bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_1 ppt

Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
1
BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM














BÀI GIẢNG TOÁN CAO
CẤP 1

GIÁO VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN








THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
THÁNG 9/2011




Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
2
CCHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 Tập hợp, ánh xạ
1.1.1 Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học dùng để chỉ một tập thể các đối tượng ta
đang quan tâm, chẳng hạn tập hợp bảy ngày trong tuần, tập hợp các số tự nhiên…, mỗi đối
tượng đó gọi là một phần tử của tập hợp.
Ta thường kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái A, B, C, X, Y , các phần tử thường kí hiệu
x, y, z, a, b, …
Nếu x là một phần tử của tập hợp A ta viết

x A

đọc là x thuộc A, ngược lại ta viết
x A

,
đọc là x không thuộc A. Có hai cách mô tả tập hợp
Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc
Ví dụ


2,4,
A x

, tập hợp A có 3 phần tử
Mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp
Ví dụ B={
n


/n chia hết cho 3} là tập hợp các số tự nhiên bội
của 3
Ngoài ra người ta còn dùng giản đồ Venn để minh họa cho tập hợp,
hình 1.1 mô tả phần tử x thuộc tập A
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là


Ví dụ



2
, 3
x R x
    

Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B . Khi
đó ta kí hiệu
A B

và đọc là A con của B hoặc A chứa trong B. Nếu tập A không phải là
tập con của B ta kí hiệu
A B


Nếu
A B

và
B A

thì ta nói A và B bằng nhau kí hiệu là
A B

.
1.1.2 Các phép toán trên tập hợp
1) Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là
A B

bao gồm các phần tử thuộc
A hoặc thuộc B (mỗi phần tử được tính một lần)

2) Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là
A B

bao gồm các phần tử thuộc
A và thuộc B (phần tử chung của A và B)
3) Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là
\
A B
bao gồm các phần tử thuộc
A và không thuộc B . Khi
B A

tập
\
A B
được gọi là phần bù của B trong A và kí hiệu
là
( )
A
C B
.
Hình 1.1

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
3
Từ các định nghĩa trên ta suy ra các tính chất:
( ) ,

,
\ , \
( ) ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i A A A A A
A A A A
A A A
ii A B B A A B B A
iii A B C A B C
A B C A B C
iv A B C A B A C
A B C A B A C
    
     
    
     
    
    
     
     

4) Cho A và B là hai tập hợp, tích Đề-các của A và B là một tập hợp kí hiệu là
A B

, được
xác định như sau:



( , )/ ,
A B a b a A b B
   

Ví dụ Cho




1,2,3 , ,
A B a b
 
, khi đó


(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )
A B a b a b a b
 

Tích Đề-các của một số hữu hạn tập hợp
1 2
, ,
n
A A A
đựơc định nghĩa như sau:


1 2 1 2
( , , , )/ , 1,

n n i i
A A A a a a a A i n
     

1.1.3 Ánh xạ
Cho hai tập hợp A và B khác rỗng. Một ánh xạ f từ A vào B là một quy tắc cho tương
ứng mỗi phần tử
x A

một phần tử duy nhất
y B

mà ta kí hiệu
( )
y f x

.
Anh xạ f từ A đến B được viết như sau:
:
( )
f A B
x y f x


hay
( )
f
A B
x f x




Phần tử y tương ứng với x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x qua f. A được gọi là tập
nguồn của f , B được gọi là tập đích của f.
Ví dụ Tương ứng giữa con người và số tuổi của người đó là một ánh xạ vì mỗi người có
một số tuổi duy nhất.
Tương ứng giữa mỗi phần tử x của tập A với chính nó là một ánh xạ, ánh xạ này gọi là ánh
xạ đồng nhất.
Cho
,
M A N B
 
. Tập


( )/
f x x M

được gọi là ảnh của tập M qua ánh xạ f và được
kí hiệu là f (M). Đặc biệt
( )
f A
được gọi là ảnh của ánh xạ f và được kí hiệu là
Im
f
.Ta
thấy rằng
( )
f A B


.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
4


/ ( )
x A f x N
 
được gọi là ảnh ngược của tập N qua ánh xạ f, kí hiệu
1
( )
f N

.
1.1.4 Các loại ánh xạ.
1) Đơn ánh
Cho ánh xạ
:
f A B

, f là được gọi là đơn ánh nếu:
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )
x x A x x f x f x
    

2) Toàn ánh

Cho ánh xạ
:
f A B

, f là được gọi là toàn ánh nếu:
,
y B x A
   
sao cho
( )
y f x

, điều này tương đương với
Im
f B

.
3) Song ánh
Cho ánh xạ
:
f A B

, f là được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh.
Từ đây suy ra f là song ánh nếu
, !
y B x A
   
sao cho
( )
y f x


.
1.1.5 Ánh xạ ngược, ánh xạ hợp
1) Ánh xạ ngược
Cho
:
f A B

là song ánh, suy ra f toàn ánh và đơn ánh nên
, !
y B x A
   
sao cho
( )
y f x

. Như vậy ta xây dựng được một ánh xạ từ B đến A xác định như sau:
: ,
g B A y x


với
x A

sao cho
( )
f x y

. Ánh xạ
g

gọi là ánh xạ ngược của f , ký
hiệu
1
f

. Vậy
1
, ( ) ( )
y B f y x y f x

    

2) Ánh xạ hợp (Tích ánh xạ)
Cho 2 ánh xạ
:
f A B

và
:
g B C

. Tích hai ánh xạ f và g kí hiệu
0
g f
là một ánh xạ đi
từ A vào C được xác định:
0
, ( ) [ ( )]
x A g f x g f x
  

Ví dụ Cho 2 ánh xạ
:
f Z Q

với
2
1
( )
1
x
f x
x



và
:
g Q R

với
( ) 2 1
g x x
 
. Khi
đó tích của 2 ánh xạ f và g là ánh xạ
0
:
g f Z R


với
2
0
2 2
1 2 3
( ) [ ( )] 2 ( ) 1 2 1
1 1
x x x
g f x g f x f x
x x
 
  


     




 
 

1.2 Hàm số
1.2.1 Định nghĩa
Cho tập
,
D R D
  
, một ánh xạ
:

f D R

gọi là một hàm số xác định trên
D
.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
5
Hàm số
:
f D R

thường được viết ngắn gọn
( )
y f x

, x gọi là biến độc lập, y là hàm
của biến số x.
Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f , tập hợp


( ) ( )/
Y f D f x x D
  
được
gọi là miền giá trị của hàm số f (x)
Ví dụ
) ( ) 2 4

i y f x x
  

2
2 , 1
) ( )
2, 1
x
ii y f x
x x





 


 




)
iii
Hàm số T = f (n) thống kê tiền lãi của một doanh nghiệp trong một tuần cho bởi bảng
sau:
n (ngày) 2 3 4 5 6 7
T (tr. đồng) 12,5 20 10 15 30 17

Tập hợp các điểm M(x, y) với
( )
y f x

trong mặt phẳng Oxy gọi là đồ thị của hàm số
( )
y f x

.
1.2.2 Các tính chất có thể có của hàm số
1) Tính đơn điệu
Hàm số
( )
y f x

được gọi là tăng (hoặc giảm) trên miền D nếu
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )
x x D x x f x f x
    
(hoặc
1 2
( ) ( )
f x f x

)
2) Hàm số bị chặn
Cho f là một hàm số xác định trên tập D. Hàm f được gọi là bị chặn trên D nếu
0 : ( ) ,
M f x M x D

    

Hàm f được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trên D nếu
: ( ) ,
M R f x M x D
    
( hoặc
: ( ),
M R M f x x D
    
)
Ví dụ
sin , cos
y x y x
 
là các hàm số bị chặn trên
R
vì
sin 1, cos 1,
x x x R
   

3) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số
( )
y f x

được gọi là hàm số chẵn (lẻ) trên D nếu:
x D
 

ta có
x D
 
và


( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x f x
    

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -