Bai13 tich phan boi ba phan 2

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA


ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
x = x(u,v,w)

f(x,y,z) xác định trong , đặt

y = y(u,v,w)
(x,y,z)    (u,v,w)  ’

xu

D( x , y , z)
J
 y u
D (u , v , w )
zu

x y

xw

yv
zv

y w
zw

f ( x , y , z )dxdydz 

g (u ,v ,w ) | J | dudvdw




z = z(u,v,w)





Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của 
Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau
qua mp z = 0
1.f chẵn theo z :

f ( x , y , z)dxdydz


2

f ( x , y , z)dxdydz


1

2.f lẻ theo z :

f ( x , y , z )dxdydz 0




Lưu ý:
• Mp z = 0 là mp Oxy
• Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng
qua mp
• y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y)
• x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)


TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos, y = rsin, z = z
z z

x



M

r

y

r 

2

x y

2



M’

cố định z
đổi sang tọa độ trụ  hình
chiếu D đổi sang tọa độ cực.


TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos, y = rsin, z = z
J=r

f ( x , y , z )dxdydz 



f (r cos  , r sin  , z)rdrd dz






Điều kiện giới hạn:
1.r  0
2. [0, 2] hay  [- ,

]


TỌA ĐỘ CẦU
x = sincos,

z


y = sinsin,

M

y

x



z = cos
J = 2 sin

Điều kiện giới hạn:
1.  0
2. [0, 2] hay  [- ,
]


Lưu ý:
2

2

  x y z

2

x 2  y 2  sin 
Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới
hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.


Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu
2

2

2

x  y  z R

2

2

2

x  y  z R

2

2

  R

0  R

 0  
0  2


  2R cos


2
2
2
x  y  z 2Rz  0  
2

0  2


z
1
x  y   tan  
a
a
2

2

R
x  y R   
sin 
2

2

2

Nón trên.
Trụ trịn.


VÍ DỤ
1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ
4

4x x2

I  dx

2

dy xzdz

  
0

0

0

0  x 4
D  hc  : 
2
Oxy
0

y

4
x

x


2

2

x = rcos, y = rsin, z = z

: 0  r  4coscos, 0    /0  z  2


z=2

y =0

x2 + y2 = 4cosx

4x x2

4

I  dx



0
0
 2




0

dy xzdz


0

4cos 

d



0

z=0

2

2

dr

r cos  .z.rdz


0


2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa
độ trụ, cầu:
2

I  dy

4 y 2



0
0

0

dx



 4 x 2  y 2

xzdz


2

4 y 2

I  dy

 
0

0

dx

0



 4 x 2  y 2

 2

I

xzdz

x = rcos,
y = rsin,
z=z

0

2

r
cos

.
z
.
rd
z

 

d

0

dr

0

 4 r 2


4 y 2

2

I  dy



0
0

 2

I

dx



xzdz

 4 x 2  y 2

2



2

d  sin  cos  . cos . sin  d 

d

  

0

0

2

0


3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu:

I

zdxdydz



 Là miền bên trong nón

2

z  x y

2

2
2
2
x

y

z
2
và bị chắn bởi mặt cầu


2

2

2

2

x  y  z 2, z  x  y

2

x = rcos,

y = rsin,
z=z

1

J=r
Giao tuyến: z 1
2

2

I

2

x  y 1

1

zdxdydz 



1

2 r 2

d dr

  

0

0

r


z.rdz 
2


z  x  y , x  y  z 2 x = sincos,
y = sinsin,
2

2

2

2

2

z = cos.

1

J = 2 sin

2

I

2

 4

d

 cos 2 sin  d 

d

  
0

0

0


4cos/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:

I zdxdydz

2
2
2
x


y

z
2 z
: z  x  y ,
2

2


2

2

2

2

2

z  x  y , x  y  z 2 z
Giao tuyến của mặt cầu và trụ

1


4
1

z  x 2  y 2

 2
2z 2z
z 1
 2
2
x

y
1
