bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_2 pptx

Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
6
Theo định nghĩa ta thấy rằng đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị
hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng .
Ví dụ Các hàm
4 2
, 3 1
y x y x x
   
là các hàm số chẵn, hàm số
3
, sin
y x y x
 

là các hàm số lẻ,
3 5
y x
 
không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ
4) Hàm số tuần hoàn
Cho hàm số
( )
y f x

xác định trên miền D. Hàm
( )
f x
được gọi là tuần hoàn nếu có số

0
T

sao cho
x D x T D
    
và
( ) ( )
f x T f x
 
, số
0
T

nhỏ nhất thõa mãn
tính chất trên gọi là chu kì của hàm số f.
Ví dụ Hàm số
sin
y x

là hàm số tuần với chu kì
2


1.2.3 Hàm số hợp, hàm số ngược
1) Cho hai hàm số f và g, ánh xạ hợp
0
g f
của f và g cũng là một hàm số và gọi là hàm số
hợp của f và g.

2) Hàm số f là một song ánh thì ánh xạ ngược
1
f

được gọi là hàm số ngược của hàm f .
Ta có
1
( ) ( )
x f y y f x

  

Để thuận tiện hàm ngược của hàm
( )
y f x

được viết lại
1
( )
y f x


. Đồ thị hai hàm số
( )
y f x

và
1
( )
y f x



đối xứng nhau qua đường thẳng
y x

.
Ví dụ Cho
( ) 3 2, ( ) cos
y f x x y g x x
    
. Khi đó:
1
( ) [ ( )] cos( ( )) cos(2 3)
2
( )
3
o
g f x g f x f x x
x
y f x

   

 

1.2.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm sơ cấp.
Các hàm số sơ cấp gồm hàm luỹ thừa, hàm mũ, hàm logarit, các hàm lượng giác, các hàm
lượng giác ngược và các hàm hyperbolic.
Các hàm lượng giác ngược gồm:
1) Hàm

arcsin
y x

là hàm số ngược của hàm số
sin
y x



 
sin
arcsin
, , 1,1
2 2
y x
y x
y x
 

 
   





 

 



  

Do đó hàm y = arcsinx có
MXD: D = [–1, 1]
y

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
7
MGT:
,
2 2
 
 

 
 
 

Hàm
arcsin
y x

là hàm tăng và
 
arcsin arcsin , [ 1,1]
x x x

     
. Đồ thị của hàm xem hình 1.2
2) Hàm
arccos
y x

là hàm số ngược của hàm số
cos
y x


cos
arccos( ) 1 1
0
x y
y x x
y


    
 













Do đó hàm y = arccosx có:
MXD: D = [–1, 1]
MGT: [0, ], là hàm giảm và
arccos( ) arccos( ), [ 1,1]
x x x

     
, đồ thị của hàm xem hình 1.3
3) Hàm
y arctgx


y arctgx

là hàm số ngược của hàm số
y tgx


2 2
x tgy
y arctgx x R
y
 

  
  

















MXD: D =
R

MGT:
,
2 2
 

 





 

, là 1 hàm tăng và
(- ) - ,
arctg x arctgx x R
  

Đồ thị xem hình 1.4
4) Hàm
cot
y arc gx


Hàm
cot
y arc gx

là hàm số ngược của hàm số
cot
y gx



cot
cot
0
x gy
y arc gx x R
y


  

 












MXD:
D R


MGT: (0, ), là hàm giảm và,
cot (- ) - cot ,
arc g x arc gx x R

  

Hình 1.2
Hình 1.3
Hình 1.4
Hình 1.5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
8
Đồ thị xem hình 1.5
Hàm số được tạo thành bởi các hàm số sơ cấp cơ bản liên kết với nhau bằng các phép tính
cộng, trừ, nhân, chia, phép hợp nối được gọi là hàm số sơ cấp.
Ví dụ 6 Hàm
2
2
( ) arcsin
1
x
y f x
x
 

là 1 hàm số sơ cấp
Hàm
1, 1
( )
1, 1
x x
y f x
x x
  


 


  




không phải là hàm số sơ cấp vì nó không liên kết hai hàm
1
1
y x
 
và
2
1
y x
  
bởi
các phép tính hàm số.
1.3 Giới hạn hàm số
1.3.1 Dãy số và giới hạn dãy số.
1) Một dãy số thực (dãy số) là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên

đến tập các số thực
:
n
R n x R


. Ký hiệu dãy số là
( ), 1,2 ,
n
x n


n
x
gọi là số hạng tổng quát của dãy hay
là số hạng thứ n của dãy
Ví dụ 1
( )
n
x
với
1
n
x
n

, khi đó:
1 2 3
1 1 1
1, , ,
2 3
n
x x x x
n
    …
2) Giới hạn của dãy số
Dãy (x
n
) được gọi có giới hạn là a nếu:
0 0
0, 0 :
n

n n n x a
 
        

Khi đó ta cũng nói dãy
( )
n
x
hội tụ về a, kí hiệu
lim
n
n
x a


hoặc
n
x a

,
n
 
, nếu
dãy
( )
n
x
không hội tụ thì ta nói dãy
( )
n

x
phân kỳ.
Định lí 1.1. Nếu dãy
( )
n
x
hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
Chứng minh. Giả sử
n
x a

và
,
n
x b a b
 
khi
n
 
, chọn
0
2
a b


 
theo
định nghĩa về giới hạn của dãy tồn tại
01 02 01
, :

2
n
n n N n n x a

     
,
02
2
n
n n x b

    
. Đặt
0 01 02
max( , )
n n n

, với
0
n n

ta có:
2 2 2
n n
a b
a b x a x b
 


        

suy ra
2
a b
a b

  . Điều này vô lí. Vậy
a b

.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
9
Định lí 1.2. Cho ba dãy
( ), ( ), ( )
n n n
x y z
có
,
n n n
x y z n N
   
và
lim lim
n n
n n
x z a
 
 

thì
lim
n
n
y a



Chứng minh. Vì
lim lim
n n
n n
x z a
 
 
nên
0 0
: ( , )
2 2
n n
n N n n x a z a
 
         do đó
0
2 2
n n n
n n y a x a z a
 


          
.Vậy
lim
n
n
y a



1.3.2 Giới hạn hàm số
Ta có các định nghĩa
1) Cho
0
x R

,

-lân cận của
0
x
là khoảng số thực có dạng
0 0
( , ), 0
x x
  
  
.
2) Cho hàm số
( )
f x

xác định trong một lân cận của
0
x
(có thể trừ tại
0
x
). Số
L
được gọi là
giới hạn của hàm số
( )
f x
khi x dần đến
0
x
nếu:
0
0, 0, : (0 ( ) )
x D x x f x L
   
           

Kí hiệu
0
lim ( )
x x
f x L


hay

( )
f x L

khi
0
x x

.
Giới hạn của hàm số
( )
f x
khi x dần đến
0
x
còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của
dãy số như sau:


0
0
lim ( ) ( )
:
n n n
x x
f x x x f x
L x L

     

3) Giới hạn bên trái

Cho hàm số
( )
f x
xác định trong khoảng
0
( , ]
x

(có thể trừ tại
0
x
). Số
1
L
được gọi là giới
hạn trái của hàm số
( )
f x
khi
x
dần đến
0
x
(
0
( , ]
x x


) nếu:

0 0 1
0, 0, ( , ]: (0 ( ) )
x x x x f x L
    
           
.
Kí hiệu
0
1
lim ( )
x x
f x L



hay
1
( )
f x L

khi
0
x x


.
4) Giới hạn bên phải
Cho hàm số
( )
f x

xác định trong khoảng
0
[ , )
x

(có thể trừ tại
0
x
). Số
2
L
được gọi là giới
hạn phải của hàm số
( )
f x
khi x dần đến
0
x
(
0
[ , )
x x


) nếu:
0 0 2
0, 0, [ , ) : (0 ( ) )
x x x x f x L
    
           

.
Kí hiệu
0
2
lim ( )
x x
f x L



hay
2
( )
f x L

khi
0
x x


.
Định lí 1.3
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x L f x f x L
 
  
   

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
10
Ví dụ 2 Chứng minh
1
lim(2 3) 5
x
x

 

Ta có
0, ( ) - 5 2 3 - 5 2 - 1 - 1
2
f x x x x

   
         

Chọn
=
2

 khi đó 0, 0 : 1 ( ) 5
2
x f x

   

         
. Vậy
1
lim(2 3) 5
x
x

 

Ví dụ 3 Chứng minh
2
2
4 16
lim 16
2
x
x
x





Ta có
2 2
4 16 4( 4)
16 16 4( 2) 16
2 2
4 2
x x

x
x x
x
 
     
 
 
0,4 2 2 ( 2)
4
x x x

 
       

Vậy
2
4 16
16
2
0, 0, 2, 2
4 4
x
x
x x
 
  



         

5) Giới hạn vô tận
Cho hàm số
( )
f x
xác định trong một lân cận của
0
x
trừ tại
0
x
.
Hàm số
( )
f x
có giới hạn là

khi x dần đến
0
x
nếu với mọi
0
M

lớn tùy ý tồn tại
0
0,0 ( )
x x f x M
 
     

. Kí hiệu
0
lim ( )
x x
f x

 

Hàm số
( )
f x
có giới hạn là

khi x dần đến
0
x
nếu với mọi
0
M

lớn tùy ý tồn tại
0
0,0 ( )
x x f x M
 
      
. Kí hiệu
0
lim ( )
x x

f x

 

6) Giới hạn ở vô cực
Hàm số
( )
f x
được gọi là có giới hạn
L
khi x dần đến

nếu với mọi
0


tùy ý tồn
tại

0: ( )
M x M f x L

     
. Kí hiệu
lim ( )
x
f x L



Hàm số
( )
f x
được gọi là có giới hạn
L
khi x dần đến

nếu với mọi
0


tùy ý tồn
tại
0: ( )
M x M f x L

      
. Kí hiệu
lim ( )
x
f x L



Ví dụ 4 Chứng minh


1
lim 1 1
x

x

 

Ta có
1 1 1
1 1
x M
x x


      

Khi
1
x x

   
. Chọn
1 1
1 1M x M
x


      

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -