Tong hop ly thuyet nguyen ham tich phan va ung dung le minh tam

TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

Mục lục
 Chủ đề 01. NGUYÊN HÀM
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản ......................................................................................................... 5
 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến ....................................................................................................... 7
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)............................................................................................................. 7
1.2.2. Đổi biến loại 2............................................................................................................................................. 9

 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần ................................................................................................ 11
 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ .......................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu .................................................................................................................................... 13
1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu ................................................................................................................................... 14

 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ ............................................................................................ 23
 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác ................................................................................. 23
 Dạng 1.7. Nguyên hàm có điều kiện ............................................................................................. 26

 Chủ đề 02. TÍCH PHÂN
 Dạng 2.1. Tích phân áp dụng tính chất & bảng nguyên hàm cơ bản.................................. 29
 Dạng 2.2. Tích phân từng phần ...................................................................................................... 31
 Dạng 2.3. Tích phân đổi biến loại 1 ................................................................................................ 33
 Dạng 2.4. Tích phân đổi biến loại 2 ............................................................................................... 35
 Dạng 2.5. Tích phân kết hợp đổi biến & từng phần .................................................................. 37
 Dạng 2.6. Tích phân chứa trị tuyệt đối......................................................................................... 39
 Dạng 2.7. Tích phân dựa vào đồ thị .............................................................................................. 41

 Dạng 2.8. Tích phân hàm chẵn lẻ .................................................................................................. 43
 Dạng 2.9. Tích phân hàm cho nhiều cơng thức.......................................................................... 45
 Dạng 2.10. Tích phân liên quan max – min.................................................................................. 47
 Dạng 2.11. Tích phân hàm “ẩn” ..................................................................................................... 49
2.11.1. Dùng phương pháp đổi biến ................................................................................................................49
2.11.2. Dùng phương pháp từng phần ........................................................................................................... 51

 Dạng 2.12. Tích phân liên quan phương trình vi phân ............................................................. 53
2.12.1. Biểu thức đạo hàm ................................................................................................................................ 53

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 1


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

2.12.2. Biểu thức tổng hiệu .............................................................................................................................. 55
2.12.2. Bài toán tổng quát 𝒇′(𝒙) + 𝒑(𝒙). 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) ................................................................................. 56

 Dạng 2.13. Bất đẳng thức tích phân ............................................................................................. 58

 Chủ đề 03. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 Dạng 3.1. Câu hỏi lý thuyết ............................................................................................................. 63
 Dạng 3.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b ......................................... 65
 Dạng 3.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b .................................. 66

 Dạng 3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), y=h(x) ...................................... 67
 Dạng 3.5. Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị ......................................................................... 68
 Dạng 3.6. Thể tích vật thể ............................................................................................................... 70
 Dạng 3.7. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), Ox, x=a, x=b quay quanh Ox ................. 71
 Dạng 3.8. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(x), g(x), x=a, x=b quay quanh Ox ............... 72
 Dạng 3.9. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi f(y), g(y), y=a, y=b quay quanh Oy ............. 73
 Dạng 3.10. Tính giá trị hàm qua diện tích hình phẳng ............................................................. 74

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 2


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

NGUYÊN HÀM
A. LÝ THUYẾT CHUNG.
1. Định nghĩa:
 Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).

Hàm số F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F  x   f  x  x  K .
Ký hiệu:

 f  x  dx  F  x   C .

2. Định lý:
 Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì:

● Với mỗi hằng số C , hàm G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
● Mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số.

 Do đó F  x   C , C 

là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K .

3. Tính chất:

  f  x  dx   f  x  và  f   x dx  f  x  C .
 k  f  x  dx  k   f  x  dx với k  0 .
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

4. Định lí:
 Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 3


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

5. Bảng nguyên hàm cơ bản:
(1).  0dx  C

1
(3).  x dx 
x
1
(4). 

