Bài tập Đại số tuyến tính - Đại học Sư phạm Hà Nội

Đại số tuyến tính

1



Chương 0
Bài tập
0.1

Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ

BÀI TẬP
1) Cho A, B, C là ba tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
c) A \ (A \ B) = A ∩ B.
d) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.
e) A ∪ (B \ A) = A ∪ B.
f) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
g) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
2) Cho E, F là hai tập hợp. Biết rằng A ⊂ E, B ⊂ F, chứng minh rằng
A × B ⊂ E × F.
3) Chứng minh rằng:
a) A ∩ B ̸= ∅ ⇔ (A × B) ∩ (B × A) ̸= ∅.
3


4

CHƯƠNG 0. BÀI TậP

b) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D).

4) Cho A, B, C là các tập con của tập hợp E. Chứng minh rằng B = C
nếu A ∩ B = A ∩ C và A ∪ B = A ∪ C.
5) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ X. Chứng minh rằng
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Hãy chỉ ra ví dụ khơng xảy ra dấu "=".
6) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ Y, B ⊂ Y. Chứng minh rằng
a) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
b) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B).
c) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B).
7) Cho f : X → Y và g : Y → Z là các ánh xạ giữa các tập hợp. Gọi A
là tập con của X và C là tập con của Z. Chứng minh rằng:
a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A).
b) (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)).
8) Cho ánh xạ f : R \ {0} → R bởi cơng thức f (x) = x3 +
Hãy tìm f −1 (3), Imf và f −1 ([0, 1]).

1
1
+x+ .
3
x
x

1
9) Cho các ánh xạ f : R\{0} → R, g : R → R bởi công thức f (x) = x+
x
x
và g(x) =

.
Hãy
tìm
Imf,
Img
và
Im(g
◦
f
).
1 + x2
10) Cho A là một tập con của tập
( hợp E. Ta định nghĩa hàm đặc trưng
0 nếu x ̸∈ A
f của tập A như sau: f (x) =
. Chứng minh rằng các
1 nếu x ∈ A
hàm sau cũng là các hàm đạc trưng của các tập hợp nào đó:
a) 1 − f,


0.1. TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ

5

b) f g và f + g − f g với g là hàm đặc trưng của tập con B trong E.
f

g

11) Cho X −→ Y −→ X là các ánh xạ giữa các tập hợp thỏa mãn
g ◦ f = Id. Chứng minh rằng f là đơn ánh và g là toàn ánh.
12) Cho các ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z. Gọi h = g ◦ f là hàm hợp.
Chứng minh rằng
a) Nếu h là tồn ánh thì g là tồn ánh.
b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh.
c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a)
và b) là không đúng.
13) Cho các ánh xạ f1 , f2 : X → Y, g : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu g là đơn ánh và g ◦ f1 = g ◦ f2 thì f1 = f2 .
b) Nếu với mọi f1 , f2 mà từ g ◦ f1 = g ◦ f2 ta ln suy ra f1 = f2 , thì
g là một đơn ánh.
c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a)
và b) là không đúng.
14) Cho tập hợp A gồm n phần tử và tập hợp B gồm m phần tử.
a) Có bao nhiêu ánh xạ f : A → B.
b) Có bao nhiêu đơn ánh g : A → B.
c) Có bao nhiêu toàn ánh h : A → B.
15) a) Tồn tại hay không song ánh f : N → Z?
b) Cho 0 < n ∈ N cố định. Tồn tại hay khơng song ánh g : N →
N × {1, 2, . . . , n}?
c) Tồn tại hay không song ánh h : N → N × N?
d) Tồn tại hay không song ánh p : N → Q?
16) Cho a < b là hai số thực. Khi đó chứng minh rằng các tập sau có


