skkn mới nhất phát hiện sửa chữa các sai lầm và xây dựng hệ thống công thức để giúp học sinh giải nhanh các bài tập trắc nghiệm phần cực trị của hàm số

1
MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1. Mở đầu

2

1.1. Lý do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi nghiên cứu

3

2.3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề

4

2.3.1. Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi
giải bài toán về cực trị của hàm số.

4

2.3.2. Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh các bài
tập trắc nghiệm.

8

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

14

3. Kiến nghị và kết luận

15

download by :


2

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề cực trị của hàm số trong chương trình lớp 12 là nội dung quan trọng
và khó đối với học sinh; có thể nói đây là nội dung được sử dụng và khai thác để
giải các bài toán cho nhiều phần khác trong chuyên đề của hàm số.
Từ năm 2017 kỳ thi THPT Quốc gia đối với mơn Tốn chuyển sang hình thức
thi trắc nghiệm khách quan với thời gian 90 phút mà học sinh phải giải quyết 50
câu hỏi. Vì vậy, học sinh phải có kiến thức tốt và có phương pháp giải nhanh để
lựa chọn đáp án chính xác; đặc biệt đối với bài thi trắc nghiệm có 4 lựa chọn thì
người ra đề ln tìm cách đưa ra phương án nhiễu tốt nhất, như vậy việc phát hiện
các sai lầm và có biện pháp sửa chữa các sai lầm cho học sinh là một yêu cầu cấp
thiết để giúp học sinh hoàn thành tốt bài thi.
Đây là năm đầu tiên Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi mơn Tốn dưới hình
thức trắc nghiệm khách quan. Vì vậy các tài liệu, các bài viết giúp học sinh giải
quyết nhanh các bài toán về phần cực trị, cũng như chỉ ra các khó khăn và sai lầm
của học sinh trong khi giải bài toán trắc nghiệm phần cực trị là chưa có.
Từ những lý do trên tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Phát
hiện, sửa chữa các sai lầm và xây dựng các công thức giúp học sinh giải nhanh
các bài toán phần cực trị hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các cơng thức và phát hiện, sửa chữa các sai lầm cho học sinh để
học sinh hoàn thành bài thi trắc nghiệm khách quan mơn Tốn đạt kết quả cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng cơng thức tính nhanh về các bài tốn cực trị của hàm số, đồng thời
chỉ ra các sai lầm và cách khắc phục sai lầm của học sinh trong việc giải toán về

cực trị của hàm số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lý thuyết về xây dựng các cơng thức tính nhanh giúp học sinh
có lựa chọn chính xác câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

download by :


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
+ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo
hàm trên (a; x0) và (x0; b). Khi đó
a) Nếu
đạt cực tiểu tại x0.

với mọi

và

với mọi

thì hàm f

b) Nếu
đạt cực đại tại x0.

với mọi
[1]

và

với mọi

thì hàm f

Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm
Bước 2: Tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
không hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
Bước 3: Xét dấu
cực trị tại xi. [1]

. Nếu

đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt

Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên (a; b) chứa điểm x 0,
và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu

thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu

thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. [1]

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia cho mơn
Tốn thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời
và có tổng số 50 câu buộc học sinh phải giải trong 90 phút. Như vậy, thời gian
bình quân để giải 1 câu bằng 1,8 phút; mỗi một câu hỏi giữa các phương án có độ
nhiễu rất cao và dễ làm cho học sinh có những lựa chọn sai lầm.
Các khó khăn của học sinh khi học phần cực trị của hàm số:
- Sử dụng dấu hiệu I về tìm cực trị học sinh thường khơng để ý đến các điểm
mà tại đó đạo hàm không tồn tại;

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

4
- Đọc số các điểm cực trị khi cho biết đồ thị hoặc đạo hàm cịn dễ sai lầm vì
chỉ để ý đến số nghiệm của đạo hàm mà không xét đến việc đổi dấu của đạo hàm;
- Sử dụng dấu hiệu II học sinh thường cho rằng đây là điệu kiện cần và đủ dẫn
đến lựa chọn kết quả sai;
- Thời gian giải một bài toán trắc nghiệm khoảng 2 phút. Nhưng nếu giải theo
phương pháp thông thường học sinh cần phải ít nhất 10 phút. Như vậy học sinh sẽ
khơng hồn thành được bài thi.
2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải
bài toán về cực trị của hàm số.
2.3.1.1. Áp dụng Quy tắc 1:

