bài giảng phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
Bài toán dẫn về phương trình vi phân
[ ]
0
( ) 20 , (0) 100
dT
k T t T C
dt
= − =
Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ
với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí.
Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của
không khí là 20
0
C và nhiệt độ ban đầu của vật là
100
0
C.
Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian
Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t
⇒ PTVP
BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP
1
( ) 2 ( )=
∫
x
y t dt xy x
( ) 2 ( ) 2 '( )y x y x xy x= +
2 '( ) ( ) 0xy x y x⇔ + =
(1) 1y =

Đạo hàm 2 vế
Lưu ý:
1 x
M(x,y)
Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn
[1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y)
thuộc đường cong (x>0, y>0)
1
BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP
0
400 /v m s=
20cm
100 /m s
Giả thiết: lực cản của tường tỷ
lệ bình phương vận tốc.
Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường.
MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm
dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân
2.Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của
ẩn hàm.
3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.
Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo
hàm riêng.
4.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn
hàm.
NGHIỆM CỦA PTVP
Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y
(n)

) = 0 (1)
1.Hàm số y = ϕ(x,c
1
,…,c
n
) thỏa mãn (1) với c
i
là
các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Nếu cho c
i
các giá trị cụ thể ta được nghiệm
riêng của (1).
2.Hàm φ(x,c
1
,…,c
n
, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích
phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)
Nếu cho c
i
các giá trị cụ thể ta đươc tích phân
riêng của (1).
NGHIỆM CỦA PTVP
3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong
tích phân.
4.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là
nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của
(1).
Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1

Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0
(1)
y’ = f(x, y) (2)Hoặc
(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.
Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều
kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
Gọi là bài toán Cauchy.
MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1
•
Phương trình tách biến
•
Phương trình đẳng cấp
•
Phương trình tuyến tính cấp 1
•
Phương trình vi phân toàn phần
•
Phương trình Bernoulli.
PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN
Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác
nhau gọi là phương trình tách biến.
f(y) dy = g(x) dx
Phương pháp giải: tích phân 2 vế
Nhận dạng: y’ = f(y)g(x)
Ví dụ
2

(1) 3 2y dy xdx⇔ =
2
3 2y dy xdx⇔ =
∫ ∫
3y
2
y’ = 2x (1)
y(0) = 1 (2)
3 2
y x C⇔ = +
( tích phân tổng quát )
Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1
hay nghiệm của (1) và (2) là:
3
2
1y x= +
Vậy tích phân riêng là: y
3

= x
2
+ 1
(3)
(1)
dy dx
y x
⇔ =
ln lny x c⇔ = +
ln ln⇔ − =y x c
xy’ = y (1)

⇔ =
c
y
e
x
, 0⇔ = ≠
y
C C
x
1.y = 0 là 1 nghiệm của pt
2.y ≠ 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)
y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát.
2 2
' 3 3
dy
y x y x dx
y
= ⇔ =
2
3
dy
x dx
y
⇔ =
∫ ∫
3
ln y x c⇔ = +
y’ = 3x
2
y, y(0) = 2

3 3
x c c x
y e e e
+
⇔ = =
3
, 0⇔ = ≠ C
x
y Ce
Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không
xét.
x = 0, y = 2 ⇒ C = 2 ⇒
nghiệm :
3
2
x
y e=
Ví dụ
(1)
( 2)
⇒ =
+
dy
xdx
y y
1 1 1
2 2
 
⇒ − =
 ÷

+
 
∫ ∫
dy xdx
y y
2
ln
2
⇒ = +
+
y
x c
y
2
2
⇒ =
+
x
y
Ce
y
y’ – xy
2
= 2xy
⇔ y’ = xy
2
+ 2xy = xy(y + 2) (1)
DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN
4 1 ' 4 'u x y u y= + − ⇒ = +
2

