bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_8 pot

Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
36
2
1
1
dx arctgx
x
C





2 2
1 1
( 0)
,
x
dx arctg a
a x a a
C 




1
lndx a x
a x
C

 




2 2
1 1
ln ( 0)
2
,
x a
dx a
x a a x a
C

 
 



2
2
1
ln
dx x x a C
x a
   



2
2 2 2 2
arcsin
2 2
x a x
a x dx a x
a
C
   


2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a
C
    
 


1
ln
sin 2
x
dx tg C
x
 


1
ln
cos 2 4
x
dx tg C
x

 


  



 


2
1 1
( ) ,( 0)
cos ( )
dx tg ax b C a
ax b a
   



2
1 1
( ) ,( 0)

sin ( )
dx cotg ax b C a
ax b a
    



1 1
ln , ( 0)
dx ax b C a
ax b a
  




1
, ( 0)
ax b ax b
e d e C a
a
x
 
 


3.1.7 Hai phương pháp tính tích phân bất định
Trong nhiều trường hợp hàm dưới dấu tích phân không đơn giản, không có dạng như
những hàm cơ bản nêu trên, ta phải biến đổi hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể áp dụng
được các tích phân cơ bản. Có hai phương pháp để biến đổi tích phân trong trường hợp

này.
1) Phương pháp đổi biến
Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có hai dạng:
Dạng 1: Đặt
( )
x t


, trong đó
( )
t

là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến
t
. Ta có:
( ) [ ( )] '( )
f x dx f t t dt
 
 

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
37
Ví dụ 1: Tính
3
3
2
sin

x
dx
x


Đặt
3
x t

,
x
khả vi và đơn điệu với mọi
t
, suy ra
2
'( ) 3
dx x t dt t dt
 

2
3
3
2
2
3
sin 3 sin
3 sin 3cos 3cos
x t t
dx tdt t C x C
t

x
       
  

Ví dụ 2: Tính
2
1
x dx



Đặt
sin , arcsin ,( 1 1)
2 2
x t t t x x
 
 


        



 
. Ta có
'( ) cos
dx x t dt tdt
 

2 2 2

1 1 sin cos cos
cos (cos 0 )
2 2
x t t t
t t do t
 
    
    

Suy ra
2 2
1 cos2 1
1 cos sin2
2 2 4
t t
x dx tdt dt t C

     
  

thay
2 2
1 1
arcsin 1 arcsin 1
2 2
t x x dx x x x C
      


Dạng 2: Đặt

( )
u u x

trong đó
( )
u x
là hàm khả vi. Ta có
( ) [ ( )] '( ) ( )
f x dx f u x u x dx f u du
 
  

Ví dụ 3: Tính
5
2
1
x
x
e dx
e



Đặt
'( )
x x
u e du u x dx e dx
   
. Suy ra
5 4

2
2 2 2
3 3
1
( 1 )
1 1 1
( )
3 3
x
x
x
x x
e dx u du
u du
e u u
u e
u arctg u e arctg e C
   
  
      
  

Ví dụ 4: Tính
4
sin 2
cos 4
xdx
x



Đặt
2
cos '( ) 2sin cos
u x du u x dx x xdx
    
. Suy ra
4 2
2
2
sin2 1 2
ln
cos 4 4 4 2
1 cos 2
ln
4 cos 2
xdx du u
C
x u u
x
C
x

    
  

  

 

Ví dụ 5: Tính


2
1
4
2 1
1
x x
I dx
x




Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
38
Đặt
2
2
u x du xdx
  
, khi đó:


2 2 2
2

4 2
1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1
ln( 1)
2 2
1 1
ln( 1) ( )
2 2
u udu du
I du
u u u
u arctgu C
x arctg x C

  
  
   
   
  

2) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu
( ), ( )
u u x v v x
 
là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó:

udv uv vdu
 

 

công thức này gọi là công thức tích phân từng phần, thay vì tính tích phân biểu thức
udv
ta
đi tính tích phân biểu thức
vdu
có thể đơn giản hơn.
Để tính
( )
f x dx

bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích
( ) ( ) ( )
f x g x h x

sau đó đặt

( )

( )
u g x
dv h x dx













Việc chọn
u
và
dv
ở trên, cần thực hiện sao cho
'
u
đơn giản và
( )
v h x dx


(lấy
0
C

) dễ tính.
Các dạng tích phân sau đây được tính bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt
tương ứng:
( )sin , ( )cos , ( ) :
ax
n n n
P x axdx P x axdx P x e dx
  
