bài 1 công thức giải tích tổ hợp

§1. CÔNG THỨC GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng
Nếu một công việc được chia làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1
có n
1
cách thực hiện xong công việc, trường hợp 2 có n
2
cách thực hiện xong
công việc, … , trường hợp k có n
k
cách thực hiện xong công việc và không có
bất kì một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực
hiện ở trường hợp khác, thì có n
1
+ n
2
+ … + n
k
cách thực hiện xong công việc.
2. Quy tắc nhân
Nếu một công việc được chia làm k giai đoạn để thực hiện, giai đoạn 1 có
n
1
cách thực hiện xong công việc, giai đoạn 2 có n
2
cách thực hiện xong công
việc, … , giai đoạn k có n

k
cách thực hiện xong công việc và không có bất kì
một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở
trường hợp khác, thì có n
1
. n
2
. … n
k
cách thực hiện xong công việc.

Ví du 1. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập
từ tập A trong các trường hợp sau:
a) Số ngàn có các chữ số khác nhau
b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn
c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẽ

1.2. Hoán vị
Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số hoán vị
của n phần tử kí hiệu là
!
n
Pn


Ví dụ 2. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ.
Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:
a) Ngồi tùy ý
b) M ngồi ở đầu bàn
c) M và N ngồi cạnh nhau

d) M và N ngồi ở hai đầu bàn
e) M và N không ngồi cạnh nhau

1.3. Chỉnh hợp
Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác
nhau lấy từ n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập k lấy từ n phần tử kí hiệu là
k
n
A
và được xác định:

!
( )!
k
n
n
A
nk



Ví dụ 3. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp
đó ra 4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập,
lớp phó văn nghệ và thủ quỷ. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp
sau:
a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ.
b) Lớp trưởng phải là nữ.
c) Có đúng một nữ.
d) Có ít nhất một nữ.

1.4. Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử
đã cho, kí hiệu là
!
!( )!
k
n
n
C
k n k




Ví dụ 4. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra
5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau
a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.
d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn.

Ví dụ 5. Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy từ hộp ra 9 bi. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau
a) Có màu tùy ý
b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng
c) Có 2 bi xanh
d) Có nhiều nhất 2 bi xanh

Ví dụ 6. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ.

Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong
các trường hợp sau
a) Có màu tùy ý
b) Có 1 bi xanh
c) Có nhiều nhất 1 bi xanh

§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.1. Phép thử và biến cố

1. Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác
định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được
gọi là một biến cố.

Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến
cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2. Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện
phép thử.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
không quá 6” là biến cố chắc chắn.

3. Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện
phép thử.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố không thể.

4. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực
hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A
1

, A
2
, B, C,… để chỉ các biến cố
ngẫu nhiên.
Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.
Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j =
1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

5. Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B là biến cố xác định bởi
A + B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
(Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra).
Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:
A
1
+ A
2
+…+ A
n
xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố A
1
, A
2
,…, A

n

xảy ra.
Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm không quá 3” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lẽ”, ta có:
A = A
1
+ A
2
+ A
3

B = A
1
+ A
3
+ A
5


6. Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:
AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)
Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra trong cùng một phép thử.
Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n

như sau:
A
1
A
2
…A
n
xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
đồng thời xảy ra.

Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.
Ta có: AB = A
6
và ABC = Φ.

7. Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới
dạng tổng của hai biến cố khác.
Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân
chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó,
ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ
cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận
lợi cho biến cố bất khả.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j =
1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A = A
1
+ A
3
+ A
5
.
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A
1
, A
3
, A
5
.

8. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB =

, nghĩa là A và B không
bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.

Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2.
Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A
2
).

9. Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu
A
, là biến cố định bởi
A
xảy ra khi và
chỉ khi A không xảy ra.
Như vậy, A và
A
xung khắc, hơn nữa A +
A
= Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một
và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử.

Các ví dụ.
1) Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A.
2) Tung đồng xu, xét các biến cố
A: Đồng xu xuất hiện mặt sấp
B: Đồng xu xuất hiện mặt ngửa
Khi đó A, B là hai biến cố đối lập
3) Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi, xét các biến cố
A: Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh
B: Ba bi lấy ra là ba bi đỏ
Khi đó A, B là hai biến cố đối lập
C: Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh
D: Ba bi lấy ra là ba bi xanh
Khi đó C, D là hai biến cố đối lập

10. Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi
thực hiện phép thử.
Ví dụ 1. Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp
A
j
(j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng.

Ví dụ 2. Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 10 viên trong đó hộp thứ i có i + 2 bi đỏ còn lại
là bi xanh. Lấy từ mỗi hộp ra 1 bi. Gọi A
i
là “Bi lấy từ hộp i là bi xanh”, i = 1,2.
Hãy dùng A
1
, A
2
để biểu diễn các biến cố sau
a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh
b) Hai bi lấy ra có một bi xanh
c) Hai bi lấy ra cùng màu
d) Hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh
Giải
a) Gọi A là hai bi lấy ra là hai bi xanh
Ta có : A = A
1
A
2

b) Gọi B là hai bi lấy ra có một bi xanh
Ta có :

1 2 1 2
B AA A A

c) Gọi C là hai bi lấy ra cùng màu
Ta có :
1 2 1 2
C A A A A

d) Gọi D là hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 2 là xanh
Ta có :
12
D A A


2.2. Định nghĩa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có
thể xảy ra, trong đó có m
A
biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số
()
m
PA
n


được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).

Ví dụ 1. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba bi. Tính
các xác suất sau:
a) Ba bi lấy ra là ba bi xanh

b) Ba bi lấy ra có 1 bi xanh
c) Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh
d) Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh
Giải
a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”
3
6
3
10
()
C
PA
C


b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có 1 bi xanh”
12
64
3
10
()
CC
PB
C



c) Gọi C là “Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh”
3 1 2 2 1
4 6 4 6 4

3
10
()
C C C C C
PC
C



b) Gọi D là “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”
1 2 2 1 3
6 4 6 4 6
3
10
()
C C C C C
PD
C



Ví dụ 2. Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm
chọn ra có:
a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu
b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu.
Giải
Gọi A
i
là “Có i sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra” (i = 0, 1, 2, 3)

a) Gọi A là “Có nhiều nhất 2 sản phẩm xấu”. Ta có:
A = A
0
+ A
1
+ A
2
.
Suy ra
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A  


b) Gọi B là “Có ít nhất 1 sản phẩm xấu”. Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố
không có sản phẩm xấu nào trong 3 sản phẩm chọn ra nên B = A
0
. Suy ra xác suất
của B là
0
( ) 1 ( )P B P A


§3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

3.1. Công thức cộng xác suất

1. Công thức cộng xác suất thứ nhất.
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B)
Mở rộng. Với A

1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:
P(A
1
+ A
2
+ …+ A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) +…+ P(A
n
)

Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
P(
A
) = 1 − P(A)

Ví dụ 1. Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là
loại B. Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm.
a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A.
Giải

a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
Suy ra
A
là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B.
5
14
5
20
()
C
PA
C


Mà
( ) 1 ( )P A P A
nên
5
14
5
20
( ) 1
C
PA
C


b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A.
Suy ra
B

là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A.
5
6
5
20
()
C
PB
C


Mà
( ) 1 ( )P B P B
nên
5
6
5
20
( ) 1
C
PA
C



2. Công thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) −P(AB)

Ví dụ 2 (CHKT2006). Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi
Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại

ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau
a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán
b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ
c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn

Giải
a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán"
Số sinh viên chỉ giỏi Toán là:
50 20 30
.
Vậy
30
( ) 0,3
100
PA


b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ"
Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là:
60 20 40
.
Vậy
40
( ) 0,4
100
PB 

c)
Cách 1
Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”

Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”
Khi đó
- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ.
- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc
ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên
P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD)
50 60 20
( ) 0,9
100 100 100
P C D    

Cách 2
Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”
Khi đó
E A B AB  
, vì
,,A B AB
xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất
( ) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4 0,2 0,9P E P A P B P AB      


3.2. Công thức nhân xác suất

1. Xác suất có điều kiện

a. Định nghĩa. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi
là xác suất có điều kiện của A đối với B. Kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A
nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi.
b. Công thức
()

()
A P AB
P
B P B





+ P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra.
+ P(B) là xác suất để B xảy ra.

Ví dụ 1. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi
đậu. Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu.

