Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến

NHTHO.WORDPRESS.COM

Bài giảng mơn
Giải tích hàm nhiều biến
TS. NGUYỄN HỮU THỌ

2019-2020

BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Đây là bài giảng mơn Giải tích hàm số nhiều biến dành cho sinh viên năm thứ nhất của các
Khoa Cơng trình, Khoa Cơng nghệ thơng tin và một số ngành khác của Trường đại học thủy lợi.

Giáo trình chính
Giải tích hàm nhiều biến (Lưu hành nội bộ)
Sách dịch, do Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch
(đã chỉnh lý lần thứ nhất năm 2010)

CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM

1.

Điểm q trình: chiếm 40%
+ Điểm chun cần

+ Điểm tích cực
+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2.

Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%

3.

Điểm học phần = ĐQT + ĐThi

1

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY (SYLLABUS)
Mơn học : Giải tích hàm nhiều biến
Mỗi tuần: 4 tiết Lý thuyết + 2 tiết Bài tập

Buổi

Nội dung bài giảng

Số tiết

1

Thông báo đề cương mơn học, cách cho điểm q trình, lịch kiểm tra.
$1 Hệ tọa độ trong không gian ba chiều. Mặt cong.
+ Hệ tọa độ và véc tơ trong không gian ba chiều (18.1)
+ Đường thẳng và mặt phẳng (18.4).
+ Các mặt cong trong khơng gian ba chiều: mặt trụ, mặt trịn xoay, mặt bậc
2 không suy biến (nhấn mạnh parabol eliptic, nón). (16.5-16.6)

3

Bài tập $1.

1

$2 Đạo hàm riêng.
+ Hàm số nhiều biến, miền xác định, đường mức, mặt mức (19.1).
+ Đạo hàm riêng cấp một, đạo hàm riêng cấp 2 (19.2).
+ Mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong (19.3).

2

Bài tập $2.

1

$3 Đạo hàm có hướng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn.
+ Số gia và vi phân của hàm hai biến. Bổ đề cơ bản (19.4).

+ Khái niệm, công thức đạo hàm theo hướng (19.5).
+ Gradient và ứng dụng trong hình học (tiếp diện, pháp tuyến với mặt
cong).

2

Bài tập $3.

1

$4 Đạo hàm hàm hợp. Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng
+ Quy tắc dây chuyền (19.6).
+ Đạo hàm hàm ẩn (19.10).
+ Giới thiệu phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương
trình Laplace và Poison (19.9): luyện tập tính đạo hàm riêng.

2

Bài tập $4.

1

2

3

4

2

5

$5 Bài toán giá trị cực đại và cực tiểu (19.7).
+ Khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số.
+ Điều kiện cần hàm hai biến có cực trị.
+ Điều kiện đủ hàm hai biến có cực trị.
+ Ứng dụng cực trị tự do của hàm hai biến trong các bài toán thực tế.

6

Bài tập $5.

2

1
nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

Buổi

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Nội dung bài giảng

Số tiết

$6 Cực trị có điều kiện (19.8).
+ Khái niệm cực trị có điều kiện và phương pháp nhân tử lagrange.

+ Điều kiện đủ theo tiêu chuẩn vi phân tồn phần cấp hai.

2

Bài tập $6.

7

8

9

10

11

3

2019 -2020

1

$7 Tích phân bội hai
+ Tính thể tích bằng tích phân lặp (20.1).
+ Khái niệm tích phân bội hai (20.2).
+ Cách tính tích phân bội hai theo miền thẳng đứng và nằm ngang đơn
giản. Đổi thứ tự lấy tích phân (20.2).
+ Giới thiệu cơng thức: Các ứng dụng vật lý của tích phân bội hai (20.3)

2

Bài tập $7.

1

Kiểm tra giữa kỳ.

2

$8 Tích phân bội hai trong tọa độ cực
+ Đổi biến trong tích phân bội.
+ Đổi biến sang toạ độ cực (20.4)

3

Bài tập $8.

1

$9 Tích phân bội ba (20.5).
+ Khái niệm tích phân bội ba.
+ Cách tính tích phân bội ba.
+ Vẽ miền và chọn cận trong tính tích phân bội ba.

2

Bài tập $9.

1

$10 Đổi biến trong tích phân bội ba.
+ Hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu (18.7).
+ Đổi biến sang toạ độ trụ (20.6).
+ Đổi biến sang toạ độ cầu (20.7).
+ Ứng dụng tích phân bội ba: thể tích.

2

Bài tập $10.

1

12

$11 Tích phân đường trong mặt phẳng.
+ Lý thuyết trường: grad, dive, curl và ý nghĩa vật lý.
+ Bài tốn tính cơng của lực biến đổi và khái niệm tích phân đường (21.1).
+ Cách tính tích phân đường.

13

Bài tập $11.

2

1
nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

Buổi

14

15

4

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Nội dung bài giảng

2019 -2020

Số tiết

$12 Định lý Green (21.3).
+ Định lý Green.
+ Bốn mệnh đề tương đương.
+ Trường bảo tồn và sự khơng phụ thuộc vào đường (21.2).

2

Bài tập $12.

1

$13 Tích phân mặt và định lý phân nhánh (A22, trang 249)
+ Khái niệm tích phân mặt.

+ Định lý phân nhánh.
+ Diện tích của mặt cong (20.8).

2

Bài tập $13.

1

$14 Tổng kết mơn học. Đọc điểm q trình.

2

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 1
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG ℝ 3 . MỘT SỐ MẶT CONG TRONG ℝ 3

I. Giải tích véc tơ.
1. Nhắc lại tham số của đường cong.

x = f (t )
Dạng: 

(1)

y = g (t )

Trong các bài toán Vật lý ta thường xét một chuyển động điểm và t
được hiểu là thời gian được đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu.
Điểm P = (x , y ) = (x (t ), y (t )) vạch một đường cong khi t biến thiên:
t1 ≤ t ≤ t2 .
Nhận xét: 1. Phương trình tham số mơ tả
+ Quỹ đạo mà điểm di chuyển
+ Hướng của chuyển động
+ vị trí của quỹ tích đối với nhiều giá trị của t ,
2. Với mỗi t ta xác định được vị trí của điểm P (x (t ), y (t )) .
3. Có thể có nhiều cách tham số hóa một đường cong.
2. Hàm véc tơ một biến
x = x (t )
a. Định nghĩa : Xét đường cong có phương trình tham số: 
y = y(t )

Mét ®iĨm P = (x , y ) chun ®éng däc theo ®−êng cong trong mặt
phẳng xy,

tại mỗi thời điểm t sẽ xác định vị trí của điểm

P = (x , y ) = (x (t ), y (t )) . Nh− vËy vÐc tơ định vị của điểm chuyển động

sẽ miêu tả chính xác sự chuyển động.
Khi đó: vi mi t s cho tương ứng với duy nhất một véc tơ R(t ) = OP = x (t )i+y(t ) j và khi ú ta núi
rng ta cú một hàm véc tơ của t và viết R = R(t ) .

b. Giới hạn. TÝnh liªn tơc (Tự đọc)

5

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

Ta nãi r»ng

TS. Nguyễn Hữu Thọ

lim R (t ) = R 0

2019 -2020

khi vµ chØ khi ∀ ε > 0, ∃δ > 0 : ∀t, 0 < t − t0 < δ th× ta cã

t →t0

(Chó ý: A-B = (a1 − b1 )2 + (a 2 − b2 )2 .

R(t ) − R 0 < ε.

Nh− vËy: nÕu R(t ) = x (t )i + y(t ) j;

R 0 = x 0i + y0 j

;

khi ®ã

lim x (t ) = x
0
 t →t
lim R (t ) = R 0 (x 0 ; y 0 ) ⇔  0
t →t0
lim y(t ) = y 0 .
t t0

R(t) đợc nói là liên tục tại t = t0 nÕu lim R (t ) = R (t0 )
t →t0

cã nghÜa lµ R(t ) − R(t 0 ) có thể có giá trị nhỏ tuỳ ý khi lấy t đủ gần t 0 .
Nh vậy : R(t ) = x (t )i + y(t ) j;

R(t 0 ) = x (t 0 )i + y(t 0 )j

.

x (t )
R (t ) liªn tơc nÕu 
cïng liªn tơc, tøc
y (t )


lµ
lim x (t ) = x (t )
0

 t →t
lim R (t ) = R 0 ⇔  0
t →t0
lim y(t ) = y(t 0 ).
 t →t0
c. Đạo hàm của hàm véc tơ R = R(t).
Cho hàm vÐc t¬ : R(t ) = x (t )i + y (t ) j , khi t biÕn thiªn tíi t + t , sự thay đổi trong R là

Xét giíi h¹n :

∆R = R(t +∆t ) - R(t )
= x (t + ∆t ) - x (t ) i + y(t + ∆t ) - y(t ) j
∆R
R(t + ∆t ) − R(t )
lim
= lim
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
t

nếu giới hạn đó tồn tại ta nói rằng hàm véc tơ R(t ) có đạo hàm (khả vi) theo t , và giá trị giới hạn đó là đạo
dR
dt
dR dx
dy
=
i+
j
dt
dt

dt
tơng tự đối với đạo hàm cấp hai : R"(t ) ...
Nhận xét : Hàm véc tơ R(t ) khả vi khi và chỉ khi các hàm vô hớng x (t ) và y (t ) là những hàm khả vi

hµm cÊp 1 cđa R(t ) , ký hiƯu : R '(t ),

vµ R '(t ) = ((x '(t ), y '(t )) .
Ví dụ: Xét hàm véc tơ R(t ) = (2t 2 + t + 1)i + (t 3 + t ) j , khi ®ã ta cã R'(t ) = (4t + 1)i + (3t 2 + 1) j .
Các quy tắc tính đạo hàm: Cho R1(t ), R 2 (t ), R(t ) là các hàm véc tơ khả vi, u (t ) là hàm vô hớng (hàm
số) khả vi. Khi đó :
6

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

1)

dR 1 dR 2
d
R1 ± R 2 ) =
±
(
dt
dt
dt

2)

d
dR
du
(uR) = u
+R
dt
dt
dt

3) NÕu R = R(u ),

u = u(t ) , ta sÏ cã

2019 -2020

dR dR du
=
⋅
dt
du dt

4) NÕu R(t ) = R * là véc tơ hằng (không thay đổi khi t thay đổi) thì
dR d R *
=
= O (véc tơ O).
dt
dt

ý nghĩa hình học : Xét hàm véc tơ R(t ) , các điểm cuối P biểu diễn
R(t ) vạch một đờng cong. Khi đó đạo hàm

dR(t )
là véc tơ tiếp xúc với
dt

đờng cong tại điểm ngọn P của R(t ) , và độ dài của véc tơ đó lµ:
dx  dy 
dR
dx 2 + dy 2
ds
=   +   =
= .
dt
dt
dt
 dt   dt 
2

Nh− vậy : Véc tơ

dR
dt

2

có hớng chính là hớng của chuyển ®éng, ®é dµi b»ng tèc ®é cđa chun ®éng.

