bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_4 potx

Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
16
nó là một đường nối liền từ điểm
( , ( ))
A a f a
đến điểm
( , ( ))
B b f b
. Xem hình 1.6






1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục
Giả sử
( ), ( )
f x g x
là hai hàm liên tục trên
[ , ]
a b
. Khi đó:
1)
( ) ( )
f x g x

và
( ) ( )

f x g x
liên tục trên
[ , ]
a b
, nếu
( ) 0
g x

thì
( )
( )
f x
g x
liên tục trên
[ , ]
a b
.
2)
( )
f x
liên tục trên
[ , ]
a b
.
3) Nếu
( )
u x
liên tục tại
0
x

và
( )
f u
liên tục tại
0 0
( )
u u x

thì hàm
0
( )
f u x
liên tục tại
0
x
.
4)
( )
f x
liên tục trên
[ , ]
a b
thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó.
1.4.3 Điểm gián đoạn
Nếu
( )
f x
không liên tục tại
0
x D


thì ta nói
( )
f x
gián đoạn tại
0
x
và điểm
0
x
gọi là điểm
gián đoạn.
Hàm
( )
f x
gián đoạn tai
0
x
nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại
-
0 0
,
x x

thì
0
x
được gọi là
điểm gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm

(1)
1, 0
( )
sin
, 0
2
x
f x
x
x
x













Ta có
0 0
sin 1
lim ( ) lim (0) 1
2 2
x x

x
f x f
x
 
   
.
Vậy
( )
f x
gián đoạn tại
0
x

,và
0
x

là điểm gián đoạn loại 1
(2)
1 , 0
( )
-1 , 0
x x
f x
x x














Hàm số gián đoạn tại
0
x

và
0 0
lim ( ) 1, lim ( ) 1
x x
f x f x
 
 
  
nên
0
x

là điểm gián đoạn
loại 1
(3)
2 3
( )
2

x
f x
x



, có điểm gián đoạn tại
0
2
x


Hình 1.6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
17
Ta có
2
lim ( )
x
f x


 

2
lim ( )
x

f x


 

Suy ra
0
2
x

là điểm gián đoạn loại 2

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Hàm số
Câu 1. Tìm miền xác định của hàm số
a)
2
1ln xy  ; ds )1;1(


b)
1
1
arctan


x
y ; ds );1(


c)
2
1
1
x
x x

 
; ds
( ; )
 

d)
2
1
x x
e
 
; ds
( ; )
 

c)
2
sin
2 3
x
x x
  

; ds
( 3;1)


Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a)
y x


b)
2
4 4
y x x
  

c)
2
y x x
  

d)
2
x x
e e
y




e)

2
x x
e e
y



Giới hạn HS
Câu 1. Tính giới hạn của các dãy số sau:
a)
)(lim
2
nnn
n


; ds
1
2

b)
2
4
1
lim
n
nnn
n




;ds
1


c)
nn
nn
n
7
2
43
lim



;ds
0

d)
1 1 1
lim
1.2 2.3 .( 1)
n
n n

 
  
 


 

Câu 2. Tính giới hạn sau:
a)
2
2
2 1
lim
2 3
x
x x x
x x

 

;ds
1/ 2

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
18
b)
2
2
1
1
lim
4 3

x
x
x x


 
;ds
1


d)
3
2
1
1
lim
1
x
x
x



;ds 1/6
e)
4 4
3 3
lim
x a
x a

x a



;ds
4
3
a

f)
2
lim( 2 )
x
x x x

 
; ds : không tồn tại giới hạn
g)
2
lim(2 2 )
x
x x x

  ;ds


Câu 3. Tính giới hạn sau:
a)
2
2

0
(1 cos )
lim
sin tan


x
x
x x x
; ds 1/4
b)
2
0
1 cos2
lim
sin
x
x
x


; ds 1
c)
0
1
lim(cot )


x
x

x
ds ; 0
d)
0
sin3
lim
ln(2 1)


x
x
x
; ds 3/2
e)
3
0
sin
lim
x
tgx x
x


; ds 1/2
Câu 4. Tính giới hạn sau:
a)
cot
0
lim(sin cos )



x
x
x x
; ds e
b)
0
lim ln
x
x x


; ds 0
c)
lim
x
x
xe

; ds 0
d)
1
2( 1)
1
lim
x
x
x



; ds
e

e)
3 5
2 6
0
sin tan
lim
3 9

 
 
x
x x x
x x x
;ds 1/3
Hàm số liên tục
Câu 1. Tìm
a
để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng.
a)
sin 2
( 0)
( 0)
x
x
y
x
a x









; ds 2
b)
2
2
1 cos
( 0)
2 ( 0)
2
x
x
x
y
a
x x









 


; ds 1
c)
2
ln ( 0)
( 0)
x x x
y
a x







Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
19
Câu 2. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào
a)
1
2 5
x
y
x




b)
2
2
2
x x
y
x
 


c)
0 0
1 0
x
y
x








2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1 Đạo hàm
2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

1) Cho hàm số
( )
y f x

xác định tại
0
x
và tại lân cận
0
x
. Khi đó nếu tỉ số
0
0
( ) ( )
f x f x
x x



có giới hạn khi
0
x x

thì ta nói
( )
f x
khả vi tại
0
x
hay

( )
f x
có đạo hàm tại
0
x
và giới
hạn đó được gọi là đạo hàm của
( )
f x
tại
0
x
. Ký hiệu là
0
'( )
f x
hay
0
'( )
y x
.Vậy
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
f x f x
f x
x x
x x





.
Nếu đặt
0
0
0
0
x x x
x x x
x x x

  



   


   




Lúc đó
0 0
0
0

( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x
 
  


2) Đạo hàm trái, đạo hàm phải
Đạo hàm trái của
( )
f x
tại
0
x
là:
0 0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x


 

  


Đạo hàm phải của
( )
f x
tại
0
x
là
0 0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x



  


Nhận xét:
Hàm số
( )
f x
có đạo hàm tại

0
x
khi và chỉ khi
0 0
'( ) '( )
f x f x
 

. Khi đó:
0 0 0
'( ) '( ) '( )
f x f x f x
 
 
. Nếu
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x
thì
( )
f x
liên tục tại
0
x
.
Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số
( )
f x x


tại
0
0
x


Xét tính liên tục:
Ta có
0
0 0
0
lim( ) 0 (0)
lim ( ) lim
lim( ) 0 (0)
x
x x
x
x f
f x x
x f



 

  
 
 









Suy ra
( )
f x
liên tục bên trái và liên tục bên phải tại
0
0
x

. Do đó
( )
f x
liên tục tại
0
0
x

.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
20

Xét sự tồn tại
'(0)
f
:
Ta có:
0 0
0 0 0
( ) ( ) (0 ) (0) ( ) (0)
lim lim lim
x x x
f x x f x f x f f x f
x x x
     
       
 
  

0
0
0
lim 1 '(0 )
lim
lim 1 '(0 )
x
x
x
x
f
x
x

x
x
f
x



 
 

 

   


 


 














Do đó
( )
f x
không có đạo hàm tại
0
0
x


Vậy hàm số
( ) | |
f x x

liên tục nhưng không có đạo hàm tại
0
0
x


3) Hàm số
( )
y f x

được gọi là có đạo hàm trên khoảng
( , )
a b
nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm

0
( , )
x a b

. Khi đó đạo hàm của hàm số
( )
f x
là một hàm số xác định trên
( , )
a b
. Cho nên ký hiệu của đạo hàm của
( )
y f x

trên
( , )
a b
là
'( )
f x
hoặc
'
y

Vậy
0
( ) ( )
' '( ) lim
x
f x x f x

y f x
x
 
  
 


Ví dụ Xét hàm số
2
( )
y f x x
 

Ta có miền xác định của hàm số là
R
. Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là

2 2
0 0
0 0
( ) ( ) ( )
' lim lim
( )( )
lim lim(2 ) 2
x x
x x
f x x f x x x x
y
x x
x x x x x x

x x x
x
   
   
     
 
 
     
    


Do đó
2
' '( ) ( )' 2
y f x x x
  

2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm
Cho đường cong
( ) : ( )
C y f x

. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của
( )
C
tại
0 0
( , ) ( )
M x y C


bằng đạo hàm của
( )
f x
tại điểm
0
x
và phương trình tiếp tuyến của
đường cong
( )
C
tại
0 0
( , )
M x y
là
0 0 0
- '( )( - )
y y f x x x

. Minh họa hình 2.1
2.1.3 Bảng đạo hàm cơ bản
 
 
'
1
1
' 0 ( )
1
( )' ,
1

ln '
1
(log )'
ln
( )'
n
n
n
a
x
C C const
x x R x
n x
x
x
x
x a
e e
 
 


 
   




Hình 2.1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -