Ứng dụng tích phân

Ứng dụng tích phân
1. Độ dài cung
1. () : x = x(t), y = y(t) với t  [, ]
+

 s() = ∫

Ví dụ Tính độ dài cung cycloit
x = t – sint, y = 1 – cost với t  [0, 2]
Giải
 Maple (1).
s = 2s()
() : x = t – sint, y = 1 – cost, t  [0, ]
 x’(t) = 1 – cost, y’(t) = sint
(1 − cos ) + (sin )

s = 2∫

= 4 ∫ sin

= 8 (dvdd)

2. () : y = y(x), x  [a, b]
( )

1+

s() = ∫



Ví dụ Tính độ dài cung y3 = x2 bị chắn trong y = 2 – x2
Giải
 Maple (2). Giao điểm
=
=2−

= ±1
=1



 s = 2s()
() : x = y3/2, y  [0, 1]
 x’(y) =
s=∫

4+9

=

13 − 8 (dvdd)


3. () : r = r() với   [, ]
+

s() = ∫



Ví dụ Tính độ dài cung cacdioit r = 1 + cos
Giải
 Maple (3).
s = 2s()
() : r = 1 + cos với   [0, ]
 r’() = – sin
s = 2∫

(1 + cos

= 4 ∫ sin

) + (− sin

)

= 8 (dvdd)

2. Diện tích hình phẳng
1. Phương trình chính tắc
Maple (4).
1) D = { a  x  b, f(x)  y  g(x) }


S(D) = ∫

( )− ( )

2) D = { c  x  d, f(y)  x  g(y) }


S(D) = ∫

( )− ( )

3) S(D) = S(D1) + ... + S(Dn)

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x2 = y và y2 = x
Giải
 Maple (5). Giao điểm
=
=



=0
và
=0

=1
=1


 D = { 0  x  1, x2  y  √ }
S(D) = ∫

√ −

=

(dvdt)

2. Phương trình tham số
1) D = { a  x = x(t)  b, 0  y  y(t) với t  [, ] }
S(D) = ∫



( )|

( )|

2) (D) : x = x(t), y = y(t) với t  [, ]
S(D) = ∫



( )

( )− ( )

( )

Ví dụ Tính diện tích của miền hình sao
x = a.cos3t, y = a.sin3t với t  [0, 2]
Giải
 Maple (6).
x’(t) = –3acos2tsint, y’(t) = 3asin2t cost
S(D) = 4 ∫ 3

cos

sin

=

a2 (dvdt)

r()
3. Phương trình tọa độ cực
D = {     , 0  r  r() }
S(D) = ∫



( )




Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
r = 2cos và r  1
Giải
 Maple (7). Giao điểm
r = 2cos và r = 1 với –    
 S = 2S(D)
D = { 0    , 1  r  2cos}



=±


 S(D) = ∫ (2cos )

− ∫ (1)

= ∫ (1 + 2 cos 2 )

=

+

√

3. Thể tích của vật thể
1. Thể tích vật thể là tích phân của thiết diện
Maple (8).
( )

V() = ∫



Ví dụ Tính thể tích vật giới hạn bởi hai hình trụ
y2 + z2 = a2 và z2 + x2 = a2
Giải
 Maple (9).
V = 8V()

 Thiết diện qua (0, 0, z) là hình vng cạnh
x=y=√

−

 V = 8∫ (

−

, S(z) = a2 – z2
)

=

a3 (dvtt)

2. Vật tròn xoay  tạo bởi D quay quanh trục 
1) D = { a  x  b, 0  y  y(x) } trục Ox


( )

V() = ∫

2) D = { a  x  b, 0  y  y(x) } trục Oy


V() = 2∫ | . ( )|

3) D = {     , 0  r  r() } trục cực



V() =

∫

( ) sin

Maple (10).

Ví dụ Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn


bởi y2 = x và y = x2, quay quanh trục Ox
Giải
 Maple (11). V = V1 – V2
D1 = { 0  x  1, 0  y  √ }
D2 = { 0  x  1, 0  y  x2 }
quay quanh trục Ox
 V = ∫

– ∫

=

 (dvtt)

4. Diện tích mặt trịn xoay
1. Mặt S tạo bởi  : y = f(x), x  [a, b]
1) Quay quanh trục Ox



1+

S = 2∫

( )

2) Quay quanh trục Oy


1+

S = 2∫

( )

Maple (12).

Ví dụ Tính diện tích mặt nón x2 + y2 = z2 , 0  z  a
Giải
 Mặt nón tạo bởi x = z với 0  z  a
quay quanh Oz
 S = 2∫

1 + (1)

=

2 a2 (dvdt)

2. Mặt S tạo bởi cung  quay quanh Ox
() : x = x(t), y = y(t), t  [, ]


S = 2∫

( )

+

Ví dụ Tính diện tích mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2


Giải
 Mặt cầu tạo bởi nửa đường tròn
x = acost và y = asint với t  [0, ]
quay quanh Ox.
(− asin ) + (acos )

S = 2∫ asin
= 4a2 (dvdt)

3. Mặt S tạo bởi cung  quay quanh trục Ox
()

r = r(),   [, ]



S = 2∫

( ) sin

+

Ví dụ Tính diện tích mặt trịn xoay tạo bởi đường hình
tim

r = 1 + cos với   [0, 2]

quay quanh trục cực.
Giải
 () : r = 1 + cos với   [0, ]
 S=

2∫ (1 + cos

=

 (dvdt)

) sin

(1 + cos

) + (− sin

)