Phan huy phú bài tập đại số tuyến tính

PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN

BÀI TẬP

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN

BAI TAP
DAI SO TUYEN TINH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


Chịu trách nhiệm xuất bản

Giám đốc:
Tổng biên tap:
Biên tập:

Trình bày bìa:

NGUYÊN VĂN THỎA
NGUYÊN THIỆN GIÁP
HUY CHU

DOAN TUAN
NGỌC QUYÊN
NGỌC ANH

BÀI TẬP ĐẠI SỘ TUYẾN TÍNH

Mã số: 01.249.ƯK.2002

In 1.500 cuốn, tại Xưởng in NXB Giao thông vận tải

Số xuất bán: 49/ 171/CXB. Số trích ngang 39 KH/XB
In xong và nộp lưu chiểu Quý | nam 2002.


LOI NOI DAU
Mơn

Đại số tuyến tính được đưa vào giảng dạy ở hầu hết

các trường đại học và cao đẳng như là một môn

thiết để tiếp thu những môn

học khác. Nhằm

một

vụ cho

tài liệu tham

các ngành

tuyến

khảo

phục

học cơ sở cần

cung cấp thêm

sinh viên ngành

Tốn

và

Kĩ thuật, chúng tơi biên soạn cuốn "Bài tập Đại số

tính". Cuốn

sách được chia làm

ba chương bao gồm

những vấn dé cd ban của Đại số tuyến tính: Định thức và ma

trận - Khơng gian tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, hệ phương
trình tuyến tính - Dạng tồn phương.

Trong mỗi chương chúng tơi trình bày phần tóm tắt lý
thuyết, các vi dy, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần

hướng dẫn (HD) hoặc đáp số (8). Các ví dụ và bài tập được
chọn

lọc ở mức

độ từ trung bình đến khó, có những bài

tập

mang tính lý thuyết và những bài tập rèn luyện kĩ năng nhằm
giúp sinh viên hiểu sâu thêm

Chúng

tôi xin cảm

môn học.

ơn Ban

biên

tập nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện để cuốn sách sớm được ra mắt
bạn đọc.
Mặc

dù chúng

tôi đã sử dụng

tài liệu này

nhiều

năm

cho

sinh viên Toán Đại học Sư phạm Hà Nội và đã có nhiều cố gắng
khi biên soạn, nhưng chắc chắn cịn có khiếm khuyết. Chúng
tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của độc giả.
Hà Nội, tháng 3 năm 2001

Nhóm biên soạn


MỤC LỤC
Chương 1: ĐỊNH THỨC - MA TRẬN.................................ccccccccve. 7
Á-'Tôn tắt lý tha yEtsscccssssesssssissscosescstesssaracensivesisisisecivsseicasves 7
Š„2:

THỊNH THẮNG an

lốc.

nh

nhanh nh Gun tháng a0 110141 010020010100340000

3018010 8
....................°

Chương 9: KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH..............................-----55ss 57

A- Tom tat ly thut
§1. Khơng gian véc tơ..

§2. Ánh xạ tuyến tính
§ 3. Hệ phương trình tuyến tin!
§4. Cấu trúc của tự đồng cấu..

B- Ví dụ..........

§1. Khơng gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính

§2. Hé phuong trinh tun tinh...
§3. Cấu trúc của một tự đồng cấu

D. Hướng dẫn hoặc đáp số

eee essences nese 104


§1. Khơng gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính

-110

§ 2. Hệ phương trình tuyến tính

„122

§3. Cấu trúc của một tự đồng cấu.

-125

Chương IIT: DẠNG TỒN PHƯƠNG - KHƠNG GIAN VÉC TƠ

ØCLIT VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ UNITA ..........................-.- 134
A. Tém tat ly thut
§1. Dạng song tuyến tính đối xứng

và dang tồn phương......