1

 C   1

1
1
dx    C
2
x
x

(2).  dx  x  C

1  ax  b 
 C ,   1
(14).   ax  b  dx 
a
1
1
1
1

(15). 
dx   .
C
2
a  ax  b 2
 ax  b 
1

dx
1
 ln ax  b  C
ax  b a
1
(17).  e axbdx  e axb  C
a
1 a kx  b
kx  b
C
(18).  a dx 
k ln a
1
(19).  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C
a
1
(20).  sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C
a
1
1
(21). 
dx  tan  ax  b   C

2
a
cos  ax  b 

1
(5).  dx  ln x  C
x

(16). 

(6).  e xdx  e x  C
ax
C
(7).  a dx 
ln a
x

(8).  cos x dx  sin x  C
(9).  sin x dx   cos x  C
(10). 

1
dx  tan x  C
cos2 x

(11). 

1
dx   cot x  C
sin 2 x

(22). 









1
(23).  1  tan 2  ax  b  dx  tan  ax  b   C
a
1
(24).  1  cot 2  ax  b  dx   cot  ax  b   C
a

(12).  1  tan 2 x dx  tan x  C
(13).  1  cot 2 x dx  cotx  C
6. Bảng nguyên hàm mở rộng:
(1). 

dx
1
x
 arctan  C
2
2
a

a
a x

(2). 

dx
1
ax

ln
C
2
2a
ax
a x

(3). 
(4). 

2

dx
x2  a2
dx
a2  x2





 ln x  x 2  a 2  C
 arcsin

x
C
a









x
x
(8).  arcsin   dx  x arcsin  a 2  x 2  C
a
a
x
x
(9).  arccos   dx  x arccos  a 2  x 2  C
a
a
x
x a
(10).  arctan   dx  x arctan  ln a 2  x 2  C
a 2
a

x
x a
(11).  arc cot   dx  x arc cot  ln a 2  x 2  C
a 2
a

1
x
 arccos  C
a
x x2  a2 a

(12). 

(6). 

1 a  x2  a2
  ln
C
a
x
x x2  a2

(13).  e cos  bx  dx 

dx

x a2  x2 a2
x
a  x dx 

 arcsin  C
2
2
a
2

2

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281









dx
1
ax  b
 ln tan
C
2
sin  ax  b  a

(5). 

(7). 

dx

1
1
dx   cot  ax  b   C
a
sin  ax  b 
2

ax

(14).  e ax sin  bx  dx 

e ax  a cos bx  b sin bx 
a2  b2

e ax  a sin bx  b cos bx 
a2  b2

C
C

Trang 4


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản
 Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng cơng thức ngun hàm cơ bản.

Định nghĩa:
Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F  x   f  x  x  K .
Ký hiệu:

 f  x  dx  F  x   C .

Tính chất:

  f  x  dx   f  x  và  f   x dx  f  x  C .
 k  f  x  dx  k   f  x  dx với k  0 .
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
 Ví dụ 1.1.1 – Áp dụng định nghĩa

Hàm số F  x  nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x2 .
x3
A. F  x   2.
3
3
x
C. F  x    2 .
2

x3
B. F  x    2 .

3

D. F  x   x3

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.2 – Áp dụng định nghĩa
Nguyên hàm của hàm số f  x  
A.  ln x  C

1
là?
x

B. ln x  C .

C. x  C .

D.

1
C
x2

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.3 – Áp dụng định nghĩa
x3

 e x  C thì f  x  bằng:

3
x4
x4
 ex .
 ex
A. x2  e x
B.
C. 3x2  e x .
D.
3
12
Lời giải
.......................................................................................................................................................

