GIẢI TÍCH TỔ HỢP, HAI QUY TẮC ĐẾM

GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Bài 1: HAI QUY TẮC ĐẾM

1. Quy tắc cộng
Xét bài toán sau: “Có 7 trường ĐHSP và 3 trường KHTN tổ chức thi khối B. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn các trường thi khối B”
Giải: Để chọn trường thi khối B thi ta chỉ chọn trường ĐHSP hoặc trường KHTN.
Nếu chọn trường ĐHSP ta có 7 cách chọn, nếu chọn trường KHTN thì có 3 cách chọn
và hi chọn trường này thì không chọn trường khác . Do vậy có 7+3=10 cách chọn
trường thi khối B.

Ví dụ trên là một minh họa cho quy tắc cộng, trong trường hợp tổng quát ta có định
nghĩa sau:

“ Xét một hành động A. Giả sử A có n phương án A
1
,A
2
,…, A
n
thực hiện hành động
A Nếu có m
1
cách chọn đối tượngthực hiện phương án A
1
, có m
2
cách chọn đối
tượngthực hiện phương án m
2

A
2
,.., có m
n
cách chọn đối tượngthực hiện phương án
A
n
và nếumỗi cách chọn đối tượngthực hiện phương án xA
i
không trùng với bất kì
cách chọthực hiện phương án xA
j
(i≠j) thì có m
1
+m
2
+…+m
n
cách chọn một đối
tượng trong các đối tượng x
1
, x
2
, …,x
n
thực hiện hành động A”.


2. Quy tắc nhân
Xét bài toán: “Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3”?

Giải: Gọi số cần tìm có dạng
abc
khi đó ta có
a: Có 3 cách chọn 1 trong 3 số 1,2,3. Khi đã chọn a thì có 2 cách chọn b từ 1 trong 2
số còn lại và sau cùng chỉ còn 1 cách chọn c. Vậy có 1.2.3=6 số thỏa mãn bài toán.

Bài toán trên là một ví dụ về quy tắc nhân. Ta có định nghĩa về quy tắc nhận như sau
“Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, sau khi chọn x
1
có m
2
cách chọn đối tượng m
2
,…
sau khi chọn x
n-1
có m
n
cách chọn đối tượng x
n
. Thì có m
1
.m
2
…m
n

cách chọn dãy
x
1
x
2
…x
n
.
Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ1: Trong một trận thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia. Có ba huy chương 1
vàng, 1 bạc, 1 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách trao giải (Biết khả năng các đội là như
nhau)
Ví dụ 2: Có bao nhiêu chữ số gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
0,1,2,4,5,6,8.
Ví dụ 3: Một giáo viên có 5 bài toán Đại Số, 4 bài toán Số hoc, 3 bài toán hình học.
Có bao nhiêu cách ra một đề thi gồm 4 câu trong đề phải có Đại Số, Số học và hình
học.
Ví dụ 4: Cho các chữ số 1,2,3,...,9. Từ các số đó co thể lạp được bao nhiêu số
Formatted: Font: Bold
Formatted: Font: Not Italic, Underline
Formatted: Font: Not Italic, Underline
a) Có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2026
b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và khong vượt quá 2006
c) Số có 5 chữ số mà khi mỗi số quay một góc 180
0
thì ta được một số viết theo thứ
tự ngược lại với số ban đầu
Ví dụ 5: Từ thành phố A có m con đường đi đến thành phố B, tư thành phố A có n
con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có p con đường, từ C đến D có q con
đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến

D.




Bài 2: HOÁN VỊ

1. Giai thừa
a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên n ≠ 0, tích 1.2.3...n được gọi là n- giai thừa và
kí hiệu n!. Vậy n!=1.2.3...n

Ta quy ước 0!=1
b) Tính chất:

*n! n(n 1)!
*n! n(n 1)(n 2)...(n k 1).k!

    

c) Các ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau

15! 1 1 7!4! 9! 11!
1) 2) 3) ( )
13! n! (n 1)! 10! 4!5! 8!3!



Ví dụ 2: Giải các phương trih sau
n! (n 1)! n! (n 1)!

1) 20 2) 3n 2 3) 6
(n 2)! (n 3)! (n 1)! n! (n 1)!

    
    

Ví dụ 3: Tìm n thỏa mãn các Bất phương trình sau
(n 1)! 5n! n!
1) (n 1)! 15; 2) 72; 3) 5(n 2) (n 4)
(n -1)! 4!(n -3)! 12(n 3)(n 4)!2!

