Chương 2 lãi suất

Chương 2. Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gian
Mục tiêu chính
G2. Hiểu và vận dụng kiến thức tốn tài chính để định giá tiền tệ; Hiểu được bản chất tiền tệ
có giá trị theo thời gian do hiệu ứngg lạm phát của nền kinh tế và do yêu cầu sinh lợi của hoạt
động đầu tư vào SXKD và như vậy cần phải định giá cho phù hợp với hoạt động kinh tế.
Mục tiêu cụ thể
O2.1. Hiểu và vận dụng kiến thức lãi đơn và lãi kép vào các nghiệp vụ tín dụng và đầu tư.
O2.2. Hiểu nhân tố ảnh hưởng đến giá trị tiền tệ theo thời gian.
O2.3. Vận dụng phương pháp định giá khoản tiền tệ đơn.
O2.4. Hiểu chuỗi tiền và vận dụng phương pháp thẩm định chuỗi tiền.
O2.5. Hiểu các phương thức vay vốn và vận dụng làm lịch trả nợ.
Nội dung chương 2
2.1. Lãi suất
2.2. Giá trị tiền tệ theo thời gian.
2.1. LÃI SUẤT

Sơ đồ1. Chuyển giao vốn trong nền kinh tế


2.1.1. Lãi đơn
2.1.1.1. Khái niệm
Lãi đơn là tiền lãi phải trả (trường hợp vay nợ) hoặc thu được (trường hợp tiền được
đem đi đầu tư) chỉ tính trên số vốn gốc ban đầu.
Lãi suất là tỷ lệ % của tiền lãi hay lợi tức (chi phí sử dụng vốn) với vốn được sử dụng
(quyền sở hữu được vay).
Ví dụ: Ơng A vay ngân hàng 100 triệu đồng, tiền lãi phải trả mỗi tháng là 10 triệu đồng.

10
100 10%
Như vậy lãi suất theo tháng là 100
- Nếu ông A vay 1 tháng thì số tiền phải trả khi đáo hạn là: 100×1,1 = 110 trđ

- Nếu ơng A vay 4 tháng thì số tiền phải trả khi đáo hạn là: 100×1,4 = 140 trđ
Như vậy, căn cứ vào số vốn gốc ban đầu là 100 trđ để tính số tiền lãi phải trả và nếu số
kỳ khoản vay càng lớn thì số tiền lãi phải trả càng nhiều.
Công thức: I = PV.n.r và FVn = PV(1+ nr).
Trong đó: PV.Vốn gốc ban đầu; FVn.Số tiền nhận được sau n kỳ khoản; I.Tiền lãi hay lợi tức
nhận được; r. Lãi suất; n. Số kỳ khoản.
Lưu ý: Hai đại lượng n và r phải có sự tương thích, ví dụ như n tính theo ngày thì lãi
suất r cũng phải tính theo ngày.
2.1.1.2. Chuyển đổi lãi suất danh nghĩa
Theo quy ước sau đây:
Lãi suất ngày =

Lãi suất tháng

=

30

Lãi suất
quý
90

=

Lãi suất năm
360

2.1.1.3. Cách tính số ngày chịu lãi của một nghiệp vụ tín dụng ngắn hạn
-

Tháng đầu (a) = (Ngày cuối tháng - Ngày phát sinh) + 1

-

Các tháng giữa (b) = Tính theo lịch.

-

Tháng cuối (c) = Ngày đáo hạn – 1. (*)

 Tổng số ngày tính lãi (n) = (a) + (b) + (c).
(*): Ngày đáo hạn (cịn gọi là đến hạn) khơng tính lãi gọi là ngày ngân hàng.


Ví dụ 1: Ơng Ba gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng VCB từ ngày 12/01/2008
đến ngày 15/09/2008 với lãi suất 1,2%/tháng. Hỏi số tiền ông nhận lại khi đáo hạn?
- Số ngày tính lãi: n = (3-12 +1) + (29+31+30+31+30+31+31) + (15-1) = 247 ngày

247 x 0, 012 

FV247 = 50  1 +
 = 54,94 trđ
30


- Số tiền nhận lại khi đáo hạn:
2.1.1.4. Công thức hệ quả

- Thời gian đầu tư cần thiết:

- Lãi suất mong muốn:
2.1.1.5.

r=

n=

FVn - PV
I
=
r.PV
r.PV

FVn - PV
I
=
n.PV
n.PV

Lãi suất bình quân đối với một khoản vay trong nhiều định kỳ thay đổi lãi
suất

r=

r1n1 + r2 n 2 + ... + rn n n
n1 + n 2 + ... + n n

Ví dụ 2: Ngân hàng cho vay một số tiền 300 triệu đồng. Tính lãi đơn với các mức lãi
suất thay đổi như sau:
-

10%/ năm từ 1/2 đến 6/4.

-

11%/ năm từ ngày 7/4 đến 20/6.

-

10,5%/ năm từ ngày 21/6 đến 28/7.

-

9%/ năm từ ngày 29/7 đến 15/9.