đặt

( )
n
u P x


( )ln , ( ) , ( ) cot , ( )arcsin , ( )arccos , :
n n n n n
P x xdx P x arctgxdx P x arc gxdx P x xdx P x xdx
    
đặt
( )
n
dv P x dx

với
( )
n
P x
là đa thức bậc
n
theo
x

Ví dụ 6: Tính
2
(2 3)
x
I x e dx
 


Đặt
2
2
2
2 3
1

2
x
x
du dx
u x
dv e dx
v e



  






 
 


 






2 2 2 2 2
2 3 2 3 1
( 1)
2 2 2
x x x x x
x x
I e e dx e e C x e C
 
       



Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
39
3.2 Đổi biến số và tích phân từng phần trong tích phân xác định
Tương tự như trong tích phân bất định ta có hai dạng đổi biến trong tích phân xác định
( )
b
a
f x dx

.

3.2.1 Phương pháp đổi biến số
Dạng 1:
Đặt
( )
x t


với
( )
t

có đạo hàm liên tục trên
[ , ]
 
và
[ ( ) , ( )
a b
   
 
khi
t
biến
thiên trong
[ , ]
 
thì
x
biến thiên trong
[ , ]
a b

. Khi đó
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt


 
 

Ví dụ 1: Tính
2
1
2
0
1
I x x dx
 


Đặt
sin , (0 ) cos
2
x t t dx tdt

    
Ta có
0 0
x t
  

,
1
2
x t

  

Do đó:
2
2 2
1
2 2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
2
0 0
0
1 sin 1 sin .cos sin cos
1 1 1 sin4
sin 2 (1 cos 4 )
4 8 8 4 16
I x x dx t t tdt t tdt
t
tdt t dt x
 

 

    

 


     




 
  
 

Dạng 2:
Đặt
( )
u u x

với
( )
u x
đơn điệu, khả vi liên tục trên
[ , ]
a b
và
( )
f x dx
trở thành
( )
g u du

thỏa
( )
g u
liên tục trên
[ ( ), ( )]
u a u b
. Khi đó :
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a
u a
f x dx g u du

 

Ví dụ 2: Tính
3
2
3
4
cos
sin
x
x
I dx






Ta có
2 2
1
3
3
4 4
2 2
cos 1 sin
cos cos
sin
(sin )
x x
I xdx x dx
x
x
 
 

 
 

Đặt
sin cos
u x du xdx
  
và
2

( ) , ( ) 1
4 2 2
u u
 
 
. Khi đó
1 1
1 5
2
3 3
1
3
2 2
2 2
1
( )
u
I du u u du
u


  
 

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Toán Cao Cấp 1

Nguyễn Quốc Tiến
40
3.2.2 Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu
( ), ( )
u x v x
là hai hàm khả vi liên tục trên
[ , ]
a b
. Khi đó

b b
b
a
a a
udv uv vdu
 
 

Cách đặt
u
và
dv
tương tự như trong tích phân bất định.
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
(1)
1
ln
e
I xdx



Đặt
ln
dx
u x
du
x
dv dx
v x










 
 


 




Khi đó:
1
1

ln ln ( 1) 1
e
e
I x x dx e e e
     


(2)
2
0
cos
x
J e xdx




Đặt
sin
cos
x
x
u e
du e dx
v x
dv xdx










 
 


 



Khi đó:
2
2
0
0
sin sin
x x
J e x e xdx


 

. Đặt
2
1
0
sin

x
J e xdx



, ta tiếp tục tích phân
từng phần
1
J

Đặt
cos
sin
x
x
u e
du e dx
v x
dv xdx









 
 

 

 



2
2 2
1
0 0
0
cos cos cos
x x x
J e x e xdx e x J

 
    


2 2 2
1
0 0 0
sin sin cos
x x x
J e x J e x e x J
  
    
. Vậy ta được
2 2
0 0

2 2
1 1
sin cos
2 2
1 1 1
( 1)
2 2 2
x x
J e x e x
J e e
 
 
 
    

Như vậy qua 3.1 và 3.3 ta đã xây dựng khái niệm và chỉ ra cách tính tích phân trong
trường
hợp các cận lấy tích phân là hữu hạn và hàm lấy tích phân liên tục . Dưới đây chúng ta sẽ
mở
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -