Slides Giải tích 1 Chương 2 Đại học Bách Khoa Hà Nội

Chương 2
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

VIỆN TỐN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Ngày 1 tháng 8 năm 2023

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

1/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

1 / 67


Nội dung
1

Tích phân bất định

2

Tích phân xác định

3

Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng với cận vơ hạn

Tích phân suy rộng của hàm số khơng bị chặn
Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Các tiêu chuẩn hội tụ
Các tiêu chuẩn hội tụ

4

Các ứng dụng của tích phân xác định
Tính diện tích hình phẳng
Tính độ dài đường cong phẳng
Tính thể tích vật thể
Tính diện tích mặt trịn xoay

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

2/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

2 / 67


Nguyên hàm của hàm số
Định nghĩa 1
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số F (x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên
khoảng (a, b) nếu F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b).
Định lý 1.1
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a, b), thì:
a) Hàm số F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x),

b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F (x) + C, trong đó C là một hằng
số.
Định nghĩa 2
Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F (x) + C, với x ∈ (a, b), trong đó FZ(x) là một
nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. TPBĐ của hàm số f (x) được ký hiệu là
f (x)dx.
Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

3/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

3 / 67


Các tính chất của tích phân bất định
a) Nếu hàm số f (x) liên tục trên (a, b) thì tồn tại
b)
c)

Z
Z

f (x)dx

′

Z

f (x)dx trên (a, b),

= f (x)

F ′ (x)dx = F (x) + C
Z
Z
d)
af (x)dx = a f (x)dx, (a là hằng số khác 0)
Z
Z
Z
e)
[f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx

Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung
Z
Z
Z
[αf (x) + βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx,

trong đó α, β là các hằng số khơng đồng thời bằng 0.

Viện Tốn ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

4/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

4 / 67


Một số cơng thức tích phân thơng dụng

a)
b)
c)
d)
e)

xα+1
+ C, (α 6= −1),
α+1

Z

xα dx =

Z

sin xdx = − cos x + C,

Z

Z

Z

dx

= ln |x| + C,
x

cos xdx = sin x + C,
dx
= − cot x + C,
sin2 x

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

Z

dx
= tan x + C,
cos2 x
Z
ax
g)
ax dx =
+ C, (0 < a 6= 1),
ln a
Z
h)
ex dx = ex + C,
Z
dx
= arctan x + C,
i)

1 + x2
Z
dx
√
= arcsin x + C.
j)
1 − x2
f)

5/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

5 / 67


Các phương pháp tính tích phân bất định

Phương pháp đổi biến t = ψ(x)
Nếu f (x) = g [ψ(x)] ψ ′ (x) thì có thể đặt t = ψ(x),
Z
Z
Z
f (x)dx = g [ψ(x)] ψ ′ (x)dx = g(t)dt.
Nếu hàm số g(t) có ngun hàm là hàm số G(t) thì
I = G [ψ(x)] + C.

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

6/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

6 / 67


Ví dụ 1.1
Tính tích phân
Z
a)
x(1 − x2 )2023 dx
b)

Z



1
xx+1 1 + + ln x dx.
x


Z
1
d)
xx−1 1 − + ln x dx.
x
c)

ex

dx
ex + 1

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

Z

7/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

7 / 67


a)
Z

x(1 − x2 )2023 dx
Z

b)
Z

x(1 − x2 )2023 dx =

1
2

Z

−(1 − x2 )2023 d(1 − x2 ) = −

(1 − x2 )2024
+ C.
4048

ex
dx
+1

ex

Z

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

ex
dx =
x
e +1

CHƯƠNG 2

Z

d(ex + 1)
= ln(ex + 1) + C.
ex + 1

8/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

8 / 67


Các phương pháp tính tích phân bất định
Xét tích phân I =

Z

f (x)dx. Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm

số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được
ngun hàm một cách đơn giản hơn.
Phương pháp đổi biến x = ϕ(t)
Z

f (x)dx =

Z

f [ϕ(t)] ϕ′ (t)dt

Nếu hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ′ (t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số
x = ϕ(t) thì
Z
I = g(t)dt = G(t) + C = G [h(x)] + C.

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

9/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

9 / 67


Ví dụ 1.2
Z
√
Tính
1 − x2 dx.

√
Lời giải: Đặt x = cos t với 0 ≤ t ≤ π. Khi đó dx = −2 sin tdt và 1 − x2 = sin t. Nên
Zp
Z
Z
sin(2t)
1 − cos t(2t)
t
t
sin t cos t
1 − x2 dx = − sin2 tdt = −
=− +
+C =− +
2
2

4
2
2
√
arcsin x
x 1 − x2
=−
+
+ C.
2
2

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

10/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

10 / 67


Phương pháp tích phân từng phần
Cơng thức
Z

udv = uv −

Z

vdu.

Khi nào tích phân từng phần?
Z
Z
Z
a)
Pn (x)ekx dx, Pn (x) sin kxdx, Pn (x) cos kxdx, chọn u = Pn (x).
Z
b)
Pm (x) lnn xdx, chọn u = lnn x.
Z
c)
Pn (x) arctan kxdx, chọn u = arctan kx.
Z
d)
Pn (x) arcsin kxdx, chọn u = arcsin kx.

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

11/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

11 / 67


Phương pháp tích phân từng phần

Ví dụ 1.3 (Giữa kì, K61)
Tính tích phân
Z
a)
x3 arctan xdx.
Z
b)
x3 arccot xdx.

Viện Tốn ứng dụng và Tin học (HUST)

c)
d)

CHƯƠNG 2

Z

Z

x2 sin 2xdx.
x2 cos 2xdx.

12/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

12 / 67


Tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Định nghĩa 3
a) Phân thức hữu tỷ: là một hàm số có dạng f (x) =

P (x)
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x.
Q(x)

b) Phân thức hữu tỷ thực sự: deg P (x) < deg Q(x).
Bằng phép chia đa thức, chia P (x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng
f (x) = H(x) +

r(x)
Q(x)

trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia. Khi đó
sự.

Viện Tốn ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

r(x)
là một phân thức hữu tỷ thực
Q(x)

13/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

13 / 67

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
P (x)
thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số
Q(x)
là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm.

Phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự
a) Phân tích đa thức ở mẫu số Q(x)

Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − αm )am (x2 + p1 x + q1 )b1 ...(x2 + pn x + qn )bn .
b) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x − α)a , thì trong phân tích của phân thức
hạng tử dạng

P (x)
xuất hiện các
Q(x)

Ai
, 1 ≤ i ≤ a.
(x − α)i

c) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x2 + px + q)b , thì trong phân tích của phân thức
hiện các hạng tử dạng

P (x)
xuất
Q(x)

Bj x + Cj

, 1 ≤ j ≤ b.
(x2 + px + q)j

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

14/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

14 / 67


Tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Việc dùng phương pháp hệ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau:
Z
Z
Adx
Adx
II.
I.
x−a
(x − a)k
Z
Z
(M x + N )dx
(M x + N )dx
III.
IV.

x2 + px + q
(x2 + px + q)m

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

15/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

15 / 67


Tích phân hàm lượng giác

Phương pháp chung
Z
Xét tích phân
R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức hữu tỷ đối với
x
sin x, cos x. Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tan , khi đó
2
sin x =

1 − t2
2t
2dt
2t
,
cos

x
=
, tan x =
, dx =
1 + t2
1 + t2
1 − t2
1 + t2

tích phân đang xét được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ của biến t.

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

16/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

16 / 67


Ví dụ 1.4

Lời giải: Đặt t = tan

x
. Khi đó
2
sin x =

Nên 1 + sin x + cos x =
Z

Z

dx
.
1 + sin x + cos x

1 − t2
2t
2dt
2t
,
cos
x
=
, tan x =
, dx =
1 + t2
1 + t2
1 − t2
1 + t2

2 + 2t
. Suy ra
1 + t2

dx
=

1 + sin x + cos x

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

Z

CHƯƠNG 2

dt
x
= ln |t + 1| + C = ln |1 + arctan | + C.
t+1
2

17/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

17 / 67


Tích phân hàm lượng giác
Tích phân

Z

R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt

a) Đặt t = cos x nếu R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x).

b) Đặt t = sin x nếu R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x).

c) Đặt t = tan x nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).