Nếu

f  x  dx 

.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 5


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Ví dụ 1.1.4 – Áp dụng bảng nguyên hàm





Tính I   1  tan 2 x dx
A. I  sin x  C

B. I  cos x  C .

C. I  tan x  C .

D. I  cot x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.5 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x .

 f  x dx  5  C
5
C .
C.  f  x  dx 
ln 5
x

A.

 f  x dx  5 ln 5  C .
5
C
D.  f  x  dx 
x 1
B.

x

x 1

x

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.6 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
1
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x2  3x  là:
x
1
x3 3
A. F  x   2x  3  2  C
B. F  x    x 2  ln x  C .
3 2
x
3

x 3 2
x3 3 2
C. F  x    x  ln x  C .
D. F  x    x  ln x  C
3 2
3 2
Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.1.7 – Áp dụng tính chất – bảng nguyên hàm
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x4  2 là

1 5
C. 10x  C
D. x5  2
x  2x  C
5
Lời giải
.......................................................................................................................................................
A. x5  2x  C

B.

.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 6

Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Dạng 1.2. Nguyên hàm đổi biến
1.2.1. Đổi biến loại 1 (Lượng giác hóa)
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 01”:
Dấu hiệu
Cách đặt
a2  x2

2ax  x

a x
2

2

x  a tan t , với 
2

ax
hoặc
ax

2

t

x  a  a sin t , với 

2

x a
2

x  a sin t , với 

x
ax
ax

 x  a  b  x 

2

2

2

t

t

2

2

a
với   t  và t  0
sin t
2
2

x  a cos 2t , với 0  t 

2

x  a   b  a  sin2 t , với 0  t 

2

Khi đó ta có các bước giải như sau:
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:
Bước 4:

 t  với t  có đạo hàm liên tục trên K , được chọn hợp lý.
Lấy vi phân của x theo biến số t , cụ thể là dx    t  dt .
Thay cả x   t  lẫn dx    t  dt vào  f  x  dx được bài toán mới theo t .
Giải nguyên hàm mới  f   t     t  dt được kết quả F  t  theo t , sau đó thay
biểu thức x   t  vào F  t  để tìm được nguyên hàm theo biến x .
Đặt x 

 Ví dụ 1.2.1
Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x   3  x 2
3

x x 1  x2

C
A. arcsin
2
2
3

C.

3
x
arcsin x   C .
2
2

3
x
1  x2

C .
B. arcsin
2
3
3

D.

3
x x x2

arcsin

C
2
2
3

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 7


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Ví dụ 1.2.2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  

1
4  x2

x 3
C .
2
1
x
C. 2arcsin x  C .
D. arctan  C
2
2
Lời giải
.......................................................................................................................................................

A. 2 arctan 2x  C

B. arctan

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.2.3
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  

x
A. 2 arccos  C

2
x
C. 2 arccos  4  x2  C .
2

2x
.
2x
x 4  x2
C .
B. 2 arccos
2

D. 2 arccos

x 3
 4  x2  C
2

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 8


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

1.2.2. Đổi biến loại 2
 Dấu hiệu để ta dùng phương pháp “Đổi biến loại 02”:
Dấu hiệu

 t  x 

 t  x

 
 f  e   t  x  dx
 f  t  x    t   x  dx
 f  t  x    t  x  dx
n

Cách đặt
Biểu thức cần đặt t là mẫu thức t  x 

dx

t x

 f  t  x    t   x  dx

Biểu thức cần đặt t là phần số mũ của e
Biểu thức cần đặt t là biểu thức chứa trong dấu ngoặc
Đặt căn thức có trong dấu tích phân

f  ln x  

dx
dx
Đặt
biểu
thức
chứa
nếu
có
kèm theo
ln
x

x
x
Khi đó ta có các bước giải như sau:
Bước 1:

Đặt t  t  x  . (hoặc đặt t  a  t  x   b tùy vào bài cụ thể).

Bước 2:

Lấy vi phân của t theo x , cụ thể dt  t  x  dx.