VÝ dơ 1 : Cho R(t )  (4 cos 2t )i  (3 sin 2t ) j , h·y t×m quü đạo chuyển động của

điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v và các điểm trên ®−êng
trong ®ã v lµ lín nhÊt vµ nhá nhÊt.
x  4 cos 2t
Giải + Phơng trình tham số
ca đờng ellipse.
y  3 sin 2t
x 2 y2
+
=1
16
9

§iĨm P (x ; y ) chuyển động trên ellip ngợc chiều kim đồng hồ.
+ Vận tốc là : v ...
+ Tốc độ lµ: v = v = (64 sin2 2t + 36 cos2 2t )1/2 = (28 sin2 2t + 36)1/2 .
7

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Th

2019 -2020

+ Tốc độ nhỏ nhất là 6 khi sin 2t 0 , và đạt đợc khi P ở hai đầu trục phụ.
+ Tốc độ lớn nhất là 8 khi sin 2t  1 do ®ã cos 2t  1 nghĩa là P ở hai đầu trục chính.
Vận tốc v của điểm chuyển động là tốc độ biến thiên vÞ trÝ cđa nã, gia
dv d 2 R

= 2 .
tèc a là là tốc độ biến thiên của vận tốc của điểm : a =
dt
dt
Nếu điểm dịch chuyển P là vị trí chuyển động cơ học của một vật có
khối lợng m chuyển động dới tác động của lực F, theo Định luật II
Newton
F ma .
Nh vậy: lực và gia tốc có cùng hớng. Cả F và a hớng tới bề lõm của
đờng cong(trừ một số trờng hợp ngoại lệ F và a có thể tiếp xúc với đờng
cong).
Ví dơ1.(tiÕp tơc). Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng
a=

dv
= (−16 cos 2t )i + (−12 sin 2t ) j
dt

a = −4  (4 cos 2t ) i + (3 sin 2t ) j = −4R.



hay lµ :

Nh− vËy: Gia tốc luôn luôn hớng đến tâm của đờng ellipse.
Ví dụ 2: (Chuyển động tròn đều). Một vật có khối lợng m chuyển động
ngợc chiều kim đồng hồ dọc đờng trßn x 2  y 2  r 2 2 với tốc độ không đổi
v . HÃy tính gia tốc của vật và lực cần thiết để tạo ra sự chuyển động .
Giả: + Đờng cong quỹ đạo có thể viÕt nh− sau
R  (rcos)i  (rsin) j

+ V× s  r ta cã : v =
+ Do ®ã

ds
dθ
=r
dt
dt

d v
 , nên
dt r

v=

và :

a=

d R dR d
v
=
= (r sin θ ) i + (r cos θ ) j


dt
d θ dt
r
= v (− sin θ ) i + (cos θ ) j




d v dv d θ
v
v2
=
= v (− cos θ)i + (− sin θ) j
= − (cos θ)i + (sin ) j
dt
d dt
r
r

Bằng cách nhân và chia cho r ta cã a = - (v2/r2)R. Nh− vËy,vect¬ gia tốc a hớng về tâm của đờng tròn và
có độ lín

8

a =

v2
v2
R
=
.
r
r2
nhtho.wordpress.com

Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Th

2019 -2020

Theo định luật của Newton, lực F cần thiết để tạo ra chuyển động phải hớng về tâm của đờng tròn : Lực
này đợc gọi là lực hớng tâm.
d) Véc tơ tiếp tuyến đơn vị
Xét tham số s là ®é dµi cung ®o däc theo ®−êng cong tõ ®iĨm cố định P0
đến P . Khi đó R R(s ) và véc tơ T đợc định nghĩa:
T=

dR
R
= lim

t

0
ds
s

là véc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đối với đờng cong t¹i P .
Ta cã :
v=

dR dR ds
ds

=
=T .
dt
ds dt
dt

h−íng của v đợc chỉ ra bởi T và độ lớn là

ds
.
dt

e) Véc tơ pháp tuyến đơn vị
Xét góc (góc tạo bởi chiều dơng trục Ox và tiếp tuyến tại P )
ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vị
T = i cos φ + j sin φ

dT
= N:
dφ

→

dT
= - i sin + j cos
d

là véc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm P .

f) Độ cong

Vì hớng của đờng cong đợc quy định bởi góc từ trục Ox đến
tiếp tuyến, ta xét góc này nh một hàm số của độ dài cung s và định
nghĩa độ cong k là tốc độ biến thiên của theo s :
k=

d
.
ds

+ k 0 có nghĩa là tăng khi s tăng và đờng cong này dịch chuyển xa sang bên trái của đờng tiếp
tuyến theo hớng dơng.
+ k 0 nghĩa là chuyển xa sang bên phải của tiếp tuyến.
Nhận xét : Đờng thẳng có độ cong bằng kh«ng.

9

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Th

Đờng tròn bán kính a có độ cong: k =

2019 -2020

d
2
1

=
= .
ds
2 a a

k=

Độ cong của đồ thị cđa hµm sè y  f (x ) lµ:

d 2y
dx 2
2

dy  


1 +   
dx  




3/2

x = x (t )
Nếu mt đờng cong cho dới dạng tham số
thì độ cong của nó đợc tính theo
y = y(t )


c«ng thøc:

k=

x ′y ′′ − y ′x ′′
2
2

(x ′ ) + (y ′) 



3/2

VÝ dô 1: Chøng minh rằng độ cong của parabola y x 2 là lớn nhất tại đỉnh của nó.

Giải : Tính toán cụ thÓ ta cã k =

d 2y
dx 2
2

dy  


1 +   
dx  




3/2

=

2

(

1 + 4x 2

)

3/2

. Râ rµng, đại lợng này có giá trị lớn nhất

khi x 0 nghĩa là tại đỉnh.
II. Mặt trụ. Mặt tròn xoay. MỈt bËc hai
0. Nhắc lại hệ tọa độ Đề các trong ℝ 3 . Đường thẳng và mặt phẳng.

1. Nh¾c lại một số đờng bậc hai trong mặt phẳng
Đờng cong trong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = 0 , các đờng cô nic:
(E) – Elip:

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

(H) – Hypecbol:

x 2 y2
−
= ±1
a 2 b2

(P) – Parabol:

x 2 = ±2py;

(C) - §−êng trßn:

(x − a )2 + (y − b)2 = R 2 …..

y 2 = ±2px

2. MỈt trơ
a. Định nghĩa: Xét một đường cong phẳng (C ) và một đường thẳng L
không song song với mặt phẳng của (C ) .
Mặt trụ là hình trong khơng gian được sinh ra bởi một đường thẳng dịch
10

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

chuyển song song với L và tựa trên (C ) . Đường thẳng chuyển động đó được gọi là đường sinh của mặt
trụ. Đường cong (C ) goi là đường chuẩn.
Nếu (C ) là đường tròn và L là đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn khi đó ta được mặt
trụ trịn xoay.
b. Phương trình của mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C ) có phương
trình (trong Oxy ): F (x , y ) = 0 và cho đường sinh song song với trục Oz .
Khi đó phương trình F (x , y ) = 0 trong Oxyz cũng là phương trình của mặt
trụ trong không gian ba chiều.
Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chuẩn+ ic

Kết luận Bất cứ một phương trình trong hệ toạ độ Oxy khuyết một biến đều biểu diễn một mặt trụ với các
đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết.
x 2 y2
.
+
=1
9
4
Giải + Đây là phương trình của mặt trụ vì khuyết z trong Oxyz với các đường sinh song song với trục Oz .
Mặt cong này được gọi là mặt trụ elliptic.

Ví dụ 1. Vẽ mặt trụ:

Ví dụ 2. Vẽ mặt trụ z = x 2
Giải: Đây mặt trụ với các đường sinh song song với trục Oy vì khuyết
biến y trong phương trình. Mặt cong này được gọi là mặt trụ parabolic.
3. Mặt tròn xoay
a. Định nghĩa: Một mặt cong do xoay đường cong phẳng (C ) quanh

một đường thẳng L không cùng thuộc mặt phẳng chứa (C ) được gọi là
mặt tròn xoay với trục L .
Đường cong (C ) lúc này gọi là đường sinh của mặt tròn xoay.
11

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

b. Mơ tả phương trình mặt trịn xoay:
Giả sử đường cong (C ) nằm trong mặt phẳng Oyz có phương trình
f (y, z ) = 0

Khi đường cong này xoay quanh trục Oz , đường cong (C ) sẽ tạo nên mặt
trịn xoay có p/t:

f (± x 2 + y 2 , z ) = 0
Ví dụ 3. Nếu đuờng thẳng z  3y trong mặt phẳng Oyz xoay trịn quanh
trục Oz thì mặt trịn xoay là một mặt nón hai tầng với đỉnh tại gốc toạ độ
và trục là trục Oz . Để có phương trình của mặt nón này chúng ta thay thế
y trong phương trình z  3y bởi ± x 2 + y 2 và sau đó hữu tỷ hố bằng
bình phương:

z = ±3 x 2 + y 2 ⇔ z 2 = 9(x 2 + y 2 ) .
4. Mặt bậc hai

a. Phương trình tổng quát của mặt bậc hai
Trong không gian ba chiều, dạng tổng qt của phương trình bậc hai có dạng:

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
giả thiết rằng tất cả các hệ số A, B,..., F không đồng thời bằng không nên bậc của phương trình thực sự là
bậc 2. Đồ thị của các phương trình này được gọi là mặt bậc hai.
b. Các dạng mặt bậc hai thường gặp
Có chính xác sáu loại mặt bậc hai không suy biến:
1.

Ellipsoid.

2.

Hyperboloid một tầng.

3.

Hyperboloid hai tầng.

4.

Mặt nón elliptic.

5.

Paraboloid Elliptic

6.

Paraboloid Hyperbolic.

c. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Mặt ellipsoid:

x 2 y2 z 2
+
+
=1
a 2 b2 c2

+ Bậc của x , y, z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mỗi mặt phẳng toạ
độ.
12

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

+ Các lát cắt trong mặt phẳng Oxz và Oyz là các ellip:

x2 z2
+
=1;
a 2 c2

y2 z 2
+
=1
b2 c2

+ Lắt cắt trong mặt phẳng nằm ngang z  k là elip:
x 2 y2
k2
+
= 1− 2
a 2 b2
c
và elip này giảm dần kích thước khi k biến thiên từ 0 tới c hoặc c .
x 2 y2 z2
Ví dụ 2. Đồ thị của phương trình 2 + 2 − 2 = 1
a
b
c
là một hyperboloid một tầng.
+ Nếu viết p/trình dưới dạng :

x 2 y2
z2
+
=
1
+
a 2 b2
c2

thì chúng ta nhận thấy lát cắt ngang trong mặt phẳng z  k là các ellip, và các
elip này lớn dần khi dịch chuyển xa mặt phẳng Oxy .

y2 z2
− =1
b2 c2

+ Lát cắt của mặt cong trong mặt phẳng Oyz là hyperbol :
Ví dụ 3 : Mặt hyperboloid hai tầng:

−

x2
y2
z2
−
+
=1
a2
b2
c2

+ Nếu chúng ta viết phương trình theo dạng:

x2
y2
z2
+
=

−1
a2
b2
c2
thì các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  k với k ≥ c là các ellip hoặc các
điểm riêng biệt, còn các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  k với k < c là
rỗng.
+ Lát cắt trong mặt phẳng yz là hypecbol :

Ví dụ 4. Đồ thị của phương trình:

z 2 y2
−
= 1.
c2 b2

x 2 y2
z2
+
=
a 2 b2
c2

là một mặt nón elliptic.

+ Mặt cong này giao với các mặt phẳng xz và yz theo các cặp đường thẳng giao nhau
c
z = ± x,
a

c
z =± x
b

+ Giao với mặt phẳng xy tại gốc toạ độ.
13

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

+ Tất cả các lát cắt ngang bị căt bởi mặt phẳng z  k với k ≠ 0 là các elip.
+ Khi a  b , mặt nón là mặt nón trịn.
Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic(với a , b cùng dấu):

z = ax 2 + by 2

+Lát cắt thẳng đứng của mặt cong với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng Oyz là
các parabol: z = ax 2 ,

z = by 2

+ Các lát cắt nằm ngang của mặt cong này trong mặt phẳng z  k
là các elip nếu k  0 ,
là gốc toạ độ nếu k  0

và rỗng nếu k  0 .

