Bai 11 tich phan xac dinh

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH


Bài tốn diện tích

y  f ( x)
S

a

b


Chia S thành nhiều diện tích con


Xấp xỉ các dt con bằng dt các hình chữ nhật con


Chia S càng nhỏ


Tổng diện tích xấp xỉ càng gần S


ĐỊNH NGHĨA
Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của
[a, b] thỏa mãn a x0 < x1 < …d = max{(xi+1 – xi)/ i = 0,.., n-1}: đường kính phân hoạch
Xét hàm số f(x) xác định trên [a, b], P là 1 phân hoạch
của [a, b].

Trên [xi, xi+1] chọn i tùy ý, đặt
n 1

S ( P, f )  f (i )( xi 1  xi )
i 0

Tổng tích phân ứng
với phân hoạch P


n 1

S ( P, f )  f (i )( xi 1  xi )
i 0

f khả tích  tồn tại giới
hạn hữu hạn của S(P, f)

f(i)

khi d 0 (không phụ
thuộc P)

x0 a
b

lim S ( P, f ) f ( x) dx
d 0

a

xi i xi+1

xn= b


Ví dụ về tổng tích phân
Cho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành n đoạn
bằng nhau bởi các điểm 0 = x0 tích phân nếu: i = xi+1


1
1
xi 1  xi   d  ,
n
n

1 (i  1)
i  xi 1 0  (i  1) 
,
n
n
i 1
f (i ) i 
n

x0

d

x2  
x
3

x1
0

1

x4 1
2

3





n 1

S ( P, f ) 
i 0

n 1

(i  1) 1
f (i )( xi 1  xi ) 

n
n

i 0

n 1

1
1
 2  (i  1)  2 [1  ...  n]
n i 0
n
(n  1)n
1


2
d 0 2
2n

1

1
 xdx 
2
0


Điều kiện để f khả tích trên [a, b]
Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn các điểm
gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b].
b

( Khi đó f ( x)dx là tích phân xác định.)
Ví dụ:

2

a

sin x
 x dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1.
1

2

x ln xdx

là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1.

0
2

ln xdx
0

không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2.


Tính chất hàm khả tích
1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b]
2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b]
3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn

và gtln của f trên [a,b], khi đó
b

 m(b  a) f ( x)dx M (b  a )
a

* f ( x)  g ( x) 

b

b

f ( x)dx g ( x)dx
a

a


Tính chất hàm khả tích

4.

b

b

a dx b  a,
b

b

cf ( x)dx c f ( x)dx,
a

a

b

b

[ f ( x)  g ( x)]dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

a

a

a

5.

a

f ( x)dx 0

6.

b

7.

c

f ( x)dx  f ( x)dx
b

a

b

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx
a

a

c

b

a


Tính chất hàm khả tích
b

8. dx b  a
a

9. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T:
b

b T

f ( x)dx   f ( x)dx
a

a T

10. f lẻ trên [-a, a]:

a

 f ( x)dx 0

a

a

f chẵn trên [-a, a]:

a

 f ( x)dx 2f ( x)dx

a

0


Định lý giá trị trung bình

f liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c [a,b] sao cho
b

f (c)(b  a ) f ( x)dx
a

x

Áp dụng: tính giới hạn

t2

lim e dt

x  

2

0

t
e
Hàm
liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tại

c [0,x] sao cho
x

e
0

t2

c2

dx ( x  0)e  x   
x 


Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân
* Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số
x

F ( x) f (t )dt

liên tục trên [a,b]

a

* Nếu f liên tục trên [a,b] thì F khả vi trên [a,b] và

F ( x)  f ( x ), x  (a, b) Đạo hàm theo cận trên
 ( x)

Hệ quả: F ( x) 

 f (t )dt

 ( x)

f liên tục,  và  khả
vi

F ( x)  f ( ( x)) ( x)  f ( ( x)) ( x)