Bài giảng Toán cao cấp 2

Bài giảng Tốn cao cấp II

2019-2020

BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 1. HÀM MỘT BIẾN
I.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.

1. Định nghĩa hàm một biến:
Cho D  R, D   . Hàm f ( x) là một quy tắc cho tương ứng với mỗi x  D
cho trước với duy nhất một số thực.
Ký hiệu

f :Dℝ
x ֏ y  f ( x)

.

Khi đó



x được gọi là đối số hay biến độc lập



D được gọi là tập xác định của f ( x) .



Số f ( x) được gọi là giá trị của f tại x .



Tập f ( X )   y  ℝ y  f ( x), x  X  được gọi là tập giá trị của f ( x)

2. Một số phương pháp xác định hàm số.
-

Hàm số cho bằng biểu thức giải tích

-

Hàm số xác định từng khúc:

 x2
x 1
Ví dụ: f ( x )  
2 x  1 x  1
-

Hàm ẩn: y là hàm của . x . được xác định bởi phương trình F ( x, y )  0 . Khi

đó y được gọi là hàm ẩn của x .

3. Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng I.

f ( x) được gọi là tăng trên I nếu a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) .
f ( x) được gọi là giảm trên I nếu a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) .
f ( x) được gọi là không tăng trên I nếu a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) .
f ( x) được gọi là không giảm trên I nếu a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) .
Chú ý: Hàm tăng (giảm) là hàm đồng biến (nghịch biến) và được gọi chung là
hàm đơn điệu.
II.

HÀM NGƯỢC.
1.

Hàm 1-1.
Định nghĩa: Một hàm được gọi là tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá
trị (gọi tắt là hàm 1-1) nếu với mọi x1 , x2 mà


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .

Ví dụ Xét các hàm số sau xem có phải là hàm 1-1 không:
a, g ( x)  x3 .
b, f ( x )  x 2

Nhận xét:
Hàm đơn điệu là hàm 1-1.
Một hàm là hàm 1-1 khi và chỉ khi mọi đường thẳng song song với 0x cắt đồ
thị hàm số tại một điểm duy nhất.

2.

Hàm ngược
Định nghĩa
Cho f ( x) là hàm 1-1 với tập xác định là A và tập giá trị là B .
Khi đó hàm ngược f 1 ( x ) là hàm có tập xác định là B, tập giá trị là A
f 1 ( x) được xác định như sau
f 1 ( y )  x  f ( x )  y, y  B .

Chú ý: Không được nhầm lẫn f 1 ( x) với

1
.
f ( x)

x  A và y  f ( x) thì f 1 ( y )  f 1 ( f ( x))  x .

Ví dụ Tìm hàm ngược của hàm
a, f ( x)  x 3  2 .

3.

b, y  1  x

Một số hàm ngược của hàm đã biết.
a.

Hàm y  a x có hàm ngược là hàm y  log a x

b.

   
Hàm y  sin x : 
,
  1,1 ,
 2 2 
   
có hàm ngược y  sin 1 x :  1,1  
,
 2 2 
Ta còn ký hiệu sin 1 x  arcsin x .
Ta có y  sin 1 x  x  sin y

c.

Hàm y  cos x :  0,     1,1 ,
có hàm ngược là y  cos 1 x : [-1; 1]   0,   .
Ta còn ký hiệu cos 1 x  arccos x .

1
 [f ( x)]1 .
f ( x)

Bài giảng Tốn cao cấp II

-

Ta có y  cos 1 x  x  cos y
d.

   
Hàm y  tan x : 
,   R là hàm 1-1 có hàm ngược là y  tan 1 x :
2
2

   
R
,  . Ta còn ký hiệu tan 1 x  arctan x .
 2 2

e.

Hàm y  cot x :

 0,    R

là hàm 1-1, có hàm ngược là y  cot 1 x :

R   0,   . Ta còn ký hiệu cot 1 x  arccot x .
y  cot 1 x  x  cot y .

III.

CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
1.

Hàm Cung và hàm Cầu
biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu một loại hàng hóa vào giá
của hàng hóa đó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Qs  S ( p ) ,
Qd  D ( p ) .
Quy luật thị trường trong kinh tế: Hàm cung là hàm đồng biến theo P, hàm cầu
là hàm nghịch biến theo P. Giao điểm của hai đường gọi là điểm cân bằng của
thị trường

2.

Hàm sản xuất Q:

Q  f ( L) với Q là lượng sản phẩm, L là lao động.
3.

Hàm doanh thu: R  R (Q)

Doanh thu = Giá bán x số sản phẩm bán.

4.

Hàm chi phí C  C (Q)

Chi phí = Chi phí cố định + chi phí biến động
Chi phí cố định là chi phí thuê mặt bằng….
Chi phí biến đổi = giá mua x Số sản phẩm.

5.

Hàm lợi nhuận:

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí    (Q)  R(Q)  C (Q)

Ví dụ:
1.

Một quán bún bình dân có chi phí như sau:
Mặt bằng

250.000đ/ngày

Bún

1.500đ/tơ

Gia vị

1.000đ/tơ


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

Thịt

10.000/tơ

Nhân viên

2.500đ/tơ

Qn đó bán với giá 25.000 đồng một tơ. Hãy tính xem qn đó bán bao nhiêu tơ
một ngày thì mới có lãi.
2.

Một hãng cho thuê xê ô tô với giá 10.000/km nếu quãng đường không quá 100km.
Nếu quãng đường đi vượt quá 100km thì giá thuê tăng thêm 3.500 nghìn/km. Gọi
x là số km xe thuê chạy và hàm C(x) là chi phí thuê xe. Hãy xây dựng hàm chi phí
C(x) và vẽ đồ thị.


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 2. DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
I-

BÀI TỐN LÃI ĐƠN, LÃI GỘP.

1. Bài tốn lãi đơn.
Nếu ta cho vay số tiền là v0 , lãi suất mỗi kỳ là r. Cuối mỗi kỳ lãi được rút ra, gọi là lãi đơn.
Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?
Số tiền có được sau n kỳ là vn  v0  v0 nr .

Ví dụ: Một người cho vay 10 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng theo hình thức lãi đơn thì sau
3 năm 4 tháng, tổng số tiền thu được là bao nhiêu?

2. Bài toán lãi gộp.
Nếu ta cho vay số tiền là v0 với lãi suất mỗi kỳ là r. Cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tạo
thành vốn mới và tính lãi cho kỳ sau (gọi là lãi gộp hoặc lãi kép). Hỏi sau n kỳ số tiền có
được là bao nhiêu?
Số tiền có được sau n kỳ là vn  v0 (1  r ) n .

Chú ý: Lãi suất r/ kỳ có thể đổi qua các kỳ khác. Chẳng hạn, nếu r = 7%/năm thì ta có:

7
Lãi suất theo kỳ nửa năm: r  % /nửa năm.
2
7
Lãi suất theo kỳ là quý: r  % /quý
4
Lãi suất theo kỳ là tháng: r 

7
% /tháng.
12

Ví dụ:
a. Nếu một người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo q thì sau 5 năm
số tiền người này có được là bao nhiêu?
b. Một người có 500 triệu đồng gửi ngân hàng sau 3 năm thu được 588,38 triệu với lãi gộp
định kỳ nửa năm. Tìm lãi suất.
c. Nếu lãi gộp là 6%/ năm, tính theo quý thì cho vay 600 triệu sau bao lâu sẽ thu được toàn bộ
giá trị là 900 triệu.

d. Nếu muốn sau 3 năm nhận được khoản tiền tiết kiệm là 1 tỷ đồng với lãi suất 9%/ năm,
tính theo tháng thì bây giờ cần gửi vào bao nhiêu tiền?

II.

GIỚI HẠN

1. Định nghĩa.
Ta nói dãy

an 

có giới hạn là L và viết là lim an  L nếu   0, N  N * sao cho
n 


Bài giảng Toán cao cấp II

-

an  L   khi n  N .
2. Tính chất.
+ Nếu an  có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
+ Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

+ Bảo toàn thứ tự.
3. Các phép tính giới hạn.
Nếu dãy an  có lim an tồn tại và là một số thực thì dãy được gọi là hội tụ. Ngược lại là dãy
n 

phân kỳ
Nếu  xn  ,  yn  là các dãy hội tụ thì
lim( xn  yn )  lim xn  lim yn
n 

n 

n 

lim( xn yn )  lim xn lim yn ;
n 

lim

n 

n 

n 

xn
xn lim
 n  (lim yn  0)
yn lim yn n 
n 

II.

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
1. Các định nghĩa

Định nghĩa 1: Hàm số f ( x) có giới hạn là L khi x  x0 nếu mọi dãy  xn  mà xn  x0 thì
lim f ( xn )  L .
n 

Định nghĩa 2: Giả sử hàm f ( x) xác định trong một lân cận của điểm x0 , có thể trừ điểm x0 .
Ta nói lim f ( x)  L nếu với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho x mà x  x0   thì
x  x0

f  x  a   .

2. Giới hạn một phía.
Q trình x  x0 về phía bên phải tức là x  x0 và x  x0 ký hiệu là x  x0  . Giới hạn
hàm số khi x  x0  gọi là giới hạn phải và kí hiệu lim f ( x)
x  x0

Q trình x  x0 về phía bên trái tức là x  x0 và x  x0 ký hiệu là x  x0  . Giới hạn hàm
số khi x  x0  gọi là giới hạn trái và kí hiệu lim f ( x)
x  x0

Định lý: Giới hạn hàm số chỉ tồn tại khi và chỉ khi tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải và hai
giới hạn đó bằng nhau.


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

Ví dụ: Tính giới hạn lim
x 0

x
.
x

3. Các tính chất về giới hạn.
-

Tính duy nhất

-

Tính bị chặn

-

Tính bảo tồn thứ tự

-

Các phép tốn về giới hạn. Nếu lim f ( x)  a ; lim g ( x ) tồn tại hữu hạn thì
xa

xa

lim( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x)  lim g ( x ) ;
x a

xa

xa

lim f ( x ) g ( x )  lim f ( x) lim g ( x)
x a

lim
x a

xa

f ( x)
f ( x ) lim
 x a
g ( x) lim g ( x)

xa

lim g ( x)  0
x a

xa

-

Nếu lim   x  =u0 và f (u0 ) xác định thì lim f [  x  ]= f lim   x   .

