Bài tập phương trình logarit có lời giải chi tiết

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 1:

(Giải phương trình log 4 ( x  1) 3.
A. x 63

B. x 65

C. x 80
Lời giải

D. x 82

ĐK:  x  1  0  x  1
log 4  x  1 3  x  1 43  x 65
Phương trình
.
Câu 2:

Tìm nghiệm của phương trình
A. x  6 .

log 25  x  1 

1
2.

B. x 6 .

C. x 4 .

x

23
2 .

D.



10; 10

D.

 1 .

D.

Lời giải
Điều kiện: x   1

1
log 25  x  1   x  1 5  x 4
2
Phương trình
.
Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình
A.

  3;3

B.

log 2  x 2  1 3

  3

là

 3

C.
Lời giải

log 2  x 2  1 3  x 2  1 8  x 2 9  x 3
.

Câu 4:

Tập nghiệm của phương trình
A.

 0 .

B.

log 2  x 2  x  2  1

 0;1 .

là

  1;0 .

C.
Lời giải

 x 0

log 2  x  x  2  1  x 2  x  2 2  x 2  x 0
 x 1 .
Ta có:
 0;1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2

Câu 5:

log 2  x  9  5
Nghiệm của phương trình
là
A. x 41 .
B. x 23 .

C. x 1 .
Lời giải

x  9  0


log 2  x  9  5   x  9 25  x 23
Ta có
.

Câu 6:

log 2  x  1  log 2  x  1 3
Tìm tập nghiệm S của phương trình
.
S   3;3
S  4
A.
B.
C.

S  3

D.



S   10; 10



Lời giải

D. x 16 .



log 2  x 2  1 3
x

1
 x 2  1 8  x 3
Điều kiện
. Phương trình đã cho trở thành

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là
Câu 7:

Tìm tập nghiệm S của phương trình
A.



S  2 5



B.



S  2

log

2

x 3  S  3

 x  1  log 1  x  1 1.
2

5; 2  5



C.

S  3


 3  13 

S 

 2 



Lời giải

x  1  0
 x  1 (*)

x


1

0

Điều kiện
.
Phương trình

 2log 2  x  1  log 2  x 1 1

 2 log 2  x  1 log 2  x  1  log 2 2
2

 log 2  x  1 log 2  2  x  1 
 x 2  2 x  1 2 x  2

 x 2  5  L 
 x 2  4 x  1 0  
S  2 5
 x 2  5
. Vậy tập nghiệm phương trình



Câu 8:







log 3 x 2  x  3 1
Tập nghiệm của phương trình
là
 1 .
 0;1 .
  1;0 .
A.
B.
C.
Lời giải

D.

 0 .

D.

  1

2
ĐKXĐ: x  x  3  0  x  

 x 0
log 3  x 2  x  3 1  x 2  x  3 3  
 x 1
Ta có:
S  0;1

Vậy tập nghiệm của phương trình là
.
Câu 9:





log 3 x 2  x  3 1
Tập nghiệm của phương trình
là:
 1; 0
0;1
0
A. 
.
B.   .
C.  

.

Lời giải

 x 0
log 3  x 2  x  3 1  x 2  x  3 3  x 2  x 0  
 x  1
log 2  x  1  1 log 2  3x  1
Câu 10: Nghiệm của phương trình
là
A. x 1 .

B. x 2 .
C. x  1 .
Lời giải

D. x 3 .

D.


x

Điều kiện phương trình:

1
3.

log 2  x  1  1 log 2  3 x  1  log 2   x  1 .2  log 2  3 x  1  2  x 1 3 x  1  x 3
.
Ta có x 3
Vậy nghiệm phương trình là x 3 .

log 3  2 x  1  log 3  x  1 1
Câu 11: Tìm tập nghiệm S của phương trình
.
A.

S  3

ĐK:

B.

2 x  1  0


x  1  0

S  4

S  1
C.
Lời giải

D.

S   2


1
x 
2  x  1.

 x  1

2x  1
2x  1
log 3  2 x  1  log 3  x  1 1  log 3 x  1 1  x  1 3  x 4
Ta có

ln  x  1  ln  x  3 ln  x  7 

Câu 12: Số nghiệm của phương trình
là
A. 1.
B. 0.
C. 2.
Lời giải
x


1
Điều kiện:

D. 3.

 x 1 (n)

PT  ln   x  1  x  3  ln  x  7    x  1  x  3  x  7  x 2  3 x  4 0
 x  4 ()
2

log 3  x  1  log

Câu 13: Số nghiệm của phương trình
A. 2 .
B. 1 .

3

 2 x  1 2

C. 4 .
Lời giải

là
D. 3 .

Ta có
2

log 3  x  1  log

 2 x  1 2 , điều kiện
3

2

1
x  , x 1
2
.

2

 log 3  x  1  log 3  2 x  1 log 3 9
2

 log 3   x  1  2 x  1  log 3 9

1


 2 x 2  3x  1  3   x  2
2
 

 2 x 2  3x  1 9  2 x 2  3x  1 3
 x 2
Thử lại ta có một nghiệm x 2 thỏa mãn.





log 22 x 2 + 8log 2 x + 4 = 0 là:
Câu 14: Số nghiệm của phương trình
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
Lời giải
x
>
0
Điều kiện:

D. 1 .

log 22 x 2 + 8log 2 x + 4 = 0 Û 4log 22 x +8log 2 x + 4 = 0 Û log 2 x =- 1 Û x =

1
( TM )
2

Câu 15: Tích tất cả các nghiệm của phương trình
A. 9 .
B. - 7 .

log 32 x - 2 log 3 x - 7 = 0 là
C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Điều kiện: x > 0
Đặt

t = log 3 x , phương trình trở thành: t 2 - 2t - 7 = 0 ( 1)

( 1) có 2 nghiệm t1; t2 phân biệt thỏa mãn t1 +t2 = 2 .
Do a.c =- 7 < 0 nên phương trình
Khi đó, các nghiệm của phương trình ban đầu là:

x1 = 3t1 ; x2 = 3t2 .

Þ x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 32 = 9 .
2
Câu 16: Tổng các nghiệm của phương trình log 2 x  log 2 9.log 3 x 3 là
17
A. 2 .
B. 2 .
C. 8 .

D.  2 .

Lời giải

 log x  1
log x  log 2 9.log 3 x 3  log x  2 log 2 x  3 0   2

 log 2 x 3
2
2

2
2

Ta có

1

 x 2

 x 8

1
17
S  8 
2
2 .
Vậy
Câu 17: Biết phương trình

A. 8 .

log 22  2 x   5log 2 x 0
B. 5 .

có hai nghiệm phân biệt
C. 3 .

x1 và x2 . Tính x1 .x2 .
D. 1 .

Lời giải
Điều kiện x  0 .
Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau:
Do

log 2 2 x  3log 2 x  1 0 .

log 2 x1 và log 2 x2 là hai nghiệm của phương trình t 2  3t 1 0 nên

log 2 x1  log 2 x2 3 , mà log 2 x1  log 2 x2 log 2  x1 .x2  .
Suy ra

log 2  x1.x2  3

Câu 18: Cho phương trình
A.

 0;1 .

Điều kiện: x  0.

nên

x1 .x2 8 .

log 22  4 x   log
B.

2

 3;5 .

 2 x  5 . Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng

 5;9  .

C.
Lời giải

D.

 1;3 .


log 22  4 x   log

2

 2 x  5   1  log 2  2 x  

 log 2  2 x  2
 log  2 x  4  

 log 2  2 x   2
2
2

2

 2 log 2  2 x   5 0

 x 2

.
 x 1
8


1
x    0;1 .
8
Nghiệm nhỏ nhất là
2
Câu 19: Phương trình log 2 x  5log 2 x  4 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tích x1.x2 .
A. 32 .
B. 36 .
C. 8 .
D. 16 .
Lời giải

 log x 1
 x 2
log 22 x  5log 2 x  4 0   2
 1
 log 2 x 4
 x2 16 . Vậy tích x1.x2 32 .

Câu 20: Cho phương trình
hai nghiệm đó.

log 32  3x   log 32 x 2  1 0.
2
P .
3
B.

A. P 9.
Ta có

log 32  3 x   log32 x 2  1 0
2

Biết phương trình có 2 nghiệm, tính tích P của

3
C. P  9.
Lời giải

D. P 1.

.

2

  1  log 3 x    2 log 3 x   1 0.
2

t 

  3t  2t 0 
3.

2
2
 1  t    2t   1 0
 t 0
2

Đặt log 3 x t ta có phương trình

2

2
2
1
t   log 3 x   x 3 3  3 .
3
3
9
Với t 0  log3 x 0  x 1. Với

3
3
Vậy P 1. 9  9.

Câu 21: Cho phương trình
nào sau đây?
 1; 3 .
A.

log 22  4 x   log

2

log 22  4 x   log

B.

2

 2 x  5 . Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng

 5 ; 9 .

 2 x  5  1  log 2  2 x  

 log 2  2 x  2


 log 2  2 x   2

 2 x 4


 2 x 1

4

 0 ;1 .

C.
Lời giải
2

D.

 3 ; 5 .

 2log 2  2 x  5  log 22  2 x  4

 x 2

 x 1
8.


Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng

 0 ;1 .

2

Câu 22: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình log 3 x  m log 3 x  2m  7 0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 81 .


A. m  4

B. m 4

C. m 81

D. m 44

Lời giải
ĐK: x  0

 

t 2  mt  2m  7 0
Đặt t log3 x ta được phương trình
Ta có

x1 x2 81  log3  x1 x2  log3 81  log3 x1  log3 x2 4  t1  t2 4

YCBT  có 2 nghiệm thực t1 , t2 thỏa t1  t2 4

  0

  b

 a 4

  m  2  4  2m  7   0
 m 4

m 4

 2 log
Cho phương trình

x  3log 2 x  2  3x  m 0 m
Câu 23:
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu
m
giá trị nguyên dương của tham số
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?
A. 79 .
B. 80 .
C. Vô số.
D. 81 .
2
2

Lời giải

 2 log
Xét phương trình
Điều kiện:

Ta có

x  3log 2 x  2  3x  m 0  1

2
2

x  0

 x
3  m 0

x  0

 x log 3 m

 do

m  0

.

.

 x 4
 log 2 x 2


1
x 1

2


log
x


.
2
 2 log 2 x  3log 2 x  2 0

2

2
 1   x
 x log m
 3x m
 3  m 0

3


 log 3 m 0
 1


log3 m  4
 1 có hai nghiệm phân biệt  2
Phương trình
 m 1

Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;;80} .

 0  m 1
 1
 3 2 m  34


Vậy có tất cả 1  80  2 79 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.
Câu 24: Cho phương trình
nghiệm là
m 0

A.  m  2

log 2 ( x  1) log 2 ( x  2) m . Tất cả các giá trị của m để phương trình trên có

B. m 1

C. 0  m  1

 m 1

D.  m  0

Lời giải
x  1  0
x 1
log 2 ( x  1) log 2 ( x  2)m  

 x  1 ( x  2)m (m  1) x 2m  1(*)
Ta có

- Nếu m 1 phương trình trở thành 0 x 1 : phương trình vơ nghiệm.


- Nếu m 1 phương trình có nghiệm

x

2m  1
m  1 , nghiệm này thỏa mãn nếu

 m 1
2m  1
2m  1
m
1 
 10 
0 
m 1
m 1
m 1
 m  0 . Vậy để phương trình
 m 1
log 2 ( x  1) log 2 ( x  2)m có nghiệm thì  m  0 .

Câu 25: Cho phương trình

log 32  3 x    2m  2  log 3 x  2m  2 0 m
( là tham số thực ). Tập hợp tất cả

 3;9 là

các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
 3
 3
 3
3

1; 
 1; 
 1; 
 ;  

.
A.  2  .
B.  2  .
C.  2  .
D.  2
Điều kiện: x  0 .Ta óc:

Lời giải
log  3 x    2m  2  log 3 x  2m  2 0
2
3

2

  1  log 3 x    2m  2  log 3 x  2m  2 0  log 32 x  2m log 3 x  2m  1 0

 log 3 x 1
 


 log 3 x 2m  1
đoạn

 3;9

khi và chỉ khi

Câu 26: Cho phương trình

các giá trị của
A.

 x 3

2m 1
 x 3
. Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc

m

 0; 2  .

3  32 m 1 9  1  2m  1 2  1  m 

log 32  3 x    m  2  log 3 x  m  2 0

3
2.

( m là tham số thực). Tập hợp tất cả

1 
 3 ;3
để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
là
 2;
 0; 2
 0; 2 
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

2

 1  log3 x    m  2  log 3 x  m  2 0
Điều kiện: x  0 . Phương trình tương đương:
 x 3
 log3 x 1
 log 32 x  m.log 3 x  m  1 0  

m 1

 log3 x m  1  x 3
1 
 3 ;1
Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
khi và chỉ khi
1 m 1
3  3   1 m  1  1  0 m  2
3
.
Câu 27: Cho phương trình

log 3 2  9 x    m  5 log 3 x  3m  10 0

. Số giá trị nguyên của tham số m để

1;81
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 
là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
log 2 9 x  m  5 log 3 x  3m  10 0
x   1;81  t   0; 4
Ta có: 3   
. Đặt t log 3 x vì
.

 t 3

t   m  1 t  3m  6 0
 t m  2 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
0 m  2 4 2 m 6


m 5
ycbt m  2 3
. Vậy có 4 số nguyên m thoả ycbt.
2

log 22  4 x   m log 2 x  4 0

Câu 28: Cho phương trình

. Có bao nhiêu số ngun m để phương trình có

x   1; 4 

đúng một nghiệm
A. 2

?
B. 1

D. 0

C. 4

Lời giải
2

Ta có:

log 22  4 x   m log 2 x  4 0   2  log 2 x   m log 2 x  4 0

2
 4  4 log 2 x  log 22 x  m log 2 x  4 0  log 2 x   m  4  log 2 x 0

 x 1  1; 4 
 log x 0
 2

 m 4
 log 2 x  log 2 x  m  4  0
 x 2
 log 2 x  m  4

Để phương trình có đúng một nghiệm
1 2

 m 4

x   1; 4 

thì

 4  0   m  4  2  4   m  6   6  m   4 . Do m   nên m  5 .

4log 22 x  11.log 2 x  20 log3 x  m 0
Câu 29: Cho phương trình
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. Vô số.
Lời giải
x  0
x  0
 x  0


 x 3 m



m
log
x

m

0
log
x

m
 3

 x 3
Điều kiện:  3
.





Phương trình tương đương với
m

Nghiệm x 3

ln thỏa mãn điều kiện và nghiệm 16  2
2

nghiệm phân biệt

 m    2;  1;0

 log 2 x 4

 4 log 22 x  11.log 2 x  20 0
5

  log 2 x  
4

 log 3 x  m 0
 log x m

 3



5
4

m

3

 16  log3 2



5
4



5
4

 x 16

5


 x 2 4


m
 x 3


do đó phương trình có đúng hai

5
 m  log3 16   log 3 16  m  log 3 2
4

.

Câu 30: Cho phương trình

log 22  2 x    m  2  log 2 x  m  2 0 m
( là tham số thực). Tập hợp tất cả các

 1; 2 là
giá trị của m để phương trình đã cho có một nghiệm thuộc đoạn


A.

 1; 2 .

B.

   ; 1   2;   . D.    ; 1   2;   .

 1; 2 .

C.
Lời giải

Điều kiện: x  0 .
2

log 22  2 x    m  2  log 2 x  m  2 0   1  log 2 x    m  2  log 2 x  m  2 0

Ta có:

 log x 1
 2
 log x  m log 2 x  m  1 0
 log 2 x m  1 . Ta có: x   1; 2  log 2 x   0;1 .
2
2

Vậy để phương trình đã cho có một nghiệm thuộc đoạn

m  1 0
 m  1 1 


 1; 2

khi và chỉ khi

 m 1
 m 2


.

log 32 x   m  2  log 3 x  3m  1 0
m
Câu 31: Tìm giá trị thực của tham số
để phương trình
có hai
nghiệm thực x1 , x2 sao cho x1. x2 27 .
A. m 1 .

m

B. m 25 .

C.
Lời giải

28
3 .

D.

m

4
3.

Điều kiện: x  0

log 32 x   m  2  log3 x  3m  1 0  1
t 2   m  2  t  3m  1 0  2 

 1 trở thành
. Đặt t log 3 x phương trình

. Phương trình

 1 có hai nghiệm

x1 , x2 khi và chỉ khi phương trình

 m 4  2 2
  0  m 2  8m  8 0  
 2  có hai nghiệm t1 , t2
 m 4  2 2 .

Khi đó,

x1. x2 27  log 3  x1. x2  log 3 27  log 3 x1  log 3 x2 3  t1  t2 3

lý Viét với phương trình
Câu 32: Cho hàm số

 2

. Áp dụng định

ta có t1  t2 m  2  m  2 3  m 1 .

3log 27  2 x 2   m  3 x  1  m   log 1  x 2  x 1  3m  0
3

. Số các giá trị nguyên

x  x  15
của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 2
là:
A. 14
B. 11
C. 12
D. 13
Lời giải
Ta có:

3log 27  2 x 2   m  3 x  1  m   log 1  x 2  x 1  3m  0
3

 log 3  2 x 2   m  3  x  1  m  log 3 x 2  x  1  3m





 x 2  x 1  3m  0
 2
2
 2 x   m  3 x  1  m  x  x  1  3m
2

 x  x  1  3m  0  *
 2
 x   m  2  x  2m 0  1

 x 2  x  1  3m  0  *

  x m

  x 2

. Ta có

x 2   m  2  x  2m 0


x1  x2 

b
c
m  2 x1 x2  2m
a
a
,

Theo định lý vi-ét ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân

biệt thỏa mãn

 m 2  m  1  3m  0


  22  1  1  3m  0 
 m 2


 m  2  3

 m  4m  1  0

   m  2  3  m  2 

 4  3m  0

4
m 
3

2

3
.

2

Theo giả thiết

x1  x2  15   x1  x2   4 x1 x2  225  m 2  4m  221  0   13  m  17

Do đó  13  m  2 
Câu 33: Cho phương trình

nguyên của tham số
A. 40 .

3 . Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13.

log 3





mx log 3  x  3

m    12; 40 
B. 28 .

với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?
C. 27 .
D. 39 .
Lời giải

Điều kiện xác định: x   3
Ta có:

log 3



2



mx log 3  x  3  mx  x  3   x 2   6  m  x  9 0

b
c
m  6 x1 x2  9
a
a
Theo định lý vi-ét ta có
,
 x  3  x2  3 x1x2  3  x1  x2   9
Suy ra 1
x 2   6  m  x  9 0
Để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2   3 thì
x1  x2 


   0

 x1  3  x2  3  0 
x x
 1 2 3
 2

 m  0


 m  12m  0
  m  12


9  3  m  6   9  0  m  0  m  12
m  6   6
m  0



2

Số giá trị nguyên của tham số
27 giá trị

m    12; 40 

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

log 32 x  4log 2 x  m  3 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
x  x2  1 ?
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1

Câu 34: Cho phương trình
A. 6 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

2
 1
t log 2 x phương trình trở thành: t  4t  m  3 0
x  x2  1
+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1

+ Đặt

 Phương trình  1 có 2 nghiệm nghiệm phân biệt thỏa mãn t1  t2  0

D. 5 .


  0

 S  0 
P  0


22   m  3  0

m  7

 3m7
4  0
m

3



m  3  0

. Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m

.
2
Câu 35: Tìm m để phương trình log 3 x  (m  2) log 3 x  3m  1 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho
x1 x2 27 .

A.

m

4
3.

B.

m

28
3 .

C. m 25 .
Lời giải

D. m 1 .

2

Ta có log 3 x  (m  2) log3 x  3m  1 0 . Điều kiện: x  0 .
t 2   m  2  .t  3m  1 0
Đặt t log3 x phương trình đã cho trở thành
, là phương trình bậc hai

2

có biệt thức

  m  2   4  3m  1 m 2  8m  8

.
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 x2 27 khi và chỉ khi phương trình có hai

t  t log 3 x1  log 3 x2 log 3  x1.x2  log 3 (27) 3
nghiệm t1 , t2 sao cho 1 2
.
m 2  8m  8 0
 0




m  2 3 m 1

Điều này tương đương với

  m 4  2 2

  m 4  2 2  m 1


m 1

.

Vậy m 1 .

log 32 x  3log 3 x  2m  7 0,  *
Câu 36: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình
có hai
x  3 x  3 72
nghiệm thực x1 ; x2 thỏa mãn  1   2
.
9
m
2.
A.
B. m 3 .
C. Không tồn tại.
Lời giải
2
*
Đặt log3 x t . Phương trình   trở thành t  3t  2m  7 0 .

D.

m

61
2 .

 32  4  2m  7   0  37  8m  0  m 

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là
Theo vi-ét ta có t1  t2 3  log3 x1  log 3 x2 3  x1.x2 27 .
Từ

37
8

 x1  3  x2  3 72  3  x1  x2   x1.x2  9 72

 x 3
x1 x2 27   1
 x1  x2 12 . Kết hợp với
 x2 9

Khi đó
tốn.

t1 1; t2 2  t1.t2 2m  7 2  m 

9
9
m
2 . Thử lại, thấy
2 thỏa mãn yêu cầu bài


Câu 37: Cho phương trình

log 22 x   5m  1 log 2 x  4m 2  m 0

. Biết phương trình có hai nghiệm phân

x  x
biệt x1 , x2 thỏa x1  x2 165 . Giá trị của 1 2 bằng
A. 16 .
B. 119 .
C. 120 .
Lời giải
Điều kiện: x  0 .
Ta có:

D. 159 .

log 22 x   5m 1 log 2 x  4m 2  m 0   log 2 x  m   log 2 x  4m  1 0

 x 2m
log
x

m

0
log
x

m
 2

 2



 x 24 m 1 2. 2m
 log 2 x  4m  1 0
 log 2 x 4m  1


4

   1

4

 2m  24 m 1 165  2. 2m   2m  165 0  2 
Theo giả thiết: x1  x2 165
m
 2  trở thành:
Đặt t 2 , t  0 . Phương trình
3
2
2t 4  t  165 0   t  3  2t  6t  18t  55  0  t 3
 x 3
m
 1 ta có:  x 162 . Do đó: x1  x2 162  3 159 .
Với t 3 ta có: 2 3 . Khi đó từ

 2 log 22 x  3log 2 x  2  3x  m 0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu
Câu 38: Cho phương trình

giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?
A. 79 .
B. 80 .
C. Vô số.
D. 81 .
Lời giải

 2 log 22 x  3log 2 x  2  3x  m 0  1 .
Xét phương trình
x  0
x  0

 x
3  m 0  x log 3 m  do m  0 
Điều kiện: 
.

Ta có

 x 4
 log 2 x 2


1
1


.
 2 log 22 x  3log 2 x  2 0   log 2 x  2   x 
2

 1   x
 x log m
 3x m
 3  m 0

3


 log 3 m 0
 1


log3 m  4
 1 có hai nghiệm phân biệt  2
Phương trình
 m 1

Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;;80} .

 0  m 1
 1
 3 2 m  34


Vậy có tất cả 1  80  2 79 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.

 4 log 22 x  log 2 x  5 7 x  m 0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu
Câu 39: Cho phương trình
giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 49 .

B. 47 .
C. Vô số.
D. 48 .
Lời giải


x  0

x log 7 m
Điều kiện: 
é4 log 22 x + log 2 x - 5 = 0
Û ê
Û
ê x
7
m
ê
ë
Phương trình

élog 2 x = 1
ê
ê
5
êlog 2 x =ê
4
ê
ê
ëx = log 7 m

 log 7 m 0
 1



log
m

2
7
 1 có hai nghiệm phân biệt  2 4 2
Phương trình
 m 1

Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;; 48} .

 0  m 1
 1
 4 2 4 2 m  49


Vậy có tất cả 1  48  2 47 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.

x
log9 x log12 y log16  4 x  3 y 
Câu 40: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn
. Giá trị của y
bằng
A. 4 .

 1
log 3  
4  4.
C.

1
B. 4 .

D.

log 4

3
4.

Lời giải

 x 9t

t
 y 12
4 x  3 y 16t


t

x 9t  3 
 t  
y
12  4  .

. Ta có

Đặt

log 9 x log12 y log16  4 x  3 y  t



  3 t
    1 VN 
 4

 3 t 1
2t
t
x 1
 3
 3
   

 4.    3.    1 0
  4  4
y
4.
 4
 4
4.9t  3.12t 16t
. Vậy

. Suy ra

a 3  ab 2  b3
3
2
3
log16  3a  2b  log9 a log12 b
Câu 41: Cho a  0 , b  0 thỏa mãn
. Giá trị của a  a b  3b bằng
19
1
7
1



A. 83 .
B. 3 .
C. 17 .
D. 5 .
Lời giải

Đặt

3a  2b 16t

 a 9t

t
t log16  3a  2b  log 9 a log12 b b 12

t

a 9t  3 
 t  
. Ta có b 12  4  .

  3 t 1
  
 4 3

t
t
 3 t
 9
 3
    1  vn   a 1
 3    2.   1
  4 
 16 
 4
 3.9t  2.12t 16t
b 3.


3

a a
3
2
3

     1
a  ab  b
b b

3
2
3
2
3
a  a b  3b
7
a a
      3 
b b
17 .
Vậy

1
 2x 
f  x   log 4 

2
 1  x  . Tính tổng:
Câu 42: Cho hàm số
 1 
 2 
 3 
 2015 
S f 
 f 

 f 
  ...  f 

 2017 
 2017 
 2017 
 2017 
A. 2017 .
Với mọi

x   0;1

B. 2016 .

 2016 
f

 2017  .

C. 1008 .
Lời giải

D. 504 .

, ta có:

1
1 1
 2x  1
 2x  1

f  x   log 4 
  log 2 
   log 2  2 x   log 2  1  x      log 2 x  log 2  1  x  
2
4 4
 1 x  4
 1 x  4
Với hai số thực a , b  0 bất kì thỏa a  b 1 ta có:

1 1
1 1
f  a   f  b     log 2 a  log 2  1  a      log 2 b  log 2  1  b  
4 4
4 4
1 1
1
1
   log 2 a  log 2 b    log 2 b  log 2 a  
2 4
4
2.
Từ đó ta có:

 1 
f

 2017 
1
1008  504
2


S 


 2016   
f
  
 2017   

 2 
f

 2017 


 2015  
f
   ...  
 2017  


 1008 
f

 2017 

 1009  
f

 2017  

log 2 a 2b1  4a 2  b 2  1  log 4 ab 1  2a  2b  1 2
Câu 43: Cho a  0 , b  0 thỏa mãn
. Giá trị của

a  2b bằng
15
A. 4

B. 5

C. 4
Lời giải

3
D. 2

2
2
 1 .
Ta có 4a  b  1 4ab  1 , với mọi a, b  0 . Dấu ‘ ’ xảy ra khi b 2a

Khi đó

log 2 a 2b 1  4a 2  b 2  1  log 4 ab 1  2a  2b 1

log 2 a 2b 1  4ab  1  log 4 ab 1  2a  2b  1 2 log 2 a 2b 1  4ab  1 .log 4 ab 1  2 a  2b  1 2

.

log 2 a 2b1  4ab  1 1  4ab  1 2a  2b  1  2 
.
3
3
15

a

b

a

2
b

2
1
2
  và   ta có 8a  6a 0
4 . Suy ra
2 . Vậy
4 .
Từ
Dấu ‘ ’ xảy ra khi

log 3a 2b 1  9a 2  b 2  1  log 6 ab 1  3a  2b  1 2
Câu 44: Cho a  0 , b  0 thỏa mãn
. Giá trị của
a  2b bằng

A. 6

7
C. 2

B. 9

5
D. 2

Lời giải
a  0 , b  0 nên ta có log 3a 2b 1  6ab  1  0 ; log 6 ab 1  3a  2b  1  0 .
2
2
Ta có 9a  b 6ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi a 3b .
Do đó, ta có:

log 3a  2b 1  9a 2  b 2 1  log 6ab 1  3a  2b 1 log 3a  2b 1  6ab  1  log 6 ab 1  3a  2b  1

2 log 3a 2b 1  6ab  1 .log 6 ab 1  3a  2b  1 2 log 3a 2b 1  3a  2b  1 2

.

b 3a  0

log 3a 2b1  6ab  1 log 6 ab 1  3a  2b  1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
b 3a  0

b 3a  0



2
2
log 9 a 1  18a  1 log18 a2 1  9a  1
log 9 a 1  18a 1 1

3

b  2

b 3a  0
7
a  1
 2
a

2
b


2 . Suy ra
18a  1 9a  1
2.
Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
1; 27 
nhất một nghiệm thực trong đoạn 
.

m   0; 2
m   0; 2 
A.
.
B.
.

log 3 x  log 3 x  1  2m  1 0

m   2; 4
C.
.
Lời giải

D.

m   0; 4 

có ít

.

t  log 3 x  1 t   1;2 x   1; 27 
Điều kiện: x  0 . Đặt
,
.
2
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t  t  2m  2 0  t  t  2 2m
1; 2

Yêu cầu bài tốn tương đương với phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
.
2
f  t  t  t  2
1; 2
f  t 2t 1  0, t   1; 2
Xét hàm số
trên đoạn 
. Ta có  
.
Bảng biến thiên:

Phương trình
Câu 46: Hỏi

có

 *

bao

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
nhiêu

log  mx  2 log  x 1

giá

trị

m

nguyên

có nghiệm duy nhất?

 1; 2

thuộc

 0 2m 4  0 m 2 .

  2017; 2017 

để

phương

trình


A. 2017 .

B. 4014.

C. 2018.
Lời giải

D. 4015.

mx  0
 x   1; x 0


x


1
2
log  mx  2 log  x  1   x  1  0


x

1





2
2
m 
mx  x  1
log  mx  log  x  1


x




Ta có
.
2
2
 x 1
x 1
x  1


f
x


0




2
f  x 
 x   1, x 0 
x
 x  1  l 
x
Xét hàm
;
Lập bảng biến thiên

 m 4


Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  m  0.
m    2017; 2017 
Vì
và m   nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu là
m    2017;  2016;...;  1; 4

.

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

log  mx  2 log  x 1
A. 2.

có đúng một nghiệm?
B. 1.
C. 10.
Lời giải

m   10  m  10 

để phương trình

D. 9.

mx  0
 x   1; x 0


2

log  mx  2 log  x  1   x  1  0
 x   1

x  1




2
2
m 
mx  x  1
log  mx  log  x  1
x

Ta có
.
Xét hàm số
2

f  x

 x 1

x

2

trên

  1;   \  0

.

x 1
x 2 , f  x  0  x 1   1;   \  0
Bảng biến thiên:
f  x  


Để phương trình

log  mx  2log  x 1

có đúng một nghiệm thì đường thẳng y m phải cắt

m 0

y  f  x
  1;   \  0 tại đúng một điểm  m 4 .
đồ thị hàm số
trên trên
m  

m    9;  8; ... ;  2;  1; 4
Do   10  m  10 nên
. Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn.
2
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 2 x  2log 2 x  m 0 có nghiệm

x   0;1

.

A. m  1 .

B.

m

1
4.

C.
Lời giải

m

1
4.

D. m 1 .

log 22 x  2log 2 x  m 0  1 .Điều kiện: x  0 .

Đặt

t log 2 x . Vì x   0;1 nên t    ;0  .

2

2
 2 .
Phương trình trở thành t  2t  m 0  m  t  2t
 1 có nghiệm x   0;1 khi và chỉ khi phương trình  2  có nghiệm t  0 
Phương trình

y  f  t   t 2  2t
  ;0  .
đường thẳng y m có điểm chung với đồ thị hàm số
trên khoảng
y  f  t   t 2  2t
  ;0  ; f  t   2t  2 ; f  t  0  t  1 .
Xét hàm số
trên khoảng
Bảng biến thiên

y  f  t   t 2  2t
y

m
m

1
Từ bảng biến thiên, suy ra
thì đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
trên khoảng

x   0;1

  ;0  . Vậy với m 1 thì phương trình log 22 x  2log 2 x  m 0

có nghiệm

.

2
2
Câu 49: Tìm m để phương trình log 2 x  log 2 x  3 m có nghiệm x  [1;8] .
A. 6 m 9
B. 2 m 3
C. 2 m 6

D. 3 m 6

Lời giải
log 2 2 x  log 2 x 2  3 m . Điều kiện: x  0 . Phương trình 

 log 2 x 

2

 2 log 2 x  3 m

2
 Đặt t log 2 x , với x  [1;8] thì t  [0;3] . Phương trình trở thành: t  2t  3 m
 Để phương trình có nghiệm x  [1;8]  phương trình có nghiệm t  [0;3]

Xét hàm số

y  f  t  t 2  2t  3

f  t 2t  2 f  t  0  t 1
trên khoảng [0;3] ;  
;
.


Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được 2 m 6 .
2
Câu 50: Cho phương trình log 3 3 x  log 3 x  m  1 0 ( m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị

 0;1 .
của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
9
1
9
9
m
0m
0m
m
4.
4.
4.
4.
A.
B.

C.
D.
Lời giải
2
Phương trình đã cho  log 3 3 x  log 3 3x  m  2 0 .
t log 3 3 x , thì phương trình  1 có dạng: t 2  t  m  2 0  t 2  t 2  m .
x   0;1  0  3 x  3  log 3 3x  1  t  1
f  t  t 2  t
t    ;1
Khi
. Xét hàm số
với
.
f t
Bảng biến thiên của
:
Đặt

Số nghiệm của phương trình
y 2  m .

 2
Phương trình
Vậy

0m

 2

bằng số giao điểm của đồ thị

có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn

1 

y  f t

và đường thẳng

1
9
2 m  2  0 m 
4
4.

9
4.

log 3  mx  2 log 3  x 1
Câu 51: Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có hai nghiệm phân
biệt là

A. m 4 .

B. m  4 .

C. m  0 và m 4 .
Lời giải


 x 1  0
 x 1  0
log  mx  2 log  x 1  
(*)
2  
mx x 2  2 x  1
mx  x  1



Ta có
.
x   1

(*)  
1
m x  2 

x

Ta thấy x 0 không là nghiệm của. Với x 0 :

D. m  0 và m  4 .


Xét hàm số

f  x  x  2 

f  x  1 

Ta có
Bảng biến thiên:

1
x với x    1;   \  0 .

1 x2  1
 2
x2
x ; f  x  0  x 1 .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m  4 là giá trị cần tìm.

log 22  4 x   m log
m
Câu 52: Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
để phương trình
có nghiệm thuộc đoạn

2

x  2m  4 0

 1;8 ?

A. 3 .

B. 1 .

D. 5 .

C. 2 .
Lời giải

2

 2  log 2 x   2m log 2 x  2m  4 0  log 22 x  4 log 2 x 2m  log 2 x 1  1 .
ĐK: x  0 . Ta có:
t 2  4t
2m
t log 2 x; x   1;8  t   0;3
1
Đặt
; Khi đó   trở thành t  1
PT

 1 có nghiệm x  0

Xét hàm số

Có

f  t

Suy ra

f t 

có nghiệm

 2  có nghiệm t   0;3 .

khi và chỉ khi

t 2  4t
t  1 với t   0;3

 0;3 ;
liên tục trên

f  t

 2

đồng biến trên

f  t  

t 2  2t  4

 t 1

2

 0, t   0;3

.

 0;3

21
t   0;3  f  0  2m  f  3  0 m  8

. Do

m    m   0;1; 2

.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài tốn.

log 2  mx  log
Câu 53: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
A. 4 .
B. 6 .
C. 3 .
Lời giải
log 2  mx  log
Xét bài tốn: Tìm m để phương trình

2

 x 1  1

2

 x 1

vơ nghiệm?

D. 5 .

có nghiệm.

 2  và mx  0  3 . Với điều kiện trên thì  1  log 2  mx  log 2  x 1
Điều kiện x  1  0
 mx  x  1

2

 4

2


 4  vơ lý.
* Nếu x 0 thì
* Nếu x 0 thì

 4  m 

x2  2 x 1
x

x2  1
x2  2 x 1
f
'

x

f  x 
 
D   1;   \  0
x2
x
Xét hàm số
trên tập
;
f ' x

f '  x  0  x 1
không xác định tại x 0 ;
.

Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình đã cho có nghiệm thì m  0 hoặc m 4
Từ đó suy ra để phương trình đã cho vơ nghiệm thì 0 m  4 .
Vậy
Câu 54: Có

m   0;1; 2;3
bao

nhiêu

thì phương trình đã cho vơ nghiệm.
số

ngun

m

thuộc

khoảng

( 2020; 2020) để

phương

log 2 (mx) 3log 2 ( x  1) có nghiệm thực duy nhất?
A. 2018.

 x 1  0


m
x

0

Điều kiện

B. 2020.

C. 2021.
Lời giải

x   1


 mx  0
3

log 2  mx  3log 2  x  1  mx  x  1 
Đặt

D. 2019.

f  x  x 2  3x  3 

 x  1
x

3

m  x 2  3x  3 

1
m
x

1
x    1;   \  0
x

 x  1  L 
1
2 x3  3x 2  1
f  x  2 x  3  2  f  x  

0  
 x 1  N 
x
x2

2
Bảng biến thiên

 27 
m    ;0    
4
Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

trình