chương 4 dạng song tuyến tính dạng toàn phương

Trang 1
)(xfx 
),(),( yxfyx 



n
ji
jiij
yxayxf
1,
),(














nnnn
n
n
Bij
aaa

aaa
aaa
aA



)(
21
22221
11211
Chương 4 : DẠNG SONG TUYẾN TÍNH –DẠNG TOÀN
PHƯƠNG

4.1. Dạng song tuyến tính
4.1.1. Định nghĩa
 Dạng tuyến tính: Cho V là không gian véc tơ trên IR, xét ánh xạ
f: V IR

Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì f(x) được gọi là dạng tuyến tính trên V.
 Dạng song tuyến: Xét ánh xạ
f: V x V  IR

f(x,y) được gọi là dạng song tuyến trên V nếu ánh xạ f tuyến tính đối với x
khi y không đổi và tuyến tính đối với y khi x không đổi, nghĩa là:
 f(x
1
+x
2
,y) = f(x
1

,y) + f(x
2,
y)
 f( x,y) =  f(x,y)
 f(x,y
1
+y
2
) = f(x,y
1
) + f(x,y
2
)
 f(x,y) = f(x,y)
* Dạng song tuyến f(x,y) gọi là đối xứng nếu :
f(x,y) = f(y,x) , x,y  V
4.1.2. Biểu diễn dạng song tuyến
Cho f(x,y) là dạng song tuyến trên V và (e) = { e
1
, e
2
,… ,e
n
} là một cơ sở
của V. Khi đó, f(x,y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng :


Trong đó:
a
ij

= f(e
i
,e
j
)
x = (x
1
,x
2
,…,x
n
)
y = (y
1
, y
2
,…,y
n
)


Trang 2
nji ,1, 
j
n
ji
iij
xxaxxfxQ




1,
),()(
2
112112
2
111
2 2)(
nnnnnnn
xaxxaxxaxaxQ 

22
222
2
111
)(
nnn
xaxaxaxQ 
Ma trận gọi là

ma trận của dạng song tuyến f(x,y) trong cơ sở (e).
o Nếu a
ji
= a
ij
, thì ta nói dạng song tuyến f(x,y) đối
xứng.
o Dạng song tuyến f(x,y) đối xứng  Ma trận A đối xứng.
4.2. Dạng tòan phương
4.2.1. Định nghĩa

Khi f(x,y) là dạng song tuyến đối xứng trên V, thì f(x,x) ( thay y bằng x)
được gọi là dạng toàn phương trên V.



Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng :
A =
11 12 1
12 22 2
12


. . .

n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a







Ví dụ 1 Ma trận của dạng toàn phương
Q(x) = x
1

2
+3x
2
2
+6x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x
3
+6x
1
x
3
là:
113
132
326
A










Ví dụ 2 Tìm dạng toàn phương khi biết ma trận của nó là :
A =
21 3
11 0
30 5







Dạng toàn phương cần tìm:
22 2
1231213
() 2 5 2 6Qx x x x xx xx  .
4.2.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Nếu a
ij
= 0 khi i  j thì
Trang 3
ji
n
ji
ij
xxaxQ




1,
)(
ji
nji
iji
n
i
ii
xxaxaxQ



1
2
1
2)(
)(')(
1
2
`11
xQxxQ 

)(')(
2
2
`221
xQxxQ 


3121
2
3
2
2
2
1
6442)( xxxxxxxxQ 
Đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương ( chỉ chứa các bình
phương ) .Ma trận của dạng toàn phương ở dạng chính tắc là một dạng ma
trận chéo.
A =
11
22
0 0
0 0
. . .
0 0
nn
a
a
a







4.2.3. 4.2.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange

 Dạng toàn phương

 Vì a
ij
= a
ji
nên ta có thể viết



Bước 1
: Nhóm các số hạng có chứa x
1
, thêm bớt để có một bình phương đủ :

trong đó Q
1
(x) chỉ chứa x
2
, x
3
,…, x
n

Bước 2
: Biến đổi Q
1

(x) như trên :

Trong đó, Q
2
(x) chỉ chứa x
3
, x
4
,…, x
n
 Tiếp tục như thế, nhiều nhất sau n bước Q(x) sẽ là tổng các bình
phương, nghĩa là có dạng chính tắc.
Ví dụ 1 Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc

Giải
Bước 1:

222
112132 3
() 4 6 2 4Qx x xx xx x x   


22222
1 123 23 23 2 3
22 2
123 2 233
[ 2 (2 3 ) (2 3 ) ] (2 3 ) 2 4
((23))2 12 5
x
xx x x x x x x x

xxx x xxx
       
    

Bước 2:

22 2
123 2233
() ( (2 3 )) 2( 6 ) 5Qx x x x x xx x    

Trang 4

22 222
123 22333 3
222
123 23 3
((23))2( 2.39 9)5
( (2 3 )) 2( 3 ) 13
x
xx x xxx x x
xxx xx x
      
    

Đặt
11 2 3
22 3
33
(2 3 )
3

X
xxx
Xx x
Xx
 








Vậy dạng chính tắc cần tìm là:
22 2
12 3
() 2 13QX X X X 
.

Ví dụ 2 Đưa về dạng chính tắc : Q(x) = x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x

1

Giải
Vì
()Qx không chứa các số hạng bình phương nên ta đổi biến
112
212
33
x
yy
x
yy
xy









Khi đó
()Qx trở thành:
22
1132
() 2Qy y yy y . Bây giờ ta biến đổi Q(y) về
dạng chính tắc
2 222 222
1133321323

() 2 ( )Qyy yyyyy yy yy   . Ta thấy Q(y) đã có
dạng chính tắc.
 Đặt
113
22
33
X
yy
Xy
Xy









Vậy dạng chính tắc cần tìm là:
222
123
()QX X X X
.

4.2.4 Phân loại dạng toàn phương
1. Dạng toàn phương Q(x) được gọi là xác định dương ( hoặc xác định âm )
nếu Q(x) > 0 , x  R
n
, x  0 ( hoặc Q(x) < 0 , x  R

n
, x  0)
2. Dạng toàn phương Q(x) được gọi là nửa xác định dương ( hoặc nửa xác
định âm ) nếu Q(x)  0 , x  R
n
và x
o
 0 sao cho Q(x
o
) =0 ( hoặc Q(x)  0 ,
x  R
n
và x
o
 0 sao cho Q(x
o
) = 0 ).
3. Định lý 1. Cho A là ma trận của dạng toàn phương Q(x) và
i

( i =
1, n
) là
các định thức con chính của A .
 Dạng toàn phương Q(x) xác định dương 
i

> 0 ( i = 1, n )
 Dạng toàn phương Q(x) xác định âm 
i


< 0 với n lẻ và
i
 > 0 với
n chẵn .
Trang 5
2
332
2
23121
2
1
683422)( xxxxxxxxxxQ 
Ví dụ 1 Xác định dấu dạng toàn phương

 Ta có:
212
13 4
246
A



 




. Suy ra:
12 3

21
2; 5; 2
13
A

    

.
Vì
123
0; 0; 0   , nên Q(x) xác định dương.
Ví dụ 2 Tìm các giá trị của

để dạng toàn phương sau xác định dương
22 2
12 3 12 13 23
() 5 2 2 4Qx x x x xx xx xx

   
Ta có:
11
12
12 5
A











. Suy ra:
22
12 3
1
1; 1 ; 5 4
1
A





     .
Q(x) xác định dương:
1
2
2
2
3
10
0
11
4
01 0 0
4
5

0
5
0
540








 



       
 

 






Vậy với
4
0
5



thì Q(x) xác định dương.
4. Định lý 2
a. Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc
Q(x) =
,2 ,2 ,2
11 2 2

nn
x
xx
 


 Q(x) xác định dương  
i
> 0 ( i = 1, n )
 Q(x) xác định âm  
i
< 0 ( i = 1, n )
b. Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc
Q(x) =
,2 ,2 ,2
11 2 2

rr
x
xx
 

 ( r < n )
 Q(x) nửa xác định dương  
i
> 0 ( i =
1, r
)
 Q(x) nửa xác định âm  
i
< 0 ( i = 1, r )


Trang 6
Ví dụ Đưa các dạng tòan phương sau đây về dạng chính tắc , xác định dấu và chỉ
ra phép biến đổi tọa độ tương ứng
a. Q(x) = x
1
2
+5x
2
2
+10x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x

3
+4x
1
x
3

b. Q(x) = -x
1
2
-2x
2
2
+

x
3
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
-4x
1
x
3