-

Nếu lim f ( x)  0 và g ( x) là hàm bị chặn thì lim f ( x).g ( x)  0 .

-

Nếu f ( x) là hàm sơ cấp thì lim f ( x)  f ( a)

xa

xa

xa

Ví dụ: Tính lim x sin
x0

1
x

4. Giới hạn cơ bản
4.1 . lim
x 0

sin x
sin  ( x)
 1 . Tổng quát nếu lim  ( x)  0 thì lim
1
x

a
x

a

x
 ( x)

Ví dụ: Tính các giới hạn
sin(5 x  10)
x 2 sin(2  x )

a. lim

b. lim x sin
x 

1
x

u

1/ u
 1
4.2. lim  1    lim 1  u   e .
u 
u
0

 u

Ví dụ: Tính các giới hạn
 x3
a. lim 


x  x  1



III.

2x

1

b. lim 1  sin 2 x  x
x0

VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN.

1. Định nghĩa
Hàm số f ( x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  a nếu lim f ( x)  0 .
xa


Bài giảng Toán cao cấp II

-

Hàm f ( x ) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x  a nếu lim f ( x)   .
x a

2. Tính chất:
 Tổng của hai VCB là một VCB.
 Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.

 Tích hai VCL là một VCL.
 lim f ( x)  L  f ( x)  L là một VCB.
x a

 Nếu f ( x) là một VCB và f ( x )  0 thì
 Nếu f ( x) là một VCL thì

1
là một VCL.
f ( x)

1
là một VCB.
f ( x)

 Nếu lim f ( x)  A  f ( x)  A   ( x) với  ( x) là một VCB.
xa

3. VCB tương đương.
Cho  ( x) và  ( x) là các VCB khi x  a và lim
xa

 ( x)
 L.
 ( x)

Nếu L  0 thì  ( x) là VCB cấp cao hơn  ( x ) và ký hiệu  ( x)  0   ( x)  .
Nếu L  0 (L hữu hạn) thì  ( x) và  ( x) là hai VCB cùng cấp và ký hiệu  ( x)  O(  ( x)) .
Đặc biệt, khi L  1 thì  ( x) và  ( x) là hai VCB tương đương và ký hiệu  ( x) ∼  ( x ) .

4. Một số cặp VCB tương đương (cần ghi nhớ):
Khi x  0:
sin x ∼ x ,

tan x ∼ x ,

arcsin x  x ,

arctan x  x , 1  cos x 

x2
,
2

log a (1  x) ∼

x
ln a

,

ex 1  x .
Chú ý: 1 ( x) ∼ 1 ( x) và  2 ( x) ∼  2 ( x ) 
 1 ( x)   2 ( x) ∼ 1 ( x)   2 ( x) .
5. Quy tắc thay thế VCB tương đương
Nếu khi x  a , ta có hai cặp VCB tương đương: f ( x) ∼ f *( x ) , g ( x) ∼ g *( x) và tồn tại
lim
x a

f * ( x)

f ( x)
f * ( x)
thì lim
.
 lim
x a g ( x)
x  a g *( x )
g * ( x)

Ví dụ Tìm các giới hạn sau:
a.

IV.

e2 x  1
x  0 ln(1  x )

lim

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Khái niệm hàm số liên tục.

b. lim
x 0

ln(1  tan 3 x)
5 x  sin 3 x

Bài giảng Toán cao cấp II

-

Định nghĩa 1: Hàm số f ( x) được gọi là liên tục tại a nếu hàm số f ( x) xác định tại a và
lim f ( x)  f (a ) .
x a

Định nghĩa 2: Hàm số f ( x) được gọi là liên tục phải (trái) tại a nếu f ( x) xác định tại a.
Và lim f ( x)  f ( a ) ( lim f ( x)  f ( a ) ).
xa 

xa 

Định nghĩa 3: Nếu hàm f ( x) khơng liên tục tại a, thì ta gọi a là điểm gián đoạn của f ( x)
hoặc f ( x) gián đoạn tại a.

Định nghĩa 4: f ( x ) liên tục / (a, b) nếu f ( x) liên tục tại x  (a, b) .

f ( x) liên tục trên [a, b] nếu f ( x) liên tục trên (a,b) , f ( x) liên tục phải tại a, và f ( x) liên
tục trái tại b.

Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số
a, y  x tại x  0 .

x 1
b, f ( x)  
2
3  ax

2. Tính chất
+ Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm liên tục là liên tục.
+ Hàm hợp của hàm liên tục là liên tục.
+ Các hàm sơ cấp thì liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.

x 1
x 1


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
I.
1.

ĐẠO HÀM
Khái niệm đạo hàm.

Cho hàm y  f ( x) xác định trên (a, b) và x0  ( a, b) .
x  x  x0 số gia của đối số
y  f  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) số gia của hàm số.
Tỉ số

y f ( x)  f ( x0 )

x
x  x0

biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình của y khi x thay đổi.

Định nghĩa: Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại x0  ( a, b) , ký hiệu là f ( x0 ) ,
f ( x0 )  lim

x  x0

df
là
dx

f ( x)  f ( x0 )
nếu giới hạn tồn tại.
x  x0

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số

2.

a.

f ( x)  x2

b.

 ln(1  x 2 )

f ( x)  
x
0



x0

tại x  0 .

x0

Đạo hàm một phía

f ( x0  x)  f ( x0 )
x

Đạo hàm bên phải f ( x0  )  lim
x 0

Đạo hàm bên trái f ( x0  )  lim
x 0

f ( x0  x)  f ( x0 )
x

Định lý 1. Hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm trái, đạo hàm phải và hai
đạo hàm bằng nhau.

Định lý 2. Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại đó.
Chú ý: Điều ngược lại khơng phải lúc nào cũng đúng.
Ví dụ: Tính đạo hàm của y  x tại x  0 .
3.

Các cơng thức và quy tắc tính đạo hàm.
a. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản ( tr51)
b. Các quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của tổng hiệu (u  v)  u  v
Đạo hàm của tích (uv )  uv  uv


Bài giảng Toán cao cấp II

-

 u  u v  uv
Đạo hàm của thương   
v2
v
Đạo hàm hàm hợp: Nếu hàm số y  f (u ); u  u ( x) đều tồn tại đao hàm thì yx  f u(u ).u x .
Đạo hàm hàm ngược:
Giả sử hàm y  f ( x) có đạo hàm tại x0  (a, b) và f ( x0 )  0 , nếu có x  g ( y ) liên tục tại y
thì tồn tại đạo hàm g ( y ) và g ( y ) 

1

f ( x)

Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm số:
a. y  sin 1 x

b. y  tan 1 2 x .

c. y  x x

d. y 

II.

3

1
4x 1

VI PHÂN

1. Khái niệm vi phân
Hàm

f ( x)

được gọi là khả vi tại

x  ( a, b)

nếu tồn tại số A sao cho

f ( x)  f ( x  x)  f ( x)  A.x  0(x )
Khi đó biểu thức Ax được gọi là vi phân cấp 1 của hàm f ( x) tại x và ký hiệu là dy .
Chú ý: Ta có dx  x , nên dy  A.dx

Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân.
Hàm số f ( x) khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x . Khi đó y  f ( x).x  0(x ) .

Nên dy  f ( x).dx .

Ví dụ: Tính vi phân của các hàm số sau
a, y  ln cos 2 x
2. Các quy tắc tính vi phân
Nếu các hàm số f ( x), g ( x) khả vi thì

d ( f  g )  df  dg
d ( fg )  gdf  fdg
d ( fg )  fdg  gdf
 f  gdf  fdg
d 
g2
g
III.

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
1. Khái niệm

b, y  sin 1 3 x


Bài giảng Toán cao cấp II

-

dny
Đạo hàm của đạo hàm cấp n  1 gọi là đạo hàm cấp n, ký hiệu y ; n .
dx
(n)

Vi phân của vi phân cấp n  1 là vi phân cấp n, ký hiệu d n y

2. Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân cấp cao
d n y  d ( d n 1 y )  y ( n ) dx n

Ví dụ: Tính đạo hàm và vi phân cấp n của các hàm số.

1
xa

a. y 
c. y 

b. y  ln x

1
x  3x  2

d. y  sin x

2

3. Công thức Taylor
a.

Công thức Taylor

Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp n liên tục trong [a, b] thì với x0  [ a, b]
f ( x)  f ( x0 ) 

b.

f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 )  ...+
( x  x0 ) n  Rn ( x, x0 ) với Rn ( x, x0 ) là số dư
1!
n!

Hai dạng phần dư

-

Phần dư dạng Lagrange

Rn ( x, x0 ) 
-

f ( n 1) (c)
( x  x0 ) n 1 với c nằm giữa x, x0
(n  1)!

Phần dư dạng Peano Rn ( x, x0 )  0  ( x  x0 ) n  trong đó 0  ( x  x0 ) n  là
VCB cấp cao hơn của ( x  x0 ) n .

c.

Đặc biệt tại x0  0 ta có khai triển Macloranh

f ( x)  f (0) 

f (0)
f ( n ) (0) n
x  ... +
x  Rn ( x, x0 )
1!
n!

Ví dụ: Khai triển Maloranh các hàm số sau
a. y 

1
xa

b. y  ln(1  x)


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I.

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TỐN HỌC
1. Tìm giới hạn dạng vô định
a. Quy tắc Lopitan
Giả sử các hàm f ( x), g ( x) thỏa mãn các điều kiện

-

lim

0 
f ( x)
có dạng ;
0 
g ( x)

-

lim

f '( x)
tồn tại.
g '( x)

x a

x a

Khi đó lim
x a

f ( x)
f '( x )
 lim
x

a

g ( x)
g '( x)

Ví dụ: Tính
a. lim
x0

x3
x  sin x

ln x
x  x

b. lim

b. Khử các dạng vơ định khác
Dạng 0.
Tìm lim lim f ( x).g ( x ) trong đó f ( x)  0, g ( x)   .
x a

Ta đưa giới hạn về một trong hai dạng
lim f ( x).g ( x)  lim
x a

xa

f ( x)
1/ g ( x)

0 

; .
0 

hoặc

lim f ( x).g ( x)  lim
x a

x a

g ( x)
1/ f ( x)

Ví dụ: Tìm lim x.ln x
x0

Dạng   
Ta thường quy đồng mẫu số hoặc nhân chia biểu thức liên hợp đưa về dạng
1 
 1
Ví dụ: lim 


x 1 ln x
x 1 

Dạng 00 ;1 ;  0

Phương pháp chung:
-

Đặt A  lim f ( x) g ( x )

-

ln hai vế ta có ln A  lim ln f ( x) g ( x )  lim g ( x) ln f ( x)

xa

xa

xa

0 
;
0 


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

-

Đưa về dạng

0 
;
0 

Ví dụ: Tính các giới hạn
1

a. lim x x
x0

c. lim(e x  x)1/ x

b. lim x x
x 

x 0

2. Cực trị của hàm số
Cho hàm số y  f ( x) khả vi trong khoảng (a, b) . Nếu x  (a, b) ta có

-

f ( x)  0 thì f ( x) tăng trong (a, b) .

-

f ( x)  0 thì f ( x) giảm trong (a, b) .

-

f ( x)  0 thì f ( x) là hàm hằng trong (a, b) .

Định lý: Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f ( x) . Khi đó nếu tại x0 đạo hàm đổi dấu thì
x0 là điểm cực trị của f ( x) .

Định lý: Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f ( x) . Khi đó nếu

II.

-

x0 là điểm cực đại nếu f ( n ) ( x0 )  0

-

x0 là điểm cực tiểu nếu f ( n ) ( x0 )  0

ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1. Tốc độ của sự thay đổi
Cho hai biến x, y có quan hệ hàm số y  f ( x) .
Độ thay đổi của y: y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x là

y
x

y
x  0 x

Tốc độ thay đổi tức thời y( x0 )  lim

Ý nghĩa: Nếu x thay đổi một lượng là x thì y sẽ thay đổi một lượng là y( x0 ).x .

2. Giá trị cận biên trong kinh tế
Đại lượng đo tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ được gọi là giá trị cận

biên của y đối với x ký hiệu My ( x) .

My ( x)  y( x) 

dy
.
dx

a. Giá trị cận biên của chi phí ( MC (Q) ).
Cho hàm chi phí C (Q) . Giá trị cận biên của chi phí MC (Q) là đại lượng đo sự thay đổi của
chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.


Bài giảng Tốn cao cấp II

Ví

dụ:

Cho

chi

-

phí

C (Q)  0.0001Q 2  0.02Q  5 

trung

bình

để

sản

xuất

một

sản

phẩm

là

500
.Tìm chi phí cận biên đối với Q. Chi phí cận biên là bao
Q

nhiêu khi mức sản xuất Q = 500.
b. Giá trị cận biên của doanh thu MR (Q) .
Cho hàm doanh thu R(Q) . Giá trị cận biên của doanh thu MR(Q) là đại lượng đo sự thay đổi
của doanh thu khi Q tăng 1 đơn vị.

Ví dụ: Quan hệ giữa vé số bán được và giá vé của một hãng xe buýt là: Q  10000  125P .

Tìm doanh thu cận biên khi P = 30 và P= 42.

3. Hệ số co giãn.
Độ thay đổi tuyệt đối:
Khi đại lượng x tăng lên x đơn vi thì x được gọi là độ thay đổi tuyệt đối.
x phụ thuộc vào đơn vị và mang ý nghĩa khác nhau tùy theo biến x.

Độ thay đổi tương đối:
Tỷ số

x
tính bằng % gọi là độ thay đổi tương đối của đại lượng x
x
Hệ số co giãn.

Tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của hàm số và độ thay đổi tương đối của biến số

y
y x
y

x x y
x
giới hạn của tỷ số trên khi x  0 được gọi là hệ số co giãn của hàm y  f ( x) , ký hiệu là

 y ( x ) (a) .
x
Theo định nghĩa đạo hàm, ta được:  y ( x )  y .
y

Ý nghĩa kinh tế
Hệ số co giãn của hàm số f ( x) tại a mô tả độ thay đổi tương đối của hàm số tại điểm f (a)
tính theo phần trăm khi biến số tăng 1% tại a .
Dựa vào hệ số co giãn người ta đưa ra các khái niệm sau:
Nếu  y ( x ) ( a)  1 thì hàm f ( x) được gọi là co giãn tại a (hàm số có phản ứng nhanh với sự
thay đổi của biến số).
Nếu  y ( x ) ( a )  1 thì hàm f ( x) được gọi là đẳng co tại a .


Bài giảng Toán cao cấp II

-

Nếu  y ( x ) ( a)  1 thì hàm f ( x) được gọi là không co giãn tại a (phản ứng chậm đối với sự
thay đổi của biến số).

Ví dụ
a. Giả sử hàm cầu một loại hàng hóa được cho như sau: Qd  600  2 P . Tìm hệ số co giãn
của Qd tại P =100, P = 200. Nêu ý nghĩa kinh tế.
b.Cho hàm cầu Q 

60
 ln(65  P 3 ) .
P

- xác định hệ số co giãn tại P  4 .
- Nếu giá giảm từ 4 đơ la cịn 3.92 đơ la thì lượng bán sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm.

4.

Quyết định tối ưu

Một số bài tốn trong kinh tế có mục đích là tối ưu hóa một hàm mục tiêu. Hầu hết đều đưa
về bài tốn tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất.
Ta có thể thiết lập các bài tốn tối ưu:
+ Tìm P để Q đạt tối đa.
+ Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa.
+ Tìm Q để mức chi phí đạt tối thiểu.

Ví dụ
a.Số vé bán được của một hãng xe buýt là Q  10.000  125P , trong đó P là giá bán một vé.
Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa.
b.Gọi Q là lượng hàng dự trữ một mặt hàng nào đó của một siêu thị và chi phí để lưu trữ là
C (Q ) 

4860
 15Q  750.000 . Tìm Q để mức chi phí lưu trữ là tối thiểu.
Q


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 5. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
I.

KHÁI NIỆM VỀ HÀM HAI BIẾN

1. Định nghĩa

Cho D  R 2 . Hàm hai biến f ( x, y ) là một quy tắc ứng mỗi cặp số thực ( x, y ) trong tập D ta
tìm được duy nhất một số thực z  f ( x, y ) .

Miền xác định của f ( x, y ) là miền D sao cho biểu thức f ( x, y ) có nghĩa.
Ví dụ Tìm và vẽ miền xác định của hàm số f ( x, y ) 

x  y 1
x 1

2. Đồ thị hàm số:
G  ( x, y, z ) z  f ( x, y ), ( x, y )  D là đồ thị của f ( x, y ) xác định trên D. Đồ thị của hàm
hai biến là một mặt cong trong khơng gian.

3. Một số hàm hai biến trong phân tích kinh tế
a.Hàm sản xuất: Là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lượng lao
động: Q  f ( L, K ) .

b.Hàm chi phí, hàm tổng doanh thu, hàm lợi nhuận.
- Hàm tổng chi phí được tính theo sản lượng: TC  TC (Q) , với Q  f ( L, K ) .
- Hàm tổng doanh thu: TR  P.Q trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.
- Tổng lợi nhuận:   TR  TC .
II.
III.

GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC( SGK)
ĐẠO HÀM RIÊNG

1. Khái niệm đạo hàm riêng.
Cho hàm số z  f ( x, y ) xác định trên D và điểm ( x, y )  D .
Đạo hàm riêng của hàm f ( x, y ) theo biến x được ký hiệu

f
hoặc f x ( x, y ) .
x

f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
x 0
x
x
Đạo hàm riêng của hàm f ( x, y ) theo biến y tại ( x, y ) được ký hiệu

f
hoặc f y ( x, y )
y

f
f ( x, y  y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.

y

0
y
y

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy, khi tìm đạo hàm của hàm số theo biến nào thì biến cịn lại

được coi là hằng số.

Ví dụ Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau


Bài giảng Toán cao cấp II

-

a.

f ( x, y )  e x  y  2 x  5 y  6

b.

f ( x, y )  x tan 1 ( x 2  y )

2. Đạo hàm riêng của hàm hợp
a.

Nếu hàm z  f ( x, y ) , với x  x(t ) , y  y (t ) thì
dz z dx z dy


dt x dt y dt

b.

Nếu z  f ( x, y ) và y  y ( x) thì ta có
dz z z dy

.
 
dx x y dx
Nếu w  f ( x, y ) x  x (t , u ) , y  y (t , u ) thì

c.

w w x w y


t x t y t

w w x w y


u x u y u

Ví dụ:
i.

x  t 2
z
dz
Cho z  x 2  y 2 với 
. Tính
và
.
x
dt
 y  ln t

ii.

Cho z  x 2  y 2 với y  sin 1 x . Tìm

iii.

Tìm

dz
.
dx

w w
,
với w  x 2  y 2 , x  t 2  u 2 , y  2tu
u t

3. Đạo hàm riêng hàm ẩn.
a.

Hàm ẩn một biến và đạo hàm của hàm ẩn

Cho hệ thức F ( x, y )  0 (1). Nếu mỗi x  D , từ (1) tìm được duy nhất một nghiệm y, thì ta
nói ta có y là hàm ẩn của x. Khi đó yx  

Fx
.
Fy

Ví dụ Tính y  với y được xác định e y  x  y
b.

Hàm ẩn hai biến.

Cho hệ thức F ( x, y, z )  0 . Nếu mỗi ( x, y )  D , từ hệ thức tìm được duy nhất một nghiệm z,
thì ta có z ( x, y ) là hàm ẩn. Khi đó z x  

Fy
Fx
, zy   .
Fz
Fz

Ví dụ Tìm z x , z y biết hàm z được xác định bởi ln xz  z ln x  y .
IV.

VI PHÂN TOÀN PHẦN.
1.

Khái niệm


Bài giảng Toán cao cấp II

-

Cho hàm số f ( x, y ) xác định trên D, ( x, y )  D .
Số gia toàn phần f  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) .
Hàm

f ( x, y )

được

f  Ax  By  0



gọi

là

khả

vi

nếu

tồn

tại

hai

số

A, B

sao

cho



x 2  y 2 .

Nếu hàm số xác định trên D có các đhr liên tục tại ( x, y )  D thì A  f x ( x, y ); B  f y ( x, y ) .

Định nghĩa: Biểu thức f x ( x, y ) x  f y ( x, y ) y ) được gọi là vi phân toàn phần của hàm

f ( x, y ) tại ( x, y ) và ký hiệu là df ( x, y ) .
df  f x ( x, y ) dx  f y ( x, y ) dy .

Ví dụ: Tính vi phân tồn phần của các hàm số
a) f ( x, y ) 

1
x2  y2
2.

2

b. f ( x, y )  e  xy . Tìm df (1, 2) .

 x  4 y  cos y

Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao.
a. Đạo hàm riêng cấp cao.

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 goi là đạo hàm riêng cấp 2.
Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp n  1 là đạo hàm riêng cấp n.
Ký hiệu của đạo hàm riêng cấp 2

  z   2 z
 f xx
 
x  x  x 2

  z   2 z
 f xy
 
y  x  yx

  z   2 z
 f yx
 
x  y  xy

  z   2 z
 f yy
 
y  y  y 2

Định lý: Hàm z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục thì chúng bằng nhau.
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của z  f ( x, y )  tan 1

x
y

Ví dụ: Cho hàm ẩn z  f ( x, y ) được xác định bởi x  y  z  e z . Tìm z xx , z yy .
b. Vi phân toàn phần cấp cao
Vi phân toàn phần cấp 2 d 2 f  d ( df ) .
Vi phân toàn phần cấp n d n f  d ( d n 1 f )

Ví dụ:
Tính vi phân tồn phần cấp 2 của hàm hai biến.


Bài giảng Toán cao cấp II

V.

-

ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1.

Giá trị cận biên theo từng biến.

Xét hàm sản xuất Q  f ( L, K ) thì QL , QK lần lượt là giá trị cận biên của Q theo L, K.
QL ( L0 , K 0 ) mô tả sự thay đổi của sản lượng khi lượng lao động tăng từ L0 lên L0  1 với điều
kiện K 0 là cố định.
Tương tự cho các mơ hình kinh tế khác.

Ví dụ
Cho hàm cầu Q  100000  0.5 P12  2 P22  0.4 P32 Tìm giá trị cận biên theo các mức giá và nêu
ý nghĩa kinh tế.

2.

Hệ số co giãn theo từng biến

Xét hàm số z  f ( x, y ) , với y  y0
Nếu x thay đổi từ x0 đến x0  x thì x gọi là độ thay đổi tuyệt đối của biến x .
Độ thay đổi tuyệt đối của hàm theo biến x tại ( x0 , y0 ) là
f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 ) x
,
gọi là độ thay đổi tương đối.
f ( x0 , y0 ) x0
Giới hạn lim

x  0

f ( x0 , y0 ) x
:
được gọi là hệ số co giãn của hàm f theo biến x tại ( x0 , y0 ) .
f ( x0 , y0 ) x0

Ký hiệu  x ( x0 , y0 ) .
f ( x0 , y0 ) x
x0
:
 f x( x0 , y0 )
x 0 f ( x , y )
x0
f ( x0 , y0 )
0

0

Ta có lim

Ý nghĩa kinh tế: mơ tả độ thay đổi (tính theo đơn vị %) của biến z khi biến x thay đổi 1%
trong khi biến y khơng đổi.
Tương tự, ta có  y ( x0 , y0 )

Ví dụ Xét hàm cầu Q  10000  0.1P1  2 P2 . Tìm hệ số co giãn của Q theo P2 tại (50, 80). Nêu
ý nghĩa kinh tế.


Bài giảng Toán cao cấp II

-

BÀI 6. CỰC TRỊ TỰ DO
1.

Định nghĩa

Cho z  f ( x, y ) là hàm xác định trên D  R 2 .
Điểm (a, b)  D được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) nếu tồn tại một lận cận V của (a, b) sao
cho f ( x, y )  f (a, b)  f ( x, y )  f (a, b)  , ( x, y )  V .
Khi đó f (a, b) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của f ( x, y ) .

Điểm dừng: Điểm (a, b)  D được gọi là điểm dừng của hàm số nếu tại đó tất cả các đạo
hàm riêng cấp 1 bằng 0.
 f x  0
.

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ 
 f y  0

2.

Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm

Nếu hàm f ( x, y ) đạt cực trị tại (a, b) và tồn tại các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đó, thì
 f x (a, b)  0

 f y ( a, b)  0

3.

Điều kiện đủ
a.

Trường hợp tổng quát.

Cho P là điểm dừng. P là điểm cực đại nếu d 2 f ( P )  0 . P là điểm cực tiểu nếu d 2 f ( P )  0 .

b.

Điều kiện riêng cho hàm hai biến

Định lý Cho hàm z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên một lân cận của điểm
dừng (a, b) .
Đặt A  f xx (a, b); B  f xy (a, b) ; C  f yy (a, b) . D  AC  B 2
a. Nếu D  0; A  0 , thì (a, b) là điểm cực đại.
b. Nếu D  0; A  0 , thì (a, b) là điểm cực tiểu.

c. Nếu D  0 thì (a, b) là điểm n ngựa.

Ví dụ Tìm cực trị của hàm số
a, z  3 x 2  2 xy  y 2  10 x  2 y  1
b, z ( x, y )  x 3  y 3  3 xy  0

4.

Ứng dụng trong kinh tế.


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

Bài tốn 1. Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Gọi
P1 , P2 là giá tương ứng của 2 sản phẩm. Sản lượng tương ứng là Q1, Q2. Gọi C  C (Q1 , Q2 ) là
tổng chi phí. Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa.
Doanh thu của công ty là: R  PQ
1 1  P2 Q2 .
Hàm lợi nhuận là:   R  C .
Tìm Q1 , Q2 mà tại đó hàm

đạt cực đại.

Ví dụ Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán
hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là P1  450 , P2  630 . Tổng chi phí để sản xuất
hai loại sản phẩm được cho bởi biểu thức C  Q12  Q1Q2  Q22  210Q1  360Q2  100 .
Hãy tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để công ty thu được lợi nhuận tối đa.

Bài toán 2. Một doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện độc quyền một loại sản phẩm, loại sản
phẩm đó được tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho mỗi
thị trường và giá bán tương ứng sao cho lợi nhuận đạt tối đa.

Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên
hai thị trường tách biệt. Giả sử sản lượng trên mỗi thị trường được xác định, như sau:
Q1  310  P1 , Q2  350  P2 . Tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản lượng Q như sau:
C  200  30Q  Q 2 . Tìm sản lượng của mỗi loại và giá bán tương ứng ở mỗi thị trường sao
cho lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại.


Bài giảng Tốn cao cấp II

-

BÀI 7. CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN
Xét bài tốn: Tìm cực trị của hàm z  f ( x, y ) thỏa mãn điều kiện ràng buộc g ( x, y )  0 .

1. Phương pháp thế
Giả sử f ( x, y ), g ( x, y ) là các hàm khả vi. Rút y  y ( x) từ g ( x, y )  0 thay vào f ( x, y ) .
Khi đó hàm f ( x, y ) thành hàm một biến z  f ( x, y ( x)) .

Ví dụ
a.Tìm cực trị của f ( x, y )  x 2  y 2 với điều kiện ràng buộc là x  y  10 .
b.Chi phí của một hãng sản xuất hai loại hàng x, y là C ( x, y )  2 x 2  xy  y 2  1000 . Tìm
mức sản xuất x, y để chi phí đạt tối thiểu với điều kiện x  y  200 .

2. Phương pháp nhân tử Lagrange.
Xét hàm: L  f ( x, y )   g ( x, y ) .

gọi là nhân tử Lagrange.

Hàm L( x, y,  ) được gọi là hàm Lagrange.

Điều kiện cần

 Lx  0

Nếu hàm f ( x, y ) với điều kiện g ( x, y )  0 , đạt cực trị tại M (a, b) thì hệ sau  Ly  0
có

 g ( x, y )  0
nghiệm là (a, b, 0 ) .

Định lý 1 (Điều kiện đủ)
Giả sử các hàm số f ( x, y ), g ( x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của
điểm (a, b) và (a, b, 0 ) là điểm dừng của hàm Lagrange.
Nếu g x ( a, b) dx  g y ( a, b) dy  0 và dx 2  dy 2  0 mà
- d 2 L (a, b, 0 )  0 thì (a, b) là cực tiểu của hàm f ( x, y ) với điều kiện ràng buộc.
- d 2 L (a, b, 0 )  0 thì (a, b) là cực đại của hàm f ( x, y ) với điều kiện ràng buộc.
- d 2 L(a, b, 0 ) khơng xác định dấu thì (a, b) khơng là cực trị.

 (a, b, 0 )dy 2
Với d 2 L(a, b, 0 )  Lxx (a, b, 0 )dx 2  2 Lxy (a, b, 0 )dxdy  Lyy
0

Xét ma trận H   g x
gy


gx
Lxx
Lxy

gy 

Lxy  các đạo hàm riêng tính giá trị tại (a, b, 0 ) .
Lyy 

Định lý 2


Bài giảng Toán cao cấp II

-

Nếu det H  0 , thì (a, b) là điểm cực đại. Nếu det H  0 , thì (a, b) là điểm cực tiểu.

Ví dụ:
a.Tìm cực trị của hàm f ( x, y )  x 2  y 2 với điều kiện ràng buộc x  y  10 .
b.Tìm cực trị của hàm f ( x, y )  xy với điều kiện ràng buộc x  y  10 .
c.Một doanh nghiệp sản xuất được cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm. Để tiến hành
sản xuất, doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu A và B. Đơn giá cho loại nguyên liệu A; B
tương ứng là 10 và 40 đơn vị tiền tệ. Biết rằng, nếu mua x đơn vị nguyên liệu A và y đơn vị
nguyên liệu B, thì sản xuất được 10 xy sản phẩm. Hỏi phải mua mỗi loại nguyên liệu với số
lượng như thế nào để có chi phí cho ngun liệu thấp nhất.

3. Bài tốn tối đa hóa lợi ích
Giả sử P1 , P2 là giá của hai mặt hàng x, y với tổng số tiền m. Mục tiêu tối đa hóa hàm lợi ích

u ( x, y ) với điều kiện P1 x  P2 y  m