134

§ 2. Khơng gian véc tơ Ơclit
§3. Khơng gian véc tơ Unita

D. Hướng dẫn hoặc đáp số.........................-50c tre
179
"Tài Hệu tham KHẢO: ccocadointoiaetgaugs8is0484gis0n
0s 192


Chuong

1

ĐỊNH THỨC - MA TRẬN

A - TĨM TẮT LÝ THUYẾT
§1. PHÉP THẾ
Một song ánh ơ từ tập {1, 2,..., n} lên chính nó được gọi là

một phép thế bậc n, kí hiệu là

Ở đó ơi = ø(1),

Tập các phép

1

93

0,

Ơy

3...

Ơy

..

n

Ơn

ơ; = ơ(9),.... ơạ = ơ(n).

thế bậc n với phép

nhân

ánh

xạ lập thành

một nhóm, gọi là nhóm đối xứng bậc n, kí hiệu S„. Số các phần
tử của nhóm

S„ bằng nl = 1, 2... n.

Khi n > 1, cặp số {i, j} &không thứ tự) được gợi là một nghịch

thế của ơ nếu số (i - j) (ơ,- ø) âm. Phép thế ơ được gọi là chẵn
nếu số nghịch thế của ơø chăn, ø được gọi là phép thế lẻ nếu số
nghịch thế của ơ lẻ.
Ki hiéu sgno =

| 1néus
-1néuo

la phép thé chan
la phép thé lé

và sgnơ gọi là dấu của phép thế o. Néu o va 1 là hai phép thé

cung bac, thi sgn(o oT) = sgn(o) . sgn(T).

Phép thếø được gọi là một vịng xích độ dài k nếu có k số i¡,
iy, .. , i, d6i mot khac nhau dé o(i,) = ig,

ø(Œ;)

=i,..., ø(¿) = i,


và ơ() = ¡ với mọi

¡ #i¡,....

i. Vong xich đó được

kí hiệu

là

(, lạ... 1). Mọi phép thế đều phân tích được thành tích những
vịng xích độc lập.

Một

vịng

xích độ dài 2 được

gọi là một

chuyển

trí. Vịng

xích (¡, i„, ..., Í) phân tích được thành tích (i¡„ i)đ,, i⁄.,)...(. in).
§2. ĐỊNH THỨC

1. Giả sử K là một trường (trong cuốn sách này ta chủ yếu
xét K là trường số thực IR hoặc trường số phức C). Ma trận kiểu
(m, n) với các phần tử trên trường K là một bảng chữ nhật gồm
m hàng, n cột các phần tử

a¡ e K,¡= 1m,

trận kiểu (m, n) được kí hiệu M(m,

J

Ln.

Tập các ma

n, R). Ma trận vng cấp n

là ma trận có n dịng, n cột. Tập các ma trận vuông cấp n với các

phần tử thuộc trường K kí hiệu là Mat(n, K).

2. Cho ma trận A vuéng cap n, A = (aj), i, j = 1, 2... me

Định thức của ma trận A, kí hiệu đet A là một phần tử của K
được xác định như sau:

detA =

Ysen(o)ajecr) + B99(2) + Angin) +

e5,

3. Tính chất của định thức

a)

Nếu đổi chỗ hai dịng (hoặc hai cột) nào đó của ma trận

A, thì định thức của nó đổi đấu.
b) Nếu

thêm

vào một dịng (hoặc một cột) của

ma

tran A

một tổ hợp tuyến tính của những dịng (hoặc những cột) khác,

tít

.

thì định thức khơng thay đổi.


c) Nếu

một

dịng

(hay

một cột) phân

tích thành

tổng,

thì

định thức được phân tích thành tng hai nh thc, c th:

#m
det! Ay,221

v

đ

Amo
An

Aa

Ay

Ay)
= det|^z!

Ay;2i

ôAo,2n

Aq

Ani

Ann

d) Cho A =

TA
Agai tay
Tại

ác

..

Ani tani
| +det|

địa
Ayan | =
Ann

Am

=â1i

Fin

an

Ay

c“ng

Bạt22!

sùi2i

Ao, 2n

(a,) € Mat(n, K), thi A' = (bị) ở dé b, = a, duge

gọi là ma trận chuyển vị của A.

Ta có detA = detAt.

4. Cách tính định thức
a) Cho ma trận A e Mat(n, K). Kí hiệu Mụ; là định thức của
ma

trậ

thứ)

cấp (n-1) nhận được bằng cách gạch bỏ dòng thứ i, cột
a ma tran A va Aij = (-1)' Mj được gọi là phần phụ đại

số của phần tử a¡ của ma trận A. Ta có các cơng thức:

a

3 ;auA
iA

-|

0

nếu

i#k

detAnéu

i=k

n
0
nếu izk
Sandan -|
detA nếu ¡=k
ia

n

Như vậy đetA = SMawAw
n

/=1

hoặc detA = SManAn
tt

(k = 1, 2, ... n)


Công thức trên được gọi là công thức khai

triển định

thức

theo dòng hay theo cột.
b) Định lý Laplace

Cho ma trận A = (a,) e Mat(n, K). Với mỗi bộ

„1,

Va Guiecide

l1


1Sji
1
n,

lui
đặt Ai i ‘i la

định thức của ma trận vuông cấp k nằm ở các dịng Ì¡,... i¿ và các

„`

cột j¡... J của ma tran A; M,

đấy
nu
`.
‘
Ä
Š là định thức của ma trận vng
h

cấp (n - k) có được bằng cách gạch các dòng thứ i,.... ¡„ và các cột

thứ j¡,.... j, của ma trận A. Ta có kết quả:
detA = Leyie tess +Ík

ở đó j¡... j, là k cột cố định. Tổng được lấy theo tất cả các bộ (i¡.... iy)
sao cho

1
thức khai triển định thức theo k

cột j¡, ...j,. Tương tự, ta có cơng

thức khai triển theo k dịng. Khi k = 1, ta được cơng thức đã nói
trong mục a.

§3. MA TRẬN
1. Ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K đã được

giới thiệu trong §2. Tập các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử

trên trường K được kí hiệu là Mat(m, n. K) A e Mat(m, n K)
được viết A =(aj)

10

i=1,m;

j=1,2...n

hay ré rang hon:


2. Cac phép toán trên Mat(m, n, K)
Cho A = (ai),

B=

(bị) thuộc Mat(m,

n, K)

Ta có:

a)

Ma trận

C=(cj) ở đó œ¡ = aj + bị

được gọi là tổng của hai ma trận A và B và kí hiệu là A +B.

Ma trận D = (d,) ở đó dụ = aj - bị
được gọi là hiệu của ma trận A và B và kí hiệu là A - B.
b) Với

ke

R,

ma trận kA có các phần tử là (ka¡,) được gọi

là tích của ma trận A với phần tử k của trường K.
e) Nếu

A= (aj) € Mat(m, n, K) và
B= (by) € Mat(n, p, K) thì

ma trận A. B e Mat(m, p, K) mà các phần tử được xác định bởi

AB = (cu), ở đó

n

ey =3 ayDjy
E1

được gọi là tích của hai ma trận B và A.
Với A, B e Mat(n,

K), ta có det(AB) = detA. detB.

11


đ) Tập

Mat(n,

K) các ma

trận vng cấp

n với phép

tốn

cộng lập thành một nhóm giao hốn, cịn với phép tốn cộng ma
trận

và phép

nhân

ma

trận

lập thành

một

vành

khơng

giao

hốn, có đơn vị.

3. Hạng của ma trận; Ma trận nghịch đảo
Giả sử A e Mat(m, n, K), ta định nghĩa hạng của ma trận A
là cấp cao nhất của định thức con khác không rút ra từ ma trận
A. Khi A € Mat(n, K) va hang A = n
A là rang
detA

A)

# 0 và

A.B=B.A

thi ma
tổn

=1;

tại

tran
duy

A

gọi

nhất

(ta ciing ding kí hiệu hạng
là khơng

ma

trận

B

suy

biến,

thuộc

khi

đó

K)

để

Mín,

ở đó I, là ma trận đơn vị. Ma trận B được gọi là

ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là A''.
Gia si

A,

A =(Aj)là

ma

trận phụ

hgp cua ma tran A = (aj),

la phan phy dai sé cda phan ti ay;

At 1a ma tran chuyển

vị của A. Khi đó:
ao

"..
detA

B - VÍ DỤ
Ví dụ 1.1. Xác định dấu của các phép thế sau:

123...

147...
12

m

8⁄92

n+l

2

n†2...

5

Q

.. M1

2Axzl....

3.

ân

boy


Loi giai

a) Phan tich o thanh tich các chuyển trí:

o=()

1

2
3

3
5

4
4

5

z4

a Re
E
5
235)=(1,5)(,3)(1.2)

(chú ý là phép nhân các chuyển trí được thực hiện từ phải
sang trái như hợp thành của các ánh xạ).

Vậy sgnơ = (-1)” = -1
Có thể làm cách khác: Các nghịch thế của ơ là (1, 5), (2, 5).

(3, 5), (4, 5), (3, 4).
Vậy ơ có 5 nghịch thế nên sgnơ = -l.

b) Ta hãy tính số nghịch thế của hoán vị (1, 4, 7... 3n-2, 2,

5, 8.... 3n-l, 3, 6,... ẩn).

1 không tham gia vào nghịch thế nào.

4 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó.
7 tham gia vào 4 nghịch thế.
3n - 2 tham gia vào 2(n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó.
3 khơng tham gia vào nghịch thế nào với các số đứng sau nó.

ð tham gia vào 1 nghịch thế với các số đứng sau nó.
8 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó.
đn - 1 tham gia vào (n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó.

ác số 3, 6, 9.... 3n không tham gia vào nghịch thế nào với

các số đứng sau nó.

13


3(n -1)n

Vậy có tất cả 2+ 4+... + 2(n-1) +1 +2... +(n-l) =

(n-ln

nghich thé trong hoan vi da néu va do dé sgn 8 =

(-1)

Khin= 4k hoặcn=
4k +1 thì sgnõ=1
cịn nếu n = 4k + 3 hoặc n = 4k + 3 thì sgn
ư = -1.

Ví dụ 1.2
Cho phép thé f = (

1

2

3

f§

ff

n

h } có dấu là (~1)*
n

Hãy xác định dấu của:
a)f?

»g -(;

1

2

..n

fy n-1 à a

Lời giải:
a) Vi sgn f. sgn f! = sgn (£. £')

= sgn(Id) = 1 nên

sgn (£') = sgn (f) = (-1)*
b) Xét phép théo = (:

7

n

n-l

thi g=f.o

Do vay sgn g = sgnf.sgno.

Nhung
14

sgno=(-1)

n(n=1)

?

nên sgn g = (eG

#

°


Vi du 1.3
' Chứng

minh

rằng việc nhân

một

phép

thế với chuyển

đ, j) về bên trái tương đương với việc đổi chỗ các số
dưới

trí

j ở dòng

củ a phép thế. Cũng như vậy, nhân một phép thế với chuyển

trí (, j) về bên phải tương đương với đổi chỗ ¡, j ở dòng trên của

phép thế.

Lời giải
3iả sử ø là phép thế cho trước, (, j) là phép chuyển trí. Xét
trường hợp nhân bên trái tức là f= (¡. J). ø.
ơ=

1

Of

9

„.ơœ

Boom

tà

t=6.0sø=[

1

Go

5

YP
2 "

13...

Gj

B

doi

Theo heo dinh
(i, j)j) = (
định nghia nghia(i,
Vậy

,.

.

=

uo

n
By

je"

“

ji

"

wi

S 8.
oC

sợ

t

3

Giả sử

i

.

+

w

"|

Gp

Trường hợp nhân bên phải được xét tương tự.

Ví dụ 1.4. Cho f và g là hai phép thế của n số tự nhiên đầu tiên.
a) Chứng minh rằng có thể đưa f về g bằng khơng q (n-1)
phép chuyển trí (nghĩa là tồn tại k phép chuyển trí oy, Ø;,..... Gụ,
k«
để

g=ơy.ơy.,...
ơi. 0.

b) Chứng minh rằng khơng thể giảm bớt số chuyển trí nói
trong câu a) tức là có thể chọn f và g sao cho không thể đưa f về
g bang it hon n - 1 phép chuyển trí.

15


Lời giải
a) Xét phép thế go f`, phân tích g o F thành tích các vịng
xích độc lập Tị, Tạ.... Tụ.

gof'= T1...

Tạ.Tụ

Nếu kí hiệu m, là độ dài của vịng xích T, thì
mị + m; +... + m, =n.
Nhắc lại rằng một vịng xích (a,, ag, ..., a„) là một

phép

thế

ø các số tự nhiên từ 1 đến n sao cho ø(a,) = a,,, (i = 1,.... m-1) và

ø(a„) = a¡, còn ø() = / nếu Ï # a; với mọi

¡ = 1,... m. Vịng xích

(aj, a, ... a,,) goi 1a c6 dé dai m.

Ta đã biết mỗi vịng xích độ dài m déu

phan

tich duge

thành m - 1 chuyển trí. Vì vậy g o F` phân tích được thành tích
cua

2

Sem, -1)=n-p=k

i=l

phép chuyén tri.

Nhung p2l=>n-psn-l.

Như vậy g of!

=o, ... 6, (o, - chuyển trí)

Từ đó g=Øyyo..yof

kén-l

và các ơ; là các phép chuyển trí.
b) cho z=

con

f=

[

2...
9

128.
n1
2..

n

đ

on
n-1

là phép thế đồng nhất

. Ta sẽ chứng tỏ rằng khơng đưa

f về g được bằng ít hơn n - 1 phép chuyển trí.
16


Với

¢

một

phép

thế

.

1

h =

8

hy

ø

hy

..

"

hy

„ ta

Be

nói

VIÊN

rằng

CS

¡ là

phần tử chính quy nếu h, > ¡. Để ý rằng nếu nhân vào bên trái
của h một chuyển trí thì số phần tử chính quy tăng cùng lắm là
một đơn vị. Thật vậy, nếu ngược lại, chẳng hạn ¡, j là hai phần

tử khơng chính quy của h mà nếu đổi

chỗ h, với h; ta lại được

hai phần tử chính quy (của phép thế mới) thé thi: hj nhung

hj

2 i,

h,>j

h,<

j

vơ lý.

Do f chỉ có một phần tử chính quy, và g có n phần tử chính
quy, vì vậy khơng thể đưa f về g bằng ít hơn n - 1 phép chuyển trí.
Ví du 1.5

Chung minh rang với mỗi số k (0 < k < C?) tổn tại một
phép thế ø e 8, có đúng k nghịch thế.

Lời giải
Cách 1: Ta hãy chứng minh một kết quả mạnh hơn:

Nếu

ơ = (ơi,.... œ,) là một hoán vị của 1, 2

nghịch thế, 0
..

và œ có k

=. thì có thể déi ché hai phan tu a;, a, nào

đó để thu được hốn vị J có k + 1 nghịch thế. Thật vậy, trước
hết ta nhận thấy rằng nếu œ,> œ„¡

aco

ce

nén

ton

với mọi

¡= 1, 2,..., n-1 thì

nghịch thế. Vì vậy, do số nghịch thế của œ là k < g,
tai ip dé ai,

<đi

vi:

Xét hoán vị B = (B¡,... B,) trong d6 B, =a,

con Bi, =),41

+ Biv =a), thì rõ

néu i # ig, ip + 1,

ràng Ð có nhiều hơn œ một

nghịch thế. Nghĩa là số nghịch thế của B là k + 1.

£€ |24_

17


Cách 2. Xét phép thế đồng nhat op = (1, 2. ..., n) mdi lan
chuyển số nhỏ nhất sang bên phải một đơn vị, ta được một phép
thế mới có số nghịch thế lớn hơn phép thế cũ 1 đơn vị, sau n
bước ta được phép thé

o,., = (2, 3,.... n, 1), làm tiếp tục như

vậy với số hai, .... cuối cùng ta được phép thế.
o=

12

n

ea

n-1..

có Bộ nghịch thế.

1

Như vậy trong dãy trên, với mỗi

0< k<

Cỷ,

só một phép

thế có đúng k nghịch thế.
Cách 3. Ta chứng mình quy nạp theo n.

Dễ thử thấy với n = 2, 3, 4, bài toán đúng.
Giả sử bài toán đúng với n > 4; Ta chứng minh nó đúng với
n+1;nghĩa

là với

0<

k

<

Câu

, ta chứng tỏ có ø e S„¡ để số

nghịch thế của ø bằng k. Ta xét hai trường hợp:
a) Với 0< k< C2, theo giả thiết quy nạp có T € Sn để 1 có
đúng k nghịch thế. Khi đó

CES,

oF

(

1
T

2)
Ty

«+

n

n+l

Tạ

n+l

) có đúng k nghịch thế.

b) Với k> C2, don>
3 nên C2,2n+] =kVi vậy, theo giả thiết quy nạp có phép thé te S, để 1 có
đúng

18

€

3

? ¡—k nghịch thế. Khi đó xét


:

ø=

_( 1

3

(n41

nm

n+l

mow

thì ø có đúng k nghịch thế.

|

1 123
9.8.44
35

°

1

3

6 78
9 10
102698
6

4

ow

=

41

soo

f=

on

Ví dụ 1.6. Tính f°° và g2 nếu:

i

46971

we

2

108

2

Lời giải:
Khai trién f va g thanh tich nhiing vong xich déc lap
f=(1

3 4)(2

5 7)(6

g=(1

346

7)(2

8

10)

5 9 8

10)

Vì các vịng xích có mặt trong khai triển của f đều có độ dài

3 nên f = ¡d, vì vậy
° = ¡d từ đó f9
= £.
“Tương tự g”= ¡d nên g!”° =
Ví dụ 1.7.

¡d,

Tính định thức Vandermonde

|
D, =

1
a

ay

1
1

n-l

ay2
n-1

ay

1
Bigs
nà
n-1

Any

1
a

n

n-1

an

Lời giải:
Lay dòng thứ n-1 nhân với (-a,) rồi cộng vào dòng thứ n,
lấy dòng thứ n - 3 nhân với (-a,) rồi cộng vào dòng n-1,...., lấy
dòng thứ nhất nhân với (-a„) rồi cộng vào dòng thứ 3, ta được:
19


Dạ= |

1

1

ee

1

1

ai -ân

ag-a,

He

8n~- Tân

0

-

An-q(AnT—An)

0 |

..

~>
An-i(AnT-fn,

0 |

Ai(Ai-An) - A;(As-än)

a† - “(ai-ân)

a3 -2 (ag-a,)

Khai triển theo cột n, ta được:

~
Dy = (1)? May ay) fay

— ay)

1

1

|

ay

ay

ant

"

|

ap? ag® .. an?|

Hay

D, =(a, -a;).-.(a, —ay_1)-Dy_)

D,.,

14 dinh thc Vandermonde cta cac sé aj,... a,.)-

Nhận

xét là D, = 1, từ đó ta có:
Dạ =T[@;

a):

Vi du 1.8

Cho ma tran vuéng cép n A =

(a,))

ở đó a, = min(i, j). Hay tinh detA.

Lời giải:
_
ga

ar)

Cách 1: Ta có

20

1

» 5 d6