Bai12 tich phan boi ba

TÍCH PHÂN BỘI BA


ĐỊNH NGHĨA
Cho  đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z)
xác định trong .
Phân hoạch  thành những miền con k với
thể tích V(k), d là đường kính phân hoạch.
Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi
tổng tích phân là

n

Sn   f (Mk )V (k )
k 1


n

Sn   f (Mk )V (k )
k 1

f ( x , y , z )dxdydz  lim Sn




d 0

gọi là tp bội ba của f trên .

Tính chất hàm khả tích
Cho  là miền đóng và bị chận

1 / V () 

1dxdydz

(thể tích )




2/

c.f c.



f,

(f  g ) 

 







f

g

 




3 /  1  2 , 1 và  2 không dẫm nhau
f

f

f










 


1

2

1

2


Cách tính tích phân bội ba
•Giả sử  là vật thể hình trụ được giới hạn
trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z
= z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có
đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên
của miền D đóng và bị chận trong Oxy.
•Hình chiếu của  lên Oxy là D.

 z2 ( x ,y )

f ( x , y , z )dxdydz  
f ( x , y , z )dz  dxdy


D  z1 ( x , y )




 

Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D

1.Biến tính trước được chọn tương ứng với
biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa .
2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.


VÍ DỤ
1/ Tính: I 

ydxdydz




2

 Là miền ghạn bởi : y  x , z  y 1, z 0
Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z
(z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0).

D  hc  : y x 2 ,1  y 0
Oxy


2

D : y x ,1  y 0

z 1  y , z 0

1

ydxdydz








 1 y

 ydz  dxdy


 0


D 

-1

1

y (1  y )dxdy


D
1

1

1

 1 x4 x6 
8
 dx y (1  y )dy 2  
 dx 
6
2
3
35
2


1
0
x

 




Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp

ydxdydz 



1

 
D


1

 1 y

 ydz  dxdy


 0


1

1 y

 dx dy  ydz
1

x2

0

-1

1


2

 : y x , z  y 1, z 0
Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y

y x 2 , y 1  z
D  hc  : z 0,1  z x

x
2

1

Oxz

ydxdydz

1






 1 z

 ydy  dxdz

 2

x


 
D

-1


 1 z




1


1

ydy dxdz  dx

2

1

(1

z

)

 

 
D

x2

x

1 x 2
2

4



 x dz

0

1
1



1

z

-1

6

1 1 2x
8
4
  
 x  dx 
2 3 3
35

1


y  z 1
D  hc  :
Oxz

y x 2

z 0
D  hc  :
Oxy


2/ Tính: I ( x  y )dxdydz,

 gh bởi:



x  y  z 3, 3x  y 3, 3x  2y 6, y 0, z 0
z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z :
z = 3 – y – x và z = 0

D  hc  :

y
+2
=6

=
3x+y

3x

3

Oxy

3–
x

–y

=0

3x  y 3,3x  2 y 6, y 0,

(3  x  y 0)






 
D

3

0

2

2y
3

 dy

 
0

1

y
3

11

( x  y )(3  x  y )dx 
4

=6




( x  y )dz  dxdy



y
+2

 3 x  y

3x



=3
y
+
x
3

I ( x  y )dxdydz,
3–
x

–y

=0