Bai 10 tich phan bat dinh

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH


ĐỊNH NGHĨA
F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b)
 F’(x) = f(x)

f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định


BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
dx
dx
1
x
1 /  2 arctan x  C
2 /  2 2  arctan  C
a
1 x
a x a
dx
dx
x
3/ 
arcsin x  C
4/ 
arcsin  C
a
1  x2
a2  x2
dx

5/ 
ln x  x 2  k  C
x2  k
2
x
a
x
2
2
2
2
6 /  a  x dx  a  x  arcsin  C
2
2
a
x 2
k
2
7 /  x  kdx  x  k  ln x  x 2  k  C
2
2


BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
8 / cosh x dx sinh x  C
9 / sinh x dx cosh x  C
dx
10 / 
tanh x  C
2

cosh x
dx
11 /  2  coth x  C
sinh x
dx
x
12 / 
ln tan  C
sin x
2
dx
x 

13 / 
ln tan     C
cos x
2 4


Ví dụ



dx
4 x

2

dx

1
x
 arctan  C
2
2

x x

1
x
(3e) dx 
(3e)  C
ln 3  1

x2  4
3

x
arcsin  C
2

e dx

x


CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Đổi biến:

 x u  t   dx u t  dt

Đổi biến 1: 
 f  x  dx f  u  t   u t  dt
t u  x   dt u x  dx
Đổi biến 2: 
 f  u  x   u x  dx f  t  dt

2. Tích phân từng phần:

udv uv  vdu


Ví dụ

x

2 x3

e dx

x
arctan
2 dx
4  x2

1 x3
3
 e d ( x )
3

1 x3

 e C
3

1
x 
x
 arctan d  arctan 
2
2 
2


Ví dụ

I 

x

xdx
2

 1

2

1
2
d  x  1
2
2

2
 x  1
1 1

C
2
2  x  1


2

I 

x dx

x

2

 1

2

1
2x
x. .
dx
2
2  x 2  1
2x

1
u  x, dv 
dx  du dx, v  2
2
2
x 1
 x  1
1
x
dx 
I   2
 2 
2  x 1
x  1
1
x

  2
 arctan x   C
2  x 1



Một số lưu ý khi dùng tp từng phần

Pn ( x) là đa thức bậc n.

Pn .ln( x)dx
Pn .arctan xdx

Pn .arcsin xdx

dv Pn dx, u là phần còn lại.

x

Pn .e dx
Pn .sin xdx

u Pn ( x), dv là phần còn lại.


Ví dụ

I arcsin xdx

u arcsin x  du 

dx

1 x
dv dx, chon v  x


2

2

1 d (1  x )
I  x arcsin x  

 x arcsin x  
2 2 1  x2
1  x2
xdx

1
 x arcsin x  1  x 2  C
2


Lập công thức quy nạp In

dx
I n  2
2 n
(x  a )
2 n

u ( x  a )
2

2  n 1

 du  2nx ( x  a )
2

dx

dv dx , choïn v  x
2 n

In x( x  a )
2

2  n 1

 2n x ( x  a )
2

2

I n  x ( x 2  a2 ) n
2  n 1

 2n ( x  a  a )( x  a )
2

2

2

2

dx

dx


2 n

I n x( x  a )
2

2  n 1

 2n ( x  a  a )( x  a )
2

2

2

2

dx

2 n

x( x  a )
2

 2n ( x 2  a 2 )  n dx  2na 2 ( x 2  a 2 )  n 1 dx
2 n

I n x( x  a )
2

 2nI n  2na I n1
2


1 
x
 I n1 
 (2n  1) I n 
2
2
2 2
2na  ( x  a )



TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Ngun tắc: chuyển về các tích phân cơ bản

dx
( Ax  B )dx
( x  a)m ,  2
n
x  px  q





Trong đó: * m, n là các số tự nhiên,
* Tam thức bậc 2 có = p2 - 4q< 0


Tích phân các phân thức cơ bản

dx
x  a ln x  a  C
dx
1
1
( x  a)m 1  m ( x  a)m 1  C (m > 1)


Tích phân các phân thức cơ bản

( Ax  B)dx
x 2  px  q

Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)

A
2x  p
Ap 
dx

 2
dx   B 
 2
2 x  px  q
2  x  px  q

2x  p
du
x 2  px  q dx u ln u  C

Tích phân các phân thức cơ bản

dx
x 2  px  q

dx


2
2
 x  p q  p


2
4

dv
1
v
 2
 arctan  C
2
a
a
v a


Tích phân các phân thức cơ bản

( Ax  B)dx
A (2 x  p)dx
( x 2  px  q)n  2 ( x 2  px  q)n
Ap
dx
 (B 
) 2
n
2 ( x  px  q)

(2 x  p)dx
du
( x 2  px  q)n un

dx
dv
( x 2  px  q)n (v2  a2 )n I n


1 
v
I n1 
 (2n  1) I n 
2
2
2 n
2na  ( v  a )


Ví dụ

x 1

x2 

x 1

dx

1 2x  1
1 
dx

 2
dx    1 
2 x  x 1
 2  x2  x  1
1
dx
 
2
2 
1
3
x  
2
4


1
x

1
1 2
2
2 C
 ln( x  x  1)  . arctan 2.
2
2 3
3

1
2
 ln( x  x  1)
2


ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH
Hàm hữu tỷ:

p( x)
f ( x) 
m
n
2
r
( x  a) ( x  b) ( x  px  q )

Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam

thức ở mẫu có  < 0, sẽ được phân tích ở dạng
Am
Bn
A1
A2
B1
f ( x) 

 ... 

 ... 
2
m
n
x  a ( x  a)
x b
( x  a)
( x  b)
C1x  D1
C2 x  D2
Cr x  Dr
 2
 2
 ...  2
2
x  px  q ( x  px  q )
( x  px  q) r