Giải
Gọi A là sinh viên X thi đậu
Gọi B là sinh viên Y thi đậu
Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có
điều kiện của A đối với B.
Ta có:
()
()
A P AB
P
B P B





, với
1
()
3
P AB 
;
2
()
3
PB 
.
Vậy
1
0,5
2
A
P
B




.
Ví dụ 2. Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau:
- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.
- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.
Khi đó
- P(A/B) = 0

- P(A/C) = 2/4 = 0,5
- P(A/D) = 2/3
Nhận xét. Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó
P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).
Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất
để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C
đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2. Biến cố độc lập. Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất hiện
của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại, thì ta
nói A độc lập với B.

2. Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có
P(AB) = P(A) P(B)
Mở rộng. Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi
1 ≤ i ≠ j ≤ n , A
i
và A
j

độc lập, ta có: P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)… P(A
n
).

Ví dụ. Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 bi. Trong đó hộp thứ i có i bi đỏ, 10 – i bi
xanh (i = 1, 2, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi. Tính các xác suất sau:
a) Ba bi lấy ra là ba bi đỏ
b) Ba bi lấy có một bi xanh
c) Bi lấy ra từ hộp hai là xanh, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh
Giải
Gọi A
i
là “Bi lấy từ hộp i là bi đỏ” (i = 1, 2, 3)
Ta có
1
1
( ) ;
10
PA 

2
2
( ) ;
10
PA 

3
3
( ) ;
10
PA 

1
9
( ) ;
10
PA 
2
8
( ) ;
10
PA 
3
7
( ) ;
10
PA 


a) Gọi A là “Ba bi lấy ra là ba bi đỏ”

Ta có
1 2 3
A A A A

Suy ra
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A

b) Gọi B là “Ba bi lấy ra là có một bi xanh”
1 2 3 1 2 3 1 2 3
B AA A A A A A A A  

Suy ra
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P A P A P A P A P A P A P A P A  

c) Tính xác suất có điều kiện
2
2
()
()
P A B
A
P
B
PB





, với
2 1 2 3
( ) ( )P A B P A A A


3. Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng. Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ, ta có:
P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
)… P(A
n

/A
1
A
2
…A
n−1
).
Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).

Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào lấy ra được
3 sản phẩm tốt thì dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm
tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu
Giải
Gọi A
i
, B
i
lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt xấu ở lần kiểm tra thứ i.
a) Gọi A là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3"
Ta có :
1 2 3
A A A A
, suy ra
1 2 3 1 2 1 3 1 2
( ) ( ) ( ) ( / ) ( / )P A P AA A P A P A A P A A A

6 5 4
0,1667
10 9 8
   

b) Gọi B là "Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4"
Ta có :
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
B B A A A AB A A AA B A  

Suy ra
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) 0,2857P B P B A A A P AB A A P AA B A   

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến cố B đã
xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm
xấu chính là xác suất có điều kiện
3
3
()
( / )
()
P B B
P B B
PB

.
Mà
3 1 2 3 4

B B A A B A
, do đó
3 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ) 0,0952P B B P A A B A P A P A A P B A A P A A A B  

Suy ra
3
( / ) 0,3333P B B 





§4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

4.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng
đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:
- A
1
+ A
2
+… + A
n

= Ω;
-

1 ≤ i ≠ j ≤ n, A
i
A
j
= Φ,
nghĩa là các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và
chỉ một biến cố A
j
nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.

Nhận xét. Với A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A
1
) + P(A
2

) + … + P(A
n
) = 1.

Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi
trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.
- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
- A
0
, A
1
, A
2
.
- B
0
, B
1
, B
2
.
- A
0
B
0
, A
0
B

1
, A
0
B
2
, A
1
B
0
, A
1
B
1
, A
1
B
2
, A
2
B
0
, A
2
B
1
, A
2
B
2
.

- A
0
B
0
, A
0
B
1
+ A
1
B
0
, A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
, A
1
B
2
+ A
2

B
1
, A
2
B
2
.

4.2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với
A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ
12
{A ,A , ,A }
n
, ta có:
a.
   