Yêu cầu:
a. Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên?
b. Tính tổng lợi tức mà ngân hàng thu được?
Giải
a) Lãi suất trung bình của khoản vốn vay:
Số ngày theo các thời đoạn n = (28 + 31 + 6) + (24 + 31 + 20) + (10 + 28) + (3 + 31 +
14) = 65 + 75 + 38 + 48 = 226 ngày
 r

 10

 65  11  75  10,5 38  9  48 
 10, 2% / năm.
226

b) Tổng lợi tức ngân hàng thu được

I  300  226 

0, 012
 19, 21 trđ.
360

Ví dụ 3: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng, lãi suất 7,2 %/năm từ ngày 15/1 đến
16/7. Xác định lợi tức người đó đạt được?
-

n = 182 ngày chịu lãi (Người học tự tính số ngày)

- Lợi tức đạt được:

I  50  182 

0, 072
 1,82 trđ
360

Ví dụ 4: Một người gửi ngân hàng 20 triệu đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất
9%/năm. Hãy xác định giá trị đạt được?

0, 09
FV42  20  (1  42 
)  26,3 trđ
12

- Cách 1. Tính theo số tháng:

- Cách 2.Tính theo số năm

FV42  20 (1+
12

42
0,09)  26,3 trđ
12

Ví dụ 5: Vốn gốc 30 triệu đồng với lãi suất 20%/năm. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt
được giá trị 31,5 triệu đồng?
n=
Thời gian đầu tư

I
FV - PV 31,5  30
 n
=
2, 25 năm  90 ngày
r.PV
r.PV
0, 2 30

Ví dụ 6: Ông C gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng thì đạt được kết quả
cuối cùng là 75,21 triệu đồng. Xác định lãi suất tiền gửi theo tháng và theo năm?
Giải
- Thời hạn gửi tháng n = 3 năm 4 tháng = 40 tháng.

- Lãi suất

r=

FVn - PV 75, 21  60

0, 0063375 hay 0, 63375% / tháng = 7, 605% / năm.
n.PV
40 60

Ví dụ 7: Với lãi suất đầu tư 16%/năm nhà đầu tư D phải bỏ ra số vốn đầu tư ban đầu là
bao nhiêu để thu được số tiền lãi là 240 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng?
Giải
- Thời hạn đầu tư năm n = 3 năm 9 tháng = 15/4 năm

PV 
- Số tiền đầu tư ban đầu

I
240
=
 400 trđ
15
nr
0,16
4


Ví dụ 8: Cơng ty L vay của ngân hàng N 400 triệu đồng với lãi suất là 10%/năm. Khi
đáo hạn công ty phải trả 408 triệu đồng. Biết ngân hàng áp dụng phương pháp tính lãi đơn.

Yêu cầu:
a) Xác định ngày đáo hạn của khoản vay trên nếu biết ngày phát sinh nghiệp vụ cho
vay là ngày 13/02?
b) Xác định ngày phát sinh nghiệp vụ cho vay nếu biết ngày đáo hạn là ngày 15/09?
Giải
Số ngày chịu lãi: n = (408 – 400)/ 0,1 x 400 = 0,2 năm = 0,2 x 360 = 72 ngày.
a) Xác định ngày đáo hạn
Thử vào phương trình: 72 = (28 – 13 + 1) + 31 + “?” = 47 + “25”= 47 + (26 – 1)
Vậy ngày đáo hạn là: 26/4
b) Xác định ngày phát sinh nghiệp vụ
Thử vào phương trình: 72 = (15 – 1) + 31 + “?” = 45 + “27”= 45 + (31 – 5 + 1)
Vậy ngày phát sinh là: 5/7.
2.1.1.6.

Lãi suất thực theo lãi đơn

Khi đi vay một khoản vốn, ngoài lợi tức, người đi vay thơng thường cịn phải trả một
khoản lệ phí vay nhất định nên lãi suất mà người đi vay gánh chịu có thể sẽ cao hơn lãi suất
mà người cho vay công bố. Như vậy, lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải
trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong một thời hạn nhất định.
Ví dụ 9: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng với các điều kiện
sau: Lãi suất 9,6%/năm; phí hồ sơ 200.000 đồng; các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc. Xác
định lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau:
a. Thời gian vay là 1 năm?
b. Thời gian vay là 4 tháng?
Nếu trong hợp đồng vay quy định người vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực tế
sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
+ Nếu lợi tức phải trả vào cuối mỗi kỳ
a. Thời gian vay một năm

-

Lợi tức phải trả:

-

Phí hồ sơ:

= 0,2 trđ

-

Các khoản phí khác: 200 x 0,002

= 0,4 trđ

-

Tổng lệ phí và các khoản khác phải trả:

= 19,8 trđ

200 x 0,096

= 19,2 trđ

=> Vốn thực tế sử dụng: 200 - 0,6 = 199,4 trđ
=> Lãi suất thực: 19,8 / 199,4 = 9,93%/năm

b. Thời gian vay 4 tháng
-

Lợi tức phải trả: 200 x 0,096 x 4/12 = 6,4 trđ

-

Tổng lợi tức và lệ phí phải trả: 7 trđ
=> Vốn thực tế sử dụng: 199,4 trđ
=> Lãi suất thực: (7/199,4) x (12/4) = 10,53 %/năm

Kết luận: Thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các
khoản chi phí cố định.
+ Lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn (trả trước)
a. Thời gian vay 1 năm
-

Vốn thực tế sử dụng: 200 - 19,8 = 180,2 trđ

-

Lãi suất thực: 19,8 / 180,2 = 10,99%/năm

b. Thời gian vay 4 tháng
-

Vốn thực tế sử dụng: 200 - 7 = 193 trđ

-

Lãi suất thực: (7 / 193) x (12 /4) = 10,88%/năm

Kết luận: Lãi vay phải trả ngay khi nhận vốn thì thời gian vay càng dài lãi suất thực sẽ
càng tăng vì lúc đó khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực tế sử dụng bị giảm đi.
2.1.2. Lãi kép
2.1.2.1. Khái niệm
Lãi được tính trên số vốn gốc đã được nhập lãi lần trước thành vốn gốc mới để tiếp tục
tính lãi.
Cơng thức:

FVn = PV (1 + r)n

Trong đó:
-

PV: Vốn gốc ban đầu.

-

FVn: Số tiền nhận được sau n kỳ khoản


-

r: Lãi suất.

-

n: Số thời đoạn

Ví dụ 10: Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng, lãi suất mỗi tháng là 1,5% và lãi nhập
gốc hàng tháng. Sau 10 tháng người đó nhận lại cả vốn lẫn lãi là:
FV10 = 10 x (1 + 0,015) x 10 = 11,605408 (triệu đồng)
2.1.2.2. Các công thức hệ quả
-

Khoản vốn ban đầu cần đầu tư

PV = FVn (1+ r)-n

Thời gian đầu tư cần thiết

FVn
n  PV
ln(1  r )
ln

-

-

r n

Suất chiết khấu mong muốn

FVn
1
PV

Ví dụ 11: Cơng ty Damocuma mua một lơ đất với giá 50 tỷ VND và dự kiến giá đất

hàng năm tăng 8%. Hỏi:
a. Giá lơ đất đó sau 4 năm, sau 6 năm?
b. Sau bao lâu thì giá đất tăng gấp ba?
c. Giả sử 8 năm sau giá đất tăng gấp đôi. Hỏi suất tăng trưởng của giá đất?
Giải
a. Giá lô đất sau 4 năm, sau 6 năm là
-

FV4 = 50 x (1 + 0,08) x 4 = 68,024448 tỷ VND.

-

FV6 = 50 x (1 + 0,08) x 6 = 79,343716 tỷ VND.

b. Thời gian cần thiết để giá đất tăng gấp ba
n

ln 3
ln1, 08 = 14,2749 năm = 14 năm 3 tháng 9 ngày.

c. Suất tăng trưởng của giá đất
r  8 2  1 = 0,0905 = 9,05%/năm

2.1.2.3. Chuyển đổi lãi suất thực tương đương theo thời đoạn ngắn và dài
Nếu gọi:

r

1

:

Lãi suất thực trong thời đoạn ngắn (tháng, quý, 6 tháng)

r

2

:

Lãi suất thực trong thời đoạn dài (năm)

n:

Số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài.


Với ý nghĩa nếu sử dụng r1 hoặc r2 thì đều cho giá trị đáo hạn sau một thời hạn là như
nhau. Chứng minh như sau:
FV = PV (1+r1)n = PV (1+r2)1

Phương trình:

n

(1+r1)n = PV (1+r2)1 =>

=>

r2  1  r1   1

hay

r1  n 1  r2  1

Ví dụ 12: Lãi suất thực của một tháng là r1= 1,5% thì lãi suất thực r2 của 1 năm là?

r2 (1 1,015)12  1 = 1,19562 – 1 = 19,562%/năm

=>

Ví dụ 13: r2 = 20%/ năm, tính r1 theo tháng?
r1 12 1  0, 2  1 = 1,53%/tháng

=>

Ví dụ 14: Thơng tin cho biết bình qn hai tháng đầu năm 2011 chỉ số giá tiêu dùng
chung CPI của Việt Nam tăng 1,2%/ tháng. Giả sử Chính phủ kềm chế được tốc độ tăng giá
này thì cuối năm 2011 tỷ lệ lạm phát của nền kinh tế Việt Nam là bao nhiêu?
12
=> Tỷ lệ lạm phát: I (1  1, 2%)  1 15,39% / năm

2.1.2.4. Lãi suất bình quân
Lãi suất bình quân của nhiều khoản vốn vay trên cùng một thời hạn (cịn gọi là Chi phí
sử dụng vốn bình qn hay suất chiết khấu bình qn)
r=
Cơng thức:

 C r x100%
C

i i
i

. Trong đó:

-

r : Lãi suất chiết khấu bình quân của khoản vay (hay dự án)

-

Ci: Lượng tiền của nguồn vốn thứ i

-

ri: Lãi suất của nguồn vốn thứ i

Ví dụ 15: Cơng ty Laribo sử dụng 3 nguồn vốn tài trợ để thực hiện dự án của mình như
sau: Nguồn vốn I là 500 triệu đồng lãi suất 12%/năm; nguồn vốn II là 300 triệu đồng lãi suất
14%/năm, nguồn vốn III là 200 triệu đồng lãi suất 15%/năm. Tính lãi suất trung bình của dự
án này?
Giải
r = (500 x 0,12 + 300 x 0,14 + 200 x 0,15 )/ (500 + 300 + 200) = 0,132 = 13,2 %/năm.
2.1.2.5. Ghép lãi định kỳ m lần một năm trong n năm đầu tư (lãi gộp vốn)
Nếu tính lãi định kỳ hàng năm thì giá trị nhận được sau n năm là:
FV = PV (1 + r)n.
Nhưng nếu ghép lãi với những định kỳ nhỏ hơn (chẳng hạn theo q tháng sáu tháng,
ngày, tuần,…) thì cơng thức tính giá trị đáo hạn sẽ là:

FV = PV (1 + r/m)mxn
Trong đó:
-

r là lãi suất tính theo năm

-

r/m là lãi suất danh nghĩa tính theo định kỳ nhỏ hơn.
Ví dụ 16: Một khoản tín dụng 200 triệu đồng, lãi suất 14%/năm được cấp trong thời hạn

5 năm. Hãy tính giá trị đáo hạn trong các trường hợp ghép lãi sau đây?
-

Theo tháng:

FV = 200 (1 + 0,14/12)12x5 = 401,1220 triệu VND.

-

Theo quý:

FV = 200 (1 + 0,14/4)4x5 = 397,9578 triệu VND.

-

Theo 6 tháng: FV = 200 (1 + 0,14/2)2x5 = 393,4303 triệu VND.

-

Theo năm :

FV = 200 (1 + 0,14/1)1x5 =

385,0829 triệu VND.

2.1.2.6. Lãi suất hiệu dụng (thực) của một khoản vay
Thông thường ngân hàng công bố mức lãi suất và mức công bố này gọi là lãi suất danh
nghĩa. Tuy nhiên, lãi suất hiệu dụng (thực) được tính trên cơ sở lãi suất danh nghĩa và phụ
thuộc vào cách ghép lãi theo thời đọan ngắn hơn.
Cơng thức tính lãi suất hiệu dụng:
rhd = (1 +r/m)m – 1
Ví dụ 17: Ngân hàng thương mại cơng bố lãi suất huy động vốn năm 2014 được ấn định
từ NHNN là 14%/năm. Bạn hãy tính lãi suất thực (hiệu dụng) của các khoản tiết kiệm định kỳ
theo?
-

Theo tháng:

rhd = (1 + 0,14/12)12 – 1

= 14,93%/năm

-

Theo qúy:

rhd = (1 + 0,14/4)4 – 1

= 14,75%/năm.

-

Theo 6 tháng: rhd = (1 + 0,14/2)2 - 1

= 14,49%/năm.

-

Theo ngày:

= 15,02%/năm.

rhd = (1 + 0,14/365)365 – 1

2.1.2.7. Lãi suất trung bình trong lãi kép
a) Giá trị trung bình:

r = n (1+ r1 ) n1 + (1+ r2 ) n2 + ... + (1+ rk ) nk -1

-

n1, n2, ..., n k: thời gian đầu tư ở giai đoạn 1, 2,..., k

-

n = n1 + n2 + ...+n k

-

r1, r2, ...., r k : lãi suất ở giai đoạn 1, 2,..., k


n1
n2
nk
n
b) Giá trị đáo hạn đạt được: PVn = PV(1+ r1 ) (1+ r2 ) ...(1+ rk ) = PV(1+ r)

Ví dụ: Một người đầu tư một khoản vốn 500 triệu đồng, tính lại kép với các mức lãi
suất biến đổi như sau:
-

8%/năm trong thời gian 3 năm đầu tiên.

-

8,5%/năm trong thời gian 3 năm tiếp theo.

-

9%/năm trong thời gian 4 năm cuối cùng.

Hãy xác định
a. Lãi suất bình quân của khoản vốn đầu tư trên?
b. Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10?
Đáp số:
a/ r = 8,55%/năm

b/ FV10 = 1.135,629 trđ (Có 2 cách tính)

2.1.2.8. Lãi suất thực bao gồm chi phí trong lãi kép (lãi suất hiệu năng)

Cơng thức:

rt =

n

FVn
-1
PV - f
.Trong đó:

-

f: Chi phí vay vốn, lệ phí vay, chi phí phát hành,...

-

n: Thời gian vay.
Ví dụ 18: Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9%/năm, kỳ ghép lãi 6

tháng, vốn và lãi được trả một lần khi đáo hạn, lệ phí vay là 0,5% vốn gốc. Hãy xác định lãi
suất thực mà người đi vay phải gánh chịu với:
a. Thời gian vay là 3 năm?
b. Thời gian vay là 1 năm?
Giải
Ta có: r = 9%/năm = 4,5% kỳ 6 tháng
a. Với n = 3 năm = 6 kỳ 6 tháng.

Số tiền người đi vay phải trả khi đáo hạn: 400 x1,0456 = 520,904 trđ
Lãi suất thực: r t =

√
6

520,904
−1 = √6 1,3088 - 1 = 0,0459 = 4,59%/6 tháng = 9,18%/ năm
400−2

b. Với n = 1 năm = 2 kỳ 6 tháng


Số tiền người đi vay phải trả khi đáo hạn: 436,81 trđ
Lãi suất thực: r t =

√

436,81
- 1 = √ 1,0975 - 1 = 0,0476 = 4,76%/6 tháng hay 9,52%/năm
400−2

Nhận xét: Thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng cao do gánh nặng của khoản lệ phí vay
cố định.
Khuyến nghị: Sinh viên nên sử dụng máy tính tài chính để tính lãi suất hay các yêu cầu
khác theo cách giải phương trình, hay tính giá trị biểu thức trên máy!
GIẢI TỐN BẰNG MÁY TÍNH TÀI CHÍNH
Nhìn chung trong mơn học có hai loại tốn:
1. Tính giá trị biểu thức đại số:
Sinh viên thay giá trị cụ thể của đại lượng vào biểu thức (công thức) rồi bấm “=“ được

kết quả phải tìm.
2. Giải phương trình đại số:
Dựa vào dữ kiện bài tốn viết ra phương trình trên nháp để dựa vào đó giải phương
trình.
Giải phương trình trên máy theo trình tự 3 bước:
-

Bước 1: Nhập vế trái phương trình (ẩn số trên máy là chữ X – bấm alpha trưc)

-

Bước 2: Bấm alpha  CalC  Nhập vế phải

-

Bước 3: Bấm Shift  CalC  Kết quả (Lưu ý chờ máy xử lý khoảng 5 – 10 giây)

2.2. GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN
Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân
Khái niệm:Cấp số nhân là một dãy số (un) trong đó số hạng đứng sau ln bằng số
hạng đứng trước nhân cho một số không đổi (gọi là công bội) và ký hiệu là q.
Các công thức:
Số hạng tổng quát un
u1 = u1 . q0.
u2 = u1 . q1 = u1 . q2-1.
u3 = u2 . q1 = u1 . q3-1.
…..

=>

un = u1. q n-1.

(1)

Tổng hữu hạn của một cấp số nhân n số hạng
Sn = u1 + u2 + u3 + …+ un-1 + un
=>

qSn =

u2 + u3 + ….

+ un + qun


=> (1 – q)Sn = u1 – qun = u1 – u1qn = u1 (1 – qn).

=>

S n u1

1

q

n

1 q

Tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn:

Lúc đó

S  u1
1 q

(2)
q 1

Khi n  

(3)

Sau đây ta áp dụng kiến thức cấp số nhân để chứng minh các công thức liên quan về giá
trị tiền tệ theo thời gian được đề cập dưới đây.
2.2.1. Nhân tố ảnh hưởng đến giá trị tiền tệ theo thời gian (Factors Affecting Value Of
Money By Time)

1. Nhân tố (khách quan) - sức mua của đồng tiền
Trong nền kinh tế tiền tệ, đặc biệt là sử dụng tiền mặt phổ biến (như Việt Nam) làm
giảm giá trị sức mua của đồng tiền do hiệu ứng lạm phát. Một đồng ngày hôm nay mua được
hàng hóa A nhưng một năm sau thì khơng, vì chẳng hạn lúc đó hàng hóa A có giá cả là 1,1
đồng.
2. Nhân tố (chủ quan) - kỳ vọng sinh lợi của nhà đầu tư
Quan điểm kinh tế cho rằng đồng tiền cần phải vận động khơng thể nằm n thì nó mới
sinh lợi (lớn lên) bù trừ được lạm phát và có thể dơi ra phần lợi ích rịng. Điều này có nghĩa là
tiền cần phải được đem đi đầu tư vào nền kinh tế. Người ta thường nói: “tiền đẻ ra tiền là
vậy!”
Nhận xét:
Hai nhân tố trên tựu trung lại, gọi là chi phí cơ hội của một sự lựa chọn và đánh đổi

trong đầu tư thể hiện bản chất của tiền tệ. Thuật ngữ này thường có tên gọi là lãi suất, suất


chiết khấu, chi phí sử dụng vốn, tỷ suất lợi nhuận đầu tư,… mà ta sẽ lần lượt tiếp cận ở những
chương sau, hay ở những mơn học tài chính khác.
Tiền tệ có giá trị thay đổi theo thời gian vừa có tính khách quan kinh tế vừa có tính chủ
quan của đầu tư khơng thể nào triệt tiêu nó được.
Ví dụ: Ơng A gửi ngân hàng với lãi suất 7%/năm 100 đ, một năm sau thành 107 đ. Ông
B mua cổ phiếu bằng 100 đ được chia cổ tức 10%/năm, sau một năm thành 110 đ chẳng hạn.
Bạn hãy nêu nhận xét của mình về tình huống ví dụ nêu trên?
2.2.2. Định giá khoản tiền tệ đơn

TÌNH HUỐNG ĐỊNH GIÁ MỘT KỲ (SITUATION OF ONE - TIME
VALUATION)
Ông Lusoba đang cố gắng bán một mảnh đất của mình. Hơm qua, ông được hỏi mua với
giá $10.000 cho mảnh đất này. Ơng đã định chấp nhận mức giá đó thì một người khác đề nghị
trả ông $11.424. Tuy nhiên, người thứ hai đề nghị sẽ thanh toán sau một năm. Lusoba hài
lịng vì cả hai người mua đều trung thực và có khả năng thanh tốn. Ơng khơng sợ bị lừa với
bất cứ đề nghị nào ông chọn. Vấn đề đặt ra là Lusoba nên chọn đề nghị nào?
Cô Chuadai là cố vấn tài chính của ơng, khuyến nghị ơng thẩm định theo hai cách sau
đây.
(Giả định lãi suất tiền gửi phi rủi ro vào ngân hàng là 12%/năm).
Cách 1: Tính giá trị tương lai một khoản đầu tư (FV = Future value)
Nếu ông chấp nhận bán cho người thứ 1 và số tiền $10.000 rồi gửi vào ngân hàng sau
một năm thì nhận lại được:
FV1 = 10.000 x 1,121 = 11.200 USD
Nhận xét: $11.200 < $11.424 => Nên bán cho người thứ hai.