Ví dụ 6. Mặt paraboloid hyperbolic (với a, b cùng dấu): z = by 2 − ax 2
+ Lát cắt với mặt phẳng yz là parabol z = by 2 mở quay lên và trong mặt phẳng Oxz là parabol

z = −ax 2 mở quay xuống.
+ Trong tất cả các mặt phẳng y  k song song với mặt phẳng Oxz , các lát cắt là các parabol mở quay
xuống và có các đỉnh chạy dọc theo parabol z = by 2 .
+ Càng gần gốc toạ độ, mặt cong tăng theo y và giảm theo x nên nó có hình dạng của yên ngựa hoăc khe
núi, vì vậy, mặt cong này thường đuợc gọi là mặt yên ngựa với gốc toạ độ là tâm yên ngựa.

Về nhà: Tự đọc các Mục 18.1 đến 18.4
Bài tập: Tr. 44, 50, 55.
Đọc trước các Mục 19.1, 19.2, 19.3 chuẩn bị cho Bài số 2:
Hàm nhiều biến. Đạo hàm riêng. Mặt phẳng tiếp xúc.

14

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 2
HÀM NHIỀU BIẾN. ĐẠO HÀM RIÊNG.
MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG.

I. Hàm số nhiều biến.
1. Định nghĩa: Cho (x , y ) ∈ D ⊆ ℝ 2 = ℝ × ℝ , quy tắc cho tương ứng
mỗi cặp (x , y ) một phần tử duy nhất z ∈ ℝ được gọi là một hàm số của
hai biến x và y , ký hiệu : z = f (x , y ) .
Tương tự ta cũng có khái niệm của hàm số n biến với n ≥ 3 .
Ví dụ:
+ Trong hình học giải tích khơng gian: phương trình z = x 2 − y 2 (p/t
của mặt yên ngựa) là hàm số hai biến x , y , lúc này mặt yên ngựa là đồ thị của hàm số này.
+ Nếu chúng ta cho nhiệt độ tại điểm P biến thiên theo thời gian t , thì T = f (x , y, z , t ) .
2. Miền xác định
Xét hàm số hai biến z = f (x , y ) , miền xác định của nó là tập hợp tất cả các điểm P (x ; y ) trong mặt phẳng
Oxy sao cho tồn tại một tương ứng z .

Tương tự cũng có định nghĩa miền xác định đối với các hàm số trong không gian Oxyz , không gian Oxyzt ,
..
Nếu hàm số cho bởi các công thức, miền xác định là tập hợp tất cả các điểm để cơng thức có nghĩa.
Ví dụ 1:  Xét hàm số :
 Xét hàm số

z = f (x, y ) =

1
.
x −y

{

MXĐ: D = (x, y ) x ≠ y

}

z = g(x , y ) = 9 − x 2 − y 2

{

} {

}

MXĐ: D = (x, y) 9 − x 2 − y 2 ≥ 0 = (x, y ) x 2 + y 2 ≤ 9
 Xét hàm số 3 biến: w = h(x , y, z ) =

2x + 3y + 4z
x 2 + y2 + z 2

{

}

MXĐ: D = (x , y, z ) x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0
3. Giới hạn .

Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trong lân cận của điểm M 0 (x 0, y 0 ) . Ta nói rằng
lim

(x ,y )→(x 0 ,y 0 )

15

f (x , y ) = L

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

nếu với mọi điểm ε > 0 nhỏ tuy ý luôn tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi điểm M (x , y ) sao cho
d (M , M 0 ) = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < ε

thì ta ln có f (x ) − L < ε.
Chú ý: Ta cũng có định nghĩa tương tự đối với hàm 3 biến, hàm n biến ( n > 3 ), các định nghĩa khác về
giới hạn của hàm nhiều biến cũng được định nghĩa tương tự như đối với các hàm một biến.
4. Tính liên tục: Hàm số f (x , y ) được nói là liên tục tại một điểm (x o , yo ) trong miền xác định của nó nếu
giá trị f (x , y ) tiến gần tới f (xo , yo ) khi (x , y ) đủ gần với (x o , yo ) , nghĩa là

x − xo

khi

và

y − yo

đủ bé, hay là

lim

(x ,y )→(x 0 ,y 0 )

f (x , y ) − f (x o , yo )

bé tuỳ ý

f (x , y ) = f (x 0, y 0 ) .

Ví dụ 2:  Hàm số f (x , y ) = xy liên tục tại điểm (x o , yo ) bất kì, vì

xy − x 0yo = xy − xyo + xyo − x 0yo
= x (y − yo ) + (x − x 0 )yo
≤ x y − yo + yo x − xo
nên khi

x − xo

 Hàm số :

và

y − yo

f (x , y ) − f (xo , yo ) → 0 .

dần tới 0 thì

 xy


f (x , y ) =  x 2 + y 2

 0

(x , y ) ≠ (0, 0)
(x , y ) = (0, 0)

không liên tục tại gốc toạ độ (0; 0) . Vì, nếu cho (x , y ) tiến đến (0; 0) dọc theo đường thẳng y  mx với
m ≠ 0 thì

f (x , y ) =

mx 2
m
=
≠ 0 nên không thể dần tới f (0, 0) = 0 khi (x , y ) đủ gần (0; 0) .
2
2 2
x +m x
1 + m2

Các hàm số sơ cấp thì liên tục tại điểm bất kì thuộc miền xác định của nó. Tương tự tính liên tục được định
nghĩa đối với hàm số của ba hay nhiều hơn biến .
5. Đường mức
Định nghĩa: Xét hàm số

z = f (x , y ) . Một đường cong

được gọi là một đường mức nếu nó nằm trong miền xác định

của hàm số, và trên đó z = f (x , y ) có giá trị khơng đổi c .
Ứng dụng: + Mơ tả bản chất hình học của một hàm số
nhiều biến (khi khó vẽ đồ thị của nó).