Bước 3:

Thay cả t  t  x  lẫn dt  t  x  dx vào

Bước 4:

Giải nguyên hàm mới

 f  t  x    t   x  dx .

 f t  dt , được kết quả F t  theo t

, sau đó thay

biến vào kết quả để tìm được nguyên hàm theo biến x.
 Ví dụ 1.2.4
Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x  

1
A.  ln 1  3 cos x  C
3
1
C.   ln 3 cos x  C .
3

s in x

1  3 cos x

1
B. 1  ln 1  3 cos x  C .
3
D. 3 ln 1  3 cos x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 9


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Ví dụ 1.2.5
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  





1
.
1 ex
B. x  ln 1  e x  C .



A. x  e x ln 1  e x  C



 1 ex 
C
C. e  ln 1  e  C .
D. x  ln 
x 
 1 e 
Lời giải
.......................................................................................................................................................



x

x



.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.2.6
e tan x

Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x  
cos 2 x
A. x  e x e tan x  C
B. x  e tan x  C . C. e1tan x  C .

D. e tan x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.2.7
Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x   x  x  1
A.
C.

 x  1

2020

2020

 x  1

2020

2020

 x  1


2019

2019

 x  1


C

B.

2020

2020

C .

D.

2018

.

 x  1

2019

2018

 2x  1

 x  1


2019

C .

2020

2020

2020

 2x  1


2019

2019

C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 10


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần
 Kẻ bảng có dạng:

Tích phân có dạng  u dv , với u và v là 2 trong 4 loại log – đa – lượng - mũ.
Tính I   u dv bằng cách kẻ bảng:

Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:

Bước 4:

Chọn u đặt vào cột “Đạo hàm”.
Chọn dv đặt vào cột “Ngun hàm”.
Tính theo tính chất từng cột.
Ta có kết quả I   u dv  u.v   v du .

 Quy tắc:
● Trong đó ta chọn u theo qui tắc: Nhất – log; Nhì – đa; Tam – mũ; Tứ – lượng.
● Còn dv là phần còn lại trong dấu



.

● Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu  và đan xen dấu cho nhau.
 Ví dụ 1.2.1

Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x    2x  1 e3x

 2x  1 e

x

2e x

C
A.
3
9

 2x  1 e3x  2e3x  C .
C.
3
9

 2x  1 e

x

2e x

C .
B.
9
9
2xe 3x 2xe 3x

C
D.
3
9
Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.2.2

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   ln x
A. 2x ln x  2x  C
x
C. ln x  x  C .

2

B. x2 ln x  x  C .
D. x ln x  x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 11


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Ví dụ 1.2.3

Tính I    x  1 sin 2xdx. Ta thu được kết quả là:

1
1
x  1 cos 2x  sin 2x  C

2
4
x

x
C.  cos 2x  sin 2x  C .
2
4
A. 

B.  x  1 cos 2x  sin 2x  C .
D. xcos 2x  xsin2x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.2.4
Cho F  x   
f '  x  ln x .

f  x
1
là
một
nguyên
hàm
của
.Tìm nguyên hàm của hàm số
x
3x3

ln x x3

C
A. 3 
ln x
x
ln x
1
C. 3 
C.
ln x
x

ln x 1
 C .
x3 x
ln x 1
D. 3  3  C
x
3x
Lời giải
.......................................................................................................................................................
B.

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 12


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Dạng 1.4. Nguyên hàm hàm số hữu tỉ
Xét f  x  là hàm hữu tỉ có dạng f  x  

P  x

Q  x

.

1.4.1. Bậc tử ≥ Bậc mẫu

 Chia đa thức được: M là thương, N là dư.
Khi đó:



f  x  dx  

P  x


N 
dx    M 

 dx .


Q  x
Q
x





 Ví dụ 1.4.1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. x  3ln x  C
C. x  2ln x  1  C .

x 1
.
x 1
B. x  ln 2x  1  C .
D. 2x  ln x  1  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.2
2x2  5
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  

.
x 1
A. x2  2x  3 ln x  1  C
B. x2  3 ln x  1  C .

