) „
, " u Ỵ ê0;
ê
27
4 ú
ê
ú
ë
û
g( a) =

Vậy

2

ỉ
ư ( 1- a)
b + c÷
÷
f ( u) = a ( 1- a) + ( 1- 2a) u,0 „ u = bc ỗ
ì
ỗ
ữ=
AM - GM ỗ
4
ố 2 ữ
ứ
2

Xột hm số

0,25

(

)

0,75
,

é0; 1ù.
ê
ë ú

û

hay

ab + bc + ca - 2abc „

Trang 5

7
×
27

0,5


Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.
- Điểm tồn bài khơng làm trịn.
-------------------------- Hết -------------------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2021 - 2022
Mơn: Tốn
ĐỀ THI DỰ BỊ
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20/02/2022
(Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang)
Họ và tên thí sinh:..............................................................................
Số báo danh:.......................................................................................
Câu 1: (3,0 điểm)

f ( m) = Max
x3 - 3x2 + 2m - 1.
é- 1; 1ù
f ( m) „ a
ê
ú
ë
û
Đặt
Biết rằng bất phương trình
có đúng 2022 giá trị
m
a
nguyên tham số
thỏa mãn. Số thực nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Câu 2: (5,0 điểm)
( x + 3) 48 - x2 - 8x = x - 24 trên đoạn éêë- 11;- 10ùúûcó bao nhiêu nghiệm thực?
a) Phương trình
log6 ( 2022x + m) = log4 ( 1011x)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
có
nghiệm.
Câu 3: (2,0 điểm)
Từ các số thuộc tập hợp

{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau

aaa a a a

a + a2 = a3 + a4 = a5 + a6.
có dạng 1 2 3 4 5 6 . Tính xác suất để số được viết ở trên thoả mãn điều kiện 1
Câu 4: (2,0 điểm)
A, B,C
Cho tam giác ABC có ba góc
nhọn và thỏa mãn
tan A
tan B
tanC
3
+
+
„
tan B + tanC
tanC + tan A tan A + tan B 2 . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5: (2,0 điểm)
ìï u = 3
ï 1
.
í
lim u .
ïï 3un+1.un2 = 2un3 + 3, n ẻ Ơ *
u
(
)
Cho dóy s n xỏc nh bi cụng thc ùợ
Tớnh nđ+Ơ n
Cõu 6: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = AD < CD, điểm
B ( - 1;5)

và đường thẳng BD có phương trình y = 5. Đường thẳng D : 5x - y - 25 = 0 cắt các đoạn thẳng
AD, CD
M, N
lần lượt tại hai điểm
sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là phân giác trong của góc
·
MBC
. Tìm tọa độ điểm D , biết D có hồnh độ âm.
Câu 7: (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD
·
SA ^ ( ABCD )
0
( P ) đi qua A và vng góc với
cân tại C và BCD = 120 . Biết
và SA = a. Mặt phẳng
SB, SC , SD
M, N, P .
SC cắt
lần lượt tại
Tính thể tích khối chóp S.AMNP .
Câu 8: (2,0 điểm)
a, b, c
2
2
2
Cho
là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.

Trang 6


a2 + ab + 1

b2 + bc + 1

c2 + ca + 1

… 5( a + b + c) .
2
2
2
2
b
+
3
bc
+
a
c
+
3
ca
+
b
Chứng minh
-------------------------- Hết -------------------------- Thí sinh khơng sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
a2 + 3ab + c2

+

+

Trang 7