12
12
( ) (A ) (A ) (A )
A A A
n
n
A A A

P A P P P P P P

   



b.
(A ) ( )
()
kk
k
P P A A
A
P
A
PA




, với k = 1, 2, 3, , n
Công thức tính P(A) được gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức tính
k
A
P
A



được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ 1. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi
đỏ.
1. Chọn một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra hai bi. Tính các xác suất sau:
a) Hai bi lấy ra là hai bi xanh
b) Hai bi lấy ra có một bi xanh
c) Chọn được hộp 1, biết rằng hai bi lấy ra có một bi xanh
2. Lấy một bi từ hộp 1 bỏ qua hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi. Tính các xác
suất sau:
a) Hai bi lấy ra có một bi xanh
b) Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi đỏ biết rằng hai bi lấy ra có một bi xanh
Giải
1. Gọi A
i
là “Chọn được hộp thứ i” (i = 1, 2)
Khi đó
12
1
( ) ( )
2
P A P A
và
12
{A ,A }
là hệ đầy đủ
a) Gọi A là “Hai bi lấy ra là hai bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
   
22
67

12
22
12
10 10
1
( ) (A ) (A )
AA
2
CC
AA
P A P P P P
CC

   



b) Gọi B là “Hai bi lấy ra có một bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
   
1 1 1 1
6 4 7 3
12
22
12
10 10
1
( ) (A ) (A )
AA
2

C C C C
BB
P B P P P P
CC

   



c) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
 
11
64
2
10
11
1
1 1 1 1
6 4 7 3
22
10 10
1
2
(A ) ( )
()
1
2
CC
C
P P B A

A
P
B
PB
C C C C
CC






2. Gọi A
1
là “Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi xanh”
Gọi A
2
là “Bi bỏ từ hộp 1 qua hộp 2 là bi đỏ”
Khi đó
1
6
()
10
PA 
,
2
4
()
10
PA 

và
12
{A ,A }
là hệ đầy đủ
a) Gọi A là “Hai bi lấy ra có một bi xanh”
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
   
1 1 1 1
8 3 7 4
12
22
12
11 11
64
( ) (A ) (A )
AA
10 10
C C C C
AA
P A P P P P
CC
   

b) Áp dụng công thức Bayes, ta có:
 
11
74
2
22
11

2
1 1 1 1
8 3 7 4
22
11 11
4
10
(A ) ( )
64
()
10 10
CC
P P A A
C
A
P
A
C C C C
PA
CC




Ví dụ 2. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm
tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên
từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác

suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Giải
Gọi A
i
là “Số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm từ lô I bỏ sang lô II”,
0,1,2i 

Ta có:
2
5
0
2
15
()
C
PA
C

;
11
10 5
1
2
15
()
CC
PA
C

;

2
10
2
2
15
()
C
PA
C


Suy ra
0 1 2
{A ,A ,A }
là hệ đầy đủ.
a) Gọi A là “Hai sản phẩm lấy từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu”
0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P A P A P A A P A P A A P A P A A  

b)
11
1
( ) ( / )
( / )
()
P A P A A
P A A
PA

.

§5. CÔNG THỨC BERNOULLI

5.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi
phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không xảy ra với
xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có công thức Bernoulli tính xác
suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
( ; )
k k n k
nn
P k p C p q




5.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là q
n
.
2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là p
n
.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 70%. Cho máy
sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.

Giải

Gọi A
k
(k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có
trong 5 sản phẩm thu được. Áp dụng Công thức Bernoulli với
n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có
a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
3 3 2
35
( ) (0.7) (0.3)P A C

b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là
P(A
3
+ A
4
+ A
5
). Ta có:
3 3 2 4 4 1 5 5 0
3 4 5 5 5 5
( ) (0.7) (0.3) (0.7) (0.3) (0.7) (0.3)P A A A C C C    


BÀI TẬP

1.1 Có ba nhóm sinh viên, mỗi nhóm có 20 người, trong nhóm thứ i có i + 3 sinh
viên nữ còn lại là sinh viên nam. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi nhóm 1 sinh viên. Tính
xác suất để:
a) Có 2 sinh viên nữ.
b) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ.

c) Có ít nhất 1 sinh viên nữ.
d) Sinh viên của nhóm một là nữ, biết rằng 3 sinh viên được chọn có 2 sinh viên
nữ.
e) Sinh viên của nhóm hai là nam, biết rằng 3 sinh viên được chọn có 2 sinh viên
nữ.

