một số vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (416.53 KB, 26 trang )
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị :
Phương pháp:
1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C
1
):
(
)
xfy
=
, với các ghi nhớ:
* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox
* Viết
( )
<
≥
==
0
0
f(x) - f(x) khi
(x) f(x) khi f
xfy
* Đồ thị (C
1
) :
(
)
xfy
=
được vẽ bằng các bước:
+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên Ox
+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox
+ Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C
1
):
(
)
xfy
=
2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C
2
):
(
)
xfy =
với các ghi nhớ
*
(
)
xfy =
là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy
* Ta vẽ đồ thị (C
2
) qua các bước:
+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy
+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)
+ Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C
2
):
(
)
xfy =
3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C
3
):
(
)
xfy =
bằng cách kết
hợp dạng 1 và dạng 2
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy. Giữ
nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C
2
)
(
)
xfy =
+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C
2
) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên
Ox
+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C
3
):
(
)
xfy =
4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản
Từ đồ thị (C) :
b
ax
CBxAx
y
+
++
=
2
(giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C
4
)
>−<
+
++
−
>−>
+
++
=
+
++
=
0)a;(x
0)a;(x
a
b
bax
CBxAx
a
b
bax
CBxAx
bax
CBxAx
y
2
2
2
Qua các bước :
+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a
b
x −=
+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a
b
x −=
vừa bỏ đi qua d
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)
Tương tự với các đồ thị (C
4
)
dcx
bax
y
+
+
=
hay
(
)
( )
xQ
xP
y =
và các đồ thị
(
)
( )
xQ
xP
y =
hay
(
)
(
)
xQxPy =
5) Dạng 5:Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C
5
):
(
)
xfy =
hay (C
5
):
(
)
( )
( )( )
0≥
−
= xf:ñk
xf
xf
y
qua các bước
+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox
+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
1
:
2
−
=
x
x
yC
b) Suy ra đồ thị
( )
1
:
2
1
−
=
x
x
yC
Giải: Đồ thị (C)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
Đồ thị (C
1
)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thị
( )
1
:
2
2
−
=
x
x
yC
Đồ thị (C
2
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x+1
x=-1
Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Vẽ đồ thị
( )
1
:
2
3
−
=
x
x
yC
Đồ thị (C
3
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=-1
x=1
y=-x+1
y=x+1
Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thị
( )
1
:
2
4
−
=
x
x
yC
Đồ thị (C
4
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
x=-1
Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Vẽ đồ thị
( )
1
:
2
5
−
=
x
x
yC
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:
Phương pháp
:
Cho hai đường cong (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C
1
) với (C
2
)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
f(x) = g(x)
⇔
f(x) – g(x) = 0 (1)
* Giải và biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C
1
) với (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C
1
) cắt (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C
1
) tiếp xúc (C
2
)
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
N
ếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghi
ệm x ≠ 2
Ta có
m
=
∆
′
m < 0
0
<
∆
′
⇔
: (2) vô nghiệm
m = 0
0
=
∆
′
⇔
: (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m
≠ 9
0
>
∆
′
⇔
:
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm
0 < m
≠ 9
: (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
x 2
y
+ +
=
+
(C)
Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thị
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2
(
)
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠
−
=
⇔
032221412
03214
2
44
01
mmmmaf
mmmm
ma
>−
>+
⇔
m) (
m m
013
01624
2
9
>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
K
ế
t lu
ậ
n :
>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t thu
ộ
c cùng
m
ộ
t nhánh c
ủ
a (C)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Bài toán 3
:Cho hàm s
ố
1
2
−
=
x
x
y
. Tìm 2
đ
i
ể
m A , B n
ằ
m trên
đồ
th
ị
(C) và
đố
i
x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng (d) y = x – 1