Bước 1: Tìm
Bước 2: Tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
khơng hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
Bước 3: Xét dấu
cực trị tại xi. [1]

. Nếu

đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt

+ Học sinh chỉ quan tâm đến nghiệm của đạo hàm bậc nhất
mà học sinh
không để ý đến việc đổi dấu của đạo hàm, điều này được thể hiện qua 2 ví dụ minh
họa sau:
Câu 1: Cho hàm số
số điểm cực trị của hàm số
A. 2

B. 1

có đạo hàm

. Tìm

.
C. 3

Câu 2: Tìm m để hàm số

D. 0
có cực đại, cực

tiều. [2]
A.
C.

B.
D.

;
;

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

5
Đối với câu 1) học sinh thấy
có 3 nghiệm nên chọn đáp án C, hàm
số có 3 cực trị; học sinh sai lầm ở chỗ qua điểm x = -1 đạo hàm khơng đổi dấu thì
x = - 1 khơng phải cực trị của hàm số. Đáp án đúng là A, hàm số có 2 cực trị.
Qua ví dụ này giáo viên khi dạy phải chú ý cho học sinh đọc số cực trị của
hàm số khi biết đạo hàm để khắc phục sai lầm trên.
Đối với câu số 2) học sinh có sai lầm là: hàm số có cực trị khi và chỉ khi
có nghiệm. Vì vậy học sinh đưa ra điều kiện

nên

học sinh hầu hết chọn đáp án A. Học sinh quên rằng khi tam thức bậc 2 có nghiệm
kép thì dấu của nó khơng thay đổi qua nghiệm kép. Đáp án đúng của bài toán này
là đáp án B, điều kiện là:

+ Học sinh chỉ để ý cực trị của hàm số đạt tại các điểm mà
không để ý đến các điểm mà tại đó
khơng xác định.
x 
y'

Câu 3: Cho hàm số
xác định, liên tục
trên và có bảng biến thiên là:

y

Xét các khẳng định sau:

2016
 0

mà



2017

1



0
1

a) Hàm số có đúng một cực trị.





b) Cực tiểu của hàm số bằng

.

c) Hàm số đạt cực đại tại
d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Số khẳng định đúng là:

A. 1

.
B. 2

Câu 4: Số cực trị của hàm số
A. 0

B. 1

B. 1

D. 4

bằng:
C. 2

Câu 5: Số cực trị của hàm số
A. 0

C. 3

D. 3
bằng:

C. 2

D. 3

Đối với câu 3) Nhiều học sinh sẽ nghĩ rằng tại x = 2017 đạo hàm không xác
định nên hàm số không đạt cực trị tại đó. Vì vậy, học sinh sẽ cho rằng khẳng định

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

6
c) là sai và đồng thời cho rằng khẳng định a) là đúng. Ở khẳng định b) và d) nhiều
học sinh sẽ cho là đúng vì các em nhầm khái niệm giữa điểm cực trị của hàm số

với điểm cực trị của đồ thị hàm số; điểm cực trị của hàm số và giá trị cực trị của
hàm số. Câu hỏi này sau khi thầy giáo chữa cho học sinh và chốt lại chọn đáp án
A, tức là chỉ có khẳng định c) là đúng.
Câu 4: Ta có:

Khi đó
Từ đó
và qua x = 1 đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên học sinh
chỉ kết luận hàm số có 1 điểm cực đại tại x = 1.
Trong trường hợp này học sinh thường không để ý được tại x =0 và x = 2 hàm
số khơng có đạo hàm nhưng qua 2 điểm này đạo hàm đổi dấu vì vậy học sinh
khẳng định hàm số chỉ có 1 cực trị chứ không phải 3 cực trị dẫn đến chọn đáp án
sai.
Câu 5: Ta có
Từ đó học sinh thấy qua

;
thì đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên hàm số

chỉ có 1 cực tiểu và kết luận hàm số chỉ có 1 cực trị mà học sinh khơng quan tâm
đến điểm x = 0 đạo hàm không xác định nhưng qua x = 0 đạo hàm cũng đổi dấu.
Trong trường hợp này giáo viên phải giải
thích cho học sinh rõ bằng cách lập bảng biên
thiên và nhấn mạnh lại dấu hiệu tìm điểm cực trị
của hàm số để sửa chữa các sai lầm cho học sinh.
Trong khi dạy giáo viên cần làm rõ và chỉ
cho học sinh thấy và quan tâm ngồi các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 và đổi dấu thì
cịn có những điểm thuộc tập xác định của hàm số nhưng tại đó đạo hàm khơng
xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu thì nó cũng là cực trị của hàm số.
2.3.1.2. Sai lầm của học sinh khi sử dụng dấu hiệu 2 về tìm cực trị