16

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

+ Trong vẽ bản đồ địa hình với thung lũng, đồi và núi: nhận được một hình ảnh rõ ràng về các sự thể trên
mặt đất trong không gian ba chiều từ sự mô tả trong không gian hai chiều.
Tập hợp các đường mức được gọi là bản đồ trắc địa.

6. Mặt mức
Chúng ta không thể vẽ đồ thị đối với hàm ba biến vì khi đó cần một khơng gian hữu hình bốn chiều để chứa
đồ thị. Tư tưởng của đường mức sẽ dẫn tới khái niệm mặt mức .
Định nghĩa. Xét hàm số ba biến w = f (x , y, z ) . Một mặt cong được gọi là một mặt mức nếu nó nằm
trong miền xác định của hàm số, và trên đó w = f (x , y, z ) có giá trị khơng đổi c .
Ứng dụng : Mặt mức có thể khó vẽ, nhưng kiến thức về chúng có thể giúp chúng ta định dạng ý tưởng
trực giác có ích về bản chất của các hàm số này.
Ví dụ 3: + Xét hàm số w = x + 2y + 3z , có mặt mức là các mặt phẳng x + 2y + 3z = c
+ Hàm số w = x 2 + y 2 + z 2 , có mặt mức là khối cầu đồng tâm

x 2 + y2 + z2 = c .

II. ĐẠO HÀM RIÊNG
1. Định nghĩa: Xét hàm hai biến z  f (x ; y ) , trước hết chúng ta giữ y cố định và cho x biến thiên. Tốc
∂z
và định nghĩa bởi
∂x
z
f (x  x ; y )  f (x ; y )
 lim

x

0
x
x

độ biến thiên của z theo x được kí hiệu là

Giới hạn này (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng(cấp một) của z theo x .
Ký hiệu thường sử dụng:

z
f
; z x ; fx ;
; f (x ; y )
x
x x

Tương tự, nếu x cố định và y thay đổi thì đạo hàm riêng của z theo y là :
17

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

z
f (x ; y  y )  f (x ; y )
 lim

y

0
y
y

kí hiệu trong truờng hợp này là :

z
f
; z y ; fy ;
; f (x ; y ) .
y
y y

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng cho hàm nhiều hơn hai biến.

Quy tắc: lấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số theo một biến chúng ta coi tất cả các biến độc lập

khác là hằng số và khi đó ta thực hiện các phép tốn đạo hàm riêng (theo một biến đó) như các phép
toán lấy đạo hàm của hàm một biến.
 Ví dụ 4. Xét hàm số : f (x , y ) = x 3 − 3x 2y 3 + y 2 . Tính các ĐHR
 Ví dụ 5
(a) Nếu f (x , y ) = xy 2 + x 3 thì fx = ???; fy = ???? ……
2

(b) Nếu g(x , y ) = xe xy thì g x = ???; gy = ???? …….
.
(c) Nếu h(x , y ) = sin x 2 cos 3y

thì

hx = ???; hy = ????

 Ví dụ 6: Nếu w = f (x , y, z, u, v ) = xy 2 + 2x 3 + xyz + zu + tan uv thì ……
Chú ý: + Trong trường hợp một biến, chúng ta biết đạo hàm có thể coi là phân số: thương của các vi phân
dy và dx .
+ Đối với hàm nhiều biến: đạo hàm riêng không được hiểu theo cách như vậy.

 Ví dụ 7. Định luật khí lí tưởng nói rằng số lượng khí đã có, áp suất p, thể tích V, nhiệt độ tuyệt đối T
được liên hệ với nhau bởi phương trình
pV = nRT
trong đó n là số lượng phân tử gam khí ở điều kiện lí tưởng và R là hằng số.
Ta có
nRT
nRT
pV

p=
, V =
, T =
V
p
nR
∂p
∂V
∂T
nRT
nR
V
nên :
=− 2 ,
=
,
=
∂V
∂T
∂ p nR
p
V
suy ra :

∂p

∂V

∂T

 nRT  nR
= − 2 
∂ V ∂ T ∂ p  V  p

V
nRT
=−
= −1 .
nR
pV

Kết quả bằng -1 : không thể coi các đạo hàm riêng ở vế trái như là các phân số.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng cấp một
18

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Xét h/số hai biến z  f (x ; y ) có đồ thị là một mặt
cong.
Xét điểm (x 0 , y 0 ) trong mặt phẳng Oxy tương ứng với
điểm (x 0 , y 0 , z 0 ) trên mặt cong. Giữ y cố định tại điểm

y0 nghĩa là chia mặt cong bởi mặt phẳng y = y 0 , và

giao là đường cong z = f (x 0 , y 0 ) trong mặt phẳng đó.
Số



 ∂ z 


 ∂ x 

= fx (x 0 , y 0 )

(x 0 ,y 0 )

là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại
x = x 0 . Vì vậy,

 ∂ z 


tan α = 

 ∂ x 

= fx (x 0,y 0 ) .

(x 0 ,y0 )

Tương tự, giao của mặt cong với mặt phẳng x = x 0 là đường cong z = f (x 0, y 0 ) ,và đạo hàm riêng còn lại
là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại y = y 0 , và



 ∂ z 
tan β = 

 ∂ y 

= fy (x 0,y 0 ) .