Gi
ả
i: Vì A , B
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (d’) y = –x + m
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (
đ
k : x
≠
1)
⇔
2x
2
– (m + 1)x + m = 0 (*)
Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0
⇔
m
2
– 6m + 1 > 0
+>
−<
⇔
53
53
m
m
Gi
ả
s
ử
(d’) c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B. G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m A, B:
−
=+−=
+
=
+
=
⇒
4
13
4
1
2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I
A và B
đố
i x
ứ
ng qua (d)
⇒
I thu
ộ
c (d): y = x – 1
⇒
1
4
1
4
13
−
+
=
−
mm
⇒
m = – 1
Lúc
đ
ó (*) thành tr
ở
thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔
x =
2
1
±
V
ậ
y
+−
−
2
2
1;
2
1
A
−−
2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4
:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và
đườ
ng th
ẳ
ng (d) cùng ph
ươ
ng
đườ
ng y = 2x sao
cho (d) c
ắ
t (P) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m A, B
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (d) khi 2 ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (P) t
ạ
i A và B vuông góc
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (d) khi AB = 10
Gi
ả
i: G
ọ
i (d): y = 2x + m là
đườ
ng th
ẳ
ng cùng ph
ươ
ng v
ớ
i
đườ
ng y = 2x
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (P)
x
2
– 2x – 3 = 2x + m
⇔
x
2
– 4x – 3 – m = 0
(d) c
ắ
t (P) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A và B
⇔
∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7
Lúc
đ
ó g
ọ
i x
A
, x
B
là 2 nghi
ệ
m c
ủ
a (1) ta có
S = x
A
+
x
B
= 4
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (P) t
ạ
i A, B vuông góc
f’(x
A
)f’(x
B
) = –1
⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1
⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
−
(nh
ậ
n vì m > –7)
b) A, B thu
ộ
c (d)
⇒
y
A
= 2 x
A
+ m
y
B
= 2 x
B
+ m
Ta có AB
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
= 20
⇔
S
2
– 4P = 20
⇔
16 + 4(3+m) = 20
⇔
m = – 2 (nh
ậ
n vì m > –7)
Bài toán 5
: Cho hàm s
ố
( ) ( )
H
m
x
mxxfy
+
+−+==
1
3
Tìm a để đường thẳng
(
)
∆
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
(
)
∆
:
( ) ( )
111
1
1
2 −≠++=
+
++ x:ñk xa
x
x
(
)
11233
22
+
+
+
+
=
+
+
⇔
xxxaxx
(
)
(
)
(
)
(
)
*
02121
2
=−+−+−=⇔ axaxxxg
(
)
∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m có hoành
độ
trái dáu
⇔
(*) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2121
01, xxxx
<
<
Λ
−
≠
(
)
(
)
( )
( )( )
( ) ( )
21
012121
021
01
01
001
<<⇔
≠=−+−−−
<−−
⇔
≠−
≠−
<
−
⇔ a
aaa
aa
a
g
ga
Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :
Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
Tính y’ = f’(x)
⇒
y’(x
0
) = f’(x
0
)
Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x
0
;y
0
) là: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A
- Cách 1:
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(x
A
; y
A
) và có hệ số
góc k : (D) : y =k(x – x
A
) + y
A
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – x
A
) + y
A
(1)
* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác định đuợc k. Từ đó viết
được phương trình (D)
- Cách 2:
* Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
* (D) đi qua điểm A nên : (y
A
– y
0
) = f’(x
0
)(x
A
– x
0
) (1)
Giải (1) tìm được x
0
, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
(D) : y = kx + m (1)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m
* (D) là tiếp tuyến của (C)
⇔
(1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trị của m , từ
đó viết được phương trình của (D)
- Cách 2:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm:
(D) có hệ số góc k
(D) có hệ số góc f’(x
0
)
⇒
f’(x
0
) = k (1)
* Giải (1) tìm được x
0
; y
0
= f(x
0
). Từ đó viết được phương trình của (D)
Bài toán 1: Cho hàm số (C)
2
2
43
2
−
+−
=
x
xx
y
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
( )
(C) 1x ≠
−
+−=
−
+−
=
1
1
1
2
2
2
43
2
x
x
x
xx
y
(
)
(
)
⇒
∈
CbaM ;
tiếp tuyến tại M là (d)
( )
(
)
baxyy
a
+
−
′
=
−
+−=
1
1
1
2 a
a
b
( )
( )
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−
−
−=⇔
a
a
ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1
( ) ( )
−
+−=∩
⇒
1
2
2
1
;1
1
a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
( ) ( )
−−=∩⇒−=
2
3
;121
2
2
aaBdd
x
y
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Ta có :
( ) ( )
MBA
xaaxx ==−+=+ 121
2
1
2
1
( )
MBA
y
a
a
a
a
yy
=
−
+−=
−+
−
+−=+
1
1
1
22
3
1
2
2
1
2
1
2
1
Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI
−−=
⇒
−
2
1
2
1
;1
222.
1
2
.
2
1
=−
−
= a
a
Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0
; y
0
)
(
)
C
∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) =
963
0
2
0
−+ xx
Ta có
(
)
121213
2
0
−≥−+= xk
. Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( )
−<
>
⇔
≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
==
−=+=
⇒
1
CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
(
)
(
)
1
−
=
′
′
⇔
BC
xfxf
(
)
(
)
12323
−
=
+
+
⇔
mxmxxx
CBCB
(
)
[
]
1469
2
−
=
+
+
+
⇔
mxxmxxxx
CBCBCB
(
)
[
]
14691
2
−
=
+
−
+
⇔
mmm
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
10
2
2
=
⇔
m
5±=⇔ m
(nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần luợt là giao
điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng A
1
,
B
1
, C
1
thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12132313
32
00
3
0
2
0
+−−=−−+−−= xxxxxxxxyd
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)
(
)
(
)
121323
32
0
3
+
−
−
=
−
−
xxxxx
(
)
(
)
02
0
2
0
=+−⇔ xxxx
(
)
−=
=
⇔
0
0
2xx
xx
ùp
nghieäm ke
Gọi A(a; y
A
) , B(b; y
B
) , C(c; y
C
)
⇒
giao điểm A
1
, B
1
, C
1
của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)
(
)
268;2
3
1
−+−−= aaaA
(
)
268;2
3
1
−
+
−
−
=
bbbB
(
)
268;2
3
1
−+−−= cccC
* A, B, C thẳng hàng :
(
)
( )
acac
abab
ac
ab
−−−
−−−
=
−
−
⇔
3
3
33
33
3
3
1
22
22
−++
−++
=⇔
ac
a
c
abab
ab
b
ac
c
+
=
+
⇔
22
(
)
(
)
0
=
+
+
−
⇔
cbabc
(
)
b
c
≠
=
+
+
⇔
0cba
* A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng :
(
)
(
)
( )
( )
caca
baba
ca
ba
−−−
−−−
=
−
−
⇔
68
68
22
22
33
33
(
)
( )
34
34
1
22
22
−++
−++
=⇔
caca
baba
ab
b
ac
c
+
=
+
⇔
22
(
)
(
)
0
=
+
+
−
⇔
cbacb
(
)
b
c
≠
=
+
+
⇔
0cba
Vậy : A, B, C thẳng hàng
⇔
A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình bằng đồ thị:
Phương pháp :
1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)
* Đưa về dạng : g(x) = m
* Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) và (D) : y = m
* Xét sự tương giao của (C) và (D) trên đồ thị theo tham số m
* Kết luận : số giao điểm trên đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)
2)Dạng 2: f(x) = g(m)
* y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x
0
; y
0
) cố định
* y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc không đổi
* g(m) = f(m)
Bài toán 1: Cho hàm số y = x
3
– 3x (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
xxy
3
sin33sin
−
−
=
Giải: a) Đồ thị (C)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
b)
xxy
3
sin33sin
−
−
=
(
)
xxxy
33
sin3sin4sin3 −+−=⇔
xxy
33
sin3sin
−
=
⇔
Đặt t = sinx ,
[
]
1;1
−
∈
t
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Xét y = t
3
– 3t với
[
]
1;1
−
∈
t
Nhìn vào đồ thị (C) ta thấy
[ ]
Π+
Π
−=⇔−=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
kxtMaxy
t
[ ]
( )
Zlk, ∈Π+
Π
=⇔=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
lxtMiny
t
Bài toán 2: Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx
y
Giải: a)Đồ thị (C)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
b) Đặt
10cos
≤
≤
⇒
=
txt
Vậy
1
12
2
+
++
=
t
tt
A
với
[
]
1;0
=
D
Nhìn vào đồ thị hàm số (1) ở trên khi xét
[
]
1;0
∈
t
ta thấy:
Π=⇔=⇔
−=
=
⇔
−=
=
⇔= kxx
x
x
t
t
MaxA 0sin
1cos
1cos
)(
2
1
1
2
loaïi
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
( )
Zlk, ∈Π+
Π
=⇔=⇔=⇔= lxxtMinA
2
0cos01
Bài toán 3: Cho hàm s
ố
2
3
2
+
−+
=
x
xx
y
(C)
a)
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
b)
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a:
(
)
(
)
0231
24
=−−−+= mtmttf
Gi
ả
i: a)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
x
y
b)
(
)
0231
24
=−−−+ mtmt
(*)
(
)
23
234
+=−+⇔ tmtt
m
t
tt
=
+
−+
⇔
2
3
2
24
Xét hàm s
ố
2
3
2
+
−+
=
x
xx
y
v
ớ
i
0
2
≥
=
t
x
Nhìn vào
đồ
th
ị
ta th
ấ
y khi
2
3
−≥m
thì (d) c
ắ
t (C) t
ạ
i 1
đ
i
ể
m có hoành
độ
không âm
V
ậ
y khi
2
3
−=m
có nghi
ệ
m x = t
2
= 0
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
⇒
(*) có nghi
ệ
m kép
0
21
=
=
tt
2
3
−>m
thì (*) có 2 nghi
ệ
m
2
3
−<m
thì () vô nghi
ệ
m
Bài toán 4:Cho hàm s
ố
( )
1
2
−
==
x
x
xfy
(C)
a) Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
b) Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
(
)
02
=
−
−
mxm
v
ớ
i
[
]
2;1
−
∈
x
Gi
ả
i:a)
Đồ
th
ị
(C)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y
b) Xét ph
ươ
ng trình
(
)
02
=
−
−
mxm
v
ớ
i
[
]
2;1
−
∈
x
(
)
xxm 21
=
−
⇔
(*)
Vì
1
=
x
không là nghi
ệ
m c
ủ
a (*)
V
ậ
y
1
2
−
=
x
x
m
v
ớ
i
[
]
2;1
−
∈
x
Xét
đườ
ng y = m và
1
2
−
=
x
x
y
v
ớ
i
[
]
2;1
−
∈
x
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
Nhìn vào
đồ
th
ị
ta th
ấ
y
(
)
0;
∞
−
∈
m
: (*) có 2 nghi
ệ
m
{
}
)
[
∞
+
∪
∈
;40m
: (*) có 1 nghi
ệ
m
(
)
4;0
∈
m
: (*) vô nghi
ệ
m
Bài toán 5: Cho hàm s
ố
( )
1
2
−
==
x
x
xfy
(C)
a)
Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b)
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm
Gi
ả
i: a)
Đồ
th
ị
(C)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y
y=-3x+1
b)
(
)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm
(*)
Ta th
ấ
y x = 1 không là nghi
ệ
m c
ủ
a (*) , ta có
( )
1
1
*
2
+=
−
⇔ mx
x
x
Đặ
t (d) : y = mx + 1 , (d) luôn
đ
i qua A(0;1)
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*) chính là s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và (d) :
(C) :
1
2
−
=
x
x
y
(d) là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) khi (*) có nghi
ệ
m kép
( ) ( )
=−−−
≠
−
⇔
0141
01
2
mm
m
=−+
≠
⇔
032
1
2
mm
m
( )
=
−
=
⇔
loaïi1
