BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s m – Hàm s

Logarit

PH
NG TRÌNH LOGARIT
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N
ây là bài t p đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph

ng trình Logarit thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C:

Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn.
tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem

D ng 1:
Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
a) log2 ( x2  3x  2)  log 2 ( x2  7 x  12)  3  log 2 3

b.log 2 ( x2  3)  log 2 (6 x  10)  1  0

Gi i
a) log 2 ( x  3x  2)  log 2 ( x  7 x  12)  3  log 2 3
2

2

2

 x  2  x  1
 x  3x  2  0
K:  2

 D   ; 4    3; 2    1;  
 x  7 x  12  0
 x  4  x  3


 log 2  x  1 x  2  x  3 x  4    log 2 27
  x  1 x  4  x  2  x  3  27

PT   x2  5 x  4  x2  5 x  6   24

2
t  6
t  x  5 x  4

 t 2  2t  24  0  
t  4
t  t  2   24  0

 x2  5 x  4  6
 x2  5 x  10  0  x  0
 2
 2


 x  5
 x  5x  4  4
 x  5x  0
b.log 2 ( x2  3)  log 2 (6 x  10)  1  0

x   3  x  3
 x2  3  0

5


 D   ;  
K: 
5
3

6 x  10  0
x 
3

5

x 1

PT:  log 2 2  x  3  log 2  6 x  10   2  x  3  6 x  10  x  3x  2  0 
3

x  2
V y ph ng trình có nghi m là : x = 2.
Bài 2. Gi i ph ng trình:

11
2
x3
b. log 7
a. log3 x  log9 x  log 27 x 
 log 1
0
12
21
7 3x  6
2

2

2

c. 1  log 2 (9x  6)  log 2 (4.3x  6)
Gi i


x  0
t  log 3 x

11
1
1

a. log 3 x  log 9 x  log 27 x   t  log 3 x
 11 11  t   log 3 x   x  3  0
12

2
2
 1 1
 6 t  12
11
t  t  t 
 2 3 12
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s m – Hàm s

Logarit

x  2
x  2
x  2
2
x3



b. log 7
 log 1
0
2  x3
2  2
x3
21
log 7
 log 7

 x  x  20  0
7 3x  6


21
3x  6
3x  6

 21

x  2

 x  4 . V y ph




x
x
5

4


ng trình có nghi m là : x = 4.
9 x  6
 x  log9 6


đi u ki n:  x 3  
3  x  log9 6
x  log3
3 


2

2

c. 1  log 2 (9x  6)  log2 (4.3x  6)

P T  log 2  2  9 x  6    log 2  4.3x  6   2  9 x  6   4.3x  6
 32 x  6  2.3x  3  32 x  2.3x  3  0

.

x
t  3  0
 2
 t  3  3x  3  x  1
t  2t  3  0

V y nghi m c a ph
D ng 2:
Bài 3. Gi i ph

ng trình là : x =1.









ng trình sau: log 2 x  x2  1 .log3 x  x2  1  log 6 x  x2  1
Gi i

x 1  0

i u ki n:  x  x2  1  0  x  1

2
 x  x  1  0
2







 



Nh n xét r ng: x  x2  1 x  x2  1  1  x  x2  1  x  x2  1
Khi đó ph



ng trình đ

log 2 x  x2  1





1

c vi t d



i d ng:





.log 3 x  x2  1  log 6 x  x2  1



1



s : log  x  x  1   log 6.log  x 
và log  x  x  1   log 6.log  x 








1

 log 2 x  x2  1 .log 3 x  x2  1  log 6 x  x2  1

s d ng phép bi n đ i c

2

2

2

6

3

6

2

3

Khi đó ph



ng trình đ



c vi t d

i d ng:









x 1 

x2  1

log 2 6.log 6 x  x2  1 .log3 6.log 6 x  x2  1  log 6 x  x2  1

2

 (1)





t  0
t t  log6 x  x2  1 . Khi đó (1) có d ng: t  log 2 6.log 3 6.t  1  0  
log 2 6.log 3 6.t  1  0
2

 x  x 1
+V i t = 0  log 6 x  x  1  0  x  x  1  1  
 x 1
2
1
x
x





+V i log 2 6.log3 6.t  1  0



Hocmai.vn – Ngôi tr

2



ng chung c a h c trò Vi t

2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)





Hàm s m – Hàm s

Logarit





log 2 6.log 3 6.log 6 x  x2  1  0  log 2 6.log 3 x  x2  1  1





 log 3 x  x2  1  log 6 2  x  x2  1  3log6 2
 x  x2  1  3log6 2
1

 x  3log6 2  3 log6 2
 log 6 2
2
2
 x  x  1  3
1
V y ph ng trình có nghi m x = 1 và x  3log6 2  3 log6 2
2







