Skkn chuyên đề ôn thi đại học cao đẳng môn toán thpt chuyên vĩnh phúc

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

2012

skkn


Mục lục
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI
TÍCH TRONG MẶT PHẲNG........................................................................................................2
Trần Ngọc Thắng – Tổ Toán – Tin học.......................................................................................... 2
PHÂN LOẠI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC...........................................................................16
Nguyễn Văn Quyền – Tổ Vật lý – Công nghệ.............................................................................. 16
XÂY DỰNG NỘI DUNG DẠY CHUYÊN ĐỀ PHẢN ỨNG OXI HÓA – KHỬ Ở LỚP 10.....30
Trần Hoài Thu – THPT Chuyên Vĩnh Phúc..................................................................................30
DI TRUYỀN HỌC QUẦN THỂ...................................................................................................44
Nguyễn Mạnh Hà – THPT Chuyên Vĩnh Phúc.............................................................................44
BÀI THƠ: ĐÀN GHI TA CỦA LOR-CA.................................................................................... 54
Hoàng Văn Quyết – THPT Chuyên Vĩnh Phúc............................................................................ 54
NHỮNG CHUYỂN BIẾN MỚI VỀ KINH TẾ - XÃ HỘI Ở VIỆT NAM SAU CHIẾN TRANH
THẾ GIỚI THỨ NHẤT................................................................................................................ 81
Lê Đăng Thành – THPT Chuyên Vĩnh Phúc................................................................................ 81
ĐẤT NƯỚC NHIỀU ĐỒI NÚI.................................................................................................... 85
Nguyễn Thị Chúc Hà – THPT Chuyên Vĩnh Phúc....................................................................... 85
Một số biện pháp giúp học sinh lớp 12 nắm vững trọng âm từ trong Tiếng Anh.........................92
Dương Thị Bích Ngọc – THPT Chuyên Vĩnh Phúc..................................................................... 92

skkn


1

skkn


SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH
HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Trần Ngọc Thắng – Tổ Toán – Tin học.
Phần I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình tham số của đường thẳng.
1.1 Vector chỉ phương của đường thẳng: vector u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng  được gọi là vector chỉ phương của  .
1.2 Phương trình tham số của đường thẳng: nếu đường thẳng  đi qua điểm M 0 x0 ; y0  và
 x0  at
có vector chỉ phương u  a;b thì  có phương trình tham số: x


y  y0  bt

Phương trình tổng quát của đường thẳng

2.1. Vector pháp tuyến của đường thẳng: vector n khác 0 , có giá vng góc với đường thẳng 
được gọi là vector pháp tuyến của  .
2.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: nếu đường thẳng  đi qua điểm M 0 x0 ; y0  và
có vector pháp tuyến n  a;b thì  có phương trình:
a x  x0  b  y  y0 
2.3. Nhận xét. Nếu đường thẳng  có vector pháp tuyến n  a;b thì nó có một vector chỉ

phương là u   b; a và ngược lại nếu đường thẳng  có vector chỉ phương u  a;b thì nó có
một vector pháp tuyến là n   b; a
3. Góc giữa hai đường thẳng
3.1. Góc giữa hai đường thẳng: nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước
góc bằng 00 , nếu hai đường thẳng cắt nhau thì góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất trong
bốn góc tạo thành.
Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng có giá trị từ 00 đến 900 .
3.2. Công thức xác định góc: cho hai đường thẳng ,  ' lần lượt có vector pháp tuyến là n, n '
và gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng này. Khi đó:
cos 

n.n '
n. n '.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

skkn
2


4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: cho điểm M xM ; yM  và đường thẳng
 : ax  by  c  0 . Khi đó:
d M ;   

axM  by M  c
a 2  b2

4.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: cho hai đường thẳng song song ,  ' . Khi
đó:
d ;  '   d M ;  ' , M 

5. Đường trịn
5.1. Phương trình đường trịn: đường trịn C  có tâm I a;b , bán kính R có phương trình:
(x  a )2  ( y  b)2  R2 .
Chú ý: phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 , là phương
trình đường trịn tâm I  a; b , bán kính R  a 2  b 2  c .
5.2. Tiếp tuyến của đường trịn: một đường trịn C  có tâm I a;b , bán kính R tiếp xúc với
đường thẳng  khi và chỉ khi d I ;    R .
Vị trí tương đối của hai điểm với một đường thẳng cho trước
Cho hai điểm A x A ; y A , B xB ; yB  và đường thẳng  : ax  by  c  0 . Khi đó:
6.1. Hai điểm A, B nằm khác phía so với đường thẳng  khi và chỉ khi:
ax A  by A  c axB  by B  c   0

6.2. Hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng  khi và chỉ khi:
ax A  by A  c axB  by B  c  0

Phần II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
1. Các bài tập liên quan đến đường phân giác, trung tuyến của tam giác
1.1. Đường phân giác.
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong và ngồi lần lượt là AD, AE. Khi đó ta có
một số tính chất sau:
(1) DC

DB

 AC

AB

 DB  AC

AB

.DC

skkn
3


EC

EB

 AC

AB

 EB  AC

AB

.EC

Với mỗi điểm M nằm trên đường thẳng AB (hoặc AC), khi đó điểm đối xứng của M qua
phân giác trong hoặc ngoài sẽ nằm trên đường thẳng AC (hoặc AB).
Nhận xét. Tính chất (1), (2) thường dùng để xác định chân đường phân giác trong, ngồi và
phương trình đường phân giác trong và ngồi. Cịn tính chất (3) thường sử dụng trong các
bài tốn đã biết phương trình đường phân giác trong hoặc ngồi.
Trong bài viết này chúng tôi chỉ đề cập đến các dạng bài tập đã biết phương trình
của phân giác.
1.2. Đường trung tuyến

Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Khi đó nếu bài tốn cho biết phương trình
đường trung tuyến thì ta thường dùng tính chất M là trung điểm BC và theo cơng thức trung
điểm ta có:
x  xB  xC ; y  y B  yC
M
M
2
2
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A1;3 , đường cao BH nằm trên đường thẳng có phường trình
 x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x  3y  2  0 . Viết phương trình
đường thẳng BC.
Lời giải. Do AC vng góc với đường thẳng BH nên AC có vtpt n AC  uBH  1;1 suy ra pt
AC :1.x  1 1. y  3  0  x  y  2  0 .
Tọa độ giao điểm C thỏa mãn hpt:
xy20


x  4

 C 4;2



 x  3y  2  0

y 2

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua phân giác trong của góc C và K là giao điểm của AA’
với phân giác trong đó. Khi đó K là trung điểm AA’ và A’ nằm trên đường thẳng BC.
Do AA’ vng góc phân giác trong góc C nên nAA '   3; 1 suy ra:

' : 3x  1  1. y  3  0  3x  y  6  0
Tọa độ K là nghiệm của hệ pt:
 x  3y  2  0


3 x  y  6  0



 x 2

y  0

 K 2;0 

x A '  2xK  xA 3




y 2y
A'



K


 yA 3

Đường thẳng BC có vtcp CA'  7; 1 suy ra vtpt 1; 7

skkn
4



 A'3; 3


BC :1. x  3   7.  y  3   0  x  7 y  18  0
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC,
biết C 4;3 và các đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương

trình là: 2 x  3 y  12  0; 2 x  3 y  0 .
Lời giải. Tọa độ đỉnh B thỏa mãn hpt:
 2 x  3y  12  0
x 3
 B3;2



 2 x  3y  0

y  2

Gọi BM, BD lần lượt là trung tuyến, phân giác trong của đỉnh B. Gọi C’ là điểm đối xứng của C
qua đường thẳng BD suy ra C’ thuộc đường thẳng AB và K là giao điểm CC’ và BD. Khi đó K
là trung điểm CC’.
Do CC '  BD  nCC '  uBD  3;2 . Do đó pt CC’ là:

' : 3x  4  2 y  3  0  3x  2 y  18  0
Tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình sau:
3 x  2 y  18  0




 2 x  3y  12  0

x3

 K3;6

y6

xC '  2xK  xC  2  C '2;9



y

C'

 2 yK  yC  9

Đường thẳng AB có u AB  BC '   5;7  nAB   7; 5. Do đó phương trình đường thẳng
AB : 7.x  2 5.y  9  0  7x  5y  31  0 .
Do M thuộc đường thẳng BM nên M 3t; 2t  và M là trung điểm AC nên A6t  4; 4t 3.
Mặt khác A nằm trên đường thẳng AB nên:
7 6t  4   5 4t  3   31  0  62t  18  0  t 

9

 178

 A

;

57 


 31
31
31 .
Ví dụ 3. (Khối B-2010) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,
có đỉnh C 4;1, phân giác trong của góc A có phương trình x  y  5  0 . Viết phương
trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hồnh độ dương.
Lời giải. Gọi AD là phân giác của góc A và C’ là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng AD, K
là giao điểm AD và CC’. Khi đó C’ nằm trên đường thẳng AB và K là trung điểm của CC’.

Do CC’ vng góc với AD nên nCC '  u AD  1; 1 suy ra pt CC’ là:
' :1.x  4  1. y  1  0  x  y  5  0
Tọa độ K là nghiệm của hpt sau:

skkn
5


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

xy50


x  0
 K 0;5


xy50
Do K là trung điểm của CC’ nên ta có:
x

 2x  x  4
K

C'



y  5

y
C'

C

 C '4;9

 2 y K  yC  9

2
Do A nằm trên đường thẳng AD nên A t ;5  t   AC. AC '  0  t  16  0  t 4 . Do A có


hồnh độ dương nên ta được A 4;1 .





 

Đường AB có vtpt CA  8;0 8 1;0  AB : x  40B




4; m

Theo giả thiết
S ABC   24  AB. AC  48  m  1

2

.824 m  1  3 

+) Nếu m  4  B 4;4 thỏa mãn B, C nằm về hai phía của AD.

m  4

m 2

+) Nếu m  4  B 4; 2 khơng thỏa mãn vì B, C nằm về cùng một phía AD.
Nhận xét. Bài này có thể giải dựa theo góc AD và AC bằng 450 nên ta lập được đường thẳng AC
suy ra điểm A và giải tương tự như cách trên.
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 1; 2 , N 2; 4 lần lượt là
chân đường phân giác trong và ngồi của góc A. Phương trình đường thẳng AC : x  y  4  0 .

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A2; 1, phương trình
đường phân giác trong của các góc B, C lần lượt là x  2 y  1  0; x  y  3  0 . Viết phương
trình đường thẳng BC.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phương trình đường phân giác của góc
nhọn tạo bởi hai đường thẳng d : x  y  4  0 và d ' : x  7 y  12  0 .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phương trình đường phân giác của góc tù
tạo bởi hai đường thẳng d : x  2 y  5  0 và d ' : 2 x  y  2  0 .
Bài 5. (Dự bị KA-2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao
kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3 x  4 y  10  0

và x  y  1  0 ; điểm M 0; 2 thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 .
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
6


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Bài 6. (Khối B-2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vng góc của đỉnh C lên đường thẳng AB là điểm H 1; 1

đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y  2  0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có
phương trình 4 x  3 y  1  0 .
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

giác ABC nếu biết
tam giác đó lần lượt là:
(

), lập phương trình các cạnh của tam

, phân giác trong

); phương trình các đường trung tuyến

.

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

giác ABC, biết
phương trình là:

của

), xác định tọa độ đỉnh B của tam

) và các đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có

(

.

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

), cho tam giác ABC có phân giác

trong AD, đường cao CH lần lượt có phương trình là
điểm B, biết (

. Tìm tọa độ
và

) là trung điểm của là trung điểm của

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

.

), cho tam giác ABC có

đường phân giác trong của góc A có phương trình là

(

),

với

và ⃗

( ). Tìm tọa độ đỉnh A và B.

Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

), cho tam giác ABC. Biết (

),

phương trình đường phân giác trong BK và đường phân giác ngoài AD lần lượt là
. Tìm tọa độ đỉnh A và B.
Bài 12. (Khối D-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (
có đỉnh (

trình

), cho tam giác

), trọng tâm (

) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương

. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

Bài 13. (Khối D 2008). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết rằng đường thẳng AB, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B lần
lượt có phương trình là
x  4 y  2  0, 2x  3y  7  0 , 2x  3y  9  0
Bài 14. Lập pt các cạnh của tam giác ABC, biết A(1;3) và đường trung tuyến có phương trình là x

2y +1 = 0, y – 1 = 0
Bài 15. (Khối D-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7 x  2 y  3  0 và 6 x  y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng AC.

2. Bài tập liên quan đến góc và khoảng cách
Các bài tồn về lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách thông
thường ta làm như sau: giả sử vector pháp tuyến của đường thẳng cần lập là n  a;b , khi đó
dựa vào cơng thức góc (khoảng cách) ta tìm được liên hệ giữa a và b.
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
7


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A2;5, B 5;1 . Lập phương trình
đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó bằng 3.
Lời giải. Gọi đường thẳng cần lập là  và có vtpt n    a; b ; a 2  b2  0. Khi đó
: a x  2 b  y  5  0 . Theo giả thiết ta có:
d B;    3 

3a  4b

b  0
 3  7b 2  24 ab  0  

7b  24a

a 2  b2
+) Nếu b  0 chọn a  1  : x  2  0 .
+) Nếu 7b  24a chọn

 24; a  7  : 7 x  2 24y  5  0  : 7x  24 y  134  0 .
Kết luận. Vậy  có phương trình như hai trường hợp trên.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

là điểm (

đi qua điểm

). Giả sử đường thẳng

bằng

(

đi qua điểm

), đường thẳng

, biết rằng diện tích của hình chữ nhật

). Hãy viết phương trình đường thẳng

(

có tâm

), cho hình chữ nhật

.

Lời giải. Gọi
lần lượt là điểm đối xứng của
vector pháp tuyến của đường thẳng
và
có phương trình:

qua suy ra

là ⃗

(

(

)

). Gọi

(
. Khi đó ta được

)

) nên

(

(

Do

)

(

là hình chữ nhật ta có:

)

(

(

)

(

)

(

|

)

|

√

|

||

|

(

+) Nếu

thì ta chọn

+) Nếu

thì chọn

)

( ). Giả sử đường thẳng

(

Lời giải. Gọi
thẳng
Gọi

(

|

là điểm đối xứng với

ta có
ta có
có

), cho hình bình hành

đi qua điểm
là
, biết rằng diện tích của hình bình hành
qua tâm suy ra

), trung điểm của cạnh

). Từ đó phương trình đường

(

ta được:

) kết hợp với là trung điểm của cạnh

|√

|

*

(

). Hãy viết phương trình đường thẳng

|

√

[

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

tâm là điểm
điểm
bằng .

.

)

(

.
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
8

) suy ra


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Ta có (

)

+) Với

thì

+) Với

thì

(

)

|
.

) nên pt

(

.

) nên pt

(

.

|

Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

), hai cạnh bên của một tam giác cân

có phương trình là 2 x  y  1  0 và x  3 y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh


đáy của tam giác cân đó, biết rằng đường thẳng này đi qua điểm M 12; 2
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (



.
), hãy viết phương trình các đường

thẳng lần lượt chứa các cạnh của hình vng. Biết rằng các đường thẳng đó lần lượt đi qua
các điểm sau: P 2;1, Q 3;5, R 0;2, S 3; 1.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng , biết rằng đư ờng thẳng


này đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn









C : x  12  y  3



2

 25 theo một dây cung có độ dài

bằng 8.
Bài 4. (Khối B-2004) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (




), cho hai điểm



A 1;1 ,B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x  2 y  1  0 sao cho khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB bằng 6.
), cho hình vng đỉnh A4;5 và

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

một đường chéo đặt trên đường thẳng 7 x  y  8  0 . Viết phương trình các đường thẳng
chứa các cạnh của hình vng và đường thẳng chứa đường chéo thứ hai.
Bài 6. (Khối B-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vng góc Oxy, cho hình chữ nhật
1 
ABCD có tâm I
;0 , phương trình đường thẳng AB: x  2 y  2  0 và AB  2AD . Tìm tọa
2 
độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hồnh độ âm.


Bài 7. (KD-2011-nc) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A1;0 và đường tròn

C : x2  y2  2x  4 y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm M, N
sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có BC  2AB . Lập phương
trình các cạnh AB và BC; biết các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm

1;1; N 3;1; P4;2;Q2;2.
Bài 9. (Khối A-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d1 : 3x  y  0, d2 : 3x  y  0 .

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
9

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1  tại A và cắt d2  tại hai điểm B và C sao cho tam giác
ABC vuông tại B. Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3

và điểm A
có 2

hồnh độ dương.
Các bài tốn liên quan đến trục đẳng phương của hai đường tròn
Cho hai đường trịn C1 , C2  khơng đồng tâm lần lượt có phương trình:

C1  : x 2

 y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0;C2  : x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0

Giả sử hai đường tròn C1 , C2 cắt nhau tại hai điểm phân biết A, B. Khi đó phương
trình đường thẳng AB:
2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Chứng minh.
Do A là điểm chung của C1 , C2  nên ta có:
x A2  y A2  2a1 x A  2b1 y A  c1  0; x A2  y A2  2a2 x A  2b2 y A  c2  0
Từ hai phương trình này suy ra: 2a1  a2 xA  2b1  b2  yA  c1  c2  0
Nên A thuộc đường thẳng 2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0 .

Chứng minh tương tự ta được B cũng thuộc đường thẳng:
2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB là: 2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0

Ví dụ 1. (Khối B-2006) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vng góc Oxy cho
đường tròn (C): x2  y2  2x  6 y  6  0 và điểm M 3;1 . Gọi T1 ,T2 là các tiếp điểm của
các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 .
Lời giải. Đường trịn (C) có tâm I 1;3, R  2 . Ta có T1 ,T2 nằm trên đường trịn đường kính IM.

J 1;2, JM  5

Gọi J là trung điểm IM nên
suy ra phương trình đường trịn đường kính IM
2
2
2
2
là: x  1   y  2   5  x  y  2 x  4 y  0

Do đó theo kết quả đã trình bày ở trên thì: TT : 4x  2 y  6  0  2x  y  3  0
1 2

Ví dụ 2. (Dự bị KD-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

C : x  4 2  y 2

 4 và điểm E 4;1 . Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

10

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn C  với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB
đi qua điểm E.
Lời giải. Do M nằm trên trục tung nên M 0;t . Đường trịn (C) có tâm I 4;0, R  2 , gọi J là


trung điểm IM thì

x  2 

2


y



J  2;



t 2



2

4 

t 
,JI 
2

t2

4

nên phường trình đường trịn đường kính IM là:

4
2

x

t2

y

2

 4x  ty  0

4

Do AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và đường tròn đk IM nên pt
AB : 4 x  ty  12  0 . Do đường thẳng AB đi qua điểm E nên:
16  t  12  0  t  4  M 0;4
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (Oxy); cho tam giác ABC có trực tâm
H 3;3, đỉnh C 7;1 và các đường cao AD, BE (D, E là các chân đường cao). Hãy tìm tọa độ
các đỉnh A và B; biết rằng trung điểm của cạnh AB là điểm M 2;3 và đường thẳng DE đi qua
điểm N 2; 2.
Lời giải. Ta có tứ giác CDHE nội tiếp và đường trịn ngoại tiếp chính là đường trịn đường kính
HC suy ra phương trình là

C : x  52

  y  22  5  x2  y2  10x  4 y  24  0

Đường thẳng AB đi qua điểm M và nhận HC   4; 2 làm vtpt nên AB : 2x  y  1  0 .
Gọi At;2t  1  B 4  t ;7  2t . Ta có tứ giác AEDB nội tiếp và đường trịn này nhận
AB làm đường kính nên pt là C ': x2  y2  4x  6 y  13  5t  22  0 .
Do D, E là giao điểm của C  và C ' nên phương trình đường thẳng DE là:
6 x  2 y  11  5 t  2 2  0 . Do đường thẳng DE đi qua điểm N 2; 2 nên ta có:
12  4  11  5 t  2 2  0  t  3; t 1. Từ đó A3;5, B 1;1 hoặc A1;1, B 3;5
Bài tập tương tự
Bài 1. (Dự bị KB-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

C : x2  y2  2x  4 y  2  0 . Viết phương trình đường thẳng AB, biết đường tròn (C’)
tâm M 5;1 cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB  3 .
Bài 2. (Dự bị KA-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2  y2 1.
Viết phương trình đường thẳng AB, biết đường trịn (C’) tâm I 2; 2 cắt (C) tại hai điểm A, B

sao cho AB  2 .

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
11


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (Oxy), cho đường trịn
C : x 2  y 2  2x  2 y  1  0 .Giả sử đường trịn C ' có tâm M 3;1 và cắt đường
tròn C  tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều, trong đó điểm I là tâm của đường tròn
C . Hãy viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (Oxy); cho điểm (

C  và đường thẳng d1

) cho đường trịn

lần lượt có phương trình là

C : x  4 2   y  3 2

 8; d1 : x  2 y  3  0.

Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến
đường tròn C  sao cho đường thẳng AB cách điểm P một khoảng bằng

5
.
13

4. Các bài toán liên quan đến hai tiếp tuyến cắt nhau
Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R và một điểm M. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A,
B là các tiếp điểm). Khi đó ta có một số câu hỏi thường gặp như sau:
Tính độ dài AB, viết phương trình đường thẳng AB, tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường
thẳng AB, tính diện tích tam giác IAB và tứ giác IAMB.
Cho biết góc giữa hai đường thẳng MA, MB là  . Hãy xác định tọa độ điểm M. Đối với dạng bài
tập này từ giả thiết ta sẽ biết góc AMB suy ra độ dài IM và từ đó tính được tọa độ điểm M.

Ví dụ 1. (Dự bị 2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (Oxy), cho đường thẳng d
: x  y  1  0 và đường trịn (C) có phương trình: x2  y2  2x  4 y  0 . Tìm tọa độ điểm M
thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) sao cho hai đường thẳng này

tạo với nhau một góc 600 .
Lời giải. Đường trịn (C) có tâm I 1;2, R  5 và do M thuộc đường thẳng d nên M t;t 1 .
Giải sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là A, ta xét hai trường hợp sau:
IA
0

0

TH1. Nếu AMB  60 thì AMI  30  IM  sin 300  2 5 suy ra:

t12t122

5  t 2  1  10  t 3

+) Nếu t  3  M 3;4
+) Nếu t 3  M 3; 2
IA

TH2. Nếu AMB 1200 thì AMI  600IM 

sin 600 

2 5
3

suy ra:

t  1 2  t  1 2  2 5  t 2  1  10  t  7

 

3
3
3
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

12
skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

7

+) Nếu t 

M

 7





3
+) Nếu t 

7

;



1



3

3





7  M  7 ;  7 1


3





3

3



Ví dụ 2. (Khối D-2007) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (Oxy), cho đường trịn
(C) có phương trình: x  12   y  2 2  9 và đường thẳng d : 3 x  4 y  m  0 . Tìm m để trên d

có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các
tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Lời giải. Đường trịn (C) có tâm I 1; 2 , R  3

 3t  m 

và do P thuộc d nên ta có M  t ;



 . Do tam

4 

giác PAB đều nên APB  600  IPA  300 suy ra:

IA  IP.sin 30

0

 6  t  1 2

3t  m  8 




2

6



4

 25t 2  2 3m  8t  m2  16m  496  0

(1)

Ycbt tương đương với tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Điều đó tương đương với

'   3m  82  25m2  16m  496  0 16m2  352m  12464  0


2

 m  22m  779  0 

m 19

m 41

Bài tập tương tự
Bài 1. (Khối A-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  2  0
và đường tròn C : x2  y2  4x  2 y  0 . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  . Qua M kẻ
các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết diện tích tứ
giác MAIB có diện tích bằng 5.
Bài 2. (Dự bị KA-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2  y2 1.
Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y  m tồn tại đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó
kẻ được hai tiếp tuyến với C  sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600 .
5. Các bài sử dụng những tính chất hình học đặc biệt của tam giác
Từ năm 2009 đến nay các bài hình học tọa độ trong mặt phẳng thường là một câu hỏi khó
đối với đa số thí sinh. Ngun nhân chính của khó khăn đó nằm ở chỗ muốn giải được các bài
tập này học sinh cần phải biết những tính chất hình học đặc biệt của tam giác hoặc lời giải của nó
thuần túy dựa theo chứng minh của hình học phẳng. Đa số học sinh khi đến lớp 12 thường yếu
phần hình học phẳng và thường khơng nhớ được các tính chất đặc biệt trong tam giác. Do đó khi
giáo viên dạy ơn tập cho học sinh phần này nên liệt kê lại những tính chất cơ bản của phần hình
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

13

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

học phẳng liên quan đến tam giác. Dưới đây chúng tơi sẽ liệt kê ra một số tính chất hay được
khai thác trong các bài thi đại những năm gần đây.
Các tính chất liên quan đến trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp.
Cho tam giác ABC. Giả sử H, G, I lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC. Khi đó:
5.1.1 Điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
5.1.2. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I thì tứ giác
HCA’B là hình bình hành và nếu gọi M là trung điểm
BC thì ta có IM là đường trung bình của tam giác A’HA.
5.1.3. Ba điểm H, G, I thẳng hàng và có hệ thức IH  2IG
5.1.4. Đường trịn Euler: Các chân đường cao, trung
điểm các cạnh và trung điểm các đoạn thẳng HA, HB,
HC nằm trên một đường tròn.
5.1.5. Điểm H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
có ba đỉnh các các chân đường cao của tam giác ABC.
Các tính chất liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp
Giả sử I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có các tính chất sau:
Nếu A’ là giao điểm của AJ với đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC thì tam giác A’BJ cân tại A’ và IA’ là
đường trung trực của BC.
Đường thẳng Simson: cho tam giác ABC nội tiếp

trong đường tròn (O) và một điểm M tùy ý nằm trên
đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của
M lên BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng
có đỉnh
góc (

); cho tam giác

), trọng

(

tâm và trực tâm của tam giác lần lượt là các điểm

) và (

(

). Tìm tọa độ đỉnh

, biết

có hồnh độ lớn hơn .
Lời giải. Gọi là trung điểm của cạnh
(

). Đường thẳng

Giả sử

⃗

. Do

có vector pháp tuyến

),

(

(

là trọng tâm nên ⃗

) ⃗

là trung điểm
(

nên
)

Do đó

(

(

⃗

) nên pt

). Ta có:

⃗
(

)

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
14

(

) suy ra


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (
trọng tâm là điểm

); cho tam giác

có (),

) và đường trịn ngoại tiếp ( ) có phương trình

(

.
Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh
Lời giải. Ta có đường trịn (

) có tâm

tuyến là

là trung điểm của

). Gọi

(

⃗

Do

.

(
⃗

nên

)

( )

vng góc với

suy ra đường thẳng

(

). Do đó pt

) (

có

); cho tam giác

) và đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình là (

. Tìm tọa độ trực tâm
.
Lời giải. Đường trịn (
với (

có vector pháp

⃗

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc (

(

. Khi đó ta có:

là trung điểm của

)

của tam giác

) có tâm (

)

, biết rằng điểm nằm trên đường thẳng

. Ta có

√

nằm trên đường trịn ( ) đối xứng

) qua đường thẳng

Ta có ảnh của điểm
{

(

) là điểm

) suy ra phương trình của ( ) là:

(

. Do đó tọa độ điểm
(

)

(

)(

là nghiệm của hệ phương trình sau:
)

Bài tập tương tự
Bài 1. (Khối D-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có A3; 7 , trực
tâm H 3; 1, tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2;0. Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hồnh độ
dương.
Bài 2. (Dự bị KD-2010)Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có đỉnh A0;3 , trực tâm H

0;1 và trung điểm M 1;0 của cạnh BC. Tìm tọa độ điểm B có hồnh độ âm.
Bài 3. (Dự bị KB-2010) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho bốn điểm A 6;4, B 3; 9 , C

5;1, I 1; 4. Viết phương trình đường thẳng d qua I và chia tam giác ABC thành hai phần có
diện tích bằng nhau.

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

15

skkn


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho đỉnh A2;6 , tâm đường trịn nội
tiếp D 2;1

và tâm đường tròn ngoại tiếp

 1 

 2 

E

;1 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng đỉnh

C có hồnh độ dương.
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy; cho tam giác ABC có đỉnh A2;6 , chân đường
phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm
điểm I 








D



2; 

3

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là



2

1 

;1 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác đã cho.

2 

Bài 6. Trong mặt phẳng
với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các điểm
 18 6 
D
; ; E 3;0; F 2;2
lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
 5 5
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh lần lượt là
A1;1; B 7;1;C 1;4. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật MNPQ sao cho các đỉnh M, N

5

nằm trên cạnh BC; các đỉnh P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB và MN  4 NP .
Bài 8. (Khối A-2009). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung
điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 9. (Khối B-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các điểm B và C,
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Bài 10. (Khối A-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A(6;6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình là: x  y  4  0 .
Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác trên.
Bài 11. (Khối B-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
1 
B
;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cho
2 




D 3;1 và đường thẳng EF : y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
PHÂN LOẠI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC
Nguyễn Văn Quyền – Tổ Vật lý – Công nghệ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong các đề thi Đại hoc, Cao đẳng và thi tốt nghiệp THPT môn Vật Lý, phần “Dao động cơ
học” là phần có số bài tập nhiều nhất (cùng với phần Dòng điện xoay chiều). Hơn nữa vì là
chương có nhiều đơn vị kiến thức nên các dạng bài tập trong phần này đa dạng và phong phú.
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
16


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Tơi viết chun đề này với mục đích phân loại cụ thể cho từng dạng bài tập mang tính chất
bản lề, tức vừa giúp ôn tập kiến thức cơ bản vừa giúp giải nhiều bài tập khác, đồng thời đưa ra
một số kiến thức dùng cho từng dạng bài tập ấy với mong muốn giúp học sinh ôn tập phần đao
động cơ học đạt hiệu quả tốt.
Tôi cũng rất muốn trao đổi và rút kinh nghiệm với quí đồng nghiệp nhằm hoàn thiện hơn
chuyên đề này.
NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:
1. Dạng 1:
Dạng bài tập khai thác các khái niệm cơ bản về dao động điều hoà ( chủ yếu là khai thác
dạng câu hỏi lý thuyết): như khái niệm về dao động, dao động tuần hồn, dao động điều hịa, ý
nghĩa của các đại lượng có trong phương trình dao động: x= Acos( t ) . Trong đó A,  ,  là

những hằng số.
2. Dạng 2:
Dạng bài tập khai thác các đại lượng : li độ, vận tốc, gia tốc, chu kì, tần số
* Phương trình li độ:

x= Acos( t ) .

* Phương trình vận tốc: v= x’= - Asin(t ) . => vmax  A
* Phương trình gia tốc: a= v’= x’’= -  2 A cos(t   ) 2 x => a  2 A.
max

Khi vật ở VTCB: x = 0: a = 0; vmax= A
Khi vật ở vị trí biên: x =  A ; amax = 2 A ; v = 0

2 

Chu kì dao động : T    N



Tần số dao động : f  2  

N

t

t
v2

* Công thức độc lập với thời gian: A2  x2  2 => A
v

2
A  x2

v2
x2  2

và v   A2  x2 và

Một số ví dụ bài tập, câu hỏi dạng 1 và dạng 2

Câu 1: Trong phương trình dao động điều hòa: : x= Acos( t ) .
Biên độ A, tần số góc  , pha ban đầu  là các hằng số dương.
Biên độ A, tần số góc  , pha ban đầu  là các hằng số âm.
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
17


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Biên độ A, tần số góc  , pha ban đầu  là các hằng số phụ thuộc cách chọn góc thời
gian t= 0.
Biên độ A, tần số góc  là các hằng số dương, pha ban đầu  là hằng số phụ thuộc cách
chọn góc thời gian
Câu 2: Xác định các đại lượng dao động điều hòa từ phương trình chuyền động theo phương
trình: x= 4cos(10t  / 6) . (cm; s)
Xác định biên độ, chu kì, tần số, pha ban đầu của dao động .
Lập biểu thức của vận tốc và gia tốc
Tìm giá trị cực đại của vận tốc và gia tốc

Câu 3: Phương trình dao động của một vật dao động điều hịa có dạng : x= 6cos(10 t  ) .
(cm; s). Tần số góc và chu kì dao động là:
A. 6  (rad/s); 0,032 s.

B. 5 (rad/s); 0,2 s.

C. 5 (rad/s); 1,257 s.

D. 10  (rad/s); 0,2 s.

Câu 4: Phương trình dao động của một vật dao động điều hịa có dạng : x= 0,2cos(10 t  / 3) .
. Chu kì T, tần số góc  , pha ban đầu  , biên độ A, và li độ x của vật tại thời điểm t= 0,2 s
là:
A. 0,1s, 5



/s,





/6, 0,2m, 0,1m.

B. 0,2s, 10



C. 0,1s, 5 /s, /6, 0,2m, 0,2m.
Câu 5: Dao động điều hồ là:



D. 0,2s, 10

/s,





/s,

/3, 0,2m, 0,1m.



/6, 0,2m, 0,1m.

Những cđ có trạng thái cđ được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
Những cđ có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một VTCB.
Một dao động được mô tả bằng một định luật dạng sin (hay cosin) đối với thời gian.
Một dao động có biên độ dao động phụ htuộc vào tần sốriêng của hệ dao động .

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quĩ đạo thẳng dài 10 cm. Biên độ dao động
của vật là:
A. 5 cm.

B. 10 cm.

C. 2,5 cm.

D. 20 cm.

Câu 7: Phương trình của một vật dao động điều hịa có dạng: x= 20cos(2  t  / 3) (cm); Li độ
x tại thời điểm t= 0,5 s là:
A. 5 cm;

B. – 5 cm;

C. 10 cm;

D. – 10 cm.

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đường thẳng quanh VTCB O với chu kì T= ð/5
s. Biết rằng khi t=0 vật ở li độ x=-4cm với vận tốc bằng không. Giá trị vận tốc cực đại là:

A. 20 cm/s.

B. 30 cm/s.

C. 40 cm/s.

D. 60 cm/s.

Câu 9: Một vật dao động điều hòa theo Phương trình: x= 10 cos( 6 t  / 6) (cm).
A. Tần số dao động của chất điểm là 0,4 Hz

B. Tần số dao động của chất điểm là 2,5 Hz.

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
18


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

C. Chu kì dao động của chất điểm là 2,5 s

D. Tần số dao động của chất điểm là 3 Hz

Câu 10: Trong dao động điều hòa, gia tốc của vật
tăng khi vận tốc của vật tăng.
giảm khi vận tốc của vật tăng.
không thay đổi.
tăng hay giảm tuỳ thuộc vào vận tốc ban đầu của vật lớn hay nhỏ.
Câu 11: Hãy chỉ ra thông tin không đúng về cđ điều hoà của chất điểm:
A. Biên độ dao động là đại lượng không đổi.
Động năng là đại lượng biến đổi.
Giá trị vận tốc tỉ lệ thuận với li độ.
Giá trị của lực tỉ lệ thuận với li độ.
Câu 12: Tại thời điểm khi vật thực hiện dao động điều hòa với vận tốc bằng ½ lần vận tốc
cực đại, vật xuất hiện tại li độ bằng bao nhiêu?
A. A 3
2

B. A

;

3

;

C.

A

;

2

D.A 2.

Câu 13: Một vật thực hiện dao động điều hòa với chu kì dao động T= 3,14 s và biên độ dao
động A= 1m. Tại thời điểm vật đi qua VTCB, vận tốc của vật đó bằng bao nhiêu?
A. 0,5 m/s;

B. 1 m/s;

C. 2 m/s;

D. 3 m/s.

Câu 14: Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox với phương trình x= 10 sin 2t (cm; s) . Vận
tốc cực đại của chất điểm là:
A. 20 cm/s;

B. 5 cm/s;

C. 2 cm/s;

D. Một giá trị khác.

Câu 15: Một vật dao động điều hịa với phương trình x= 10cos( 2  / 2) (cm) . Thời gian
t ngắn nhấ vật đi từ vị trí li độ x= -8 cm đến vị trí li độ x= 8 cm là:
A. 1 s;

B. 2 s;

C. 4 s;

D. Một giá trị khác.

Câu 16: CT liên hệ giữa tần số góc  , tần số và chu kì T của một dao động điều hòa là:
A. 2T 

2 ;
f

B.T

1   ;
f
2

C. f  1   ;
T 2

D.    f   .
T

Câu 17: Một vật dao động điều hịa với phương trình x= Acos( t ) . Hệ thức liên hệ
giữa b.độ A, li độ x, vận tốc góc  và v.tốc v có dạng:

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
19


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

v2

v
A. A2  x2  

B. A2  x2  2

;

v2

v
C. A2  x2  

;

D. A2  x2  2 .

;

Câu 18: Một vật dao động điều hòa với phương trình x= Acos( t ) . Vận tốc v ở li độ x được
xđ bởi CT:

A. A

A2
x  2 ;

B. v  2 x 2  A2 ;

2

C. v   A2  x2 ;

D. Một CT khác.

Câu 19: Một vật dao động điều hịa với chu kì T=  /5 s. Khi vật cách VTCB 3 cm thì nó có vận
tốc v= 40 cm/s. Biên độ dao động của vật:
A. 3 cm;

B. 4 cm;

C. 5 cm;

D. Một giá trị khác.



Câu 20: Một vật dao động điều hòa với tần số f= 1/
li độ x= 3 cm là:
A. 0,4 m/s

B. 0,6 m/s.

Hz, biên độ A= 5 cm. Vận tốc của vật tại

C. 0.8 m/s.

D. 4 m/s.

Câu 21: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng MN dài 10 cm. Biết vận tốc
của nó khi qua trung điểm của MN là 40  cm/s. Tần số dao động của chất điểm là:
A. 0,25 Hz;

B. 4 Hz;

C. 8 Hz;

D. 16 Hz.

Câu 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f= 2 Hz. Khi pha dao động bằng
của vật là a= - 8m/s2. Lấy
A.

10 2

cm;


B.



/4 thì gia tốc

2=10. Biên độ dao động của vật là:

5 2

cm;

C.

2 2

cm;

D. Một giá trị khác.
Câu 23: Phương trình Phương trình của một vật có dạng x = 5 sin( 2 t  / 3) (cm; s) . Lấy 
2=10. Gia tốc của vật khi có li độ x = 3 cm là
A. – 12 (m/s2)

B. – 120 (cm/s2 )

C.1,20 (m/s2)

D. – 60 (cm/s2).

3. Dạng 3:
Dạng bài tốn lập phương trình dao động điều hòa: x= Acos( t ) .
Mục tiêu là tìm A,  và  thay vào Phương trình dao động trên:
+ Xác định A: A= xmax: A 

2

x 

+ Xác định  :   2  2 f ; 
T

v2
2

; A

k ;

m

l



2

v



PP

max

A

2
1

2

; A

 v0 
A

v


max

a

max

A

x  A cos

+ Xác định  :Dựa vào điều kiện ban đầu lúc t  0 

; A



a

v

max

a
2
max

; ….

max

:

v A sin 

* Một số trường hợp đặc biệt của  : (VTCB- vị trí cân bằng)

Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

skkn
20

; A

2E
k

…


Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

- Khi chọn góc tgian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương:  =  
2

=> x= A cos( t   )
2

- Khi chọn góc tgian là lúc vật qua VTCB theo chiều m :  = 
2

=> x = A cos( t   )
2

- Khi chọn góc tgian là lúc vật qua VT biên dương:  = 0

=> x = Acos t .

- Khi chọn góc tgian là lúc vật qua VT biên âm:  = 

=> x = Acos( t  ) .

Một số ví dụ bài tập, câu hỏi dạng 3
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc
VTCB theo chiều dương. Phương trìnhdao động của vật là
x= Acos( t  / 2) .
C. x= Acos( t  / 4) .

"ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ"""""""""""ĀĀ
ⴀĀ"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā"ᜀ""""""""""""Ā"
ᜀ""""""""""""Ā . Chọn góc
tgian là lúc vật qua

B. x= Acos( t  / 2) .
D. x= A cos  t.
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm, tần số 20 Hz. chọn góc thời gian là lúc
vật có li độ 2 3 cm và chuyển động ngược chiều dương đã chọn. Phương trình dao động của
vật là:
A. x = 4sin(40 t  / 3) (cm ).

B. . x = 4sin(40 t  2 / 3) (cm ).

C. x = 4sin(40 t  / 6) (cm ).

D. x = 4sin(40 t  5 / 6) (cm ).

Câu 3: Phương trình dao động của một chất điểm có dạng x = A cos( t  / 2) . Gốc thời gian
đã được chọn vào lúc:
A. chất điểm có li độ x = +A/2.

B. chất điểm có li độ x = -A/2.

B. chất điểm qua VTCB theo chiều dương.

D. chất điểm qua VTCB theo chiều âm.

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A= 10 cm, chu kì t= 2s. Khi t= 0 vật qua
VTCB theo chiều dương quĩ đạo. Phương trình dao động điều hòa của vật là:
A. x= 10cos(  t  / 2) (cm);

B. x= 10cos(  t  / 2) (cm);

C. x= 10cos(  t  ) (cm);

D. x= 10cos t (cm).

* Chú ý: Đề bài cũng có thể yêu cầu tìm v, vmax, a, amax.
Skkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phucSkkn.chuyen.de.on.thi.dai.hoc.cao.dang.mon.toan.thpt.chuyen.vinh.phuc

Câu 5: Một vật dao động điều hịa trên quĩ đạo có chiều dài 8 cm với tần số 5 Hz. Chọn gốc
toạ độ O tại VTCB, gốc thời gian t=0 khi vật ở vị trí có li độ dương cực đại thì Phương trình
dao động của vật là:

skkn