3
m
m
3
−
=
⇔
m
V
ậ
y ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1
* K
ế
t lu
ậ
n
3
−
=
m
: (d) ti
ế
p v
ớ
i (C)
⇔
ph
ươ
ng trình (*) có nghi
ệ
m kép
(
)
(
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
;13;m
:(d) c
ắ
t (C) t
ạ
i 2 di
ể
m phân bi
ệ
t
⇔
ph
ươ
ng trình
(*)có 2 nghi
ệ
m
đơ
n
(
]
1;3
−
∈
m
:
(
)
(
)
Φ
=
∩
Cd
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Bài toán 6: Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình
0212164
2
=−−+− mxxx
Gi
ả
i:
(
]
[
)
+∞
∪
∞
−
=
;31;D
m
x
xxmxxx +=+−⇒=−−+−
2
340212164
22
Đặ
t (d) :
m
x
y +=
2
Xét (C) :
34
2
+−= xxy
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y
2
1
2
−=
x
y
2
3
2
−=
x
y
* D
ự
a vào
đồ
th
ị
ta có
−∞−∈
2
3
;m
: ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m
−−∈
2
1
;
2
3
m
: ph
ươ
ng trình có 1 nghi
ệ
m
+∞−∈ ;
2
1
m
: ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m
Bài toán 7: Cho hàm s
ố
42
23 xxy −+=
(C)
a) Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
b) Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2424
2
2
m
m
x
x
−
=
−
Gi
ả
i: a)
Đồ
th
ị
(C) :
42
23 xxy −+=
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
x
y
y=4
y=3
b)
2424
2
2
m
m
x
x
−
=
−
3
2
3
2
2424
+
+
−
=
+
+
−
⇔
x
m
x
x
Xét
(
)
32
24
++−== xxxfy
(C)
(
)
mfmmty =++−== 32
24
Nhìn vào
đồ
th
ị
ta th
ấ
y :
Khi
1
4
±
=
⇔
=
m
t
: (*) có 2 nghi
ệ
m kép
1
±
=
x
2
0
3
±
=
=
⇔
=
m
m
t
V
: (*) có 3 nghi
ệ
m ; 1 nghi
ệ
m kép x = 0
và 2 nghi
ệ
m
đơ
n
2
±
=
x
≠
±≠
<<−
⇔<<
0
1
22
43
m
m
m
t
: (*) có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
>
−<
⇔<
2
2
3
m
m
t
: (*) có 2 nghi
ệ
m
đơ
n
Vấn đề 5: Biện luận số đường cong đi qua diểm cho trước:
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Phương pháp:
cho đường (Cm) = f(x, m) và điểm M(x
0
; y
0
) cho trước. Biện luận theo
m số đường (Cm) đi qua M
* M(x
0
; y
0
) thuộc (Cm)
⇔
y
0
= f(x
0
, m)
* Biến đổi phương trình có ẩn m , và x
0
; y
0
là tham số
Am + B = 0 (1) hay Am
2
+ Bm + C = 0 (2)
* Biện luận số nghiệm của phương trình (1) và (2) theo m . Từ đó suy ra số(Cm) đi
qua M
Bài toán 1: Cho hàm số
(
)
m
x
mxm
y
+
+
+
−
=
31
(Cm)
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
đườ
ng (Cm)
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
β
α
;M cho s
ẵ
n
Gi
ả
i:
( ) ( )
(
)
( )
α
α
α
ββα
−≠
+
+
+
−
=⇔∈ m
m
mm
CmM
31
;
(
)
(
)
31
+
+
−
=
+
⇔
mmm
α
β
α
(
)
31
−
+
=
+
−
⇔
α
αβ
β
α
m (*)
* N
ế
u
1
0
1
+
≠
⇒
≠
+
−
α
β
β
α
thì (*) có 1 nghi
ệ
m
1
3
+−
−
+
=
βα
α
αβ
m
V
ậ
y
1
+
≠
α
β
thì có m
ộ
t
đươ
ng (Cm)
đ
i qua M
* N
ế
u
1
0
1
+
=
⇒
=
+
−
α
β
β
α
(
)
(
)
320310*
2
−
+
=
⇔
−
+
+
=
⇔
α
α
α
α
α
mm
- N
ế
u
−≠
≠
⇔≠−+
3
1
032
2
α
α
αα
thì (*) vô= nghi
ệ
m .