6

CHƯƠNG 0. BÀI TậP

cùng lực lượng: (a, b), [a, b], (a, b], R+ , R.
17) Chứng minh rằng tập hợp Q \ {0} cùng với phép nhân hai số hữu tỷ
lập thành một nhóm. Nhóm này có giao hốn khơng?.
18) Cho X là một tập hợp. Chứng minh rằng tập hợp Bij(X) gồm các
song ánh từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập
thành một nhóm. Hãy chỉ ra rằng nhóm này khơng giao hốn nếu X có
nhiều hơn 2 phần tử.
19) Cho G là một nhóm và H là một tập con G. Chứng minh rằng H là
một nhóm con của G nếu H thỏa mãn các điều kiện sau:
a) H ̸= ∅
b) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H.
20) Cho G là một nhóm cùng với các nhóm con H1 , H2 ⊂ G. Chứng minh
rằng H1 ∪ H2 là một nhóm con của G khi và chỉ kho hoặc H1 ⊂ H2 hoặc
H2 ⊂ H1 .
21) Cho G là một nhóm abel hữu hạn có n phần tử. Chứng minh rằng
với mọi g ∈ G, ta có g n = 1.
22) Chứng minh rằng tập các số nguyên cùng với các phép toán cộng và
nhân hai số nguyên là một vành.
23) Chứng minh rằng tập các đa thức cùng với các phép toán cộng và
nhân hai đa thức là một vành.
√
√
24) Chứng
√
√ minh rằng Q( 2) := {a + b 2 : a, b ∈ Q} là một trường và
3 ̸∈ Q( 2).
25) Cho K là một trường hữu hạn. Với n ∈ N và a ∈ K, ta kí hiệu:
na = a + a + . . . + a là tổng n lần a.

0.1. TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ

7

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho na = 0 với
mọi a ∈ K.
b) Chọn số n nguyên dương nhỏ nhất tỏa mãn (a), chứng minh rằng
n là số nguyên tố. Số n này được gọi là đặc số của trường K.


8

CHƯƠNG 0. BÀI TậP


Chương 1
Không gian vectơ
1.1

Không gian vectơ

BÀI TẬP
1) Chứng minh rằng R, C là các Q− không gian vectơ.
2) Cho a < b là hai số thực. Xét xem trong các tập hợp sau tập hợp nào
là một không gian vectơ trên R với phép cộng và phép nhân (với một số
thực) thông thường.
a) Tập các ánh xạ từ [a, b] vào R.
b) Tập L[a, b] các hàm thực khả tích trên [a, b].
c) Tập C ∞ (a, b) các hàm thực khả vi vô hạn lần.
d) Tập các hàm thực bị chặn trên [a, b].

e) Tập các hàm thực không bị chặn trên [a, b].
f) Tập các hàm thực f thoả mãn f (a) = 0.
g) Tập các hàm thực f thoả mãn f (a) = c với c là một số thực cho
trước.
h) Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a, b].

9


10

CHƯƠNG 1. KHƠNG GIAN VECTơ

3) Kí hiệu R+ là tập các số thực dương. Chứng tỏ rằng tập hợp này lập
thành khơng gian véctơ thực với hai phép tốn được định nghĩa như sau:
Với x, y ∈ R+ và k ∈ R thì
a) Phép cộng x + y := xy (phép nhân thông thường).
b) Phép nhân k · x := xk .
4) Trong R2 cho hai tập E = {(x, y) | 2x + 3y = 0} và
F = {(x, y) | 5x − 4y + 2 = 0}. Hãy chỉ ra rằng tập E cùng với phép cộng
và phép nhân với một số thực thông thường là một không gian vectơ
nhưng F thì khơng.
5) Cho E là một khơng gian vectơ thực. Xét tập E × E = {(x, y) | x, y ∈
E}. Hãy chỉ ra rằng tập E × E là một khơng gian vectơ phức với các
phép toán sau:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) và
(a + ib)(x, y) = (ax − by, ay + bx) với mọi a, b ∈ R.
6) Cho V = K × K với phép tốn xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) và k · (a, b) = (ka, 0).
Chứng tỏ rằng V khơng là khơng gian véctơ. Từ đó suy ra tiên đề 8 là

không thể bỏ được.
7) Hãy chỉ ra rằng tiên đề 8 có thể thay thế được bởi tiên đề sau: Phương
trình λ · x = 0 đúng nếu và chỉ nếu λ = 0 hoặc x = 0.