Bài 4. Gi i ph



ng trình: log 4 5  x2  2 x  3  2log 2  x2  2 x  4 
Gi i

x  1 5
x  2x  3  0

. Vi t l i ph
i u ki n:  2

x  2x  4  0
 x  1  5

2

ng trình d

i d ng:

 x  2 x  3  log  x  2 x  4 
 log  x  2 x  3  log  x  2 x  4  (1)

log

2

2

2

5

2

2

5

4

t t  x2  2 x  4 khi đó (1)  log5  t  1  log 4 t (2)
t y  log4 t  t  4 y ph

ng trình (2) đ

c chuy n thành h :

y
y
y

t  4
 4 1
y
y
4
1
5







     1 (3)
y
t
1
5


 5 5



y

y

 4 1
Hàm s f  y       là hàm ngh ch bi n
 5 5
Ta có:
+ V i y = 1, f(1) = 1 do đó y=1 là nghi m c a ph ng trình (3)
+ V i y > 1, f(y) < f(1) =1 do đó ph ng trình (3) vô nghi m.
+ V i y < 1, f(y) > f(1) =1 do đó ph ng trình (3) vô nghi m
V y y = 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trình (3)
x  4

Suy ra: y  1  t  4  x2  2 x  4  4  x2  2 x  8  0  
 x  2
V y ph ng trình có nghi m x = 4; x = -2
D ng 3 – 4.
Bài 5. Gi i ph ng trình: log3 x  log 4 x  log5 x

Gi i
i u ki n x>0. Ta bi n đ i v cùng c s 3:
log 4 x  log 4 3.log3 x
khi đó ph ng trình có d ng:
log5 x  log5 3.log 3 x

log3 x  log4 3.log3 x  log5 3.log3 x  log3 x 1  log 4 3  log5 3  0  log3 x  0  x  1
V y ph ng trình có nghi m x = 1.
Bài 6. Gi i ph ng trình:

a.log x x2  14log16 x x3  40log 4 x x  0
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

b.3 

1
 89 x 25 
 log x 
 
log32 x

2x 
 2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s m – Hàm s

Logarit

Gi i

a.log x x  14log16 x x  40log 4 x x  0
2

3

2

0  x  2

x  1 ; x  1
t  4, t  2, t  1
t  4, t  2, t  1
16

4



 t  log 2 x  t  4, t  2, t  1    1
  1
21
10 
21
10 

2t  t  1  t  4  t  2   0
2t  t  1  t  4  t  2   0


1
 
 

t
2
3
t
t

 14
 40 2  0
 t  1
4t
2t

t  log 2 x
log 2 x  0
x  1


log x  1   x  2
2

 2
10t  10t  0
K t h p v i đi u ki n , nghi m c a ph ng trình là : x = 1.(Lo i x = 2 vi ph m đi u ki n).
1
 89 x 25 
 log x 
 
b) 3 
log32 x
2x 
 2
 89 x 25 
 89 x 25 
 log x x3  log x 32  log x 
   log x 32.x3  log x 
 
2x 
2x 
 2
 2
 x2  1

0  x  1
0  x  1
25
5


  2 25  x2 
 x
89 x 25  
3
4
2

64
8
32.x 

x 
64.x  89 x  25  0


2
2x

64

V y ph

ng trình có nghi m là : x =

Bài 7. Gi i ph

5
8

ng trình:

a.log x 2  2log 2 x 4  log

2x

b) 5log x x  log 9 x  8log 9 x2 x  2
3

8

9

2

x

Gi i
a.

log x 2  2log2 x 4  log

2x

8

0  x  1

đi u ki n: 
1
x


2

t  log 2 x
t  log 2 x
t  log 2 x


PT  1
 log 2 x  1  x  2 .
2
3  1
2 
 2.
 2.

t  1


1 t
1 t
t
t 1 t

V y ph ng trình có nghi m : x = 2.
x  0
0  x  9
x
9


3
2
b) 5log x x  log 9 x  8log 9 x2 x  2
đi u ki n:   1;  1  
 *
1
9
x
x


x
9
3

9 x2  1

1

t  log9 x
log
x


9

t  log 9 x

4  x  3
 t
 2

2t

 t 
log x  1
8t  6t  1  0
x  3
5 t  1  3  1  t   8. 1  2t  2



 9
2
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s m – Hàm s

Logarit

D ng đ t n ph :

ng trình: lg 2 x  lg x.log 2  4 x  2log 2 x  0

Bài 8. Gi i ph

Gi i
i u ki n x > 0.

ng trình v d ng: lg 2 x   2  lg 2 x lg x  2lg 2 x  0

Bi n đ i ph

t t = lgx, khi đó ph

ng trình t

ng đ

ng v i: t 2   2  log 2 x .t  2log 2 x  0

Ta có:    2  log 2 x  8log 2 x   2  log 2 x suy ra ph
2

lg x  2
t  2
lg x  2
 x  100

t  log x  lg x  lg x  lg x  0   x  1


2

lg 2

V y ph ng trình có 2 nghi m x = 100 và x = 1.

 x  x  12  0

i u ki n  x  0
 x  1 . Bi n đ i ph
 x2  x  0

2

log 2

x
x







2
ng trình: log 2  x  x  1   log 2 x.log 2 x2  x  2  0


Gi i

Bài 9. Gi i ph

x

ng trình có nghi m

2

ng trình v d ng:

2













 log 2 x.log 2 x2  x  2  0  2log 2 x2  x  log 2 x.log 2 x2  x  2  0





u  log 2 x2  x
. Khi đó ph
t 
v  log 2 x

ng trình t

ng đ

ng v i:

u  1
2u  v  uv  2  0   u  1 v  2   0  
v  2
 x  1( L)
log 2 x2  x  1  x2  x  2  0



 x  2
4

x

log 2 x  2

 x  4
V y ph ng trình có 2 nghi m x = 2 và x = 4.



Bài 10. Gi i ph



ng trình: log 2 2 x  log 2 x  1  1 (1)
Gi i

t u  log 2 x . Khi đó ph

ng trình thành: u  u  1  1 (2)
2

u  1  0
 1  u  1
i u ki n: 
2
1  u  0
t v  u  1 đi u ki n 0  v  2  v2  u  1
Khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :
2


u  v  0
u  1  v
 u 2  v 2    u  v   u  v u  v  1  0  
 2

u  v  1  0
v  1  u
Khi đó:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

V i v  u ta đ

Hàm s m – Hàm s

Logarit


1 5
1 5

u 
1 5
2
c: u 2  u  1  0  
 log 2 x 
 x 2 2
2

1 5
(1)
u 
2


x  1
log 2 x  0
u  0

V i u – v +1=0 ta đ c: u  u  0  


1
u  1 log 2 x  1  x 
2

Bài 11: Gi i ph ng trình:
4
a. (2  log3 x) log 9 x 3 
b. log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  6
 1 (1)

1  log3 x
2

Gi i:
a. (2  log3 x) log 9 x 3 

4
 1 (1)
1  log3 x

x  0
x  0



i u ki n: 9 x  1
1
log x  1  x  9 ; x  3
3

2  log3 x
2  log3 x
4
4

1

1
(1) 
log3 (9 x) 1  log3 x

2  log 3 x 1  log3 x
t: t  log3 x (t  2; t  1) Ta có:

1

t  1 log3 x  1  x 
2t
4
2

 1  t  3t  4  0  


3

2  t 1 t
t  4
log 3 x  4
 x  81
So sánh v i đi u ki n ta có nghi m c a ph

1

x

ng trình là:
3

 x  81

b. log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  6
i u ki n: 3x  1  0  x  0
Ta có:

log3 (3x  1) log3 (3x1  3)  6  log3 (3x  1) log3 3 3x 1  6  log 3 (3x 1) 1  log 3 (3x  1)   6
t: t  log3 (3x  1) , ta có:

3x  1  9
 x  log3 10
x

log
(3
1)
2


t
2


3
2


t (t  1)  6  t  t  6  0  

 x
28
1 

x

t
3


x  log3

log3 (3  1)  3 3  1  27

27


H

ng d n gi i m t s câu khó trong kì thi đ i h c cao đ ng:

D – 2011: Gi i ph

ng trình: log 2 8  x2   log 1





1  x  1  x  2  0 ( x  R)

2

Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hàm s m – Hàm s

Logarit

i u ki n: 1  x  1 (*) .
Khi đó, ph

ng trình đã cho t

 8  x2  4



ng v i: log 2 8  x2   log 2 4


ng đ











1 x  1 x 


1  x  1  x  8  x2   16 2  2 1  x2 (1) .
2

t t  1  x2 , (1) tr thành:  7  t 2   32(1  t )  t 4  14t 2  32t  17  0
2

 (t  1)2 (t 2  2t  17)  0  t  1

Do đó: (1)  1  x2  1  x  0 th a mãn (*).
V y ph

ng trình có nghi m : x  0

kh i D – 2007: Gi i ph

ng trình: log 2 (4 x  15.2 x  27)  2log 2

1
0
4.2 x  3

Gi i:
i u ki n: 4.2x  3  0
Ph ng trình đã cho t ng đ

ng v i:

2
 x
2   (l )

log 2 (4  15.2  27)  log 2 (4.2  3)  5(2 )  13.2  6  0 
5
 x
 2  3
x

x

x

2

x 2

x

V y 2x  3  x  log 2 3 (th a mãn đi u ki n).
kh i A – 2008:Gi i ph

ng trình: log 2 x1 (2 x2  x 1)  log x1 (2 x 1) 2  4

Gi i:
1
và x  1 .
2
ng trình đã cho t ng đ

i u ki n: x 
Ph

ng v i:

log2 x1 (2 x  1)( x  1)  log x1 (2 x 1)2  4  1  log 2 x1 ( x  1)  2log x1 (2 x 1)  4

t t  log 2 x1 ( x  1) , ta có: t 

t  1
2
 3  t 2  3t  2  0  
t
t  2

- V i t = 1  log 2 x1 ( x  1)  1  2 x 1  x  1  x  2
 x  0 (l )
- V i t = 2  log 2 x1 ( x  1)  2  (2 x  1) 2  x  1  
x  5

4

5
V y nghi m c a ph ng trình là: x  2; x 
4

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-