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

7
Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng
đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần và đủ.
Quy tắc:
Ÿ

Ÿ

là điểm cực tiểu;

là điểm cực đại [1]

Điều ngược lại nói chung là khơng đúng (!).
Câu 6: Cho hàm số
hàm số đạt cực đại tại
?
A. m = 0;

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

B. m > 0

C. m < 0

D.

Một số học sinh trình bày như sau: +) Ta có:

và

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:

hệ vô

nghiệm. Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
chọn đáp án D
Phân tích:
Chẳng hạn, với

, hàm số có dạng

.

Ta có:
Bảng biến thiên:
+

-

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu

thỏa mãn

là điểm cực đại của hàm số, còn

điều ngược lại thì chưa chắc đúng.
Vì nếu

là điểm cực đại thì vẫn có thể

.

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

và


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

8
Lí do là điều kiện
nghịch biến trong lân cận

chỉ là điều kiện đủ để hàm số
, khi đó:
là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải đúng là: +) Ta có:
+) Nếu
khơng cực trị.

+) Nếu

thì

. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng

nên

thì

v Với

ta có bảng biến thiên:

-

v Với

+

ta có bảng biến thiên:

+

+) Vậy với

-

thì hàm số đạt cực đại tại

2.3.2. Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh các bài tập
trắc nghiệm.
2.3.2.1. Hàm số bậc 3: y = f (x)
+ Đạo hàm:

; Đặt:

= b2 - 3ac

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

9
+ Điều kiện tồn tại cực trị: y = f (x) có cực trị Û y = f (x) có cực đại và
cực tiểu Û
có 2 nghiệm phân biệt Û
(1)
+ Kỹ năng tính nhanh cực trị: Khi đó
có 2 nghiệm phân biệt
với

và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta

có các cực trị của hàm số là:

Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ hoặc chứa tham số thì các giá trị cực trị
nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật

tốn sau đây:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có:
hay

với bậc

Bước 2: Do
Kết luận: Đối với hàm số tổng quát : y = f (x)
có
thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình
là:

(2)
Sau đây là một số ví dụ minh họa áp dụng cơng thức (1) và (2):
Câu 7: Tìm m để hàm số

cực tiểu: A.

;

có cực đại và
B. m < 1; C. m > - 3;

D.

Học sinh giải:

.

Từ đó học sinh chọn đáp án D.

Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số
CĐ, CT vng góc với d: y = 9x - 7. [3]

có đường thẳng đi qua

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

10
A.

B.

C.

Học sinh giải:

D.
; hệ số góc của đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị là

. Từ đó k.9 = -1 và rút ra kết quả

.

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số bằng: A. - 6
B. -3
C. 0
D. 3
Học sinh giải:

.

. Nên

tích các giá trị cực trị là: -3 đáp án B
Câu 10: Tìm m để khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị của đồ thị hàm số
A.m

;

B. m =

bằng
;

C. m = 0;

D. m =

và m = 0

+ Điều kiện để hàm số có cực trị:

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị:

(d)
+ Khoảng cách từ O đến d là:

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C.
2.3.2.2. Hàm số trùng phương:

trên

.

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

11
Ta có

.

Suy ra

;

+ Hàm số

Đặt:

có ba điểm cực trị khi và chỉ khi

có ba

nghiệm phân biệt

(3)

+ Hàm số

có 1 điểm cực trị

Với điều kiện (4) ta có

cực trị là

,

(với

)

. Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm

và

và B đối xứng nhau qua trục tung nên

,

. Vì 2 điểm A

cân tại C.

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi

hay tam giác

ABC vng cân tại C. Khi đó

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

12
Đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một

tam giác vuông khi và chỉ khi

.

(4)

+ Ta có tam giác ABC là tam giác đều
Đồ thị hàm số

.

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một

tam giác đều khi và chỉ khi

.

(5)

+ Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác
cân có một góc
.
+ Ta có

ABC có

.

Đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một

tam giác có 1 góc

.

(6)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện
tích tam giác đó.
Ta có:

;

(7)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ tam giác vng AHC, ta có
Áp

dụng

định

lý

.

sin

vào

. Suy ra

tam

giác

ABC

.

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

ta

được
(8)


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

13
Một số ví dụ minh họa áp dụng cơng thức từ (3) đến (8)
Bài 11: Tìm m để hàm số
A. m < 2

B. m > -2

có 3 cực trị. [4]
C. m < 0

Áp dụng (3) ta có: ab < 0

. Chọn B.

Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số:
tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. [3]
A. -1

B. 0

D. m > 1

có ba điểm cực trị
C. - 2

D. 1

Học sinh giải: Áp dụng cơng thức (4) ta có:
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
vuông

. Chọn đáp án B

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị lập thành
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. [3]
A. 0

B. 1

C. 2

D.

Áp dụng cơng thức (8) ta có:

.

Vậy

. Chọn D.

Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. [3]

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

có các điểm


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

14
A. 2

B.

C.

D.

Áp dụng (5) ta có:

. Chọn đáp án C.
Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số
thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
A. 2

B.

có ba điểm cực trị tạo
. [4]

C.

D.

Áp dụng (6) ta có:

. Chọn B

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32.
A. 4

B. 1

có ba điểm cực trị tạo

C. 2

D.

Áp dụng (7) ta có:

. Chọn đáp án A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với đồng nghiệp
- Giúp đồng nghiệp quan tâm, khăc sâu và sửa chữa các sai lầm thường gặp
cho học sinh trong q trình dạy ơn thi THPT Quốc gia phần cực trị của hàm số
thuộc chương trình lớp 12.

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

15
- Giúp đồng nghiệp có thể sử dụng các kết quả (công thức được xây dựng) để
kiểm tra nhanh các kết quả trong quá trình dạy học của mình và hướng dẫn học
sinh giải nhanh trong bài thi THPT Quốc gia.
2.4.2. Đối với học sinh
- Giúp học sinh khắc phục các sai lầm về giải quyết các bài toán phần cực trị
ôn thi THPT Quốc gia.
- Giúp học sinh nắm được các cơng thức tính nhanh để tìm ra đáp án phù hợp
trong bài thi THPT Quốc gia năm 2017.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: Trong nhiều năm dạy học của mình, đặc biệt là năm học 2016 –
2017 tác giả có ơn thi THPT Quốc gia và đã rút ra được một số kinh nghiệm trong
việc dạy ôn thi phần cực trị của hàm số. Qua bài viết tác giả đã đưa ra được một số

vấn đề sau:
- Đưa ra được các sai lầm thường gặp và cách sửa chữa các sai lầm cho học
sinh khi giải các bài toán cực trị của hàm số.
- Xây dựng được các công thức để giúp học sinh giải nhanh các bài tốn cực
trị trong đề thi THPT Quốc gia: Cơng thức về điều kiện có các cực trị của hàm số
bậc 3, trùng phương; Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị của đồ thị hàm số
bậc 3 dưới dạng định thức và biệt thức theo các hệ số của hàm số; các công thức
về 3 điểm cực trị của hàm số trùng phương (3 điểm cực trị lập thành tam giác
vng, đều, cơng thức diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ...). Đây
là các dạng tốn điển hình trong bài thi THPT Quốc gia.
3.2. Kiến nghị: Đây là nội dung hay và khá quan trọng trong q trình ơn thi
mơn Tốn. Vì vậy tác giả xin đề nghị các thầy, cô và các em học sinh nghiên cứu
đọc và áp dụng trong quá trình dạy – học của mình đồng thời tiếp tục bổ sung để
đề tài được hồn thiện hơn trong q trình sử dụng. Đặc biệt cần xây dựng hệ
thống bài tập trắc nghiệm để học sinh luyện tập và củng cố.
Tĩnh Gia, ngày 18 tháng 4 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tơi xin cam đoan tồn bộ nội dung đề tài trên là do
ĐƠN VỊ
bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao chép
nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

download by :
skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so


skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so

skkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.soskkn.moi.nhat.phat.hien.sua.chua.cac.sai.lam.va.xay.dung.he.thong.cong.thuc.de.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.cac.bai.tap.trac.nghiem.phan.cuc.tri.cua.ham.so