Cách 2: Hiện giá một khoản đầu tư (PV = Present value)

Nếu ông chấp nhận bán cho người thứ hai thì số tiền $11.424 tương đương với số tiền ở
hiện tại là:
PV = 11.424 x 1,12-1 = 10.200 USD
Nhận xét: $10.200 > $10.000 => Nên bán cho người thứ hai.
=> Cả hai cách thẩm định đều đưa đến cùng một quyết định như nhau.
Câu hỏi: Sinh viên tính xem chi phí cơ hội khi ơng LUSOBA chọn bán cho người thứ
hai là bao nhiêu?
(ĐS: r = 14,24% > 12% là lãi suất phi rủi ro)
KẾT LUẬN QUAN TRỌNG (CONCLUSION IMPORTANT)
Bằng việc thẩm định theo 2 cách đều cho kết quả là bán cho người thứ hai có lợi hơn.
Thuật ngữ lãi suất cịn có tên gọi là tỷ suất sinh lợi hay lãi suất chiết khấu (Discount rate). Ví
dụ trên tuy đơn giản nhưng nó chứa đựng ý nghĩa quan trọng về đầu tư sinh lợi trong lĩnh vực
kinh tế (sự lựa chọn từ chi phí cơ hội của đầu tư).
Khi ta so sánh hai món tiền phải đưa chúng về cùng một thời điểm gốc thời gian (hoặc
là cùng ở hiện tại hoặc là cùng ở tương lai) mới thấy được giá trị thực của nó vì giá trị tiền tệ
phụ thuộc vào thời gian với cùng một suất chiết khấu cho trước.
Thông lệ kinh tế, người ta hay chuẩn so sánh bằng phương pháp hiện giá của dòng
tiền hay chuỗi tiền mà tiếp theo ta sẽ đề cập sau đây.
2.2.3. Giá trị tương lai và hiện tại của một khoản tiền tệ đơn
Công thức:
FVn = PV (1+r)n
PV = FVn (1+r)-n
Trong đó:
-

PV: Giá trị hiện tại

-

FVn: Giá trị tương lai

-

r: Suất chiết khấu

-

n: Số thời đoạn
NHẬN XÉT Ý NGHĨA CỦA 2 CÔNG THỨC TRÊN


Biểu thị mối tương quan giữa hiện tại và tương lai của giá trị tiền tệ thông qua hai yếu tố
r và n
Một đồng hơm nay sẽ có giá trị tương đương bao nhiêu đồng ở một năm sau?
Một đồng hiện giờ là có giá trị tương đương bao nhiêu đồng ở năm trước đó?
Hai cơng thức trên có giá trị định giá phụ thuộc vào r và n cho trước.
+ r hoặc n càng lớn thì FVn càng lớn.
+ r hoặc n càng lớn thì PV càng bé.
2.2.4. Chuỗi tiền tệ - Money Chain


CHÚ THÍCH VỀ DỊNG TIỀN TRONG THỰC TẾ ÁP DỤNG
Dịng tiền vào (hoặc ra) đầu kỳ hay cuối kỳ cần phân biệt như sau:
 Thơng thường dịng tiền vào (hoặc ra) đầu kỳ đối với các khoản tiền gửi ngân hàng,
đóng bảo hiểm nhân thọ,...
 Dịng tiền hạch tốn cuối kỳ thường đối với các khoản chi hay thu nhập của các tổ
chức kinh tế, hoặc dự kiến của các dự án đầu tư.
 Trả góp mua hàng hóa có thể ở đầu kỳ hay cuối kỳ tùy theo hợp đồng ký kết giữa hai
bên tham gia....
10 KHUYẾN CÁO QUAN TRỌNG KHI VẬN DỤNG GIẢI TỐN