1.2

Tổ hợp tuyến tính-Hệ vectơ độc lập
tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến
tính

BÀI TẬP


1.2. Tổ HợP TUYếN TÍNH-Hệ VECTơ ĐộC LậP TUYếN TÍNH VÀ Hệ VECTơ PHụ
1) Chứng minh rằng các vectơ sau độc lập tuyến tính trong các R− khơng
gian vectơ R2 .
a) (1; -1) và (0; 3).
b) (-1; 1) và (1; 2).
c) (5; -3) và (-4; 7).
2) Trong R− không gian vectơ R2 , hãy biểu diễn vectơ X thành tổ hợp
tuyến tính của hai vectơ A và B.
a) X = (1; 0), A = (1; 1), B = (0; 1).
b) X = (2; 1), A = (1; −1), B = (1; 1).
c) X = (1; 1), A = (2; 1), B = (−1; 0).
3) Trong R− không gian véc tơ R2 , cho hai véctơ (a, b) và (c, d). Chứng
minh rằng nếu ad − bc = 0 thì hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính. Nếu
ad − bc ̸= 0 thì hai véctơ này độc lập tuyến tính.
4) Chứng minh rằng các véctơ sau độc lập tuyến tính trong các R− không
gian véc tơ R3 và C− không gian véctơ C3 .
a) (1; 1; 1) và (0; 1; -1).

b) (-1; 1; 0) và (0; 1; 2).
c) (1; 1; 0), (1; 1; 1) và (0; 1; -1).
d) (0; 1; 1), (0; 2; 1) và (1; 5; 3).
5) Chứng minh rằng trong Q− không gian véc tơ R các véctơ sau độc
lập tuyến tính.
a) 1 và π.
√
b) 1 và 2.
√ √
c) 1 , 2, 3.
√ √
d) 1 , 2, 3, π.


12

CHƯƠNG 1. KHƠNG GIAN VECTơ

6) Xét xem trong khơng gian C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], hệ véctơ nào sau đây độc lập tuyến tính:
a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 .
b) 1, et , e−t .
c) sin x, sin 2x, · · · , sin kx, (k ∈ Z+ ).
d) at, a2 t, a3 t, · · · , ak t, (k ∈ Z+ , a ∈ R+ )?
7) Trong không gian véctơ R4 , hệ véctơ nào sau đây là độc lập tuyến
tính:
a) (1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 1).
c) (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6); (4; 5; 6; 7).
d) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; m); (1; 0; m; 1), m là tham số thực.

8) Trong Q3 cho hệ gồm ba véctơ (1, 2, −3); (−1, 1, −2), (2, 5, k), k ∈ Q.
Tìm k để hệ véctơ trên độc lập tuyến tính.
9) Cho hệ véctơ α1 , α2 , · · · , αn độc lập tuyến tính trong K-khơng gian
véctơ V. Chứng minh rằng hệ véctơ α1 , α1 −α2 , α2 −α3 , · · · , αn−1 −αn , n ∈
Z+ cũng là một hệ véctơ độc lập tuyến tính.
10) Giả sử α1 , α2 , · · · , αn là một hệ véctơ độc lập tuyến
Pntính trong Rkhơng gian véctơ V và aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n. Đặt βi = j=1 aij αj (1 ≤
i ≤ n). Chứng minh rằng:
a) Nếu aij = 0 với mọi i < j thì β1 , β2 , · · · , βn không độc lập tuyến
tính khi và chỉ khi a11 · a22 · · · ann = 0.
P
b) Nếu với mỗi i ∈ {1, ..., n} ta ln có |aii | > i̸=j |aji | thì β1 , β2 , · · · , βn
độc lập tuyến tính.
P
c) Nếu với mỗi i ∈ {1, ..., n} ta ln có |aii | > i̸=j |aij | thì β1 , β2 , · · · , βn
độc lập tuyến tính.
d) {β1 , β2 , · · · , βn } độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ma trận A = (aij )


1.3. HạNG CủA MộT Hệ HữU HạN VÉCTơ

13

khả nghịch.

1.3

Hạng của một hệ hữu hạn véctơ

BÀI TẬP

1) Trong không gian véctơ R3 tìm hạng và một hệ vectơ độc lập tuyến
tính tối đại của hệ véctơ sau:
a) (1; 0; 0); (0; 1; 2); (2; 1; 2); (2; 3; 6).
b) (0; 1; 2); (1; 2; 3); (−1; −1; −1); (1; 4; 7).
2) Trong khơng gian véctơ R4 tìm hạng và một hệ vectơ độc lập tuyến
tính tối đại của hệ véctơ sau:
a) (1, 0, 0, 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1), (1; 2; 3; 4).
b) (0, 1, 2, 3); (1, 2, 3, 4); (2, 3, 4, 5); (3; 4; 5; 6); (4; 5; 6; 7).
3) Trong C[a, b] tìm hạng của hệ véctơ sau đây:
a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t.
b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x.
4) Trong R3 cho hệ gồm ba véctơ
{(0, −2, 5); (1, 2, −3); (−1, 1, −2), (2, 5, k)}, k ∈ R.
Tuỳ theo k hãy tính hạng của hệ véctơ trên.
5) Cho hệ véctơ α1 , α2 , · · · , αn bất kì trong K−khơng gian véctơ V. Gọi
β1 , β2 , · · · , βm là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ α1 , α2 , · · · , αn .
Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ β1 , β2 , · · · , βm không vượt quá hạng
của hệ véctơ α1 , α2 , · · · , αn .
6) Giả sử α1 , α2 , · · · , αn và β1 , β2 , · · · , βm là hai hệ véctơ trong R-không


14

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ

gian véctơ V. Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ
α1 , α2 , · · · , αn , β1 , β2 , · · · , βm
không vượt quá tổng các hạng của các hệ véctơ
α1 , α2 , · · · , αn và β1 , β2 , · · · , βm .

1.4

Cơ sở, số chiều của không gian véctơ

BÀI TẬP
1) Trong các hệ véctơ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3 ?.
a) (2; 4;-4), (3;5;-2).
b) (1;0;-1), (3; 0; -3), (-2; 0; 2), (5; 0; -5).
c) (1; 1;1), (1; 2; 3), (3;-2;1).
d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 8; 17).
2) Hệ véctơ nào sau đây là cơ sở của khơng gian véctơ R4 ? Khi hệ véctơ
đó là cơ sở của R4 , hãy tìm toạ độ của véctơ (4; 3; 2; 1) trong cơ sở đó.
a) (1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1); (1; 0; 0; 1).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 1).
c) (0; 1; 2; 3); (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6).
3) Tính chiều của các không gian véctơ sau và chỉ ra một cơ sở của khơng
gian véctơ đó :
a) R-khơng gian véctơ C.
b) C-không gian véctơ C.
c) K-không gian véctơ Kn .
d) K-không gian véctơ tích V × W , trong đó V, W là các K-không
gian véctơ với chiều lần lượt là m và n.


1.4. Cơ Sở, Số CHIềU CủA KHÔNG GIAN VÉCTơ

15

4) Chứng minh rằng V là không gian véctơ chiều vô hạn nếu với mỗi n
đều tồn tại một hệ n véctơ độc lập tuyến tính trong V .

5) Chứng minh rằng R là Q− không gian véctơ chiều vô hạn.
6) Giả sử α1 , α2 , · · · , αn là một cơ sở của R-không gian véctơ V. Chứng
minh rằng hệ véctơ α1 , α1 −2α2 , α2 −3α3 , · · · , αn−1 −nαn , (n ∈ Z+ ) cũng
là một cơ sở của V .
7) Chứng minh rằng tập nghiệm của phương trình
x1 + 2 · x2 + 3 · x3 + · · · + n · xn = 0 (n ∈ Z+ ; x1 , x2 , · · · , xn ∈ R)
là một R-khơng gian véctơ. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của khơng
gian véctơ đó.
8) Cho (xα )α∈A và (yβ )β∈B là hai cơ sở của không gian véctơ V . Hãy thiết
lập một song ánh giữa hai tập A và B.
9) Hãy bổ sung thêm các véctơ trong R4 vào hệ véctơ sau để ta được một
cơ sở của của không gian véctơ R4 ?
a) (1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0).
10) Tìm k để hệ véctơ sau là một cơ sở của của không gian véctơ R4 ?
a) (1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 1; 1); (1; 1; 1; k).
b) (0; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 0); (1; −1; −1; 1), (0; 1; k; k + 1).
11) Giả sử rằng S là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong không gian
véctơ hữu hạn chiều V và T là một cơ sở của V. Chứng minh rằng có
một tập con của T để cùng với S tạo thành một cơ sở của V.
12) Trong không gian véctơ thực Pn [x] tất cả các đa thức hệ số thực có


16

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ

bậc ≤ n, xét hai hệ véctơ pi và qi được xác định như sau:
pi (x) = xi , qi (x) = (x − a)i (a ∈ R, 0 ≤ i ≤ n).
Chứng minh rằng hai hệ véctơ trên là các cơ sở của Pn [x]. Hãy biểu diễn

cơ sở pi theo qi .
13) Cho S là một tập bất kì. Xét tập các ánh xạ f : S → Kn sao cho
f (x) = ⃗0 với hầu hết x ∈ S trừ hữu hạn phần tử với phép toán cộng hai
ánh xạ và nhân một ánh xạ với một số thuộc K. Hãy chỉ ra tập trên là
một K-khơng gian véctơ (kí hiệu là C(S, Kn )). Hãy tìm một cơ sở của
khơng gian véctơ đó.
14) Cho khơng gian véctơ phức n chiều V. Khi đó V cũng được xem như
là khơng gian véctơ thực. Xét một cơ sở (z1 , z2 , · · · , zn ) của không gian
phức V. Chứng minh rằng z1 , z2 , · · · , zn , iz1 , iz2 , · · · , izn là một cơ sở của
không gian véctơ thực V.

1.5

Không gian véctơ con và không gian
véctơ thương

BÀI TẬP
1) Trong không gian véctơ R3 xét không gian véctơ con V gồm tất cả
các véctơ (x1 ; x2 ; x3 ) thoả mãn x1 + x2 − x3 = 0. Xác định một cơ sở của
V. Xác định cơ sở của không gian véctơ thương R3 /V.
2) Trong không gian véctơ R4 xét không gian véctơ con V gồm tất cả các
véctơ (x1 , x2 , x3 , x4 ) thoả mãn x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 . Hãy chỉ ra rằng các
véctơ α = (3, 0, 1, 0) và β = (0, 4, 0, 2) là các véctơ độc lập tuyến tính
trong V và từ hai véctơ trên bổ sung để được một cơ sở của V. Xác định
cơ sở của không gian véctơ thương R/V.
3) Trong R3 cho các không gian véctơ con


1.5. KHÔNG GIAN VÉCTơ CON VÀ KHÔNG GIAN VÉCTơ THươNG17
U =< (1; 0; −1), (1; 2; 0), (2; 2; −1) > và V =< (1; 0; 2), (2; −1; 1) > .

a) Tìm dim(U + V ), dim(U ∩ V ), dim(R3 /(U ∩ V )).
b) Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R3 /(U ∩ V ).
4) Cho V là không gian véctơ con că
ua R[t], khụng gian cỏc a thc vi
h s thc sinh bởi các đa thức sau:
f1 = t3 − 2t2 + 4t + 1,
f3 = t3 + 6t − 5,

f2 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1,
f4 = 2t3 − 5t2 + 7t + 5.

Tìm một cơ sở của V và chiều của V. Bổ sung cho cơ sở đó để được
cơ sở của khơng gian véctơ các đa thức bậc không vượt quá 3.
5) Trong R4 cho các không gian véctơ con
U =< (1; 1; 0; −1), (1; 2; 3; 0), (2; 3; 3; −1) > và
V =< (1; 2; 2; −2), (2; 3; 2; −3), (1; 3; 4; −3) > .
a) Tìm dim(U + V ), dim(U ∩ V ), dim(R4 /(U ∩ V )).
b) Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R4 /(U ∩ V ).
6) Trong R5 cho các không gian véctơ con
U =< (2, 3, −1, 3, 4); (2, 5, −2, 5, 3); (3, 4, 0, −1, 10) > và
V =< (2, 4, 1, 3, 2); (2, 6, −5, 7, 4); (3, 6, 4, 3, 2) >
Tìm một cơ sở của U + V, U ∩ V và R5 /(U ∩ V ).
7) Hãy chỉ ra rằng một không gian véctơ hữu hạn chiều không thể là hợp
hữu hạn các khơng gian con thực sự của nó.
8) Cho U, V1 , V2 là các không gian véctơ con của không gian véctơ hữu
hạn chiều V. Chứng minh rằng
(U ∩ V1 ) + (U ∩ V2 ) ⊂ U ∩ (V1 + V2 ).
Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy ra thực sự (tức là vế trái là không gian

18

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ

véctơ con thực sự của vế phải).
9) Giả sử U, W là hai không gian véctơ con của không gian véctơ hữu
hạn chiều V thoả mãn điều kiện dim(U + W ) = dim(U ∩ W ) + 1. Chứng
minh rằng U + W trùng với một trong hai khơng gian véctơ con U, W ,
cịn U ∩ W trùng với khơng gian cịn lại.
10) Cho E là không gian véctơ chiều n. Đặt Fi (i = 1, · · · , k) là các
không gian con sao cho dim Fi ≤ r (i = 1, · · · , k), ở đó r < n là số
ngun dương. Chỉ ra rằng có một khơng gian con F ⊂ E với chiều n − r
sao cho F ∩ Fi = {⃗0} (i = 1, · · · , k).
11) Tìm các khơng gian véctơ con E1 , E2 , E3 của R3 sao cho:
i) Ei ∩ Ej = ⃗0 (i ̸= j)
ii) E1 + E2 + E3 = R3
iii) Tổng trong (ii) không là tổng trực tiếp.
12) Một không gian véctơ con E1 của E được gọi là có đối chiều n, ký
hiệu là codimE1 = n, nếu khơng gian véctơ thương E/E1 có chiều n.
Cho E1 , F1 là hai không gian con chiều hữu hạn và E2 , F2 là không gian
con b tuyến tính của E1 , F1 , tức là E1 ⊕ E2 = E và F1 ⊕ F2 = F .
a) Hãy chỉ ra rằng dim E2 = codimE1 , dim F2 = codimF1 .
b) Chứng minh rằng E1 ∩ F1 có chiều hữu hạn và
codim(E1 ∩ F1 ) ≤ dim E2 + dim F2 .
13) Với các khái niệm như bài 12, xây dựng một biểu diễn E = H1 ⊕ H2
sao cho H1 có chiều hữu hạn và
i) H1 ⊂ E1 ∩ F1
ii) H2 ⊃ E2 + F2 .
Chứng minh rằng: H2 = E2 ⊕ (E1 ∩ H2 ) và H2 = F2 ⊕ (F1 ∩ H2 ).
14) Cho U là một không gian véctơ con của không gian véc tơ hữu hạn

chiều V. Chứng minh rằng tồn tại không gian véc tơ con W của V sao


1.5. KHÔNG GIAN VÉCTơ CON VÀ KHÔNG GIAN VÉCTơ THươNG19
cho V = U ⊕ W. Hỏi rằng W có duy nhất không?
15) Cho V = V1 ⊕ V2 và U ⊂ V . Chứng tỏ rằng (U ∩ V1 ) + (U ∩ V2 ) là
tổng trực tiếp nhưng có thể xảy ra trường hợp U ̸= (U ∩ V1 ) ⊕ (U ∩ V2 ).
16) Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vr và cho Si là một cơ sở
của Vi với 1 ≤ i ≤ r. Chứng minh rằng Si đôi một không giao nhau và
∪ri=1 Si là một cơ sở của V.


20

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN VECTơ


Chương 2
Ma trận và ánh xạ tuyến tính
2.1

Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh
xạ tuyến tính

BÀI TẬP
1) Các ánh xạ từ K3 vào chính nó nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
a) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 , x2 − x1 , x3 − x1 ).
b) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 x2 , x2 , x3 ) (λ ∈ K).
c) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , 0, x1 + x2 + x3 ).
2) Tìm tham số λ, (λ ∈ K) để ánh xạ từ K3 sau đây là ánh xạ tuyến

tính?
a) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (λx21 , x2 , 0).
b) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (0, λx1 x2 , x2 ).
c) (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , 0, λ2 − λ).
3) Các ánh xạ từ K4 vào chính nó nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? Khi
đó tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc.
21


22

CHƯƠNG 2. MA TRậN VÀ ÁNH Xạ TUYếN TÍNH
a) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (x1 x2 , x2 − x1 , x3 , x4 ).
b) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (λx2 , x2 − x1 , x3 , x4 ) (λ ∈ K4 ).
c) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (0, x3 , x2 , x1 + x2 + x3 + x4 ).

4) Xét trong không gian véctơ thực tất cả các hàm giá trị thực liên tục
trên [a, b]. Chỉ ra rằng ánh xạ φ cho bởi công thức φ : x(t) 7→ t · x(t) là
ánh xạ tuyến tính.
5) Cho A ∈Mat(m, n, K). Chứng tỏ rằng các ánh xạ
φ : Mat(n, k, K) → Mat(m, k, K) và ψ :Mat(k, m, K) →Mat(k, n, K)
xác định bởi công thức: φ(B) = AB và ψ(B) = BA là các ánh xạ
tuyến tính. Khi k = m = n, hãy tìm điều kiện cần và đủ của A để hai
ánh xạ trên bằng nhau.
P
6) Cho đa thức cố định P = ni=0 ai ti , (ai ∈ R) và dạng tuyến tính f bất
kì trên khơng gian véctơ
P V. Ta định nghĩa hàm P (f ) : E → R cho bởi
công thức P (f )(x) = ni=0 ai (f (x))i . Tìm điều kiện cần và đủ của P sao
cho P (f ) là một dạng tuyến tính.

7) Cho ánh
tính f : R2 → R2 có ma trận trong cơ sở chính tắc
 xạ tuyến

−2 3
là A =
. Tìm ma trận của f trong cơ sở (1; 1); (1; 2).
1 0
3
3
8) Cho
 ánh xạ tuyến
 tính f : R → R có ma trận trong cơ sở chính tắc là
2 −7 3

A = 3 −9 4 . Tìm ma trận của f trong cơ sở (0; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 1).
1 −5 3
3
2
9) Cho ánh xạ tuyến tính
 f : R → R có ma trận trong các cơ
2 −1 1
sở chính tắc là M =
. Tìm ma trận của f trong cơ sở
0 −2 3
{(0; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 1)} và {(1; 1); (−1; 1)}.


2.2. HạT NHÂN, ảNH CủA MộT ĐồNG CấU. ĐơN CấU, TOÀN CấU VÀ ĐẳNG Cấ

2.2

Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu. Đơn
cấu, tồn cấu và đẳng cấu

BÀI TẬP
1) Tìm ảnh và hạch của các ánh xạ tuyến tính từ R2 vào R3 sau đây:
a) f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x2 , x2 ).
b) f (x1 , x2 ) = (0, x1 , x2 ).
c) f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x1 , x2 − x1 ).
2) Tìm ảnh và hạch của các ánh xạ tuyến tính từ R3 vào R2 sau đây:
a) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , x1 + x3 ).
b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 ).
c) f (x1 , x2 , x3 ) = (x3 , 0).
3) Tìm ảnh và hạch của các ánh xạ tuyến tính từ K4 vào K3 sau đây:
a) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 , x1 + x2 , x3 + x4 ).
b) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , x1 , x1 ).
c) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x4 , x1 + x3 , x2 ).
4) Tìm ảnh và hạch của các ánh xạ tuyến tính từ K4 vào K5 sau:
a) φ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (5x1 − x2 , x1 + x2 , x3 , x4 , x1 ).
b) φ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 + 7x3 + x4 , 2x3 + x4 , x1 , x2 , x1 − x2 ).
5) Cho C là không gian các hàm liên tục f :R R → R. Xét ánh xạ
t
φ : C → C xác định bởi công thức φ : f (t) 7→ 0 f (s)ds. Chứng minh
rằng Imφ gồm tất cả các hàm khả vi liên tục và Kerφ là 0. Chứng tỏ
rằng φ là đơn ánh nhưng không song ánh.
6) Cho f : E → F, g : E → G là các ánh xạ tuyến tính. Chứng minh


24

CHƯƠNG 2. MA TRậN VÀ ÁNH Xạ TUYếN TÍNH

rằng điều kiện cần để tồn tại ánh xạ tuyến tính h : F → G để g = h ◦ f
là kerf ⊂ kerg. Điều kiện đủ có đúng khơng?
7) Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều. Chứng tỏ rằng:
a) Nếu dim V < dim W thì khơng có tồn cấu từ V lên W.
b) Nếu dim V > dim W thì khơng có đơn cấu từ V vào W.
c) Với bất kì ánh xạ tuyến tính f, g đi từ V sang W ta đều có
dim(Im(f + g)) ≤ dim(Imf ) + dim(Img).
8) Cho f : V → W là một đơn cấu. Chứng minh rằng với mọi khơng
gian véctơ con U của V thì dim U = dim f (U ).
9) Cho f : E → F là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ.
a) Xét R(f ) là không gian các ánh xạ tuyến tính g : F → E sao cho
g ◦ f = 0. Chứng minh rằng f đơn ánh thì R(f ) = 0.
b) Xét L(f ) là khơng gian các ánh xạ tuyến tính g : F → E sao cho
f ◦ g = 0. Chứng minh rằng f tồn ánh thì L(f ) = 0.
10) Cho f : E → F, g : F → G là hai ánh xạ tuyến tính giữa các khơng
gian véctơ hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
a) hạng(g ◦ f ) ≤ min{hạng(f ); hạng(g)}.
b) hạng(f ) + hạng(g) ≤ hạng(g ◦ f ) + dim F.
11) Cho f, g : E → F là hai ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véctơ
hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
| hạng(f ) − hạng(g) |≤ hạng(f + g) ≤ hạng(f ) + hạng(g).

2.3

Tự đồng cấu và tự đẳng cấu

BÀI TẬP

2.3. Tự ĐồNG CấU VÀ Tự ĐẳNG CấU

25

1) Tìm một cơ sở và số chiều của Im và Ker của các tự đồng cấu trong
R3 sau:
a) f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − x2 − x3 , −x1 + 2x2 − x3 , −x1 − x2 + 2x3 ).
b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 + x3 , 2x1 + x2 + x3 ).
c) f (x1 , x2 , x3 ) = (x3 , x1 + x2 − 3x3 , x1 + x2 − 2x3 ).
2) Hỏi trong các tự đồng cấu trong K4 sau đây, tự đồng cấu nào là đẳng
cấu?
a) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , x1 + x2 − x4 , x3 + x4 , x4 ).
b) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , x1 − x3 , x1 + x4 , x2 ).
c) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x4 , x1 + x2 , x1 + x3 , x4 ).
3) Tự đồng cấu φ ∈ End(R3 ) có ma trận


15 −11 5
20 −15 8
8 −7 6
trong cơ sở chính tắc. Hãy tìm ma trận của φ trong cơ sở gồm α
⃗1 =
(2, 3, 1), α
⃗ 2 = (3, 4, 1), α
⃗ 3 = (1, 2, 3).
4) Tự đồng cấu φ ∈ End(C3 ) có ma trận



1 −18 15
−1 −22 20
1 −25 22
trong cơ sở gồm các véctơ α
⃗ 1 = (8, −6, 7), α
⃗ 2 = (−16, 7, −13), α
⃗3 =
⃗
(9, −3, 7). Tìm ma trận của φ trong cơ sở gồm các véctơ β1 = (1, −2, 1),
β⃗2 = (3, −1, 2), β⃗3 = (2, 1, 2).
5) Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và f ∈ End(V ) thoả mãn
f 2 = 2f + idV . Chứng minh rằng f là một đẳng cấu.
6) Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và f ∈ End(V ) thoả mãn