Công thức chương 2 qttc

Chương 2: Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gian
I. LÃI ĐƠN
I = PV x n x r
FVn = PV x (1+ nr)
PV: Vốn gốc ban đầu.
FVn: Số tiền nhận được sau n kì khoản.
I: Tiền lãi hay lợi tức nhận được.
r: Lãi suất.
n: số kì khoản
Lưu ý: n và r phải có sự tương thích, VD n tính theo ngày thì lãi suất cũng phải tính theo
ngày.
CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT DANH NGHĨA.
Lãi suất ngày =

LS tháng LS quý LS năm
=
=
30
90
360

CÁCH TÍNH SỐ NGÀY CHỊU LÃI CỦA MỘT NGHIỆP VỤ TÍN DỤNG NGẮN
HẠN.
Tháng đầu (a) = Ngày cuối tháng – Ngày phát sinh + 1
Các tháng giữa (b) = Tính theo lịch.
Tháng cuối (c) = Ngày đáo hạn – 1. (*)
 Tổng số ngày tính lãi (n) = (a) + (b) = (c)
Chú thích (*): Ngày đáo hạn (cịn gọi là đến hạn) khơng tính lãi gọi là ngày ngân
hàng.
CÔNG THỨC HỆ QUẢ
Thời gian đầu tư cần thiết

n=

FV n −PV
r x PV

=

I
r x PV

Lãi suất mong muốn

r=

FV n −PV
n x PV

=

I
n x PV

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN ĐỐI VỚI MỘT KHOẢN VAY TRONG NHIỀU ĐỊNH KÌ
THAY ĐỔI LÃI SUẤT
´r =¿

r 1 n 1+r 2 n2 +…+ r n nn
n 1+ n2+ …+nn

II. LÃI KÉP
FVn = PV(1+r )n
CÁC CÔNG THỨC HỆ QUẢ
Khoản vốn ban đầu cần đầu tư: PV = FVn ( 1+r )−n
FV n
PV
ln(1+r )
ln

Thời gian đầu tư cần thiết: n

=

Suất chiết khấu mong muốn:

r=n

√

FV n
−1
PV

CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT THỰC TƯƠNG ĐƯƠNG THEO THỜI ĐOẠN NGẮN VÀ
DÀI
Nếu gọi
r1: Lãi suất thực trong thời đoạn ngắn (tháng, quý, 6 tháng)
r2: Lại suất thực trong thời đoạn dài (năm)
n: số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài.

Với ý nghĩa nếu sử dụng r1 hoặc r2 thì đều cho giá trị đáo hạn sau một thời hạn là như
nhau.
Phương trình FV = PV (1+r 1 )n = PV (1+r 2 )1
 (1+r 1 )n=(1+ r 2)1
 r 2=(1+r 1 )n−1 hay r 1= √n 1+r 2 −1


LÃI SUẤT BÌNH QUÂN
´r =

∑ C i r i x 100%
Ci

´r : Lại suất chiết khấu bình quân của khoản vay (hay dự án)
C i: Lượng tiền của nguồn vốn thứ i
r i : Lãi suất của nguồn vốn thứ i

GHÉP LÃI ĐỊNH KÌ m LẦN MỘT NĂM TRONG n NĂM ĐẦU TƯ (LÃI GỘP VỐN)
Nếu tính lãi định kì hàng năm thì giá trị nhận được sau n năm là
FV = PV (1+r )n
Nếu ghép lãi với những định kì nhỏ hơn (chẳng hạn theo quý tháng sáu tháng, ngày, tuần,
…)
r
m

mx n

FV = PV(1+ )

r: Lãi suất tính theo năm

r
: Lãi suất danh nghĩa tính theo định kì nhỏ hơn
m

LÃI SUẤT HIỆU DỤNG (THỰC) CỦA MỘT KHOẢN VAY
m

r
rhd = (1+ ) −¿1
m

LÃI SUẤT TRUNG BÌNH TRONG LÃI KÉP
Cơng thức tính giá trị trung bình
n

r =√ (1+r 1 )n (1+r 2 )2 …(1+ r k )n −1
1

k

n1, n2, …, nk: thời gian đầu tư ở giai đoạn 1, 2, …, k
n = n1 + n2 + n3
r1, r2, …, rk: lãi suất ở giai đoạn 1, 2, …, k
Công thức tính giá trị đáo hạn đạt được

r =√n (1+r 1 )n (1+r 2 )2 …(1+ r k )n −1
1

k

LÃI SUẤT THỰC BAO GỒM CHI PHÍ TRONG LÃI KÉP (LÃI SUẤT HIỆU NĂNG)


rt =

√
n

FV n
−1
PV −f

f: chi phí vay vốn, lệ phí vay, chi phí phát hành, …
n: thời gian vay.

III. GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN
NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ CẤP SỐ NHÂN
Số hạng tổng quát un
un =u1 x qn−1

Tổng hữu hạn của một cấp số nhân n số hạng
1−q n
Sn=u1
1−q

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Sn=

u1
1−q

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU FVA n )
Đối với dịng tiền cuối kì
FVA n=CF x

(1+ r)n −1
r

Đối với dịng tiền đầu kì
n

FVA n=CF x

(1+ r) −1
x (1+r )
r

HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU PVAn)
Đối với dịng tiền cuối kì
PVA n=CF x

1−(1+r )−n
r

Đối với dịng tiền đầu kì
PVA n=CF x

1−(1+r )−n
x (1+r )
r

HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU MÃI MÃI (VĨNH CỮU)
PVA ∞=

CF
r

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỔI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU
n

n

FV =CF 1 (1+r )1 +CF 2 (1+r )2 +…+CF n ( 1+r ) =∑ CF i (1+r )i
i=1

HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU
PV =

n
n
CF 1 CF 2
CF n
CF i
+
+…+
=
=
CF i (1+r )−i
∑

∑
n
i
1+ r ( 1+ r)2
( 1+ r ) i=1 ( 1+ r ) i=1

Bài tập SV làm thêm chương 2 (1)
Bài 1: Một người cho vay 250 triệu đồng, lãi suất 10%/năm trong thời gian từ 1/5 đến
15/9. Tính khoản lãi mà người đó thu được.
Tóm tắt
PV = 250 000 000 đồng
r = 10%/năm
n = 137 ngày
I = ? đồng
Giải
I = PV x n x r = 250 000 000 x 137 x

10 %
= 9 514 000 đồng.
360

Bài 2: Một người gửi vào ngân hàng 550 triệu đồng từ ngày 20/4 đến ngày 31/8 thì thu
được một khoản lợi tức là 14 630 000 đồng. Xác định lãi suất tiền gửi.
Tóm tắt
I = 14 630 000 đồng
PV = 550 000 000 đồng
n = 133
r=?%

Giải
I = PV x n x r
(=) 14 630 000 = 550 000 000 x 133 x r
 r = 7.2%/ năm

Bài 3: Ngày 1/6 công ty ABC vay của ngân hàng 400 triệu đồng với lãi suất là 10%/năm.
Khi đáo hạn công ty phải trả 408 triệu. Biết ngân hàng áp dụng p/p tính lãi đơn, hãy xác
định ngày đáo hạn của khoản vay trên.
Tóm tắt
PV = 400 000 000 đồng
FV = 408 000 000 đồng
r = 10%/ năm
n = ? Từ đó xác định ngày đáo hạn.
Giải
n=

FV n −PV
=
r x PV

408 000 000−400 000 000
10 %
= 72 ngày.
x 400 000 000
360

Vậy ngày 12/8 là ngày đáo hạn. (1 tháng quy định bằng 30 ngày).

Bài 4: Công ty XYZ vay ngân hàng một số tiền từ ngày 20/4 đến ngày 15/7 với lãi suất
9%/năm. Khi đáo hạn, công ty phải trả cả vốn lẫn lãi là 265 590 000 đồng. Tính số tiền

cơng ty đã vay?
Tóm tắt
n = 86 ngày
r = 9%/năm
FV = 265 590 000 đồng
PV = ? đồng
Giải
FV = PV (1 + nr)


(=) 265 590 000 = PV (1+ 86 x

9%
)
360

 PV = 260 000 000 đồng
Bài 5: Một công ty vay ngân hàng 405 triệu đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10. Tính lợi
tức mà cơng ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất 9.36%/năm, 0.8%/tháng.
Tóm tắt
PV = 405 000 000 đồng
n = 72 ngày = 2.4 tháng = 0.2 năm
I = ? (r= 9.36%/năm, r= 0.8%/tháng)
Giải
I = PV x n x r
TH1: r = 9.36%/năm
(=) I = 405 000 000 x 0.2 x 9.36% = 7 581 000 đồng.
TH2: r = 0.8%/tháng
(=) I = 405 000 000 x 2.4 x 0.8% = 7 776 000 đồng

Bài 6: Ngân hàng cho vay một số tiền 300 triệu đồng. Tính lãi đơn với các mức lãi suất
thay đổi như sau:
+ 10%/năm từ 1/2 đến 6/4.
+ 11%/năm từ ngày 7/4 đến 20/6
+ 10.5%/năm từ ngày 21/6 đến 28/7.
+ 9%/ năm từ ngày 29/7 đến ngày 15/9. Yêu cầu:
a. Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên?
b. Tính tổng lợi tức mà ngân hàng thu được?
Giải
´r =

r 1 n1 +r 2 n2 +…+r n n n
n1 +n2 +…+ nn


10 % x

=

65
75
38
48
+11 % x
+10.5 % x
+9% x
360
360
360
360

65+ 75+38+48
360

= 10.2% /năm
I = I1 + I2 + I3 + I4
I1 = PV x n x r = 300 000 000 x

65
x 10% = 5 416 666 đồng
360

I2 = PV x n x r = 300 000 000 x

75
x 11% = 6 875 000 đồng
360

I3 = PV x n x r = 300 000 000 x

38
x 10.5% = 3 325 000 đồng
360

I4 = PV x n x r = 300 000 000 x

48
x 9% = 3 600 000 đồng
360

 I = 19 216 000 đồng

Bài 7: Tính tổng lợi tức thu được từ các khoản vay như sau:
Vốn vay (triệu đồng)
250
300
450
500

Thơi hạn vay
1/4 đến 20/6
5/5 đến 8/7
7/6 đến 11/8
9/7 đến 19/9

Với lãi suất 9%/năm:
I1 = PV1 x n1 x r = 250 x

80
x 9% = 5
360

I2 = PV2 x n2 x r = 300 x

64
x 9% = 4.8
360

I3 = PV3 x n3 x r = 450 x

65

x 9% = 7.3125
360

I4 = PV4 x n4 x r = 500 x

72
x 9% = 9
360

 I = 26.1125

Yêu cầu
Với lãi suất vay:
9%/năm
0.8%/tháng


Với lãi suất 0.8%/tháng:
I1 = PV1 x n1 x r = 250 x

80
x 0.8% = 5.33333
30

I2 = PV2 x n2 x r = 300 x

64
x 0.8% = 5.12
30

I3 = PV3 x n3 x r = 450 x

65
x 0.8% = 7.8
30

I4 = PV4 x n4 x r = 500 x

72
x 0.8% = 9.6
30

I = 27.8533333

Bài 8: Tính tổng lợi tức thu được từ các khoản vay cho sau:

Vốn vay (triệu đổng)
100
150
180

Lãi suất
0.84%/ tháng
9.72%/ năm
0.9%/ tháng

I1 = PV1 x n1 x r1 = 100 x 138 x

Thời hạn
138 ngày

68 ngày
75 ngày

0.84 %
= 3.864
30

I2 = PV2 x n2 x r2 = 150 x 68 x

9.72 %
= 2.754
360

I3 = PV3 x n3 x r3 = 180 x 75 x

0.9 %
= 4.05
30

I = 10.668

Bài 9: Ngân hàng cho vay một khoản tiền với các mức lãi suất thay đổi như sau:
+ 1%/tháng trong 68 ngày
+ 1.1%/tháng trong 112 ngày


+ 1.2%/tháng trong 45 ngày.
Khi đáo hạn ngân hàng thu được một khoản lợi tức là 24.525 triệu đồng. Hãy xác định
số tiền mà ngân hàng đã cho vay?
I = I1 + I2 + I3

I = PV x n1 x r1 + PV x n2 x r2 + PV x n3 x r3
I = PV ( n1r1+ n2r2 + n3r3)
24.525 = PV (

68
112
45
x1% +
x 1.1 % +
x 1.2 %)
30
30
30

PV = 300 triệu đồng

Bài 10: Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi suất 10%/
năm, lệ phí vay 1 triệu đồng. Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suất
thực mà người đó phải chịu?
Tóm tắt
PV = 240 triệu
n = 5 tháng
r = 10%/năm = 0.84 %/tháng
f = 1 triệu đồng
Giải

FV = PV (1+r)n = 240 (1+ 0.84 %)5 = 250.25

√
√

rt =
¿

5

n

FV n
−1
PV −f

FV n
−1
240−1

= 11%
Bài 11: Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng trong 8 tháng, lãi suất
8.4%/ năm. Chi phí vay bằng 0.5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất thực
trong hai trường hợp.


a) Lợi tức được trả khi đáo hạn?
b) Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn?
Tóm tắt
PV = 120 triệu
n = 8 tháng
r = 8.4 %/năm = 0.7%/ 1 tháng
f = 0.6 triệu

a)
rt =
¿

√
8

√
n

rt =

√
n

FV n
−1
PV −f

PV x (1+ r)n
−1
PV −f

120 x (1+0.7 %)8
−1
120−0.6

= 9.2%/năm

b) Tổng lợi tức và chi phí vay

(120 x 0.7% x 8) + 0.6 = 7.32
Vốn thực tế sử dụng: 120 – 7.32 = 112.68
Lãi suất thực 7.32/112,68 x 12/8 = 9.74%/năm
Bài 12: Một người đi vay ngân hàng từ ngày 15/4 đến ngày 16/8 với lãi
suất 0.8%/tháng. Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn, hãy tính lãi
suất thực mà người đó phải gánh chịu?
Tóm tắt
n = 123 ngày
r = 0.8%/tháng = 0.027%/tháng
Giải


Trắc nghiệm
Câu 33: Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9%/năm, kì ghép lãi 6 tháng,
vốn và lãi được trả 1 lần khi đáo hạn. Lệ phí vay là 0.5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất
thực mà người đi vay phải gánh chịu với thời hạn vay là 3 năm?
Tóm tắt
PV = 400 triệu đồng
r= 9%/năm = 4.5%/ 6 thang
n = 6 kì
f=2
Giải
FV = PV x (1+r)n
rt =

√
n

FV n
−1

PV −f

r t =¿9.18%


Câu 31: Một người đầu tư một khoản vốn 500 triệu đồng, tính lãi kép
với các mức lãi suất biến đổi như sau:
-8%/năm trong thời thời gian 3 năm đầu tiên
-8.5%/ năm trong thời gian 3 năm tiếp theo
- 9%/năm trong thời gian 4 năm cuối cùng
Giải
n

r =√ (1+r 1 )n (1+r 2 )2 …(1+ r k )n −1 =8.5%
1

k

Câu 38: Một công ty đầu tư 700 triệu đồng, lãi suất 12%/năm (lãi nhập vốn hàng năm).
Giá trị đạt được ở cuối đợt đầu tư là 1350 triệu đồng. Xác định thời gian đầu tư?
Tóm tắt
PV = 700 triệu đồng
r = 12%/năm
FV = 1350 triệu đồng
n= ? năm

n=

FV n
PV

ln (1+r )
ln

= 5.795351235

BÀI TẬP SINH VIÊN LÀM THÊM (3)
Bài 1: Một người gửi vào ngân hàng cuối mỗi quý 20 triệu đồng, lãi suất
8%/năm với mong muốn được một số vốn trong tương lai là 300 triệu
đồng.
a) Xác định số kì gửi tiền (Quy ước trịn xuống)?
b) Tính số tiền phải gửi ở kì cuối cùng?


Tóm tắt
CF= 20 triệu đồng
FV = 300 triệu đồng
r = 8%/năm = 2%/Quý

a)

FVA n=CF x

(1+ r)n −1
r

¿> n=13 kì
b ¿Tổng

số tiền đã có tại kì thứ 12

(1+ r)n −1
FVA n=CF x
r

= 20 x

(1+2 %)12−1
2%

x (1+r)

x (1+2%)

= 273.6066305 triệu đồng
Số tiền phải gửi ở kì cuối cùng
300 – 273.6066305 = 26.3934

Bài 2: Một chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kì có hiện giá 600 triệu đồng,
lãi suất 8%/kì, giá trị mỗi kì khoản là 60 triệu đồng.
1−(1+r )−n
a ¿ PVA ¿n=CF x
x (1+r )
r

 n = 18 kì
b)