      


2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử
của A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu P
n
.
VD: tập {1,2,3} có các hoán vị là: 123; 132; 231; 213; 312; 321
b) Số hoán vị của tập n phần tử:
Định lí: Ta có
!
n
Pn

Chứng minh: Ta lần lượt chọn các phần tử của tập A và xếp chúng vào n vị trí theo
thứ tự xác định.
Ở vị trí 1: Ta có thể đặt bất kì phần tử nào của A suy ra có n cách chọn. sau khi đã
chọn vọ trí thứ 1 thì

Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain,
International Sort)
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Ở vị trí 2: Ta có thể chọn bất kì phần tử nào của A trong n-1 phần tử còn lại suy ra có
n-1 cách chọn….. ở vị trí thứ n có một cách chọn nên theo quy tắc nhân có cả thảy
n(n-1)(n-2)…2.1=n! cách sắp xếp.

Ví dụ 1: Tính số hoán vị của các tập sau
a) A gồm 5 phần tử khác nhau
b) B gôm các chữ cái X,Y,Z,T

Ví dụ 2: Từ các số 1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm:
a) Gồm 5 chữ số khác nhau
b) Gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 1
c) Gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bằng chữ số 1.

Giải: Giả sử các số cần tìm có dạng
1 2 3 4 5
a a a a a

a) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5 chính là số các hoán
vị của tập {1,2,3,4,5} suy ra có P
5
=5!=120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Vì a
1
=1 nên a

1
có 1 cách chọn
Các số còn lại là các hoán vị của tập {2,3,4,5}

có P
4
=4!=24 cách chọn cho 4 vị trí
còn lại. Vậy có 24 số thoă mãn yêu cầu bài toán
c) Số các số có 5 chữ số không bắt đầu bằng chữ số 5 chính bằng só các số có 5 chữ
số trừ đi số các số có 5 chữ số bắt đầu bằng số 1. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu
bài toán là : 120-24=96 số.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4?

Giải: Vì các số cần lập là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là số 2 hoặc 4

có 2
cách chọn vị trí hàng đơn vị. Khi chọn hàng đơn vị rồi thì 3 vị trí còn lại chính là
hoán vị của ba số còn lại nên có P
3
=3!=6 cách chọn. Vậy có 2.6=12 các số thỏa mãn
yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1,2,3,4,5?

Giải: Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho. Bây giờ ta xét vị trí của một
chữ số trong 5 số 1,2,3,4,5 chẳng hạn ta xét số 1.
Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị
trí này lại có tổng là 24(10
5

+10
4
+10
3
+10
2
+10+1)=24.11111
Vậy tổng các số có 5 chữ số là 24.11111(1+2+3+4+5)=5599944.

Nhận xét: Qua ba ví dụ trên ta thấy các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một
hoán vị cảu n phần tử là:
*Tất cả n phần tử đều phải có mặt
* Mỗi phần tủ xuất hiện một lần
* Có thứ tự giữa các phần tử

Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain,
International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, French (France)
Ví dụ 4: Có 30 học sinh của trường X tham gia mít tinh, trong đó có 4 học sinh cùng
một lớp 26 học sinh còn lại được chọn từ 13 lớp khác nhau mỗi lớp 2 học sinh. Hỏi
có bao nhiêu cách xếp 30 học sinh thành một hàng sao cho các học sinh cùng một lớp
thì đứng kề nhau.

Giải: Những học sinh cùng một lớp ta xếp cùng một nhóm, ta có 14 nhóm khác nhau
và ta có P
14
cách sắp xếp các nhóm này thành một hàng.
Trong mỗi nhóm 2 người thi ta có 2 cách xếp thành 1 nhóm và nhóm 4 người thì có
4!=24 cách xếp, như vậy với mỗi cách xếp 14 nhóm trên thì ta có 24.2

13
cách hoán vị
các học sinh trong nhóm. Vậy có 24.2
13
.P
14
cách xếp.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn?

Giải: Do các chỗ ngồi xung quanh bàn tròn không có phần tử đầu và phần tử cuối nên
người thứ nhất được ngồi tự do. Tiếp theo n-1 người con lại chính là số hoán vị của
n-1 chỗ ngồi còn lại. Vậy số cách xếp là (n-1)!

Chú ý: Một cách xếp n phần tử thành vòng tròn gọi là hoán vị vòng tròn. Số hoán vị
vòng tròn của n phần tử là (n-1)!.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng tồn tại hai số khác nhau cso 5 chữ số, mỗi số được viết bởi
đúng 5 chữ số 1,2,3,4,5 sao cho hiệu của chúng chia hết cho 120.

Giải: Số các số có 5 chữ số khác nhau là 5!=120 số. Các số này không có số nào chia
hết cho 120 (vì không có số nào tận cùng bằng 0) nên số dư của các số này khi chia
cho 120 chỉ có thẻ là 1,2,3,4,…,119 nên theo nguyên lí Dirichlê tồn tại 2 số a,b trong
120 số đó sao cho a-b chia hết cho 120 (đpcm).

Bài tập:
1) Xét các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng 12?

d) Có bao nhiêu số chia hết cho 5?
e) Có bao nhiêu số lẻ?
2) Có n cuốn sách và n cuốn vở . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n vật trên vào 2n ô sao
cho những cuốn sách được xếp vào ô có vị trí chẵn?
3) Trên một con tàu có 4 toa trống và có 40 nam, 40 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
80 người này lên tau biết rằng trong mỗi toa chỉ có nam hoặc nữ và số người mỗi toa
là bằng nhau.
4) Cho 10 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 23 người này
thành một hàng dọc sao cho đầu hàng là học sinh nam, cuối hàng là học sinh nữ?
5) Một thư viện có 70 cuốn sách tham khảo gồm 20 cuốn Toán, 13 cuốn Lý, 17 cuốn
Hóa và 20 cuốn Tin. Hỏi cô thư viện có bao nhiêu cách xếp 70 cuốn sách này lên giá
sách sao cho những cuốn sách cùng bộ môn phải xếp canh nhau.
6) Tìm tất cả các số thực k sao cho trong tất cả k! số có đúng k chữ số được lập từ
1,2,...,k luôn có hai số sao cho hiệu của hai số đó chia hết cho k?
7) Có bao nhiêu cách xếp 7 nam, 3 nữ xung quanh một bàn tròn sao cho không có
hai nữ ngồi cạnh nhau?
8) Tìm tất cả các giá trị của n sao cho P
n
<500.


Bài 3: CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử . Một chỉnh hợp chập k (
1 kn
) của n
phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A theo một thứ tự
nhất định và được kí hiệu:
k
n

A

Ví dụ: Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử lấy từ tập {1,2,3} là: 12,21,13,31,23,32
Nhận xét: 1) Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử được xem là khác nhau nếu:
* Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau
* Hoặc chúng gồm k phần tử giống nhau nhưng được sắp xếp theo một thứ tự khác
nhau
2) Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
* Cần chọn k phần tử từ n phần tử
* k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự

2. Số chỉnh hợp
Xét tập A gồm n phần tử. Ta đi tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
Phần tử thứ nhất: Có n cách chọn
Phần tử thứ 2: có n-1 cách chọn
..................................................
Phần tử thứ k: có n-(k-1)=n-k+1 cách chọn
Theo quy tắc nhân có n(n-1)...(n-k+1) số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Vậy ta có
định lí sau:
Định lí: Ta có
k
n
n!
A n(n 1)...(n k 1)
(n k)!
    


Nhận xét:
n

nn
n!
A n! P
(n n)!
  

vậy số chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là số
hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số khác nhau gồm 5 chữ số khác nhau được lập bởi từ các chữ
số 1,2,..,9.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau?
Ví dụ 3: Trong cuộc thi đấu cầu mây có 20 vận động viên tham gia. Kết thúc cuộc
đấu người ta trao 1 giải nhất, 1 giải nhì và 2 giải 3. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra,
biết khả năng đạt giải của các vận động viên là như nhau?

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ
0

mà điểm đầu và điểm cuối là 2 trong n điểm nói trên?.

Ví dụ 5: Tìm n sao cho

2 1 6 5 4
n n n n n 1 n 4 n 2
1) A A 8 2)A 10A 3)P .A 15P
  
   

Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
n 2 n 1 2 n k k k 1
n k n k n k n n 1 n 1
1)A A k A 2)A A k.A
  
    
   


Bài tập
1. Tìm số nguyên dương n biết

3
n
54
n n 2
5
n 3 n n 5
a)A 20n
b)A 18A
c)P 720A P






2. Giải các phương trình sau

Bài 4: TỔ HỢP

1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử
(
0 kn
) gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
.
2. Số tổ hợp:
Định lí :
k
n
n!
C
k!(n k)!

