BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Chủ đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A/ BÀI TẬP MẪU:
1. Giải phương trình:
2
2 4 1
2
log (x 2) log (x 5) log 8 0+ + − + =
Giải:
Điều kiện: x > – 2 và x ≠ 5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 2
2 2
log (x 2) x 5 log 8 (x 2) x 5 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0 + − = ⇔ + − = ⇔ − − − − =
 
2
2
x 3x 18 0
3 17
x 3; x 6; x
2
x 3x 2 0

− − =
±
⇔ ⇔ = − = =

− − =



Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:

x 6=
và
3 17
x
2
±
=
2. Giải phương trình:
)12(log1)13(log2
3
5
5
+=+− xx
.
Giải:
§iỊu kiƯn
.
3
1
>x
(*)
Víi ®k trªn, pt ®· cho
)12(log31)13(log
5
2
5
+=+−⇔ xx

32
3

5
2
5
)12()13(5
)12(log)13(5log
+=−⇔
+=−⇔
xx
xx





=
=
⇔
=−−⇔
=−+−⇔
8
1
2
0)18()2(
0436338
2
23
x
x
xx
xxx

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn (*), ta cã nghiƯm cđa pt lµ
.2=x
3. T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiƯm duy nhÊt :

0)23(log)6(log
2
25,0
=−−++ xxxm
Giải:

⇔=−−++ 0)23(log)6(log
2
25,0
xxxm
⇔−−=+ )23(log)6(log
2
22
xxxm




+−−=
<<−
⇔






−−=+
>−−
⇔
38
13
236
023
2
2
2
xxm
x
xxxm
xx
XÐt hµm sè
13,38)(
2
<<−+−−= xxxxf
ta cã
82)(' −−= xxf
,
0)(' <xf
khi
4−>x
, do ®ã
)(xf

nghÞch biÕn trong kho¶ng
)1;3(−
,

6)1(,18)3( −==− ff
. VËy hƯ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm duy nhÊt khi
186
<<−
m
4. Giải phương trình:
)12(log1)13(log2
3
5
5
+=+− xx
.
§iỊu kiƯn
.
3
1
>x
(*)
Víi ®k trªn, pt ®· cho
)12(log31)13(log
5
2
5
+=+−⇔ xx
32
3
5
2
5
)12()13(5

)12(log)13(5log
+=−⇔
+=−⇔
xx
xx






=
=
⇔
=−−⇔
=−+−⇔
8
1
2
0)18()2(
0436338
2
23
x
x
xx
xxx

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ
.2=x

5. Gi¶i ph¬ng tr×nh
log(10.5 15.20 ) log25
x x
x
+ = +
. (1)
Gi¶i
(1)
( ) ( )
xxx
10.25lg20.155.10lg
=+⇔
xxx
10.2520.155.10 =+⇔

0102.254.15
=+−⇔
xx

§Æt
)0(2
>=
tt
x
, ta ®îc: 15t
2
- 25t +10 = 0





=
=
⇔
)(
3
2
)(1
tmt
tmt
1=t

012
=⇔=⇒
x
x







=⇔=⇒=
3
2
log
3
2

2
3
2
2
xt
x
6. Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .− + =

• Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ; x ;x ; x .> ≠ ≠ ≠

• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
• Với
1x ≠
. Đặt
2
x
t log=
và biến đổi phương trình về dạng
2 42 20
0

1 4 1 2 1t t t
− + =
− + +

Giải ra ta được
1 1
2 4
2
2
t ;t x ; x .= = − ⇒ = =
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ; x .= =
7. Giải phương trình:
( ) ( )
21x2log1xlog
3
2
3
=−+−
( )
3 3
2log x 1 2log 2x 1 2⇔ − + − =

( )
3 3
log x 1 log 2x 1 1⇔ − + − =
( )

3 3
log x 1 2x 1 log 3⇔ − − =

( )
x 1 2x 1 3⇔ − − =

⇔
{
2
2
1
x 1
x 1
hay
2
2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)


>
< <

− − =

− + =

x 2
⇔ =
8. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( ) ( ) ( )