1. Khi các dịng tiền vào (hay ra) là bằng nhau thì ta gọi là chuỗi tiền tệ đồng đều.
2. Thời điểm 0 trên sơ đồ mẫu được chọn là gốc hiện tại dùng để hiện giá chuỗi tiền
hội tụ về đó.
3. Thời điểm n trên sơ đồ mẫu được chọn là gốc tương lai dùng để tính giá trị tương lai
của chuỗi tiền hội tụ về đó.
4. Sự chọn lựa gốc thời gian là tương đối và nó phụ thuộc vào tình huống của bài toán
và đây là điều sinh viên cần lưu ý để tránh sai sót khi thực hành bài tập.
5. Đối với chuỗi tiền đều cuối kỳ, gốc tương lai được chọn tại thời điểm n và dòng tiền
vào hay ra của chuỗi tiền bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 1 (CF1), điểm hội tụ tại thời
điểm là thời điểm n ngay chỗ dòng tiền CFn cuối cùng (vào hay ra) của chuỗi tiền.
6. Đối với chuỗi tiền đều đầu kỳ, gốc tương lai được chọn tại thời điểm n và dòng tiền
vào hay ra bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 0 (CF0), tức là điểm hội tụ tương lai tại thời
điểm n nhưng lúc đó dịng tiền vào hay ra của chuỗi tiền lại kết thúc tại thời điểm (n-1).
7. Đối với dòng tiền cuối kỳ, gốc hiện tại được chọn tại thời điểm 0 và dòng tiền vào
(ra) bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 1 (CF1) nhưng lưu ý điểm hội tụ lại tại thời điểm 0
cánh dòng tiền đầu tiên (CF1) ở bên trái nó một thời đoạn.
8. Đối với dòng tiền đầu kỳ, gốc hiện tại được chọn tại thời điểm 0 và dòng tiền vào
(ra) bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 0 (CF0) điểm hội tụ chính tại thời điểm 0.
9. Số thời điểm vào hay ra (n) là số dòng tiền tương ứng dòng tiền của chuỗi tiền vào
hay ra.
Sau chương này, khi ta hiện giá thì chuỗi tiền ln được xem xét trên quan điểm chuỗi
tiền cuối kỳ, bạn đọc lưu ý nhé!


2.2.4.1. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đồng đều (Ký hiệu FVAn)
Công thức (*):
FVA n = CFx

(1+ r)n -1
r

FVA n = CFx

(1+ r) n -1
x(1+ r)
r

 Đối với dòng tiền cuối kỳ :
 Đối với dòng tiền đầu kỳ:

Ví dụ 19: Hàng tháng ơng A gửi tiết kiệm một khoản tiền tiết kiệm là 5 triệu đồng trong
thời gian 60 tháng. Giả sử lãi suất tiết kiệm là 1,2%/tháng. Hỏi:
a. Kết thúc thời gian gửi tiền ông A có được bao nhiêu tiền?
b. Sau 60 tháng ơng A có được bao nhiêu tiền?
c. Sau 65 tháng ơng A nhận lại số tiền là bao nhiêu?
Giải
a. Số tiền ông A có được sau khi kết thúc thời gian gửi tiền
60
FVA 60 = 5 x (1+0,012) −1 = 435,6864 trđ.
0,012

b. Số tiền ơng A có được sau 60 tháng gửi tiền
60
FV 60 = 5 x (1+0,012) −1 x 1,0121 =
0,012

440,9146 trđ.

c. Số tiền ông A nhận được sau 65 tháng
FV 65 = 440,9146 x 1,0125 = 468,0121 trđ

2.2.4.2. Hiện giá của chuỗi tiền tệ đồng đều (Ký hiệu PVAn)
Công thức (*):

 Đối với dịng tiền cuối kỳ:

PVA n = CF×

1- (1+ r) -n
r

1- (1+ r)-n
PVA n = CF×
(1  r)
r
 Đối với dịng tiền đầu kỳ:
Chú thích (*): Người đọc có thể sử dụng kiến thức tổng hữu hạn của cấp số nhân đã
nhắc lại để chứng minh các công thức trên!


Ví dụ 20: Một chiếc xe bán trả góp với điều kiện trả chậm như sau: Trả 12 lần mỗi lần 5
triệu đồng trong vịng 12 tháng (12 lần góp) với lãi suất 14,4%/năm, lần trả đầu tiên sau ngày
nhận xe 1 tháng. Tính giá bán trả ngay của chiếc xe trên?
Giải
Người đọc nên mơ tả dịng tiền trên đường thời gian và tự giả i. Dòng tiền dạng cuối
kỳ, nhớ chuyển đổi lãi suất cho tương ứng, sử dụng cơng thức:
PVA n = CF×

1- (1+ r)-n
r
. Đáp số: 55,57 trđ

Ví dụ 21: Một chiếc xe bán trả góp với điều kiện trả chậm như sau: Trả góp 12 lần mỗi
lần 5 triệu đồng trong vòng 12 tháng (12 lần góp) với lãi suất 14,4%/năm, lần trả góp đầu tiên
ngay khi nhận xe. Tính giá bán trả ngay của chiếc xe trên?
Giải
Người đọc mơ tả dịng tiền trên đường thời gian và tự giải. Dòng tiền dạng đầu kỳ, nhớ
chuyển đổi lãi suất cho tương ứng, sử dụng công thức:
PVA n = CF×

1- (1+ r) -n
(1  r)
r
. Đáp số: 56,24 trđ

Ví dụ 22 (tổng hợp): Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ sau đây
với lãi suất 10%/năm?
ĐVT: Triệu đồng
Năm
Dòng tiền

1
100

2
100

3
120

4

120

5
120

6
150

7
150

8
180

9
180

10
150

Giải
Ta đề nghị mỗi lời giải có 3 cách giải sẽ cho cùng một đáp số, như sau: đơn vị tính
triệu đồng
a. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Cách 1: Phương pháp đưa hỗn hợp chuỗi về hiện tại
PV

= 100 x 1,10 + 100 x 1,1−1 + 120 x

1−1,1−3

1−1,1−2
x 1,1−1 + 150 x
x 1,1−4 + 180 x
0,1
0,1

1−1,1−2
x 1,1−6 + 150 x 1,1−9
0,1
= 879,9658 trđ.
Cách 2: Phương pháp hiện giá từng khoản tiền tệ đơn (an toàn nhất!)


PV
= 100 x 1,10 + 100 x 1,1-1 + 120 x 1,1-2 + 120 x 1,1-3 + 120 x 1,1-4 + 150 x 1,1-5 + 150 x
1,1-6 + 180 x 1,1-7 + 180 x 1,1-8 + 150 x 1,1-9
= 879,9658 trđ.
Cách 3: Phương pháp hỗn hợp chuỗi có chọn khoản tiền tệ có giá trị nhỏ nhất làm
chuẩn
PV

= 100 x 1,10 + 100 x

1−1,1−9
1−1,1−3
1−1,1−2
+ 20 x
x 1,1−1+ 50 x
x 1,1−4 + 80 x
0,1

0,1
0,1

1−1,1−2
x 1,1−6 + 50 x 1,1−9
0,1
= 879,9658 trđ.
b. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ
Cách 1: Phương pháp đưa hỗn hợp chuỗi về tương lai
1,12−1
1,13−1
1,12−1
1,12−1
x 1,18 + 120 x
x 1,15 + 150 x
x 1,13+ 180 x
x
0,1
0,1
0,1
0,1
1,11 + 150 x 1,10 = 2074,9132 trđ
FV = 100 x

Cách 2: Phương pháp đưa từng khoản tiền tệ đơn về tương lai (an toàn nhất)
FV
= 100 x 1,19 + 100 x 1,18 + 120 x 1,17 + 120 x 1,16 + 120 x 1,15 + 150 x 1,14 + 150 x
1,13 + 180 x 1,12 + 180 x 1,11 + 150 x 1,10
= 2074,9132 trđ
Cách 3: Phương pháp hỗn hợp chuỗi có chọn khoản tiển tệ có giá trị nhỏ nhất

làm chuẩn
1,110−1
1,13−1
1,12−1
1,12−1
+ 20 x
x 1,15 + 50 x
x 1,13+ 80 x
x 1,11 + 50 x
0,1
0,1
0,1
0,1
1,10 = 2074,9132 trđ
FV = 100 x

2.2.4.3. Hiện giá của chuỗi tiền tệ đồng đều mãi mãi (Vĩnh cữu)

Cơng thức tính:

PVA  =

CF
r

Đối với những dự án đầu tư có vịng đời n ≥ 30 năm trở lên có thể sử dụng cơng thức
trên để hiện giá dòng thu nhập đều hàng năm của dự án.
Để định giá trái phiếu vô thời hạn hay cổ phiếu ưu đãi cũng có thể dùng cơng thức trên
(ở chương 3 giáo trình này sinh viên có thể tiếp cận nội dung nêu trên!)
Ví dụ 23: Một dự án đầu tư có chi phí ban đầu C = 100.000 USD, hàng năm có dịng

thu nhập đều là CF = 10.000 USD, vòng đời của dự án n = 30 năm. Ứng với các mức chiết
khấu r = 8%/năm, 10%/năm, 12%/năm ở mức nào thì nên đầu tư vào dự án?
Giải


+ r = 8%/năm => PVA30 =

10.000
= 125.000 USD
0,08

Ta thấy: C = 100.000 < PVA30 = 125.000: Dự án có lời nên đầu tư.
+ r = 10%/năm => PVA30 = =

10.000
= 100.000 USD
0,1

Ta thấy: C = 100.000 = PVA30 = 100.000
Dự án hòa vốn xem xét lại trước khi đầu tư.
+ r = 12%/năm => PVA30 = =

10.000
= 83.333,3333 USD
0,12

Ta thấy: C = 100.000 > PVA30 = 83.333,3333: Dự án bị lỗ khơng nên đầu tư.
Ví dụ 24: Trái phiếu Chính phủ khơng có thời hạn, lãi suất 8%/năm trả lãi hàng năm và
có mệnh giá là 10 triệu đồng. Bạn sẽ định giá trái phiếu là bao nhiêu nếu bạn có yêu cầu lợi
suất đầu tư KD = 10%/năm?

Giải
Tiền lãi nhận được hàng năm (mãi mãi) cũng chính là thu nhập của trái phiếu:
CF = 10 x 0,08 = 0,8 triệu đồng.

I =

Giá của trái phiếu được định theo yêu cầu chủ quan của nhà đầu tư:
V = 0,8/ 0,1 = 8 triệu đồng.
Lưu ý: Nếu nhà đầu tư yêu cầu lợi suất đầu tư: K D = r = Lãi suất trái phiếu thì nhà đầu
tư sẽ mua trái phiếu bằng đúng mệnh giá của trái phiếu.
2.2.4.4. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ không đồng đều
Công thức:
n

¿

FV = CF1 (1+r)1 +CF2(1+r)2+ …+CFn

 CF (1  r )

i

i

i 1

2.2.4.5. Hiện giá của chuỗi tiền tệ không đồng đều
Công thức:

PV =

n
CF n
CF i
CF 2
CF 1
+
+
…
+
=
∑
2
n
i =
1+ r (1+r )
(1+r )
i=1 ( 1+ r)

n

∑ CF i (1+r )−i
i=1

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ có giá trị tương lai là
500 triệu đồng, giá trị mỗi kỳ khoản là 50 triệu đồng và gồm có 8 kỳ khoản?