Slides Đại số Bài 2 Tập hợp Đại học Bách Khoa Hà Nội

2. TAP HOP

‘

SAMI

Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ ban nhât của tốn học và khơng thể định nghĩa bằng những
khái niệm đã biêt. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp gọi là lý thuyêt tập hợp. Khái niệm tập hợp là nên tảng
đề xây dựng các khái niệm khác như sơ, hình, hàm sơ... trong toán học.
Mục tiêu

- Kiên thức: Sinh viên hiểu được khái niệm về tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Liên hệ các khái niệm
với kiên thức thực tê ở cuộc sông xung quanh.
Kĩ năng: Thao tác xem xét quan

hệ giữa các tập hợp, tính tốn các tập hợp và chứng minh các đẳng thức

tập hợp.

|

Nội dung bao gồm:
2.1

Khai niém tập hợp

2.2

Các phép tốn tập hợp

2.3 Tích Đề Các của các tập hợp

(HUST)

;
MI1141 - ĐẠI SỐ - BÀI 2

2023

1/6


2.1. Khái niệm tập hợp

cy

°

SAMI

Tập hợp tuy không được định nghĩa một cách rõ ràng, nhưng chúng cũng được mô tả qua các ví dụ cụ thể. Một
tập hợp được hiểu như là một tụ tập, một nhóm các đơi tượng nào đó. Một vài ví dụ về tập hợp như: lập hợp
quận huyện của Hà Nội; tập hợp các sơ thực.... Trong tốn học, một tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái
A,B,....

Cho tập hợp 4 (sau này có thé goi tat ld tap A). C4c đối tượng nằm trong tập 4 được gọi là các phần tử của
tap A. Phan tử thường được ký hiệu là ø,b,.... Phần tử a thuộc tập A duoc ký hiệu là ø € 4; ngược lại nêu

phần tu a không thuộc tập A được ký hiệu là a ý 4. Một tập hợp thường được thường được cho thông qua liệt
kê hoặc các phần tử có cùng tính chất nào đó. Ta thường dùng biểu đồ Venn (khoanh vùng thay cho tập hợp,
châm nhỏ thay cho phần tử) để biểu diễn các tập hợp và phần tử.

Đặc biệt Tập rỗng, được ký hiệu là Ø, là tập hợp không chứa bât kỳ một phần tử nào.

(HUST)

Ml1141 - DAI SO - BAI 2

2023

2/6


2.1. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau

a

Khi có các tập hợp, ta có một sơ mơi liên hệ giữa các tập hợp như sau:
Tập con

@ Tập A được gọi là tập con của tập B va ký hiệu là A C Ö, nêu như mọi phần tử của 4 đều là phần tử của
B. Khi tập 4 là tập con của

@

ta cũng có thể việt là ư 5 4. Quy ước tập rông là tập con của tập bât kỳ.

Ví dụ NC ZcC QC R.

;

Tap hop bang nhau

@

Hai tập hợp được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử.

@

Để chứng minh hai tập bằng nhau A = 7Ø, chúng ta cần chứng minh 4C
A=Be
(AC Bvà BC AI).

Ư và BC

A, nghĩa là

© Vi du: A = {1,2,3},B = {z e Ñ|0 < x” < 10}.

(HUST)

Ml1141 - DAI SO - BAI 2

4

2023

3/6


2.2. Các phép toán trên tập hợp

cy

SAMI

Cho trước các tập hợp A, B, X, chung ta có các phép tốn sau trên tập hợp.
Phép giao. G¡ao của hai tap A và B, ký hiệu bởi 41”, là tập hợp chứa các phân tứ thuộc cả A va B.

An B=tz|z€
A và z€ B}.
Phép hợp. Hợp của hai tập A và Ø, ký hiệu bởi AU Ö, là tập hợp chứa các phần tử hoặc thuộc 4 hoặc thuộc ØÖ.

AUB=

tz|z€ A

hoặc z€ }.

Phép lây hiệu. Hiệu của hai tập hợp A và Ö, ký hiệu là A \ Ö, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A ma không

thuộc ÿ.
Hiệu

A\XNB=tz|zece
A và z ÿ£ B}.

đôi xứng.

Hiệu đôi xứng của hai tập A va B, ký hiệu bởi AAB,

là tập hợp được xác định như sau

AAB= (A\ B)U(B\
A).

Phần bù. Cho hai hợp 4 và X. Nêu 4C X thì hiệu X \ A được gọi là phần bù của A trong X và được ký hiệu

bởi Œx 4.Đặc

biệt 4 là tập bao gdm tât cả các phần tử không thược vào tập 4 trong tình hng được đề cập đên.

(HUST)

Ml1141 - DAI SO - BAI 2

2023

4/6


2.2. Tính chât của các phép tốn trên tập hợp
@
@

Tinh chat giao hodn

AUB=BUA,

ANB=BQNQA,

cy

SAMI

AAB
= BAA.

Tinh chat két hop

(AUB)UC
= AU(BUC),
(ANB)NC =AN(BNC),

(AAB)AC = AA(BAC).
@

@
©@

Tinh chat phan phơi

AN(BUC) =(AUB)N (AUC),
AN(BUC) =(AUB)N (AUC).
Tinh chat cha phép trừ

A\ B=ANB.

Công thúc De Morgan

X\(AUB)=(X\A)N(X\B)
X\(ANB)=(X\

A) U(X \ B)
(HUST)

Ml1141 - DAI SO - BAI 2

2023


2.3. Tích Đề Các của các tập hợp

cy

SAMI

Cho hai tập hợp A va B. Tich Đề Các (Descartes) của hai tập hợp A và B, dugc ky hiéu bdi A x B, la mot tap
hợp bao gồm các phần tử có thứ tự (ø,b) với ø€ A va b € B. Nhu vậy
AxB-=t(a,b)ìlacAAbc
BỊ.
Ví dụ 1

Cho A = {1;2;3} và B = {a;b}, khi đó

AxB= {1(1;4),(2;a), (3;a), (1;0), (2;0), (8; b)}.
Bx A= {(a;1), (6; 1), (a; 3), (b; 2), (a; 3), (bị 3)}.

4

Tích Đề Các của một họ các tập 4i, 4s,..., 4„, được ký hiệu là A: x 4s x... x 4„, là một tập hợp bao gồm

các phân tử có thứ tự (ai,da,..., 6x), với ø¿ € 4;, V¿ € |1..n|. Như vậy

Ai

Quy

ước:

x Aox...X

An

= { (a1, @2,.

. ., An) ai

EA,Vt € I1..n|}.

Khi các tập bằng nhau A, = Ao —... = A, — A, tich Dé Cac bén trén cé thé được viet gon la A”.
(HUST)

Ml1141 - DAI SO - BAI 2

2023

6/6