bài giảng tích phân xác định

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài toán diện tích
b
S
a
( )y f x=
Chia S thành nhiều diện tích con
Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con
Chia S càng nhỏ
Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S
ĐỊNH NGHĨA
1
1
0
( , ) ( )( )
n
i i i
i
S P f f x x
ξ
−
+
=
= −
∑
Xét hàm số f(x) xác định trên [a, b], P là 1 phân hoạch
của [a, b].
Trên [x
i
, x
i+1

] chọn ξ
i
tùy ý, đặt
Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của
[a, b] thỏa mãn a≡ x
0
< x
1
< …<x
n
≡ b
d = max{(x
i+1
– x
i
)/ i = 0, , n-1}: đường kính phân hoạch
Tổng tích phân ứng
với phân hoạch P
x
0
= a x
n
= bx
i
x
i+1ξ
i
f(ξ
i
)

1
1
0
( , ) ( )( )
n
i i i
i
S P f f x x
ξ
−
+
=
= −
∑
0
lim ( , ) ( )
b
d
a
S P f f x dx
→
=
∫
f khả tích ⇔ tồn tại giới
hạn hữu hạn của S(P, f)
khi d→ 0 (không phụ
thuộc P)
Ví dụ về tổng tích phân
Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn
bằng nhau bởi các điểm 0 = x

0
<x
1
< …<x
n
= 1. Tìm tổng
tích phân nếu: ξ
i
= x
i+1
ξ
1
ξ
0
ξ
3
ξ
2
1
1 1
,
i i
x x d
n n
+
− = ⇒ =
1
1 ( 1)
0 ( 1) ,
i i

i
i
n
x
n
ξ
+
+
= + + ==
1
( )
i i
i
f
n
ξ ξ
+
= =
1
0
x
4
x
2
x
3
x
1
x
¬ →

d
1 1
1
0 0
( 1)
( )
1
, ) ( )(
n n
i i i
i i
S P f f x x
i
n n
ξ
− −
+
= =
+
×= − =
∑ ∑
1
2 2
0
1 1
( 1) [1 ]
n

i
i n
n n
−
=
= + = + +
∑
1
0
1
2
xdx⇒ =
∫
0
1
2
d→
→
2
( 1)
2
n n
n
+
=
Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm
gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b].
Ví dụ:
( Khi đó
( )

b
a
f x dx
∫
là tích phân xác định.)
2
1
sin x
dx
x
−
∫
2
0
lnx xdx
∫
2
0
ln xdx
∫
là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1.
là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1.
không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2.
Điều kiện để f khả tích trên [a, b]
Tính chất hàm khả tích
1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b]
2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b]
3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn
và gtln của f trên [a,b], khi đó
( ) ( ) ( )

b
a
m b a f x dx M b a∗ − ≤ ≤ −
∫
* ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x g x f x dx g x dx≥ ⇒ ≥
∫ ∫
Tính chất hàm khả tích
4. , ( ) ( ) ,
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b
b
a
a a
b b b
a a a
dx b a cf x dx c f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
= − =
+ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
6. ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫
7. ( ) ( ) ( )

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
5. ( ) 0
a
a
f x dx =
∫
Tính chất hàm khả tích
8.
b
a
dx b a= −
∫
( ) ( )
b b T
a a T
f x dx f x dx
+
+
=
∫ ∫
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫

0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
9. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T:
10. f lẻ trên [-a, a]:
f chẵn trên [-a, a]:
Định lý giá trị trung bình
( )( ) ( )
b
a
f c b a f x dx− =
∫
2
0
lim
x
t
x
e dt
→+∞
∫
2
t
e
2 2

0
( 0)
x
t c
x
e dx x e x
→+∞
= − > → + ∞
∫
f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c ∈[a,b] sao cho
Áp dụng: tính giới hạn
Hàm liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại
c∈ [0,x] sao cho
Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân
( ) ( )
x
a
F x f t dt=
∫
( ) ( ), ( , )F x f x x a b
′
= ∀ ∈
( )
( )
( ) ( )
x
x
F x f t dt
ψ
ϕ

=
∫
* Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số
liên tục trên [a,b]
* Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và
Đạo hàm theo cận trên
Hệ quả: f liên tục, ϕ và ψ khả
vi
( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )F x f x x f x x
ψ ψ ϕ ϕ
′ ′ ′
= −
Chứng minh
( ) ( )
x
a
F x f t dt=
∫
( )
0
0
0
0
,
( ) ( )
x
x x
x a b
a
F x f t dt

→
∈
→ =
∫
( )
( )
( ) ( )
0
0
x
x
a a
F x F x f t dt f t dt− = −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
0 0
0
x x
x
a x a
f t dt f t dt f t dt= + −
∫ ∫ ∫
( )
0
x
x
f t dt=
∫
0
M x x≤ −

0
0
x x→
→
( )
( )
0
0 0 0
( ) ( ) , ,
x
a
F x f t dt f x x a b
′
 
′
= = ∀ ∈
 ÷
 ÷
 
∫
( )
( )
0
0
F x F x
x x
−
−
( ) ( )
0

0
x
x
a a
f t dt f t dt
x x
−
=
−
∫ ∫
( )
0
0
x
x
f t dt
x x
=
−
∫
( )
( )
( )
0
0
f c x x
f c
x x
−
= =

−
( )
0
0
x x
f x
→
→
Ví dụ
2
2
1
2
( ) ln(1 )
x
x
f x t dt
+
= +
∫
1/ Tính đạo hàm tại x = 1 của
2 2 4
( ) 2 .ln(1 ( 1) ) 2 .ln(1 )f x x x x x
′
= + + − +
2
0
2 1
( )
1

x
t
f x dt
t t
−
=
+ +
∫
2/ Tìm cực trị của f(x) trong (0, 1)
2
2 1
( )
1
x
f x
x x
−
′
=
+ +
đổi dấu khi đi qua x = 1/2 ∈(0, 1)
2
0
lim
x
t
x
e dx
→+∞
= +∞

∫
3/ Tính giới hạn
2
2
0
2
lim
x
t
x
x
x e dt
e
→+∞
∫
Theo vd phần định lý giá trị trung bình
Vậy gh trên có dạng VĐ ∞/∞, áp dụng qtắc L’H
( )
2
2
2
2
0
0
2
2
lim lim
x
x
t

t
x
x x
x
x e dt
x e dt
e
e
→+∞ →+∞
′
 
 ÷
 ÷
 
=
′
∫
∫
( )
2
2
2
2
0
0
2
2
lim lim
x
x

t
t
x
x x
x
x e dt
x e dt
e
e
→+∞ →+∞
′
 
 ÷
 ÷
 
=
′
∫
∫
2 2
2
0
2 2
lim
2
x
t x
x
x
e dt xe

xe
→+∞
+
=
∫
( )
2
2
0
lim 1
x
t
x
x
e dt
xe
→+∞
′
 
 ÷
 ÷
 
= +
′
∫