Ví dụ 1.5
Z
a)
sin2 x cos3 xdx
Z
sin4 x
b)
dx
cos2 x
Z
cos 2xdx
c)
sin4 x + cos4 x
Z
sin 2xdx
d)
4
sin
x + cos4 x
Z
e)
sin x sin 2x sin 3xdx
Z
Viện Toán ứng dụng
và Tin học (HUST)
sin 2xdx

CHƯƠNG 2

g)

Z

dx
(sin x + cos x)2

h)

Z

dx
1 + cos2 x

i)

Z

dx
sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x

j)

Z

2 sin x + 3 cos x
dx
3 sin x + 2 sin x

Z

tan x

18/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

18 / 67


Tích phân hàm lượng giác
Tích phân dạng

Z

sinm x cosn xdx

a) Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x.
b) Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x.
c) Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:
sin2 x = (1 − cos 2x)/2, cos2 x = (1 + cos 2x)/2.
Ví dụ 1.6
Z
a)
sin2 x cos2 xdx
Z
b)
sin2 x cos4 xdx

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

c)
d)

CHƯƠNG 2

Z

Z

sin3 x cos4 xdx
sin4 x cos3 xdx

19/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

19 / 67


a)
Z

sin2 x cos2 xdx.

Lời giải: Có
sin2 x cos2 x =
Nên

Z

2

2

sin x cos xdx =

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

Z

1 − cos 4x
sin2 2x
=
.
4
8

1 − cos 4x
x
sin 4x
dx = −
+ C.
8
8
32

20/67

Ngày 1 tháng 8 năm 2023

20 / 67


b)
Z

sin2 x cos4 xdx.

Lời giải: Có
(1 − cos 4x)(1 + cos2x)
sin2 2x cos2 x
1
cos 4x
cos 2x
cos 2x cos 4x
=
=
−
+
−
4
16
16
16
16
16
1
cos 4x

cos 2x
cos 6x + cos 2x
1
cos 2x
cos 4x
cos 6x
=
−
+
−
=
+
−
−
.
16
16
16
32
16
32
16
32

sin2 x cos4 x =

Nên
Z

sin2 x cos4 xdx =

Z 

cos 2x
cos 4x
cos 6x
1
+
−
−
16
32
16
32

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2



dx =

sin 2x
sin 4x
sin 6x
x
+
−
−

+ C.
16
64
64
192

21/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

21 / 67


c)
Z

sin3 x cos4 xdx.

Lời giải: Đặt t = cos x. Khi đó dt = − sin xdx. Nên
Z
Z
Z
Z
t7
t5
sin3 x cos4 xdx = sin2 x cos4 x sin xdx = (1 − t2 )t4 (−dt) = (t6 − t4 )dt =
−
+C
7
5
cos7 x

cos5 x
=
−
+ C.
7
5

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

22/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

22 / 67


d)
Z

sin4 x cos3 xdx.

Lời giải: Đặt t = sin x. Khi đó dt = cos xdx. Nên
Z
Z
Z
Z
t5
t7
sin4 x cos3 xdx = sin4 x cos2 x cos xdx = t4 (1 − t2 )dt = (t4 − t6 )dt =

−
+C
5
7
sin5 x
sin7 x
=
−
+ C.
5
7

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST)

CHƯƠNG 2

23/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

23 / 67


Tích phân cácZ biểu√ thức vơZ tỷ
Xét tích phân có dạng

R(x,

α2 ± x2 )dx,

R(x,

√

x2 − α2 )dx.

Đổi biến số lượng giác
a) Đặt x = α tan t đối với tích phân
b) Đặt x = α sin t đối với tích phân
Ví dụ 1.7
Z
dx
√
,
Tính a)
a2 − x 2

b)

Z

√

Z

Z

R(x,
R(x,

√

√

α2 + x2 )dx.

α2 − x2 )dx.

a2 − x2 dx.

Phép thế Euler
Z
√
√
Đặt t = x + x2 + a đối với tích phân
R(x, x2 + a)dx.
Ví dụ 1.8
Z ứng dụng và Tin học (HUST)
Z
Viện Toán

CHƯƠNG 2

24/67
Ngày 1 tháng 8 năm 2023

24 / 67


Tích phân các biểu thức vơ tỷ
Bốn tích phân cơ bản

Z