(x 0 ,y0 )

3. Đạo hàm riêng cấp cao
Đối với hàm hai biến z  f (x ; y ) , các đạo hàm riêng fx = fx (x , y ) và fy = fy (x , y ) cũng là các hàm số hai
biến, và có thể chúng cũng có các đạo hàm riêng.
Như vậy các đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa thông qua đạo hàm riêng cấp một
∂f
∂f
= fx và
= fy .
∂x
∂y

 Khi đó các đạo hàm riêng cấp hai theo x là:
∂  ∂ f  ∂ 2 f
∂
∂  ∂ f 
∂ 2f
∂





=
fx = fxx và
=
f = fyx
 =
 =
2
∂ x  ∂ x  ∂ x
∂x
∂ x  ∂ y  ∂ x ∂ y
∂x y
 Các đạo hàm riêng theo y là:
∂  ∂ f 
∂ 2f
∂
∂  ∂ f  ∂ 2 f
∂
 =
=


=
f
=
f
=
f = fyy .

và


xy
∂ y  ∂ x  ∂ y ∂ x
∂y x
∂ y  ∂ y 
∂y y
∂ y2
 Các đạo hàm riêng cấp hai thuần tuý:
∂ 2f
∂ 2f
fxx =
fyy =
và
∂ x2
∂ y2
Ý nghĩa: biểu thị tốc độ biến thiên của tốc độ biến thiên của f .
19

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

 Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp:

∂2 f

∂x ∂y

và

2019 -2020

∂2 f
.
∂y ∂x

Ý nghĩa:
* fyx =

∂2 f
chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng y của tốc độ biến thiên của f theo hướng x .
∂x ∂y

* fxy =

∂2 f
chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng x của tốc độ biến thiên của f theo hướng y
∂y ∂x

.
Câu hỏi: Giữa các đạo hàm riêng hỗn hợp có mối liên hệ gì?

 Ví dụ 8. Xét f (x , y ) = x 3e 5y + y sin 2x .
Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp :
fxy = 15x 2e 5y + 2 cos 2x ,

fyx = 15x 2e 5y + 2 cos 2x .

∂2 f
∂2 f
= fyx =
, tức là thứ tự lấy đạo hàm riêng trong trường hợp này không quan
∂y ∂x
∂x ∂y
trọng. Tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng.
dễ thấy

fxy =

∂2 f
∂2 f
và fyx =
∂y ∂x
∂x ∂y
fxy (x 0 , y 0 ) = fyx (x 0 , y 0 ) .

Điều kiện quan trọng : Nếu fxy =
và liên tục tại điểm đó thì

tồn tại đối với tất cả các điểm gần (x 0, y 0 )

Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn hai, cũng như các đạo hàm cấp cao của các hàm số nhiều hơn hai biến, được
định nghĩa tương tự.

Xét w  f (x ; y ; z ) thì :


∂ 3f
∂

=
 ∂ x ∂ y ∂ z
∂x

4

∂ f
∂

=
2
∂z
 ∂ z ∂ y ∂ x

 ∂ 2 f 

 = ( fzy ) = fz yx ,

x
 ∂ y ∂ z 
 ∂3f

 = ( f ) = f , ...

xxy z
xxyz

2 
 ∂ y ∂ x 

III. MẶT PHẲNG TIẾP XÚC ĐỐI VỚI MẶT CONG
Xét mặt cong z  f (x ; y ) , mặt phẳng y = y 0 giao với mặt cong
này theo đường cong (C 1 ) có phương trình là
z = f (x , y 0 ) ,

20

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

và mặt phẳng x = x 0 giao với mặt cong này theo đường cong (C 2 ) có phương trình là :

2019 -2020

z = f (x 0 , y ) .

Độ dốc của các đường thẳng tiếp xúc đối với các đường cong này tại điểm P = (x 0 , y 0 , z 0 ) là các đạo hàm
riêng : fx (x 0 , y 0 ) và fy (x 0 , y 0 ) . Hai đường thẳng tiếp xúc này xác định một mặt phẳng, nếu mặt cong đủ
trơn gần P0 thì mặt phẳng này sẽ tiếp xúc đối với mặt cong tại P0.
1. Định nghĩa: Cho P0 là một điểm trên mặt cong có p/t z  f (x ; y ) , T là mặt phẳng qua P0 và cho P là
một điểm bất kì khác trên mặt cong. Nếu, khi P tiến tới P0 dọc theo mặt cong, góc giữa đoạn thẳng P0 P và
mặt phẳng T tiến tới khơng, thì T được gọi là mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong tại P0 .

Chú ý: Một mặt cong không nhất thiết có mặt phẳng tiếp xúc tại P0
, xét nửa mặt nón z = x 2 + y 2 . Rõ ràng các đường cong (C1) và
(C2) khơng có đường thẳng tiếp xúc tại gốc toạ độ, và các đạo hàm
riêng không tồn tại ở đây. Kể cả khi các đường cong (C1) và (C2) đủ
trơn để có các đường thẳng tiếp xúc tại P0, mặt cong có thể vẫn
khơng có mặt phẳng tiếp xúc tại P0, bởi vì quan hệ không trơn gần
P0 trong miền giữa (C1) và (C2).
2. Véc tơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng tiếp xúc:
Xét mặt cong có p/t z  f (x ; y ) .
Giả sử tồn tại mặt phẳng tiếp xúc tại điểm P0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) . Các véc tơ V1 và V2 tiếp xúc với đường
cong (C1) và (C2) tại P0:

V1 = i + 0 j + fx (x 0, y 0 )k tiếp xúc với (C1) tại P0
V2 = 0i + j + fi (x 0, y 0 )k tiếp xúc với (C2) tại P0.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc:

i j
k
N = V2 × V1 = 0 1 fy (x 0, y 0 ) = fx (x 0, y 0 )i + fy (x 0, y 0 ) j − k
1 0 fx (x 0, y 0 )
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
fx (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0, y 0 )(y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0

hay là :
21

z − z 0 = fx (x 0, y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 )

.
nhtho.wordpress.com

Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Ví dụ 10. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong : z = f (x , y ) = 2xy 3 − 5x 2 tại điểm (3, 2, 3) .

Giải: + Kiểm tra xem điểm (3, 2, 3) nằm trên mặt cong đã cho.
+ Ta có fx = 2y 3 − 10x và fy = 6xy 2 nên fx (3,2) = −14 và fy (3, 2) = 72 .
+ Vậy phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là …
(Chú ý giải thích tại sao tồn tại mặt phẳng tiếp xúc ?????)
Ví dụ 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu :

x 2 + y 2 + z 2 = 14

tại điểm (1, 2, 3) .

Đáp số: Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là
1
2
z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) hay là x + 2y + 3z = 14 .
3
3

Phương pháp khác : Ta thấy phương trình xác định z là hàm ẩn của x và y , và sẽ tìm các đạo hàm
riêng bằng đạo hàm hàm ẩn. Với phương pháp này chúng ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc là

 
 
∂ z 
∂ z 
z − z 0 =   (x − x 0 ) +   (y − y 0 ) .
 ∂ x 
 ∂ y 
P
P
0

0

Ví dụ 12. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của ví dụ 2 bằng phương pháp vừa đề nghị.
+ Trước hết chúng ta giữ y cố định và đạo hàm hàm ẩn đối với x , dẫn đến
2x + 2z

+ Từ đó

∂z
∂x

=0

∂z

∂z
x
y
= − . Tương tự,

=− .
∂x
z
∂y
z

+ Tại điểm P0 = (1,2, 3) , các đạo hàm riêng có các trị số:

 
 
1
2
 ∂ z 
 ∂ z 
=
−
và

 
  = − .
3
3
 ∂ x P
 ∂ y P
0

0

1
2

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc là: z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) .
3
3
Về nhà:
Bài tập: Tr. 61, 68, 73.
Đọc trước các Mục: 19.4+ 19.5 để chuẩn bị cho Bài số 3: Vi phân. Đạo hàm theo hướng. Gradient

22

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

Bài số 3
VI PHÂN. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG. GRADIENT
I. SỐ GIA VÀ VI PHÂN. BỔ ĐỀ CƠ BẢN

1. Nhắc lại: Xét hàm số một biến: y  f (x ) có đạo hàm tại
điểm x 0 . Nếu ∆ x là một số gia từ x 0 tới điểm x 0 + ∆x , ta
có số gia tương ứng của y:
∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) .
Định nghĩa đạo hàm: f '(x 0 ) = lim

∆x → 0

∆y
∆x

(nếu giới hạn đó

tồn tại) và ta nói rằng: hàm số đó có đạo hàm tại điểm x 0 .

 Có thể viết ở dạng tương đương
∆y = f '(x 0 ) ∆x + ε ∆x

 Vi phân của hàm số là

trong đó ε → 0 khi ∆x → 0 .

dy = f ′(x 0 )dx .

Chú ý : Đối với hàm số một biến y  f (x )
+ Có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
+ Có đạo hàm tại một điểm thì sẽ khả vi tại điểm đó.
+ dy biến thiên theo y dọc theo tiếp tuyến.
2. Vi phân của hàm hai biến
Xét hàm số z  f (x ; y ) và cho (x 0 , y 0 ) là một điểm tại
đó các đạo hàm riêng fx (x 0 , y 0 ) và

fy (x 0 , y 0 ) đều tồn tại.

+ Số gia của z là :

∆z = f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f (x 0 , y 0 )
+ Ta có thể viết dưới dạng:

∆z = fx (x 0 , y 0 ) ∆x + fy (x 0 , y 0 ) ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y (*)

23

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích hàm nhiều biến

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2020

trong đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 .
Khác hẳn với hàm một biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng fx và fy tại (x 0 , y 0 ) chưa đủ đảm bảo tính
đúng đắn của (*).
Bổ đề cơ bản. Giả thiết hàm số z  f (x ; y ) và các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm
(x 0 , y 0 ) và tại lân cận của điểm này. Giả thiết thêm là fx và fy liên tục tại (x 0 , y 0 ) . Khi đó số gia
∆ z có thể biểu thị dạng (*) trong đó

ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 .

Định nghĩa: Cho hàm số z  f (x ; y ) sao cho các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm
(x 0 , y 0 ) , (tức fx (x 0 , y 0 ) , fy (x 0 , y 0 ) tồn tại) và ở lân cận của điểm này hơn nữa các đạo hàm riêng đó liên

tục tại (x 0 , y 0 ) , khi đó ta nói rằng z  f (x ; y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ) , và định nghĩa vi phân dz bởi :
dz = fx (x 0 , y 0 ) dx + fy (x 0 , y 0 ) dy .

Vi phân dz thường được viết theo các dạng tương đương
dz =

∂z
∂x

dx +

∂z
∂y

dy

hoặc

df =

∂f
∂x

dx +

∂f
∂y

dy

Chú ý. + Với giả thiết hàm số khả vi, ta có thể chứng minh rằng mặt cong z  f (x ; y ) có một tiếp diện
tại (x 0 , y 0 , z 0 ) và dz là sự thay đổi theo z dọc theo mặt phẳng này
+ Hàm số z  f (x ; y ) khả vi tại một điểm thì liên tục tại đó (vì khi ∆x và ∆y → 0 thì ∆ z → 0 .)
+ Sự tồn tại của các đạo hàm riêng fx và fy tại một điểm không kéo theo sự liên tục của f (x ; y ) tại
điểm này,

 xy

Ví dụ 9: Xét hàm số f (x , y ) = 
x 2 + y 2

0

ta tính được: f (0 + ∆x , y ) − f (0, 0) =

(x , y ) ≠ (0, 0)
(x , y ) = (0, 0)

(0 + ∆x )0
= 0 , tương tự đối với biến y , do đó
(0 + ∆x )2 + 02

fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 , nhưng hàm số không liên tục tại (0,0).

24

nhtho.wordpress.com