1.2. Có ba khẩu súng I, II, III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn một
viên với xác suất bắn trúng mục tiêu lần lượt là: 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất để
a) Có một khẩu bắn trúng
b) Có ít nhất một khẩu bắn trúng
c) Có nhiều nhất hai khẩu bắn trúng
d) Khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có một khẩu bắn trúng.
e) Khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có hai khẩu bắn trúng.

1.3. Có hai hộp bi, hộp 1 có 9 bi đỏ và 1 bi vàng, hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai bi. Tính các xác suất sau
a) Bốn bi lấy ra là bốn bi vàng
b) Bốn bi lấy ra có hai bi vàng
c) Bốn bi lấy ra có ba bi đỏ và một bi vàng
d) Bi vàng lấy từ hộp một, biết rằng bốn bi lấy ra có ba bi đỏ và một bi vàng

1.4. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từng
sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi lấy đủ 3 phế phẩm thì dừng lại. Tính xác suất để
a) Dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
b) Khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
c) Lần kiểm tra thứ nhất lấy được phế phẩm, biết rằng biết rằng kiểm tra tới lần
thứ tư thì lấy ra đủ 3 phế phẩm.

1.5 Có ba hộp bi, mỗi hộp có 10 viên, trong đó hộp thứ i có i + 2 viên bi đỏ còn lại
là bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác

suất để:
a) Ba bi lấy ra có một bi xanh.
b) Ba bi lấy ra là ba bi xanh.
c) Chọn được hộp 1, biết rằng ba bi lấy ra có một bi xanh.

1.6. Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và
III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%, phân xưởng II chiếm 50%, phân
xưởng III chiếm 20%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II, III sản xuất
lần lượt là: 60%, 70%, 80%.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm loại A do nhà máy sản xuất
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm A ở thị trường. Giả sử đã mua được sản
phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra
nhiều nhất ? Tại sao ?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 100 sản phẩm X ở thị trường.
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A

1.7. Có hai hộp I và II, mỗi hộp chứa 12 viên bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi
trắng. Hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I 3 bi rồi bỏ sang hộp
II, sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II 4 bi.
a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trằng từ hộp II.
b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba
bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng.

1.8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi
đen; hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen;
a) Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi. Tính xác suất
1. Ba bi lấy ra là ba bi trắng
2. Ba bi lấy ra có 2 bi đen và 1 bi trắng
3. Giả sử trong 3 viên bi lấy ra có đúng 1 bi trắng. Tính xác suất để bi trắng đó là

của hộp thứ nhất.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất
được cả 3 bi đen.

1.9. Có 20 hộp sản phẩm cùng loại, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có
10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ phế
phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên một hộp và
chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 sản
phẩm đó của xí nghiệp I.

1.10. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để một viên đạn bắn
ra trúng mục tiêu là 0,8. Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị
tiêu diệt; Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 80%;
Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 20%.
a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt
b) Giả sử mục tiêu đã bị tiêu diệt, tính xác suất có 10 viên trúng.

1.11. Một máy sản suất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Một lô hàng
gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Cho máy sản xuất 2 sản phẩm
và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do nhà máy sản xuất
bằng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng.
b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản
phẩm loại A đó đều do máy sản xuất.

1.12. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I chứa 15 sản
phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó
từ lô I lấy ra 2 sản phẩm.

a) Tính xác suất lấy được 1 sp xấu, 1 sp tốt từ lô I.
b) Giả sử đã lấy được 1 sp tốt, 1 sp xấu từ lô I. Tính xác suất đã lấy được 2 sp tốt,
1 sp xấu từ lô II.

1.13 Có 3 khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi khẩu bắn một phát với xác
suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Giả sử xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi
trúng k phát đạn là
1 1/ 2
k

. (k = 0, 1, 2, 3).
a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
b) Tính xác suất để mục tiêu bị trúng một phát khi bị tiêu diệt.

1.14 Có hai lô hàng. Lô 1 gồm 3 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lô 2 gồm
6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của lô 1 đem
bỏ vào lô 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở lô 2.
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ở lô 2 là loại B.
b) Nếu sản phẩm lấy ở lô 2 là loại B, tính xác suất để 4 sản phẩm của lô 1 đem bỏ
vào lô 2 có 2 sản phẩm loại B.