Bài giảng Phương trình vi phân

BỉI GIẢNG MúN

Phương tr˜nh vi phŽn

2021-2022

BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Đây là bài giảng mơn Phương trình vi phân dành cho sinh viên năm thứ hai của hầu hết
các Khoa (trừ một số Ngành của Khoa Kinh tế, Khoa Công nghệ thông tin, Ngành Cơng nghệ
sinh học) của Trường Đại học Thủy lợi.

Giáo trình chính
Phương trình vi phân cơ bản với bài tốn giá trị biên (Lưu hành nội bộ)
Sách dịch, do Bộ Môn Toán - Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch năm 2008
Tài liệu online trên trang thư viện (chỉ dành cho đọc online và không download): đăng
nhập theo đường link
/>
Cách đăng nhập: SV đăng nhập bằng tài khoản email trường cấp để có thể được sử dụng
tài liệu, pass vào lần đầu cũng chính là địa chỉ email.

CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM
1. Điểm q trình: chiếm 40%
+ Điểm chun cần
+ Điểm tích cực
+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2. Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%
3. Điểm học phần = ĐQT + ĐThi

1| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

SYLLABUS PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(Lịch trình giảng dạy 15 buổi - 2 tiết/buổi)
Buổi
1

2
3
4
5

6

7
8
9

Nội dung bài giảng
+ Thông báo đề cương môn học, lịch kiểm tra

+ Tổng quan về phương trình vi phân
$1. Phương trình vi phân cấp một
+ Phương trình phân ly biến số.
+ Phương pháp thế và phương trình vi phân có dạng y ′ = F (ax + by + c) .
$2. Phương trình vi phân cấp một (tiếp)
+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
+ Phương trình Bernoully.
Bài tập $1 + $2
$3. Phương trình vi phân cấp một (tiếp)
+ Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một.
+ Phương trình vi phân tồn phần.
$4. Phương trình vi phân cấp 2
+ Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được.
+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: y ′′ + p(x )y ′ + q (x )y = f (x )
- Cấu tạo nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất.
- Cấu tạo nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất.
- Ngun lý chồng chất nghiệm.
$5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
+ Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng: ay ′′ + by ′ + cy = 0 .
+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất với hệ số hằng và phương
pháp biến thiên tham số.
Bài tập $3 + $4 + $5
Kiểm tra giữa kỳ Nội dung $1-$5
$6. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất với hệ số hằng các
trường hợp vế phải đặc biệt
+ Trường hợp 1: Vế phải f (x ) = P (x )e αx .

Số tiết
2

2
2
2
2

2

2
2
2

+ Trường hợp 2: Vế phải f (x ) = e αx [Pn (x ) cos βx + Pm sin βx ] .
10
11
12

13

14
15

2| P a g e

$7. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng
+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao thuần nhất.
+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có vế phải dạng đặc biệt.
Bài tập $6 +$7
$8. Hệ phương trình vi phân tuyến tính
+ Giới thiệu hệ phương trình vi phân tuyến tính.
+ Phương pháp khử giải hệ phương trình vi phân tuyến tính.

+ Phương pháp tốn tử vi phân tuyến tính giải hệ phương trình vi phân tuyến tính.
$9. Phương pháp giá trị riêng
+ Hệ phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn dưới dạng ma trận.
(Trang 44).
+ Phương pháp giá trị riêng cho hệ thuần nhất.
(Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn hàm: (a) giá trị riêng thực phân biệt, trang 67; (b) giá
trị riêng phức, trang 76; (c) giá trị riêng bội, trang 105).
Bài tập $8 + $9
Tổng kết môn học

2
2
2

2

2
2

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Bài số 1
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
I . Đại cương về phương trình vi phân.
1. Một số định nghĩa.

Phương trình: F (x , y, y ', y '',..., y (n ) ) = 0
(*)
chứa hàm chưa biết y = y(x ) và (ít nhất) một hay nhiều đạo hàm của nó được gọi là phương
trình vi phân.
Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó.
Ví dụ 1:
y ' + +x 5y = sin x : PTVP cấp 1
y (4) + x 2y (3) + x 5y = sin x : PTVP cấp bốn.
Hàm y = y(x ) xác định trên I được gọi là một nghiệm của PTVP (*) trên khoảng I nếu các đạo

hàm y ', y '',..., y (n ) tồn tại trên I và
F (x , y, y ', y '',..., y (n ) ) = 0

với mọi x trong I.
Quá trình đi tìm tất cả các nghiệm của PTVP được gọi là giải PTVP đó.
 Chú ý: + Phương trình (*) có thể được viết theo dạng chuẩn:
y (n ) = G x , y, y ', y '',..., y (n −1)

(

)

trong đó G là một hàm (n+1) biến nhận giá trị thực.
+ Phương trình vi phân thường: hàm phải tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập.
+ Nếu ẩn hàm là một hàm của hai hay nhiều biến độc lập, thì ta sẽ phải đưa vào các đạo hàm
riên, khi đó phương trình sẽ được gọi là phương trình đạo hàm riêng.
+ Chỉ hàm liên tục mới có thể là nghiệm của PTVP trên một khoảng.
Ví dụ 2. Với C là một hằng số, ta có hàm số y(x ) = Ce x
là nghiệm của phương trình vi phân:

dy
= 2xy
dx

(

)

2

(1)
(2)

( )

2
2
dy
= C 2xe x = (2x ) Ce x = 2xy.
dx
Để ý: phương trình (1) xác định cả một họ gồm vô số các nghiệm của phương trình vi phân (2),
mỗi nghiệm ứng với một cách chọn hằng số tuỳ ý C.

với mọi x vì với mọi x ta có:

Câu hỏi: Tại sao phải học về PTVP:
Khi giải quyết các hiện tượng trong thực tế, rất nhiều trong số đó khi mơ hình hóa sẽ dẫn tới
các PTVP.
2. Một số mơ hình Tốn
Ví dụ 3. Quy luật giảm nhiệt của Newton:

Suất biến đổi đối với thời gian của nhiệt độ T(t) của một vật thể tỷ lệ với
hiệu số giữa T và nhiệt độ A của môi trường xung quanh. Nghĩa là:

3| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

dT
= −k (T − A).
dt

trong đó, k là một hằng số dương.
+ Nhận thấy rằng nếu T > A , thì

dT
< 0 , do đó nhiệt độ là một hàm giảm theo t và vật thể
dt

nguội đi.
dT
> 0 , và T sẽ tăng.
dt
Ví dụ 4. Quy luật của Torricelli : Suất biến đổi theo thời gian của khối lượng nước V trong một bể
chứa tỷ lệ với căn bậc hai của độ sâu y của nước trong bể:
dV

= −k y
(3)
dt
với k là một hằng số.
Nếu bể chứa là một hình trụ trịn xoay với diện tích đáy là A , thì V = Ay , và
dV/dt = A. (dy/dt). Khi đó phương trình (3) có dạng:
dy
= −h y
dt
trong đó h = k/A là một hằng số.
Ví dụ 5. Suất biến đổi theo thời gian của dân số P ( t ) : T rong trường hợp đơn giản tỷ lệ sinh
(tử) không đổi tỷ lệ với số dân. Nghĩa là:
dP
= kP
(4)
dt
với k là hằng số tỷ lệ.
Ví dụ 6. Giả sử P (t ) = Ce kt là số lượng vi khuẩn trong một đám vi khuẩn tại thời điểm t, mà
tại thời điểm t = 0 (giờ) số lượng bằng 1000, và cứ sau 1 h số lượng lại tăng gấp đôi. Dự báo số
lượng vi khuẩn sau 1,5 h?
+ Từ giả thiết về P (t ) t a c ó :
1000 = P(0) = Ce 0 = C,
2000 = P(1) = Ce k
suy ra rằng C = 1000 và k = ln2 ≈ 0,693147.
+ Với giá trị này của k phương trình vi phân (4) trở thành
dP
= (ln 2)P = (0, 693147)P
dt
+ Việc thay thế k = ln2 và C = 1000 sẽ kéo theo nghiệm riêng
P (t ) = 1000e (ln 2)t = 1000(e ln 2 )t = 1000.2t (bởi vì e ln 2 = 2 )

thoả mãn các điều kiện đã cho.
+ Số lượng vi khuẩn sau một giờ rưỡi (khi t = 1,5) bằng
P (1, 5) = 1000.23/2 ≈ 2828 .
Điều kiện P(0) = 1000 trong được gọi là một điều kiện ban đầu.
dy
Ví dụ 7. Xét p/trình vi phân
= y2 .
dx
+ Dễ t h ấ y h àm y ≡ 0 l à m ộ t n gh i ệm .

+ Nếu T < A , thì

4| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

1
(nếu x ≠ C)
C −x
là một họ nghiệm trên khoảng không chứa điểm x = C của tập số thực vì khi đó:
dy
1
=
= y2
2

dx
(C − x )
+ Với C = 1 ta thu được một nghiệm riêng
1
y(x ) =
1−x
thoả mãn điều kiện ban đầu y(0) = 1.
1
+ Khi đó nghiệm y ≡ 0 l à k h ơ n g có m ặt t ro n g cô n g t h ức y(x ) =
, và nó được gọi là
C −x
một nghiệm kỳ dị của phương trình.

+ Nếu C l à h ằn g s ố , h àm s ố y(x ) =

Ví dụ 8. a) Hãy kiểm tra, hàm y(x ) = 2x 1/2 − x 1/2 ln x thoả mãn phương trình vi phân
4x 2y ''+ y = 0

với mọi x > 0 .
Thật vậy: +Tính các đạo hàm với mọi x > 0 .
1
1
1
y '(x ) = − x −1/2 ln x và y ''(x ) = x −3/2 ln x − x −3/2
2
4
2
+ Thế vào phương trình
1


1
4x 2y ''+ y = 4x 2  x −3/2 ln x − x −3/2  + 2x 1/2 − x 1/2 ln x = 0
2
4

+Do đó hàm đã cho thoả mãn phương trình vi phân đã cho với mọi x > 0 .

(y ')

2

b) Xét phương trình:

+ y 2 = −1

Dễ thấy p/trình khơng có nghiệm (nhận giá trị thực).
c) Phương trình (y ') + y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (nhận giá trị thực)
2

y(x ) = 0. .

 Nhận xét: Một phương trình vi phân khi có nghiệm thì có thể có vơ số nghiệm.
Ví dụ 9. Nếu A, B là những hằng số và y(x ) = Acos3x + B sin 3x
+ Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta được
y '(x ) = −3A sin 3x + 3Bcos3x
y ''(x ) = −9Acos 3x − 9B sin 3x = −9y(x )
với mọi x.
+ Bởi vậy, y(x ) xác định họ hai tham số của các nghiệm phương trình vi phân cấp
y ''+ 9y = 0 trên tồn bộ trục số.

5| P a g e

hai

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

II. Phương trình vi phân cấp một
1. Định nghĩa.
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:
dy
 = f (x , y )
Bài toán giá trị ban đầu : dx
y(x ) = y
0
 0
trong đó điều kiện ban đầu là y(x0) = y0.

dy
= f (x , y ) (*)
dx

(*)
(**)

Giải bài toán giá trị ban đầu :

+ Tìm tất cả các nghiệm của PTVP
+ Lấy nghiệm thỏa mãn (**) trong khoảng chứa x 0 là nghiệm của bài tốn.
a) Phương trình vi phân cấp 1 khuyết biến
dy
= f (y ) .
dx
Cách giải : + Xét phương trình f (y ) = 0 (ẩn y ), nêu phương trình có nghiệm thì đó là một
nghiệm của PT đã cho.
dy
dy
dy
+ Xét f (y ) ≠ 0 , khi đó
= f (y ) ⇔
= dx → ∫
= dx ....
dx
f (y )
f (y ) ∫
dy
 = y2
Ví dụ 10. Giải bài toán giá trị ban đầu : dx
y(1) = 2

+ Dễ thấy nghiệm y ≡ 0 : khơng thỏa mãn bài tốn.
+ Xét họ nghiệm y(x) = 1/(C – x) của PTVP dy/dx = y 2 .Ta tìm một giá trị C sao cho
nghiệm y(x)= 1/(C-x) thoả mãn điều kiện ban đầu y ( l ) = 2.
1
Thế các giá trị x = 1 và y =2 vào nghiệm đã cho, ta được : 2 = y(1) =
, và do vậy C =3/2.
C −1

1
2
+ Nghiệm cần tìm của bài toán là: y(x ) =
=
3
3 − 2x
−x
2
 Chú ý: Trên Hình 1.1.7 là hai nhánh đồ thị của hàm số: y = 2/(3 – 2x).
+ Nhánh trái là đồ thị trên (–∞, 3/2) của nghiệm của bài toán giá trị ban
dy
 = y2
đầu đã cho dx
.
y(1) = 2

+ Nhánh phải đi qua điểm (2, –2) và do đó là đồ thị trên (3/2, ∞) của nghiệm
dy
 = y2
của bài toán giá trị ban đầu khác : dx
.
y(2) = −2

6| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

dy
= f (x ).
dx
Lấy tích phân hai vế phương trình (1) là thu được:

b) Phương trình khuyết ẩn hàm:

y(x ) =

(1)

∫ f (x )dx + C = G(x ) + C .

(2)

Đây là nghiệm tổng quát của (1).
Từ nghiệm tổng quát, với mỗi sự lựa chọn C thì ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình vi
phân (1).
Hằng số C – về phương diện hình học – là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đường
cong nghiệm: y(x ) = G (x ) và y(x ) = G (x ) +C.

Khi cho một điều kiện ban đầu y(x 0 ) = y 0 , từ nghiệm tổng quát ta có C = y 0 − G (x 0 ) . Với sự lựa
chọn này của C, ta thu được nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn bài tốn giá trị ban đầu:
dy
= f (x ), y(x 0 ) = y 0 .
dx
Định nghĩa : Xét PTVP cấp 1:

dy
= f (x , y )
dx

Nghiệm tổng quát của PTVP cấp 1 là hµm sè (cã chøa tham sè): y = ϕ(x ,C )
trong đó C là hằng số tuỳ ý, thoả mÃn phơng trình vi phân ấy với mọi C.
Nghiệm riêng của PTVP cấp một là mỗi nghiệm y = (x ,C 0 ) .
mà ta nhận đợc từ nghiệm tổng qu¸t b»ng c¸ch cho h»ng sè C tuú ý mét giá trị cụ thể C 0 .
Nếu nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân cấp một đợc xác định dới dạng ẩn
(x , y,C ) = 0 thì gọi đó là tích phân tổng quát của PTVP.

Khi C = C 0 ta đợc: (x , y,C 0 ) = 0 gọi đó là tích phân riêng của PTVP nói trên.
Tuy nhiên có những nghiệm không đợc sinh ra từ công thức nghiệm tổng quát (khi đó thờng
nhận đợc từ những nhận xét riêng), nghiệm đó đợc gọi là nghiệm kỳ dị của PTVP.
Việc tìm C = C 0 th−êng xt ph¸t tõ viƯc kiĨm tra ®iỊu kiƯn ban ®Çu y(x 0 ) = y 0 , nên khi đó
nghiệm riêng sinh ra chính là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu:
7| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

dy
 = f (x , y )
dx
y(x ) = y
0

 0

Ví dụ 11. Giải bài toán giá trị ban đầu:

dy
= 2x + 3 ;
dx

.

y(1) = 2.

Giải. Tích phân hai vế phương trình vi phân ta thu được ngay nghiệm tổng quát:
y(x ) =

∫ (2x + 3)dx = x

2

+ 3x + C .

Hình vẽ cho thấy đồ thị của y = x 2 + 3x + C với một vài giá trị của C. Nghiệm riêng ta quan tâm
có đồ thị là đường cong đi qua điểm (1,2), do đó thoả mãn điều kiện ban đầu:
y(1) = 12 + 3.1 + C = 2 .
Điều này dẫn đến C = -2, nên nghiệm riêng (tức là nghiệm của bài tốn) cần tìm là:
y(x ) = x 2 + 3x − 2.
2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của Bài tốn Cauchy.
Xét ví dụ mở đầu.
Ví dụ 12. (a) [Sự khơng tồn tại] Xét bài toán giá trị ban đầu:
1

y ' = ; y(0) = 0.
x
+ Dễ thấy y(x ) = ∫ (1 / x )dx = ln x + C là nghiệm tổng quát của PTVP.
+ Kiểm tra đ/kiện: vì khơng có hàm y(x ) =

∫ (1 / x )dx = ln x

+ C nào

thoả mãn điều kiện ban đầu. Vậy nên Bài toán Cauchy vô nghiêm.
(b) [Sự không duy nhất] Dễ thấy bài tốn giá trị ban đầu:
y'=2 y ;

y(0) = 0

có hai nghiệm phân biệt y1(x ) = x 2 và y2 (x ) ≡ 0 ..
Nhận xét: Giả sử rằng ta đang nghiên cứu một hệ vật lý mà hoạt động của nó là hồn tồn xác định
bởi điều kiện ban đầu, nhưng mơ hình tốn được đưa ra là một Bài tốn giá trị ban đầu nhưng khơng có
nghiệm duy nhất.
Một vấn đề đặt ra là: Khi nào Bài toán Cauchy đó có duy nhất nghiệm
ĐỊNH LÝ 1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử cả hàm f(x,y) và đạo hàm riêng Dy f (x , y ) của nó là liên tục trên một hình chữ nhật R nào
đó trong mặt phẳng Oxy chứa điểm (a;b ) . Khi đó, với khoảng mở I chứa điểm a, bài toán giá trị ban
đầu:
dy
 = f (x , y )
(9)
dx
y(a ) = b


có một và chỉ một nghiệm xác định trên I.
8| P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

dy
= −y
dx
+ Hàm f (x , y ) = −y và đạo hàm riêng ∂f / ∂y = −1 đều liên tục tại mọi điểm.
+ Theo Định lý 1: Bài tốn có duy nhất nghiệm với mọi điều kiện đầu (a;b ) .

 Chú ý 1: Trong phương trình vi phân

 Chú ý 2: Trong phương trình vi phân dy / dx = −2 y
+ Hàm f (x , y ) = −2 y là liên tục với mọi y > 0, nhưng đạo hàm riêng ∂f / ∂y = 1 / y là gián
đoạn tại y = 0.
+ Tại điểm (0; 0) tồn tại hai nghiệm khác nhau y1(x ) = x 2 và y2 (x ) ≡ 0 mà mỗi nghiệm của bài
tốn.
 Chú ý 3: Xét phương trình vi phân đơn giản dy / dx = y 2 .
+ Ta có f (x , y ) = y 2 và ∂f / ∂y = 2y : liên tục trên toàn bộ mặt phẳng Oxy nói chúng và là trên
hình chữ nhật -2 < x < 2; 0 < y < 2 nói riêng.
+ Vì điểm (0,1) nằm trong hình chữ nhật này, nên Định lý 1 bảo đảm nghiệm duy nhất – tất nhiên là
hàm liên tục – cho bài toán điều kiện ban đầu:
dy
= y 2, y(0) = 1

dx
1
trên khoảng mở x chứa a = 0: đó chinha là : y(x ) =
1−x
+ Tuy nhiên: y(x) = 1/(1 – x) là hàm gián đoạn tại x = 1, nên nghiệm duy
nhất liên tục là khơng tồn tại trên tồn bộ khoảng -2 < x < 2. Do đó,
khoảng I ở Định lý 1 có thể khơng rộng như hình chữ nhật R khi f và
∂f / ∂y đều liên tục.
3. Phương trình vi phân phân ly biến số
dy
= H (x , y )
(*)
dx
được gọi là phương trình vi phân phân ly biến số khi H (x , y ) có thể viết thành tích của một hàm của x

a. Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một:

dy
g (x )
1
= g (x )h(y ) =
, trong đó h(y ) =
; tức là phương trình được viết dưới
dx
f (y )
f (y )
f (y )dy = g(x )dx ,
(**)

và một hàm của y :

dạng:

b. Cách giải: Xét p/t có dạng (**), lấy tích phân hai vế theo x:
dy
∫ f (y(x )) dx dx = ∫ g(x )dx + C ;
hay là:
∫ f (y )dy = ∫ g(x )dx +C
và ta có:

9| P a g e

F (y(x )) = G (x ) + C

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Ví dụ 13. Giải bài toán với giá trị ban đầu
dy
= −6xy , y(0) = 7
dx
dy
Giải. + Xét PTVP
= −6xy
dx
- Nhận xét: y ≡ 0 là một nghiệm của PT , tuy nhiên nó không thỏa mãn
ĐKBĐ

- Xét trường hợp y ≠ 0 : biến đổi thành dạng phân ly biến

dy
= −6xdx
y
dy
2
- Do đó
∫ y = −∫ 6xdx ⇔ ln | y |= −3x + C .
- Từ điều kiện ban đầu y(0) = 7 , chúng ta thấy y(x) dương tại các điểm gần điểm x = 0 , do vậy
chúng ta có thể bỏ giá trị tuyệt đối: ln y = −3x 2 + C ,
do đó:

y(x ) = e −3x

2

2

+C

2

= e −3x eC = Ae −3x , trong đó A = eC .
2

+ Điều kiện y(0) = 7 dẫn đến A = 7 , do đó nghiệm cần tìm là y(x ) = 7e −3x .
Đó chính là đường cong nghiệm tơ đậm phía trên trong Hình 1.4.1
Chú ý: + Giả sử rằng điều kiện ban đầu trong Ví dụ 1 là y(0) = −4 . Khi đó y(x ) âm khi x gần 0 .
Khi đó: ln (−y ) = −3x 2 + C

+ Điều kiện ban đầu suy ra C = ln 4 , do đó ln (−y ) = −3x 2 + ln 4 , và do vậy
2

y(x ) = −4e −3x ,
Đó chính là đường cong nghiệm tơ đậm phía dưới trong Hình 1.4.1.
dy
4 − 2x
= 2
Ví dụ 14. Giải phương trình vi phân:
dx
3y − 5

Giải. +Với ĐK mẫu số khác 0, ta đưa về dạng tách biến: (3y 2 − 5)dy = (4 − 2x )dx
+ Lấy tích phân hai vế ta nhận được:
2
3
2
∫ 3y − 5 dy = ∫ (4 − 2x )dx ⇔ y − 5y = 4x − x + C

(

)

Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn.
Mặc dù không thể nghiệm hiện y theo x, ta vẫn thấy mỗi đường cong nghiệm y = y(x ) là một đường
đường mức của hàm: H (x , y ) = x 2 − 4x + y 3 − 5y , tức là đường cong có phương trình dạng:
H (x , y ) = x 2 − 4x + y 3 − 5y = C

Ví dụ 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình vi phân:
2

dy
= 6x (y − 1)3
dx
Giải. + Dễ thấy y ≡ 1 là một nghiệm của phương trình.

10 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

2

+ Xét với y ≠ 1 , chuyển về thành dạng tách biến: (y − 1)3 dy = 6xdx .
+ Lấy tích phân hai vế ta nhận được
1
dy =
∫
2

3 (y − 1)

(y − 1)

1/3

∫ 2xdx

(*)

3

(

= x 2 + C ⇔ y(x ) = 1 + x 2 + C

)

3

- Giá trị dương của hằng số C tương ứng các đường cong nghiệm nằm trên đường thẳng y = 1 ,
- Các giá trị âm thì các đường này nằm dưới.
- Khi C = 0 thì nghiệm là y(x ) = 1 + x 6 .
- Khơng có giá trị nào của C suy ra nghiệm y(x ) = 1 từ (*). Nên y(x ) = 1 là nghiệm kỳ dị, nghiệm

(

)

này đã bị mất khi phân ly biến số. Chú ý rằng hai nghiệm khác nhau y(x ) ≡ 1 và y(x ) = 1 + x 2 − 1

3

đều thoả mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1 .
Như vậy, đường cong tích phân kỳ dị y = 1 bao gồm các điểm tại đó nghiệm khơng cịn là duy nhất
2

và ở đó hàm f (x, y ) = 6x (y − 1)3 khơng khả vi.
c. Một số mơ hình từ Bài tốn thực tế : Sinh trưởng tự nhiên và thoái hoá (sinh viên tự đọc)
dx
= kx (k là hằng số)
(1)
dt
được dùng như mơ hình tốn học của một lớp rất rộng các hiện tượng tự nhiên .

Phương trình vi phân:

Sự tăng dân số: Gọi P(t) là số cá thể trong một quần thể (người, cơn trùng hay vi khuẩn) có tỷ lệ
sinh  và tỷ lệ chết  là hằng số (đây là số cá thể ra đời hay mất đi trong một đơn vị thời gian).
Thế thì, trong một khoảng thời gian ngắn t:
+ P(t)t là số cá thể được sinh ra
+ P(t)t là số cá thể mất đi
+ Số gia của P(t) được tính gần đúng là : ∆P ≈ (β − δ ) P (t )∆t ,
dP
∆P
dP
= lim
= kP ⇔
= kP
, trong đó k = β − δ
(2)
∆
t
→
0
dt
∆t

dt
Lãi lũy tiến: Cho A(t) là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t (tính theo năm) và giả sử
rằng tỷ lệ lãi lũy tiến tính theo năm là r, (Ví dụ tỷ lệ 10% lãi một năm có nghĩa là r = 0,10). Lãi lũy tiến
nghĩa là trong một khoảng thời gian ngắn t, số tiền lãi thêm vào tài khoản xấp xỉ bằng A = rA(t)t,
suy ra
dA
∆A
= lim
= rA
(3)
∆t →0 ∆t
dt
dx
Nghiệm của phương trình tăng trưởng tự nhiên :
= kx với x (t ) > 0, k = const ,
dt

do đó

11 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

+ Bằng cách phân ly biến số rồi tích phân:

1

∫ x dx = ∫ kdt ⇔

ln x = kt + C

⇔ e ln x = e kt +C ⇔ x = x (t ) = eCe kt = Ae kt , với A = eC
+ Rõ ràng rằng A = x (0) = x 0 , do đó nghiệm riêng với điều kiện ban đầu x (0) = x 0 đơn giản là:
x (t ) = x 0e kt

Do có hàm mũ trong nghiệm của nó nên phương trình vi phân:

dx
= kx .
dt

thường được gọi là phương trình mũ hay phương trình tăng trưởng tự nhiên.
Ví dụ. Theo số liệu tại www.census.gov vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt tới 6 tỉ người và
đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là mức tăng dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ
này, hỏi rằng:
(a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu?
(b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu?
(c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới 60 tỉ mà các nhà
nhân khẩu học tin là mức tối đa mà hành tinh của chúng ta có thể cung cấp đầy đủ lương
thực?
Giải. (a) Ta tính dân số theo tỉ và thời gian theo năm.
+ Lấy t = 0 ứng với giữa năm 1999, nên P0 = 6.
+ Sự kiện P tăng lên 212 ngàn hay là 0,000212 tỉ người trong một ngày tại t = 0 có nghĩa là
P’(0) = (0,000212)(365,25)  0,07743 tỉ người/một năm.
+ Từ phương trình tăng dân số tự nhiên P’ = kP với t = 0, ta nhận được

P '(0) 0, 07743
k=
≈
≈ 0, 0129,
P (0)
6
+ Như vậy, số dân thế giới đang tăng theo tỉ lệ khoảng 1,29% một năm vào năm 1999. Với giá trị k
này, ta có hàm cho số dân thế giới là: P(t) = 6e0,0129.t
(b) Với t = 51 ta có dự báo : P(51) = 6e(0,0129)(51)  11,58 (tỉ)
sẽ là số dân của thế giới vào giữa năm 2050 (như thế kể từ năm 1999 mới qua một nửa thế kỷ, dân số thế
giới đã tăng gần gấp đôi).
ln10
≈ 178;
(c) Dân số thế giới sẽ đạt tới 60 tỉ khi mà : 60 = 6e0,0129t; nghĩa là khi t =
0, 0129
tức là năm 2177.
Q trình nguội đi và nóng lên
Theo quy luật Newton về quá trình nguội đi, suất biến đổi theo thời gian của nhiệt độ của một vật
dT
nhúng trong mơi trường có nhiệt độ khơng đổi A thì tỷ lệ với hiệu A–T. Nghĩa là :
= k (A − T ) ,
dt
trong đó k là một hằng số dương. Đây là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ hằng số có
dạng:

12 | P a g e

nhtho.wordpress.com

2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

dx
= ax + b
dt
Dạng này bao gồm phương trình mũ như một trường hợp đặc biệt (b = 0) và dễ dàng giải được bằng
cách tách biến.

Quy luật Torricelli
Giả sử một thùng chứa nước bị một lỗ hổng diện tích a tại đáy, qua đó nước đang chảy ra. Kí hiệu y(t)
là độ sâu của nước trong thùng tại thời điểm t và V(t) là thể tích nước trong thùng lúc đó. Khi đó ta có:
dV
= −k y .
dt
4. Phương pháp thế
dy
= f (x , y ),
dx
với biến phụ thuộc y và biến độc lập x
Qua phép thế :
v = α(x , y )
Ta nhận được PTVP đối với biến phụ thuộc (ẩn hàm) mới
dv
= g (x , v ) .
dx

Xét phương trình :

(1)
(2)

Các bước giải PTVP bằng phương pháp thế:
+ Tìm được phép thế thích hợp : v = α(x , y ) .
+ Sử dụng vi phân hàm hợp để biểu diễn

dy
dv
qua
.
dx
dx

dv
= g (x , v ) .
dx
+ Giải tìm ẩn hàm v rồi từ công thức của phép thế suy ra ẩn hàm cần tìm .

+ Thay vào (1) để nhận được PTVP với ẩn hàm mới v:

dy
= F (ax + by + c )
dx
Ta sẽ sử dụng phép thế: v = ax + by + c

Phương trình vi phân dạng:

dy
= (x + y + 3)2 .

dx
Giải. + Đặt v = x + y + 3 suy ra y = v – x – 3 .
dy dv
+ Từ đó :
=
− 1,
dx dx
dv
+ PTVP theo ẩn hàm mới:
= 1 + v 2 (*) là phương trình phân ly biến.
dx
+ Nghiệm của (*):

 Ví dụ 16. Giải phương trình:

13 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

x=

dv

∫ 1+v

2

= tan−1 v + C ⇔ v = tan(x − C )

+ Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x + y + 3 = tan(x – C), hay:
y(x) = tan(x – C) – x – 3.

Hình 1.6.1. Trường độ dốc và đường cong nghiệm của y ' = (x + y + 3)2 .

Bài tập về nhà: Trang 23, 34, 52, 71, 114.
Đọc trước các Mục:1.5 ; 1.6 (tr.102-104) chuẩn bị cho Bài số 2
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Phương trình Bernoulli.

14 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Bài số 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÂP MỘT. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
a. Hàm tuyến tính. + Hàm F (a, b ) được gọi là tuyến tính theo biến thứ nhất nếu:

F (λa1 + µa2, b) = λF (a1, b) + µF (a2, b) .
+ Hàm F (a, b ) được gọi là tuyến tính theo biến thứ hai nếu:

F (a, λb1 + µb2 ) = λF (a, b1 ) + µF (a, b2 ) .
b. Định nghĩa. PTVP tuyến tính cấp một là PTVP có dạng
dy
+ P (x ) y = Q (x ) .
dx
Nhận xét : PTVP phân ly biến

(1)

dy
dy
= g (x )h(y ) ⇔
− g(x )h(y ) = 0 nói chung và trường hợp riêng:
dx
dx

dy
+ P (x )y = 0 (*) : ta đã biết cách giải chúng.
dx
PTVP (1) khi Q(x ) = 0 sẽ trở thành (*)
Câu hỏi đặt ra : Cách giải PT (1) ra sao ?

c. Phương pháp giải : + Trên một khoảng mà các hàm hệ số P (x ) và Q(x ) đều liên tục, nhân cả hai
vế của phương trình (1) với thừa số tích phân : ρ(x ) = e ∫
e∫

P (x )dx

P (x )dx

ta được:

P (x )dx
P (x )dx
dy
+ P (x )e ∫
= Q(x )e ∫
,
dx

hay là:

P (x )dx 
P (x )dx
 = Q(x )e ∫
Dx y(x ) ⋅ e ∫
.


+ Tích phân hai vế của phương trình này sẽ được
P (x )dx
P (x )dx
y(x ) ⋅ e ∫
= (Q(x )e ∫
)dx + C .

∫

+ Cuối cùng, giải theo y ta nhận được nghiệm tổng qt của phương trình tuyến tính cấp một:


− P (x )dx 
P (x )dx
 ∫ (Q(x )e ∫
y(x ) = e ∫
)dx + C  .


 Các bước giải PTVPTT cấp 1
P (x )dx
1. Đầu tiên, tính thừa số tích phân ρ(x ) = e ∫
2. Nhân hai vế của phương trình vi phân với ρ(x )
3. Sau đó, đưa vế trái của phương trình được xét về dạng đạo hàm của một tích:
Dx ρ(x )y(x ) = ρ(x )Q(x ).



4. Cuối cùng, tích phân phương trình này
15 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

ρ(x )y(x ) = ∫ ρ(x )Q(x )dx + C ,

rồi giải theo y để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đầu tiên:


− P (x )dx 
P (x )dx
 ∫ (Q(x )e ∫
y(x ) = e ∫
)dx + C  .



(x

dy
+ 3xy = 6x .
)dx
+ Chia hai vế của phương trình cho (x + 1) , ta nhận được

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của:
Giải

2

+1

2

dy
3x
6x
+ 2
y= 2
dx x + 1

x +1
3x
,
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một với P (x ) = 2
x +1

(

)

Q(x ) =

(x

6x
2

)

+1

.

+ Nhân hai vế với

ρ(x ) = exp(∫

3
3x
3

2
2
2
dx ) = exp( ln(x + 1)) = (x + 1)
2
x2 + 1

sẽ có
dy
+ 3x (x 2 + 1)1/2 y = 6x (x 2 + 1)1/2 ,
dx
2
3/2
+ Và như thế : Dx (x + 1) y  = 6x (x 2 + 1)1/2,


2
3/2
+ Tích phân sẽ được: (x + 1) y = ∫ 6x (x 2 + 1)1/2dx = 2(x 2 + 1)3/2 + C .
(x 2 + 1)3/2

(

)

Nhân hai vế với x 2 + 1

–3/2

(

)

sẽ có nghiệm tổng quát: y (x ) = 2 + C x 2 + 1

–3/2

.

dy
 + P (x )y = Q(x )
d. Bài toán Cauchy cho PTVPTT cấp 1 : dx
y(x ) = y
0
 0

ĐỊNH LÝ 1. Về sự tồn tại và duy nhất nghiêm.
Nếu hàm P(x) và Q(x) liên tục trên một khoảng mở I chứa điểm x0, thì bài tốn giá trị ban đầu:
dy
 + P (x )y = Q(x )
dx
y(x ) = y
0
 0
có nghiệm duy nhất y(x) trên I, cho bởi công thức :

− P (x )dx 
P (x )dx
 ∫ (Q(x )e ∫
với một giá trị C thích hợp.

y(x ) = e ∫
)dx + C 


 Chú ý: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một khơng có các nghiệm kì dị.
16 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Ví dụ 2. Giải bài toán giá trị ban đầu: x 2

dy
+ xy = sin x ,
dx

y(1) = y 0 .

Giải. + Chia hai vế cho x 2 sẽ có phương trình vi phân tuyến tính cấp một
dy y
sin x
+ = 2 , ….
dx x
x
2. Phương trình Bernoulli.
Dạng:

dy
+ P (x )y = Q(x )y n với n ≠ 0,1 .
dx

(5)

Cách giải: + Sử dụng phép thế: v = y 1−n
+ Khi đó :

(6)

dv
dy
= (1 − n )y 1−2
dx
dx

+ Phương trình (5) thành phương trình tuyến tính:

dv
+ (1 − n )P (x )v = (1 − n )Q(x ).
dx

 Ví dụ 3. Phương trình thuần nhất 2xyy ' = 4x 2 + 3y 2 có thể viết dưới dạng:

dy
3
2x
− y=

,
dx 2x
y
+ Đó là phương trình Bernoulli với: P (x ) =
+ Đặt:
v = y 2,

−3
; Q (x ) = 2x , n = −1 .
2x

y = v 1/2 ⇒

+ Ta có :

dy dy dv
1
dv
=
= v −1/2 .
dx dv dx
2
dx

1 −1/2 dv
3
v
− v 1/2 = 2xv −1/2 .
2
dx 2x

1/2
+ Nhân 2 vế với 2v , thu được phương trình tuyến tính:
dv 3
− v = 4x
dx x
(−3/x )dx
+ Nhân tử tích phân ρ = e ∫
= x −3 , từ đó:
4
4
⇔ x −3v = − + C
2
x
x
4
x −3y 2 = − + C ⇒ y 2 = −4x 2 + Cx 3 .
x

Dx (x −3v ) =

17 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

 Ví dụ 4. Xét phương trình Bernoulli: x

dy
+ 6y = 3xy 4/3
dx

+ Ta có : n = 4/3, 1 – n = –1/3.
+ Phép thế: v = y −1/3,

y = v −3 ⇒

dy dy dv
dv
=
= −3v −4
dx
dv dx
dx

+ PT đã cho thành:
dv
+ 6v −3 = 3xv −4 .
dx
dv 2
+ Chia 2 vế cho −3xv −4 ta có phương trình tuyến tính:
− v = −1
dx x
(−2/x )dx
+ Nhân tử tích phân ρ = e ∫
= x −2 , từ đó :
−3xv −4

Dx (x −2v ) = −

+ Vậy:

y(x ) =

1
1
⇔ x −2v = + C ⇔ v = x + Cx 2 .
2
x
x

1
.
(x + Cx 2 )3

Ví dụ 5. Phương trình Bernoulli: 2xe 2y

dy
= 3x 4 + e 2y
dx

(7)

+ Để ý : y chỉ xuất hiện trong e2y và Dx(e2y) =2 e2y’.
+ Xét phép thế : v = e 2y ⇒

dv

dy
= 2xe 2y
dx
dx

+ PTVP (7) thành phương trình tuyến tính :

dv
1
– v = 3x3.
dx
x

+ Nhân với thừa số tích phân p = 1/x, ta tìm được :
1
v =
x

+ Vậy :

y(x) =

∫ 3x dx
2

= x3 + C, suy ra e2y = v = x4 + Cx

1
ln | x 4 + Cx | .
2

Về nhà
1. Đọc thêm Mục 1.7 và 1.8 để hiểu thêm một số Mơ hình Tốn
2. Bài tập: Tr. 89, 114
3. Đọc trước: Mục 1.6(tr.100-102, 107-110) chuẩn bị cho Bài số 3:
Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một. Phương trình vi phân toàn phần.

18 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Bài số 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP CẤP MỘT.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN.
1. Phương trình vi phân thuần nhất cấp 1
Dạng: PTVP cấp 1 thuần nhất là phương trình có thể viết được dưới dạng:
y 
dy
= F  
dx
 x 

(3)

Nhận xét: Nếu các hàm hệ số của PTVP là đẳng cấp thì PTVP đó là PTVP thuần nhất.

Cách giải: + Đặt:
y
dy
dv
hay là y = vx ,
⇒
=v +x ,
x
dx
dx
+ Phương trình (4) trở thành phương trình phân ly biến:
dv
x
= F (v ) − v.
dx
v=

(4)

 Ví dụ 1. Giải phương trình:
2xy

dy
= 4x 2 + 3y 2 .
dx

Giải. + Đây là PTVP cấp 1 phi tuyến , tuy nhiên các hệ số là các hàm đẳng cấp bậc 2.
+ Dễ dạng biến đổi về:
x  3 y 
dy

4x 2 + 3y 2
=
= 2   +   .
dx
2xy
 y  2  x 
+ Xét phép thế : v =
+ Từ đó:

y
1 x
hay y = vx , = .
x
v y

dy
dv
=v +x ,
dx
dx

dv
2 3
dv
2 v v2 + 4
2v
1
= + v⇔x
= + =
⇔ 2

=
dx
v 2
dx
v 2
2v
v +4 x
2v
1
+ Do đó: ∫ 2
dv = ∫ dx ⇔ ln(v 2 + 4) = ln x + ln C .
x
v +4
y2
+ Mũ hóa hai vế ta thu được: v 2 + 4 = C x ⇔ 2 + 4 = C x ⇔ y 2 + 4x 2 = kx 3 .
x
Chú ý: Với k > 0 nghiệm xác định với x > 0,
và k < 0 cho nghiệm với x < 0.

+ Và nhận được:

19 | P a g e

v +x

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

 Ví dụ 2. Giải bài toán Cauchy:
 dy
x
= y + x 2 − y2
,
 dx
y(x ) = 0
 0

x0 > 0 .

Giải. + Giải PTVP: Ta chia cả 2 vế cho x:
y 
dy
y
= + 1 −   ,
dx
x
 x 
2

+ Nhận thấy y = ±x thỏa mãn PTVP.
+ Với y ≠ ±x , qua phép thế v =

y
ta thu được :
x

dv
1
1
= v + 1 − v2 ⇔
=
2
dx
x
1−v
1
1
−1
∫ 1 − v 2 dv = ∫ xdx ⇔ sin v = ln x + C
+ Vì x > 0 gần với x = x 0 > 0 nên ln x = ln x .
v +x

+ Để ý : v(xo ) =

y(x 0 )
= 0 , nên C = sin−1 0 − ln x 0 = − ln x 0 . Do đó:
x0
v=

 x 
y
= sin(ln x − ln x 0 ) = sin ln  ,
 x 0 
x

 x

+ Vậy y(x ) = x sin ln  là nghiệm riêng của PTVP(nghiệm của bài tốn)cần tìm.
 x 0 

+ Vì sin−1 v = ln

x
xác định khi −π / 2 ≤ ln(x / x 0 ) ≤ π / 2 nên nghiệm của bài toán xác định
x0

trong x 0e −π/2 ≤ x ≤ x 0e π /2 .
2. Phương trình vi phân tồn phần
 ∂F

= M (x, y )

Dạng : Nếu tồn tại hàm F ( x, y ) sao cho  ∂x
, thì PTVP có dạng:
 ∂F
= N (x , y )

 ∂y
M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0

được gọi là PTVP toàn phần.

20 | P a g e

nhtho.wordpress.com

2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Định lý 1. (Tiêu chuẩn để nhận ra phương trình vi phân tồn phần)
Giả sử những hàm M(x, y) và N(x, y) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong hình chữ
nhật mở R : a < x < b, c < y < d . Khi ấy PTVP
M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0 ,
là toàn phần trong R nếu và chỉ nếu :

M
N
=
.
y
x

(1)
(2)

tại mỗi điểm của R. Tức là, tồn tại một hàm F(x, y) xác định trên R với :
 ∂F
=M

∂
x
và chỉ nếu phương trình (2) đúng trên R.

∂
 F = M

 ∂x

Ví dụ 3. Phương trình vi phân y3dx + 3xy2dy = 0
∂M
∂N
là tồn phần bởi vì
=
= 3y 2 .
∂y
∂x
+ Hàm thế vị : F(x, y) = xy3 .
Nếu ta chia PTVP trong Ví dụ 1 cho y2 (với g/t y ≠ 0 ) đạt được :
ydx + 3xdy = 0.
+ Phương trình này khơng tồn phần bởi vì với M = y và N = 3x 3x, ta có

∂M
∂N
=13=
.
∂y
∂x
Cách giải : Xét PTVP tồn phần
M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0
+ Khi đó tồn tại hàm F (x , y ) sao cho :

(*)

F = M (x , y )
 x
.


Fy = N (x , y )


+ Ta có

F (x , y ) =

∫ M (x, y )dx + g(y ) .

(**)

+ Lấy đạo hàm hai vế của (**) theo y rồi áp dụng :
∂F
= N (x , y )
∂y
để xác định g (y ) .
+ Nghiệm tổng quát của (*) được xác định bởi F (x , y ) = C .

Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân: (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0.
Giải. + Ta có M(x, y) = (6xy – y3) và N(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2)
+ Phương trình đã cho là PTVP tồn phần bởi vì

21 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

∂M
∂N
= 6x – 3y2 =
.
∂y
∂x
+ Lấy tích phân

∂F
= M (x , y ) theo x, ta được
∂x
F(x, y) = ∫ (6xy − y 3 )dx = 3x2y – xy3 + g(y).

+ Tiếp theo ta đạo hàm theo y và chú ý ∂F /∂y = N(x, y). Điều này dẫn tới
∂F
= 3x2 – 3xy2 + g'(y) = 4y + 3x2 – 3xy2,
∂y
suy ra g'(y) = 4y. Do đó g(y) = 2y2 + C 1 .
+Từ đó : F(x, y) = 3x2y – xy3 + 2y2 + C1.
+ Vậy nghiệm tổng quát của PTVP được xác định ẩn bởi :
3x2y – xy3 + 2y2 = C
(ta đã dồn hằng số C1 vào trong hằng số C).
(6xy - y 3)dx + (4y + 3x 2 - 3xy 2)dy = 0
 Nếu xét Bài toán Cauchy: 
y(0) = 1

Thay điều kiện ban đầu vào (3) suy ra nghiệm của bài toán:
3x2y – xy3 + 2y2 = 2.

(3)

Về nhà :
Bài tập : Tr. 114-115
Đọc trước : Mục 1.6 (tr. 111-113) ; Mục 2.1(Tr.157-160) Mục 2.2(Tr. 182-183); chuẩn bị cho
Bài số 4
Phương trình vi phân cấp 2

22 | P a g e

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

Bài số 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

1. Định nghĩa. Một phương trình vi phân cấp hai chứa đạo hàm cấp hai của hàm ẩn y(x ) , vì vậy có
dạng tổng qt
F (x , y, y ', y '') = 0 .
(1)
2. Một số PTVP cấp 2 giảm cấp được.
a) Phương trình khuyết biến phụ thuộc y.
Dạng
F (x , y, y ', y '') = 0 .

(2)

dy
dp
⇒ y '' =
dx
dx
+ Ta nhận được PTVP cấp một : F(x, p, p') = 0.
+ Nếu p = p(x ,C 1 ) là nghiệm tổng quát của (3) thì

Cách giải: + Xét phép thế : p = y' =

y(x ) =

(3)

∫ y '(x )dx = ∫ p(x,C )dx + C
1

2

là nghiệm của phương trình (2) .

Ví dụ 1. Giải phương trình: xy" + 2y' = 6x.
dy
dp
⇒ y '' =
dx
dx
dp

dp 2
x
+ 2p = 6x tức là
+ p=6 .
dx
dx x

Giải. + Nhận xét: PTVP khuyết y , xét phép thế: p = y' =
+ Ta nhận được PTVP TTcấp 1:

2

∫ x dx

+ Nhân với thừa số tích phân ρ(x ) = e
= x 2 ta được:
Dx (x2p) = 6x2 ⇔ x2p = 2x3 + C1 ⇔ p = 2x + C1/x2.
C
dy
hay là
= 2x + 21
dx
x
+ Lấy tích phân theo x sẽ có nghiệm tổng quát của PTVP đã cho: y(x ) = x 2 +

b) Phương trình khuyết biến độc lập x.
Dạng:
F(y, y', y") = 0.
dp dp dy
dp

Giải: + Xét phép thế : p = y ' ⇒ y " =
=
.
=p
dx dy dx
dy
+ Khi đó PTVP (4) trở thành PTVP cấp một (với p như một hàm của y).
dp
F (y, p, p ) = 0
dy
23 | P a g e

C1
+C2
x
(4)

(5)

nhtho.wordpress.com


2021-2022

Bài giảng mơn Phương trình vi phân

+ Nếu nghiệm của (5) là p = p(y,C 1 ) thì (khi giả thiết rằng y'  0) ta có :

1
dy

+C2
dy = ∫
p
p(y,C 1 )
+ Nếu tích phân cuối cùng P = ∫(1/p) dy có thể tính được, thì nhận được nghiệm khơng tường minh
x(y) = P(y, C1 ) + C2 của PTVP cấp hai ban đầu.

x (y ) =

1

dx

∫ dydx = ∫ dy / dxdx = ∫

Ví dụ 2. Giải PTVP yy " = (y ') .
2

Giải. + PTVP khuyết biến độc lập x .
+ Giả sử y và y' đều không âm , xét phép thế: p = y ' ⇒ y " =
+ Ta được PTVP cấp 1 tách biến : yp

dp dp dy
dp
=
.
=p
dx dy dx
dy

dp
= p2 .
dx

dp
dy
=∫
⇔ ln p = ln y + C ⇔ p = C 1y (bởi vì y > 0 và p = y’ > 0),
p
y
trong đó C1=eC.
dx
1
1
dy
+ Từ đó :
= =
⇒ C 1y = ∫
= ln y + C 2
dy
p C 1y
y
+ Nghiệm tổng quát của PTVP cấp hai đã cho là:

+ Khi đó :

∫

y(x ) = e

(C1x −C 2 )

= Ae Bx ,

trong đó A = e

−C 2

, B = C1 .

+ Các giả thiết y và y' đều không âm chỉ là tạm thời, dễ thấy y(x ) = Ae Bx thoả mãn PTVP yy’’ = (y’)2
với tất cả các giá trị thực của A và B.

c) Phương trình khuyết y và x
Ví dụ 3: Giải PTVP: y " = (y ')2 .
Giải: + PTVP phi tuyến cấp 2 khuyết cả biến phụ thuộc y và biến độc lập x .
+ Xét phép thế: p = y ' ⇒ p ' = y " ta nhận được PTVP p ' = p 2 ⇔
+ Dễ thấy p ≡ 0 thỏa mãn (*), suy ra y = C .
+ Với p ≠ 0 ta có (*) trở thành :
+ Khi đó y(x ) =

24 | P a g e

dp
= p 2 . (*)
dx

dp
−1
−1

dy
−1
= dx ⇒
= x + C1 ⇔ p =
⇔
=
.
2
p
x + C1
dx
x + C1
p

1
+ C 2.
(x + C 1 )2

nhtho.wordpress.com