2 3
2 1 8
2
1
log x 1 log x 4 log 3 x
2
− + + = −
Gi¶i

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
− < <


≠

⇔ − − + = −
⇔ − = + −

= − +
< < ⇔ − = − − + ⇔ + − = ⇔

= − −




= −
− < < ⇔ − = − − + ⇔ − = ⇔

=


= − + = −
2 2 2
2 2
2 2
4 x 3
§ K :
x 1
(1) log x 1 log x 4 log 3 x
x 1 x 4 3 x 2
x 1 14
*) 1 x 3: 2 x 1 x x 12 x 2x 13 0
x 1 14 lo¹i
x 11
*) 4 x 1: 2 1 x x x 12 x 11 0
x 11 lo¹i
VËy ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm: x 1 14;x 11
9. Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2
x

x x x
−
− + = + −
§k:





≠
≠
>
3
2
1
x
x
x
3log
2
1
log)3)(2(log
333
−+
−
=−−
x
x
xx
2

3)1(
)3)(2(
−−
=−−⇔
xx
xx
2
1
2
−
=−⇔
x
x

XÐt x > 2 ,
3≠x
v« nghiÖm
XÐt 1< x < 2 nghiÖm lµ
3
5
=x
10. Giải phương trình
0)1(log)3(log1log
3
8
2
1
2
=−−−−+ xxx

Điều kiện : 1 < x < 3 (*).
Phương trình đã cho tương đương:
0)1(log)3(log)1(log
222
=−−−++ xxx

⇔ (x + 1)(3 – x) = x – 1
2
171±
=x
.
Kết hợp(*) ta được nghiệm của phương trình là
2
171±
=x
11. Giải phương trình log
3
(3
x
− 1)log
3
(3
x+1
− 3) = 6.
Đặt t = log
3
(3
x
− 1). Phương trình đã cho trở thành: t(t+1) = 6
⇔ t = 2, t = −3

Với t = 2, ta có log
3
(3
x
- 1) = 2 ⇔ 3
x
- 1 = 9 ⇔ x = log
3
10
Với t = -3, ta có log
3
(3
x
- 1) = -3 ⇔ 3
x
- 1 =
27
1
⇔ x = log
3
27
28
12. Giải phương trình: 2(log
2
x +1) log
4
x + log
2
0
4

1
=

Phương trình đã cho tương đương với:
⇔ log
2
x (log
2
x + 1) − 2 = 0 ⇔
2
2
log
x + log
2
x-2 = 0
Điều kiện: x > 0 (*)
⇔



−=
=
2xlog
1xlog
2
2
⇔





=
=
4
1
x
2x
(thỏa mãn (*))
B/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Tổng hợp các bài cùng chủ đề qua các đề TSĐH gần đây)
Bài 1: DB_KB_2003 Tìm m để pt:
( )
2
2 1
2
4 log log 0x x m− + =
có nghiệm thuộc khoảng (0;1).
Bài 2: DB_KD_2003 Giải phương trình:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −

Bài 3: DB_KA_2006 Giải phương trình:
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =

.
Bài 4: DB_KB_2006 Giải phương trình
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =

Bài 5: DB_KB_2006 Giải phương trình
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = −
Bài 6: DB_KD_2006 Giải phương trình:
1
3 3
log (3 1).log (3 3) 6
x x+
− − =
.
Bài 7: DB_KD_2006 Giải phương trình:
2 4 2
1
2(log 1)log log 0
4
x x+ + =
.
Bài 8: CT-KD_2007 Giải phương trình:
( )

2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−

Bài 9: DB_KA_2007 Giải phương trình:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.

Bài 10: DB_KB_2007 Giải phương trình:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x− + − =
.
Bài 11: DB_KB_2007 Giải phương trình:
3 9
3

4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
Bài 12: DB_KD_2007 Giải phương trình:
2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
−
= + −
Bài 13: CT-KA_2008 Giải phương trình
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =

Bài 14: DB_KA_2008 Giải phương trình:
3
1 6

3 log (9 )
log
x
x
x x
+ = −
Bài 15: DB_KB_2008 Giải phương trình:
2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1x x+ + − =
.
Bài 16: CT-CĐ_ABD_2008 Giải phương trình
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + =