bài giảng ứng dụng hình học của tích phân xác định

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài toán diện tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
( )y f x=
( ) ( )
b
a
S D f x dx=
∫
1
( )y f x=
2
( )y f x=
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2
(x)
Bài toán diện tích
a
b

Bài toán diện tích
( ) ( )
d
c
S D f y dy=
∫
( )x f y=
D: c ≤ y ≤ d,
x nằm giữa 0 và f(y)
c
d
c
d
2 1
( ) ( ) ( )
d
c
S D f y f y dy= −
∫
D: c ≤ y ≤ d, x nằm giữa f
1
(y) và f
2
(y)
2
( )x f y=
1
( )x f y=
Bài toán diện tích
Lưu ý

Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản
hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác
định cận tích phân.
•
Tính hoành độ giao điểm ⇒ tích phân tính
theo biến x(ngược lại là tính theo y)
Lưu ý về tính đối xứng
1
( ) 2 ( )S D S D=
Nếu miền D đối xứng qua Ox, D
1
là phần
phía trên Ox của D.
Ví dụ
2
0
( ) ( 2) 0S D x x dx= − −
∫
2
0
16
(2 )
15
x x dx= − =
∫
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
( 2), 0y x x y= − =
Hoành độ giao điểm: 0, 2
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:

2
, 0, 2y x y x y= = + =
Ví dụ
1
2
0
x dx=
∫
1
0
( ) (2 )S D y y dy
 
= − −
 
∫
5
6
=
( )S D
2
1
(2 )x dx+ −
∫
Hoặc
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫

Ví dụ
24y = ±
2 2
24
24
16 48
( )
8 24
y y
S D dx
−
− −
= −
∫
2 2
24
24
16 48
8 24
y y
dy
−
 
− −
= −
 ÷
 
∫
Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường:
y

2
+ 8x = 16, y
2
– 24x = 48
Tung độ giao điểm:
2
: 2 , 0,0 3D y x x y x= − = ≤ ≤
Tính diện tích miền D :
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫
3
2
0
2x x dx= −
∫
( )
2
2
0
2x x dx= −
∫
( )
3
2
2
2x x dx+ −

∫
Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
Quay D xung quanh Ox
Quay D xung quanh Ox
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.
Bài toán thể tích
Bài toán thể tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
( )y f x=
2
( )
b
x
a
V f x dx
π
=
∫
Bài toán thể tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
Miền D phải
nằm về 1 phía

của trục Oy
2 ( )
b
y
a
V xf x dx
π
=
∫
( )y f x=
Chứng minh
a
a
b
x x+ ∆x
y
y+∆y
V
1
( )
[ ]
,V x V a x=
[ ] [ ]
, ,V V a x x V a x∆ = + ∆ −
V
2
1 2
V V= +

( )
2
2
1
V x x y x y
π π
= + ∆ −
2
2 xy x y x
π π
= ∆ + ∆
2 CN
V V≤
( )
2
2

x x y
x y
π
π
= + ∆ ∆
− ∆
2
2 +x x y x y
π π
= ∆ ∆ ∆ ∆
Chứng minh
( )
2

1
2 2V xy x y x xy x o x
π π π
= ∆ + ∆ = ∆ + ∆
( )
2
2
2 +
CN
V V x x y x y o x
π π
≤ = ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆
1 2
V V V∆ = +
( )
2V xy x o x
π
∆ = ∆ + ∆
2dV xydx
π
=
2
b
a
V xydx
π
⇒ =
∫
( )
2

V o x⇒ = ∆
Bài toán thể tích
2 2
2 1
( ) ( )
b
x
a
V f x f x dx
π
= −
∫
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2
(x)
a b
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Ox
1
( )y f x=
2
( )y f x=
Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2

(x)
a b
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Oy
1
( )y f x=
2
( )y f x=
( )
2 1
2 ( ) ( )
b
y
a
V x f x f x dx
π
= −
∫
c
d
D: c ≤ y ≤ d, x nằm giữa f
1
(y) và f
2
(y)
2
( )x f y=
1
( )x f y=

Bài toán thể tích
Lưu ý về tính đối xứng
1
1
( ) ( )
( ) 2 ( )
x x
y y
V D V D
V D V D
=
=



Nếu miền D đối xứng qua Ox, D
1
là phần
phía trên Ox của D.
Ví dụ
D : x ≥ 0, y ≤ 2 – x
2
, y ≥ x.
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, oy.
1
2
0
2 (2 )
y
V x x x dx

π
 
= − −
 
∫
1
2 2 2
0
(2 )
x
V x x dx
π
 
= − −
 
∫