V
ậ
y
3
1
;
1
−
≠
∪
≠
+
=
α
α
α
β
thì không có (Cm)
đ
i qua M
- N
ế
u
3
1
;
1
−
=
∪
=
+
=
α
α
α
β
thì có vô s
ố
(Cm)
đ
i qua
(
)
(
)
2,3,2;1
21
−
−
MM
Nh
ậ
n xét : M
1
, M
2
chính là 2
đ
i
ể
m có
đị
nh c
ủ
a (Cm)
Bài toán 2:Cho hàm s
ố
(
)
m
x
mmxmmmx
y
−
+−+−+−
=
21
222
có
đồ
th
ị
(Cm)
CMR luôn tìm
đượ
c 2 giá tr
ị
c
ủ
a m
để
đồ
th
ị
(Cm)
đ
i qua M(x
0
; y
0
) v
ớ
i
x
0
> 1
Gi
ả
i:
(
)
⇔
∈
CmM
(
)
mx
mmxmmmx
y
−
+−+−+−
=
0
2
0
22
0
0
21
(
)
mx
≠
0
(
)
(
)
0211
00000
2
0
2
0
=
+
−
+
+
−
−
+
−
⇔
yxxmyxxmx
(
)
1
0
>
x
(*)
Ta gi
ả
i (*)
để
tìm nghi
ệ
m m
(
)
(
)
(
)
2141
0000
2
00
2
01
+−−++−−=∆ yxxxyxx
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
121411
000
2
000
−−−+−+−= yxxyxx
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1141811121
0000
2
0000
2
0
2
0
−−−−+−+−−+−= yxxxyyxxxx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
2
00000
2
01
1181121 −+−+−−−−=∆⇔ xxxyxxy
Ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh
(
)
10
00
>
∈
∀
>
∆
xRy
vôùi
Đặ
t
1
0
−
=
yt
ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
xgxxxtxxt =−+−+−−=∆
2
0
2
0000
2
11812
RyRt
∈
∀
>
∆
⇒
∈
∀
>
∆
⇒
011
,0,0
⇒
(*) luôn có 2 nghi
ệ
m m
V
ậ
y: có 2
đườ
ng (Cm)
đ
i qua M(x
0
; y
0
) v
ớ
i x
0
> 1
Vấn đề 6: Tìm điểm cố định của họ đường cong:
Phương pháp:
Cho (Cm): y = f(x, m) . Tìm các điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi
* Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố định (Cm) luôn đi qua
* M(x
0
; y
0
) tuộc (Cm)
⇔
y
0
= f(x
0
)
* Biến đổi y
0
= f(x
0
,m)
⇔
Am + B = 0 hoặc Am
2
+ Bm + C = 0 về dạng
( )
=
=
0
0
B
A
I
hoặc
( )
=
=
=
0
0
0
C
B
A
II
Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x
0
; y
0
). Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm
Bài toán 1: Cho hàm số y = x
3
– (m + 1 )x
2
– (2m
2
– 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) (Cm)
Tìm điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m . ĐỊnh m để (Cm)
tiếp xúc với Ox
Giải: a) y = x
3
– (m + 1 )x
2
– (2m
2
– 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 )
⇔
( 2x – 4)m
2
+ (x
2
– 3x + 2)m + y – x
3
+ x
2
+ 2x = 0
Toạ độ điểm cố định là nghiệm của hệ :
=
=
⇔
=++−
=+−
=−
0
2
02
023
042
23
2
y
x
xxxy
xx
x
Kết luận : (Cm) luôn đi qua điểm M(2; 0) với mọi m
b) M(2; 0) là điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x
nên: x
3
– (m + 1 )x
2
– (2m
2
– 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) = 0
(x – 2)[x
2
– (m – 1)x – (2m
2
– m)] = 0
Để (Cm) tiếp xúc với Ox thì g(x) = x
2
– (m – 1)x – 2m
2
+ m = 0 có nghiệm
x = 2 hoặc có nghiệm kép khác 2
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