' 4− =u u
1
arctan
2 2
⇒ = +
u
x c
4 1
arctan 2
2
x y
x C
+ −
⇔ = +
y’ = f(ax + by + c) Đặt: u = ax + by +c
Vd: y’ = (4x + y – 1)
2
Pt trở thành
2
4
⇒ =
+
du
dx
u
DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN
u y x= −
3 1
' 1
2

u
u
u
−
+ =
1
'
2
−
⇒ =
u
u
u
1 2
⇒ =
−
udu dx
u
Vd:
Đặt ẩn hàm mới:
Pt trở thành:
3 3 1
2 2
y x
y
y x
− −
′
=
−

ln 1
2
⇒ + − = +
x
u u C
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
2 2
'xyy x xy y= − +
' 1
x y
y
y x
⇒ = − +
ux
y
u
x
y⇒ ==
1
' 1u x u u
u
+ = − +
Vd:
Hay: y = ux
1
'
u
u x
u
−

⇒ =
Pt trở thành:
⇒ u + ln|u-1| =
−
ln|x| +
C
Đổi biến:
y
u
x
=
y
y f
x
 
′
=
 ÷
 
' 'y u x u⇒ = +
PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP
1 1 1
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =


+ + =


1 1 1
ax by c
y f
a x b y c
 
+ +
′
=
 ÷
+ +
 
1 1
0
a b
a b
≠
1 1
0
a b
a b
=
Bước 1: giải hệ pt
Với cặp nghiệm (x
0
, y
0
), đặt :
x = X + x
0

y = Y + y
0
Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, y
Pt trở thành:
đưa về tách
biến
X
Y g
Y
 
′
=
 ÷
 
Ví dụ
(2 4 6) '( 3) 0x y y x y− + + + − =
2 4 6
'
3
− + −
⇒ =
+ −
x y
y
x y
2 4 6 0 1
3 0 2
x y x
x y y
− + − = =

 
⇔
 
+ − = =
 
2( 1) 4( 2) 6 2 4
' '
1 2 3
− + + + − − +
= ⇔ =
+ + + − +
X Y X Y
Y Y
X Y X Y
Giải pt:
Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành
2 4
'
1
− +
⇒ =
+
Y
X
Y
Y
X
Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U
2 4
'

1
− +
+ =
+
U
U X U
U
2
( 1)
3 2
+ −
⇒ =
− +
U dU dX
X
U U
2 4
'
− +
=
+
X Y
Y
X Y
2
3 2
'
1
− + −
⇒ =

+
U U
U X
U
3
2
ln( 1) ln 2 ln | |⇒ − − + − = − +U U X c
3
2
( 2)
( 1)
−
⇒ =
−
U C
X
U
3 2
( 2 ) ( )⇒ − = −Y X C Y X
2
( 1)
3 2
U dU dX
X
U U
+ −
=
− +
(trả về x, y)
( )

( )
2 2
, sin lnf x y xy x y= + +
( ) ( )
, ,
y
f
f x y x y
y
∂
′
=
∂
( ) ( )
, ,
x
f
f x y x y
x
∂
′
=
∂
2 2
2
cos
x
y xy
x y
= +

+
2 2
2
cos
y
y xy
x y
= +
+
PT VI PHÂN TOÀN PHẦN
( , ) ( , ) 0
y x
P x y dx Q x y dy
P Q
+ =


′ ′
=

( , )U x y C=
0 0
0
( , ) ( , ) ( , )
x y
x y
U x y P t dty xQ t dt= +
∫ ∫
Dạng:
Tích phân tổng quát:

Với U(x,y) cho bởi:
0 0
0
( , ) ( , ( ,) )
x y
x y
U x y P t dt Q ty x dt= +
∫ ∫
hay
(x
0
, y
0
) là điểm mà P, Q xác định
Ví dụ
(3 2 ) (2 9 ) 0x y dx x y dy+ + − =
2
y x
P Q
′ ′
= =
0 0
( , ) (0,0)x y =
Giải pt:
P(x,y)
Q(x,y)
Chọn :
0 0
0
( , ) ( , ) ( , )

x y
x y
U x y P t dty xQ t dt= +
∫ ∫
0 0
03 ) ( 9 )2(
x y
t dt x t dt= + + −
∫ ∫
0 0
( , ) (3 9 )2(0)
x y
xU x y t dt t dt= + + −
∫ ∫
2 2
3 9
2
2 2
x xy y= + −
2 2
( , )
3 9
2
2 2
xU xy yx y C= + − =
Vậy tích phân tổng quát là