C. 2  x2  ln  x  1  C .

D. 2x2  ln 1  x   C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.3
x2  1
 x dx , ta thu được là:
1
A. 2x 
x

Kết quả của

C. x  2ln x  C .

B. 2 
D.

1
C .
x 1

x2
 ln x  C
2

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 13


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

1.4.1. Bậc tử < Bậc mẫu
Ta có các trường hợp sau:
Loại 2.1. f  x  

P  x

Q  x

 P  x    const 

thì:
Q  x   ax  b

trong đó 

P  x

 Q  x  dx   ax  b dx  a ln ax  b  C

 Ví dụ 1.4.4
Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x  

dx

1

A.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

C.

 5x  2   2 ln 5x  2  C .

dx

1

1
5x  2

dx

B.

 5x  2  ln 5x  2  C .

D.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

dx

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.5
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  

e
A.  ln e  2x  C
2
C. e ln e  2x  C .

e
e  2x
B. ln e  2x  C .
D. 2e ln e  2x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.6
Tìm ngun hàm của hàm số f  x  

1
ln 2x  1  C
2
1
C.  ln 2x  1  C .
2
A.


1
1
trên   ;  .
2
1  2x

1
B. ln 1  2x   C .
2

D. ln 2x  1  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 14


Tổng Hợp Lý Thuyết
Loại 2.2. f  x  

P  x

Q  x

2.2.1. Q  x  có

ax 2  bx  c

 P  x    const 
có các trường hợp sau:
2
Q  x   ax  bx  c

trong đó 

0

Nhận dạng:


Năm học: 2023-2024

dx  

 Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.

a  x  x1  x  x2 

dx 

 1
1 


 dx với x2  x1
a  x2  x1    x  x2 x  x1 

 Ví dụ 1.4.7
Tính

1

  x  2 x  6 dx





1
ln  x  6  x  2   C .
4
1
C. ln x  6  ln x  2  C .
D.
ln x  6  ln x  2  C
4
Lời giải
.......................................................................................................................................................
A.

1
ln x2  8x  12  C
2

B.





.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.8
Tìm ngun hàm của f  x  

1
x  3x  2
2

1
ln x2  3x  2  C
2
C. ln x  2  ln x  1  C .





1
ln ln x  2  ln x  1  C .
2
D. ln x 2  3x  2  C

A.

B.

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.9
Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  





2
ln x  1  ln x  3  C

2
7
C. ln 2x  1  ln x  3  C .
A.

2
. Tìm F  x 
2 x  5x  3
3
B. ln ln x  2  ln x  1  C .
2
D. 2 ln x 2  5x  3  C
2





Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 15

Tổng Hợp Lý Thuyết
2.2.2. Q  x  có

Năm học: 2023-2024

0

Nhận dạng:

ax2  bx  c

dx  

a  x  x0 

2

dx  

a  x  x0 

C .

 Tử là hằng số.
 Mẫu có nghiệm kép.

 Ví dụ 1.4.10
Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
C
x 1

B.

1
.
x  2x  1
2

3
1

C .
2 x 1

C. 

1

 x  1

2

C .

D. 

1
C
x 1

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.11
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   
A.

1
là:
9x  12x  4
1 1 
1
B. 
C .
  C . C. 
2
3  3x  2 
 x  1

1
C
x 1

2

D. 

1
C
x 1

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

2.2.3. Q  x  có

0

ax  bx  c
2

dx 

a

1

 x  x0   k 2
2

dx  Lượng giác hóa.

 Ví dụ 1.4.12

Họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. arctan  x  1  C

1
là:
x  2x  2
B. arctan  x   C .
C. ln x 2  2  C .
2

D. 2 tan  x  1  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 16


Tổng Hợp Lý Thuyết
Loại 2.3. f  x  

P  x

Q  x

2.3.1. Q  x  có

 P  x   mx  n
có các trường hợp sau:
2
Q  x   ax  bx  c

trong đó 

 0.

Nhận dạng:
 Cách 1: I  

Năm học: 2023-2024

 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.

C  x  x1   D  x  x2 
mx  n
1  C
D 
d
x


d
x



 dx
 a  x  x1  x  x2 
a   x  x2 x  x1 
ax2  bx  c

 Cách 2:
Xét I  

mx  n
mx  n
dx  
dx
2
a  x  x1  x  x2 
ax  bx  c

Khi đó ta có: I  

mx  n
mx  n
1
dx  
dx  X  ln x  x1  Y  ln x  x2  C .
2
a

a  x  x1  x  x2 
ax  bx  c







1
m 
 he so truoc x
X  ?
1
Đến đây ta chỉ cần tìm X & Y bằng cách giải hệ: 

 x  x1 n 
 he so tudo
Y  ?

 2
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.

(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1)
1
Ví dụ: I   2
dx ta xem hệ số m  0 & n  1 .
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 .

n
Ví dụ: I   2
dx khuyết " mx " nên hệ số m  0 .
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a  1 , bài ít thấy a  1 .
 Ví dụ 1.4.13
4x  11
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2
. là:
x  5x  6
A. 3 ln x  2  ln x  3  C
B. ln x  2  ln x  3  C .



C. 3  ln x  2  ln x  3   C .

D. ln x  2  ln x  3  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 17


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Ví dụ 1.4.14
Tính

x

2

1
xb
dx  a ln
 C với a ; b
x 1
 3x  2

A. S  3

B. S  1

. Tính S  a  b .
C. S  0

D. S  3

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.15

x 1
1
dx  a  b  ln x  2  c  ln x    C với a; b; c là các số hữu tỉ và là
2
x2

phân số tối giản. Khi đó a  b  c :
3
2
1
19
A. S 
B. S 
C. S 
D. S  
2
5
10

10
Lời giải
.......................................................................................................................................................

Biết rằng

 2x

2

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 18


Tổng Hợp Lý Thuyết
2.3.2. Q  x  có

Năm học: 2023-2024

0  

mx  n
mx  n
dx  
dx  Đặt
2
2
ax  bx  c
ax  x 
0

Nhận dạng:

t  x  x0  x  t  x0
.

dt  dx

 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có nghiệm kép.

 Ví dụ 1.4.16
x 1
dx ta được kết quả nào dưới đây:
 4x  4
1
A. ln x  2 

B. ln x  2  x  C
C
x2
1
C. ln x  2  2x  C
D. ln x  1 
C
x 1
Lời giải
.......................................................................................................................................................

Tính

x

2

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.4.17
Tính

x2  1
 x2  4x  4 dx ta được kết quả nào dưới đây:
x
3
A. 4 ln x  2 

B. 4 ln x  2 
C
 xC
x2
x2
C. 4 ln x  2  C
D. ln x  4  x  C

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 19


Tổng Hợp Lý Thuyết
2.3.3. Q  x  có

Năm học: 2023-2024

0

 ax

mx  n
 2
dx  
ax  bx  c

2


 bx  c 



ax 2  bx  c

dx  

 ax

2

 bx  c

ax 2  bx  c

 dx 

 ax

2

 bx  c

H

Tính H  
Tính K  
 Ví dụ 1.4.18

 ax

2

 bx  c

ax  bx  c
2

ax2  bx  c

 dx  Đặt t  ax

2

dx .

K


 bx  c  dt  ax 2  bx  c dx .





dx  Lượng giác hóa.

25x  7
dx ta được kết quả nào dưới đây:
x  2x  7
 x 1 
25
32
ln x 2  2x  7 
arctan 
A.
C
2
6
 6 

Tính J  

2





 x 
1
1
ln x 2  2x  7 
arctan 
C
2
6
 6
 x 2  2x  7 
 x 1 
C. ln 
  arctan 
C
2
 2 





B.



 x 1 
D. ln x 2  2x  7  arctan 
C

 x 
Lời giải
.......................................................................................................................................................