( )
( )
=
−=
⇔
=
>+−=∆
=⇔
≠
=+−=∆
⇔
2
3
2
02
0169
3
1
02
0169
2
2
m
m
g
mm
m
g
mm
Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x
3
– 2mx
2
– (m – 2)x + 2m + 1
Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m thay đổi
Giải : y = (m + 1)x
3
– 2mx
2
– (m – 2)x + 2m + 1
=
=
−=
−=
=
=
⇔
=−++
=+−−
⇔
13
2
2
1
4
1
012
022
3
23
y
x
y
x
y
x
y xx
xxx
Bài toán 3: cho hàm số
(
)
m
x
xm
y
−
−
−
=
21
(Hm)
Chứng minh rằng (Hm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay
đổi ,ngoại trừ một vài giá trị m mà ta phải xác định
Giải:
(
)
( ) ( ) ( )
mxxmmxy
m
x
xm
y ≠−−=−⇔
=
−
−
= 21
21
(
)
(
)
=++
=+
⇔
=
+
+
−
+
⇔
02
0
02
xxy
yx
xxymyx
≠⇒
−=
=
−≠⇒
=
−=
⇔
2
2
2
1
1
1
m
y
x
m
y
x
Vậy: khi m thay đổi , với
≠
−
≠
2
1
m
m
thì (Hm) luôn đi qua hai điểm cố định
Bài toán 4: Cho hàm số y = mx
3
+ (1 – m)x + 1 có đồ thị (Cm)
Tìm tất cả các điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua với mọi m
Giải: Gọi M (x
0
; y
0
) là điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua
M(x
0
; y
0
) không thuộc (Cm)
⇔
(x
3
– x)m + x + 1 – y ≠ 0 với mọi m
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
≠−+
=−
⇔
01
0
3
yx
xx
≠
−
=
≠
=
≠
=
⇔
0
11
1
0
y
x
y
x
V
2y
x
V
Kết luận : Đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua các điểm của (0; a) , (1; b) ,
(-1; c) với a ≠1 V b ≠2 V c ≠ 0
Bài toán 5 : Cho họ đường cong (Cm) y = (m + 3)x
3
– 3(m + 3)x
2
– (6m + 1)x + 1
CMR: (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng
Giải : y = (m + 3)x
3
– 3(m + 3)x
2
– (6m + 1)x + 1
(x
3
– 3x
2
– 6x + 1)m + (3x
3
– 9x
2
– x + 1 – y) = 0
Toạ độ điểm cố định (nếu có) sẽ là nghiệm của hệ
(
)
( )
−=
=+−−
⇔
=−+−−
=+−−
2217
10163
0193
0163
23
23
23
xy
xxx
yxxx
xxx
Để chứng minh (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thẳng hàng ta cần chứng minh
(1) có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số y = x
3
– 3x
2
– 6x + 1 (C) có hai giá trị
cực trị trái dấu
Ta có: y’ = 3x
2
– 6x – 6
⇒
y’ = 0
31±=⇔ x
Suy ra y
CĐ
y
CT
=
(
)
(
)
59736736 −=−+−
Kết luận : (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thược đường thẳng (d): y = 17x – 2
Vấn đề 7: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích):
Phương pháp
:
điểm M di động thoả các điều kiện cho trước
* Tính toạ độ điểm M phụ thuộc theo một tham số m , t
x = f(m) & y = g(m)
* Khử m (hay t) giữa x và y, ta có một hệ thức độc lập đối với m có dạng sau gọi là
phương trình quỹ tích :
F(x, y) = 0 (hay y = h(x) )
* Giới hạn : dựa lvào điều kiện của tham sô m, ta tìm được điều kiện của x và y để
M(x, y) tồn tại . Đó là sự giới hạn của quỹ tích.
Bài toán 1: Cho hàm số
23
3xxy
−
=
Gọi
(
)
∆
là đường thẳng qua gốc tạo độ và có hệ số góc k . Với những
giá trị nào của k thì
(
)
∆
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, O ? Tìm tập
hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.
Giải:
(
)
∆
qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
∆
và (C) là :
kx
x
x
=
−
23
3
⇔
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
(
)
(
)
*
03
2
=
−
−
⇔
kxxx
Đặt
(
)
kxxxg
−
−
=
3
2
(
)
∆
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,O
⇔
g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
(
)
( )
>+=∆
≠
−
=
⇔
049
00
k
kg
xg
−>
≠
⇔
4
9
0
k
k
Vì x
A
, x
B
là nghi
ệ
m c
ủ
a g(x)
−==
=−=+=
⇒
kxxP
a
b
xxS
BA
BA
3
G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB
==
=
+
=
⇒
kkxy
xx
x
II
BA
I
2
3
2
3
2
Gi
ớ
i h
ạ
n :
−>
≠
2
9
0
k
k
−>
≠
⇔
4
9
3
2
0
3
2
I
I
y
y
−>
≠
⇔
8
27
0
I
I
y
y
V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p c
ủ
a I là
đườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình
2
3
=x
v
ớ
i
8
27
0 −>Λ≠ yy
Bài toán 2: Cho hàm s
ố
(C)
x
x
y
1
2
+
=
. Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
để
t
ừ
đ
ó có th
ể
k
ẻ
đế
n (C) 2 ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
Gi
ả
i: G
ọ
i M(x
0
; y
0
)
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d) qua M có h
ệ
s
ố
góc k
y = k(x – x
0
) + y
0
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (C)
(
)
(
)
0
kx
≠+−=+
00
2
1 ykxkxxx
(
)
(
)
(
)
*011
00
2
=
+
−
−
−
⇔
xkxyxk
(d) ti
ế
p xúc (C)
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
( ) ( )
=−−−=∆
≠
⇔
014
1
2
00
kkxy
k
( ) ( )
I
y
0
≠
=−+−+
≠
⇔
0
2
000
22
0
0422
1
kx
ykyxkx
k
Từ M vẽ 2 tiếp tuyến đến (C) vuông góc nhau
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
−=
≠
1
1,
21
21
kk
kk
( )
≠−
−=
−
≠
⇔
0
1
4
0
2
00
2
0
2
0
0
xy
x
y
x
≠
=+
≠
⇔
00
2
0
2
0
0
4
0
xy
yx
x
Vậy tập hợp các điểm thoả yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình
4
22
=
+
yx
loại bỏ 4 giao điểm của đường tròn với 2 đường tiệm cận
Bài toán 3:Cho Parabol(Pm)
(
)
4222
2
−
+
−
−
=
mxmxy
.Tìm quỹ tích đỉnh của (Pm)
(Pm)
(
)
4222
2
−+−−= mxmxy
có
đỉnh S:
( ) ( )
−+−−=
−=
2222
2
2
mxmxy
a
b
x
S
( )
( ) ( ) ( )
−+−−=
−
=
⇔
2
1
2222
4
2
2
mxmxy
m
x
S
(
)
241
−
=
⇔
mx
Thế vào (2) , ta được :
xxyxxxxy 824.2.42
22
+−=⇔+−=
V
ậy quỹ tích đỉnh S của (P) :
xxy 82
2
+
−
=
Bài toán 4: Cho hàm số (Cm) :
(
)
1323
23
−−+−== mxmxxxfy
Tìm qu
ỹ tích điểm uốn của đồ thị (Cm) của hàm số
Giải: TXĐ : D = R