.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 20


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Tổng kết phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ

Xét f  x  là hàm hữu tỉ có dạng f  x  

P  x

Q  x

.

 Trường hợp 1: Bậc tử ≥ Bậc mẫu

 Chia đa thức được: M là thương, N là dư.

P  x
N 
Khi đó:  f  x  dx  
dx    M 
 dx .


Q  x
Q
x





 Trường hợp 2: Bậc tử < Bậc mẫu
Ta có các loại sau:

 P  x    const 
thì:
Q
x

ax

b




P  x

Loại 2.1. f  x  

Q  x

 P  x    const 
có các trường hợp sau:
2
Q
x

ax

bx

c





P  x

Loại 2.2. f  x  

trong đó 

Q  x

2.2.1. Q  x  có

0

 Tử là hằng số.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.

Nhận dạng:


ax  bx  c
2

dx  

a  x  x1  x  x2 

2.2.2. Q  x  có

0

2.2.3. Q  x  có

0

Q  x

2.3.1. Q  x  có

1

2

dx  

1

a  x  x0 

2


2

1 
 dx với x2  x1
x  x1 

dx  

a  x  x0 

C .

ax  bx  c
2

dx 

a

1

x  x 
0

2

 k2

dx  Lượng giác hóa.

 P  x   mx  n
có các trường hợp sau:
2
Q  x   ax  bx  c

trong đó 

 0.

Nhận dạng:
 Cách 1: I  

ax2  bx  c




ax  x    x  x

 Tử là hằng số.
 Mẫu vô nghiệm.

Nhận dạng:
P  x

dx 

 Tử là hằng số.
 Mẫu có nghiệm kép.

Nhận dạng:

Loại 2.3. f  x  

P  x
 Q  x  dx   ax  b dx  a ln ax  b  C

trong đó 

 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có hai nghiệm phân biệt.

C  x  x1   D  x  x2 
mx  n
1  C
D 
d
x

d
x



 dx
 a  x  x1  x  x2 
a   x  x2 x  x1 
ax2  bx  c

 Cách 2: Xét I  
Khi đó ta có: I  

mx  n
mx  n
dx  
dx
2

a  x  x1  x  x2 
ax  bx  c

mx  n
mx  n
1
dx  
dx  X  ln x  x1  Y  ln x  x2  C .
2
a
a  x  x1  x  x2 
ax  bx  c






 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 21


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024



1
m 
 he so truoc x
X  ?
1
Đến đây ta chỉ cần tìm X & Y bằng cách giải hệ: 

 x  x1 n 
 he so tudo
Y  ?

 2
 Lưu ý: (1) Cách lấy các “hệ số” bỏ vào hệ ta lấy theo thứ tự từ PHẢI qua TRÁI.

(2) Với tử là hằng số, ta vẫn có thể áp dụng được cách này.
(Áp dụng được cho 2.2.1)
1
Ví dụ: I   2
dx ta xem hệ số m  0 & n  1 .
ax  bx  c
(3) Khuyết vị trí nào thì xem hệ số đó  0 .
n
Ví dụ: I   2
dx khuyết " mx " nên hệ số m  0 .
ax  bx  c
(4) Chú ý hệ số a, bài đơn giản thường thấy a  1 , bài ít thấy a  1 .
t  x  x0  x  t  x0
mx  n
mx  n
2.3.2. Q  x  có  0   2

Đặt
.
dx  
d
x


2
dt

d
x
ax  bx  c
ax  x 

0

 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có nghiệm kép.

Nhận dạng:

2.3.3. Q  x  có

0

 Bậc tử  Bậc mẫu.
 Mẫu có nghiệm kép.

Nhận dạng:

 ax

mx  n
 2
dx  
ax  bx  c

2


 bx  c 



ax 2  bx  c

dx  

 ax

2

 bx  c

ax 2  bx  c

 dx 

 ax

2

 bx  c

H

Tính H  
Tính K  

 ax

2

 bx  c

ax  bx  c
2

ax2  bx  c

 dx  Đặt t  ax

2

dx .

K



 bx  c  dt  ax 2  bx  c dx .





dx  Lượng giác hóa.

 Chú ý: Một vài cách tách phân thức cần nhớ:
①

1

 x  x  x  x 
1

②
③



2

A
B

x  x1 x  x2

1

 x  m  ax

2

 bx  c

1

 x  a  x  b
2

 Biên soạn: Gv Lê

2







A
Bx  C
 2
với
x  m ax  bx  c

 b2  4ac  0

A

B
C
D



2
x  a  x  a  x  b  x  b 2

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 22


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Dạng 1.5. Nguyên hàm hàm số vô tỉ

Xét f  x  là hàm vơ tỉ có dạng f  x   P  x   Q  x    f  x  dx   P  x   Q  x  dx .
Thông thường ở dạng hàm vô tỉ ta sẽ dùng phương pháp đổi biến.

Và ta nhẩm được  Q  x    P  x  . Khi đó:

Bước 1: Đặt t  Q  x  .
Bước 2: Tính vi phân dt :
Nhưng để vi phận thuận tiện, ta bình phương hai vế t 2  Q  x  .

 2t  dt  Q  x   dx  2t  dt  P  x   dx

P x 

Bước 3: Khi đó
 Ví dụ 1.5.1

 f  x  dx   t  2t dt   2t

2

dt  ...

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4 1 x 2
A. 



2 1  x2

1  x 
C.
2



2

4

1  x2

5
4

5

1  x2

C

C .

B.



2 1  x2
5
4

D.



2

C .

1  x2
C
5

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Ví dụ 1.5.2
Tìm họ ngun hàm của hàm số f  x   sin3 x 1  cos x
 1  cos x 2 1  cos x 5 
 1  cos x 7 2 1  cos x 5 
C
C.


A. 2 
B. 2 




2
5
7
5




7
5

5
2
C. 2  1  cos x  2 1  cos x   C .
D. 1  cos x  2 1  cos x  C


Lời giải
.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 23


Tổng Hợp Lý Thuyết

Năm học: 2023-2024

 Dạng 1.6. Nguyên hàm hàm số lượng giác
① sin2  cos2  1

01

Công thức cơ bản

② 1  tan 2



1
,
cos 2



③ 1 cot 2



1
sin2

k

,

④ tan .cot  1,



2

k

k
2

① sin  a  b   sin acos b  sin bcos a

02

Công thức cộng

② cos  a  b   cos acos b sin a sin b
③ tan  a  b  

tan a  tan b
1 tan a tan b

① sin 2  2 sin cos

03

② cos 2  cos2  sin2
Công thức nhân đôi
2 tan
③ tan 2 
1  tan 2

Cơng thức hạ bậc

②

③
①

05

②
Cơng thức tích thành tổng

③
④

 Ví dụ 1.6.1


  4  k 2
, 
  k

2

1  cos2
2
1  cos2
cos2 
2
1  cos2
tan 2 
,  k
1  cos2
2

1
cos acos b  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a cos b  sin  a  b   sin  a  b 
2
1
cos a sin b  sin  a  b   sin  a  b 
2

① sin 2

04

 2cos2  1  1  2 sin2



Tìm nguyên hàm  sin 3xcos 5xdx
A. 

1
1
cos 8x  cos 2x  C
16
4

C. 2cos 8x  2cos 2x  C .

B. 2cos 8x  2cos 2x  C .
D. 

1
cos10x  C
16

Lời giải
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
 Biên soạn: Gv Lê

Minh Tâm - 093.337.6281

Trang 24