Sai lầm và sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9 của học sinh trung học cơ sở

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Đất nước ta đã và đang trong giai đoạn đổi mới có nhiều thời cơ cũng
như thách thức to lớn. Kinh tế, xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi phải có
một thế hệ những người lao động mới có năng lực, có bản lĩnh, chủ động,
sáng tạo, dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thực tiễn.
Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng.
Môn toán góp phần phát triển nhân cách, cùng với việc tạo điều kiện cho học
sinh sáng tạo những trí thức, rèn luyện những kỹ năng cần thiết. Môn toán còn
có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp,
phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ
Thực tế công tác giáo dục thời gian qua đã có nhiều cố gắng trong việc
nâng cao chất lượng đào tạo, đi sâu cải tiến cách dạy, cách học song vẫn chưa
đạt hiệu quả cao trong đó có môn toán do học sinh mắc phải những sai lầm
trong giải toán. Thể hiện rất rõ ở tỉ lệ thi đỗ Trung học phổ thông, Đại học và
Cao đẳng.
Toán học là khoa học của những ký hiệu trừu tượng, nó khác với các
ngành khoa học thực nghiệm như Lý, Hóa, Sinh ở chỗ không có vật chất cụ
thể. Cho nên phần lớn học sinh đã không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của
các kiến thức toán học một cách đúng bản chất để có thể áp dụng vào tình
huống thực tiễn. Hơn nữa kiến thức mà học sinh phải tiếp thu trong chương
trình phần lớn là những biến đổi đại số mà không hề có một hình ảnh minh
họa nào. Do đó các em thường cảm thấy vấn đề rắc rối và phức tạp. Điều này
khiến các em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện,
không đầy đủ bản chất nên thường mắc các sai lầm khi đối mặt với một bài toán.
Tìm ra những nguyên nhân của sai lầm đó và biện pháp khắc phục, sửa
chữa chúng là điều cấp thiết.
1
Trên thế giới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến
bổ ích về vấn đề này G.Pôlya đã nói: ”Con người phải biết học ở những sai
lầm và những thiếu sót của mình”. [14].

Chúng tôi chọn đối tượng là học sinh lớp 9 vì bậc học này có nhiệm vụ
hoàn chỉnh phổ cập giáo dục phổ thông cơ sở, chuẩn bị cho học lên bậc phổ
thông trung học, học nghề và ra lao động. Do vậy, nếu học sinh khối này mắc
sai lầm thì sẽ đi đến những hậu quả khá nghiêm trọng.
Chúng tôi muốn đưa ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong
quá trình tiếp thu kiến thức ở lớp để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các
sai lầm mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử.
Vì những lý do đó chúng tôi chọn “ Sai lầm và sửa chữa sai lầm khi
giải toán lớp 9 của học sinh Trung học cơ sở ” cho khóa luận tốt nghiệp đại
học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Tìm ra nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm của học sinh lớp 9 trường
Trung học cơ sở khi giải toán. Qua đó đề xuất một số biện pháp khắc phục,
hạn chế, rèn luyện kỹ năng khi giải toán cho học sinh và góp phần nâng cao
chất lượng học tập môn toán.
3. Nhiệm vụ, nội dung nghiên cứu
• Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán.
• Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh lớp 9 trường Trung học
cơ sở khi giải toán.
• Phân tích các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.
• Đề xuất các biện pháp sư phạm thích hợp với các tình huống điển
hình để hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh lớp 9 trường Trung học
cơ sở khi giải toán.
2
• Thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo
dục học, lý luận dạy học môn toán liên quan đến nhiêm vụ nghiên cứu.
• Phương pháp điều tra quan sát: Tiến hành tìm hiểu các sai lầm của

HS thông qua các GV dạy toán, qua dạy và kiểm tra trực tiếp HS.
• Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tiến hành thử nghiệm tại khối
9 một số trường Trung học cơ sở để xem xét tính khả thi, tính hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Các sai lầm khi giải toán của học sinh lớp 9.
• Phạm vi: Dạy học toán lớp 9 trường trung học cơ sở Hạc Trì, thành
phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ.
6. Ý nghĩa khóa luận
- Góp phần làm rõ cơ sở lý luận về dạy học giải bài bài tập toán ở THCS.
- Đưa ra những nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.
- Đưa ra các biện pháp các biện pháp sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9
của học sinh.
- Làm tài liệu tham khảo có ích cho việc giảng dạy của giáo viên Trung
học cơ sở và sinh viên ngành sư phạm.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Khắc phục sai lầm của học sinh lớp 9 khi giải toán.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS
1.1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có
sẵn ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra.
Định nghĩa này bao hàm 3 ý chính:
a. Chỉ có bài toán đối với người nào đó, hay nói chính xác hơn đối với

trạng thái phát triển nào đó của người giải.
b. Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán.
c. Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình
huống mà người giải đã quen thuộc.
1.1.2. Chức năng của bài toán
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy
học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích
dạy học.
Trong môn toán các bài toán mang chức năng sau:
1.1.2.1. Chức năng dạy học
Bài toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những trí thức, kỹ
năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
1.1.2.2. Chức năng giáo dục
Bài toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện
chứng, hứng thú học tập, phẩm chất đạo đức của người lao động mới, ý thức
vận dụng kiến thức toán học vào đời sống.
1.1.2.3. Chức năng phát triển
Bài toán phát triển năng lực tư duy của học sinh, góp phần rèn luyện
các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
4
1.1.2.4. Chức năng kiểm tra
Bài toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng
độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Trong quá trình dạy học toán, các chức năng trên không bộc lộ một
cách riêng lẻ và tách rời nhau. Việc nhấn mạnh chức năng này hay chức năng
khác phụ thuộc vào việc khai thác bài toán, vào năng lực sư phạm và nghệ
thuật dạy học của giáo viên nhằm phục vụ có hiệu quả cho yêu cầu của tiết
dạy cho từng học sinh cụ thể. Chẳng hạn, đối với đối tượng học sinh đại trà
cần nhấn mạnh chức năng dạy học, chức năng kiểm tra nhưng đối với đối

tượng học sinh khá giỏi cần khai thác bài toán nhấn mạnh chức năng phát
triển.
1.1.3. Ý nghĩa của việc giải bài toán
Việc giải bài toán có nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức
và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
- Đó còn là phương tiện có hiệu quả để dạy học sinh biết suy nghĩ sáng
tạo và thúc đẩy học sinh tích cực thu nhận kiến thức mới.
- Đó là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào các vấn đề cụ
thể và thực tế.
- Đó là hình thức để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
mình về năng lực về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
1.1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy được tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm
vững các yêu cầu của lời giải bài toán. Nói một các vắn tắt, lời giải phải đúng
và tốt. Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng. Để thuận
tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh có thể cụ thể hoá các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận
những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.
5
(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức đúng, một
hàm số, một hình vẽ, thoả mãn yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian
cũng phải đúng. Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ
hình, biến đổi biểu thức,
(ii) Lập luận chặt chẽ.
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp lôgic.

(iii) Lời giải đầy đủ.
Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp
nào, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là phương trình không được thiếu
nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,
(iv) Ngôn ngữ chính xác.
Đây là một yêu cầu về tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc
dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp
các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, ) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài
toán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn
gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm ra được.
(vii) Ngiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu về
mặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
6
1.1.5. Phương pháp chung để giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải
mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng
biệt cũng có trường hợp có thuật giải, có trường hợp không có thuật giải. Tuy
nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện
cách giải bài toán lại có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực
tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
* Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Đọc kỹ đề toán sao cho thấy được toàn bộ bài toán càng rõ ràng, sáng
sủa càng tốt, tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết.

- Phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét
các yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt. Nếu là bài toán chứng minh thì yếu
tố chính là giả thiết và kết luận. Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là
ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện
(mối liên quan giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán.
- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
đề bài.
i) Hình vẽ: Làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối
liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong bài. Khi vẽ hình cần chú ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường
hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận.
Ví dụ: Các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, tam giác không nên vẽ
cân, đều…
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ, tính chất
mà bài toán đã cho.
7
ii) Kí hiệu: Dùng kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và mối liên
quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách
kí hiệu thích hợp giúp ta nhanh chóng hiểu được đề toán. Khi chọn kí hiệu
cần chú ý:
- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu
nước đôi.
- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến
thứ tự và quan hệ đại lượng tương ứng.
- Không được dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau.
* Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán,
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ bài
toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương

pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán
học, toán dựng hình, toán quỹ tích,
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số kiến thức có liên
quan.
Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách
giải hợp lý nhất.
* Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành các
bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
* Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề. [15].
8
Ví dụ (Bài 26, trang 115, Toán 9-tập 1)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).
a. Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b. Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
Tiến trình dạy học :
Bước 1 : Tìm hiểu đề
Gọi HS đọc đề, cả lớp theo dõi
Yêu cầu HS nêu giả thiết, kết luận và vẽ hình.
GT Đường tròn(O), AB, AC là 2 tiếp tuyến
Đường kính CD
KL a. OA
⊥
BC
b. BD // AO

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải
Đây là bước rất quan trọng không thể xem nhẹ.
Có nhiều cách để chứng minh OA
⊥
BC
1.
∆
ABC cân có góc Â
1
= Â
2
=> OA
⊥
BC
2.
∆
OBC cân có góc Ô
1
= Ô
2
=> OA
⊥
BC
3. OA là đường trung trực của BC => OA
⊥
BC
Cả 2 cách 1 và 2 học sinh phải biết dựa vào giả thiết và vận dụng định
lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm để suy luận, giả thiết còn lại có liên
quan đến kết luận. Tuy nhiên đối với học sinh kém toán thì không biết suy
luận những điều kiện tiềm ẩn bên trong giả thiết không thấy Â

1
= Â
2
hoặc
9
.
A
C
D
B
O
H
1
1
2
2
µ
¶
1 2
O O=
. Vì vậy người giáo viên cần có nghệ thuật trong việc sử dụng phương
pháp trực quan (hình vẽ) để giúp học sinh yếu kém (là những học sinh không
biết suy luận, yếu về việc vận dụng kiến thức toán học).
Cách làm : Giáo viên sử dụng phấn màu
+ Hai tiếp tuyến AB, AC giáo viên vẽ cùng một màu (đỏ)
+ Hai bán kính OB, OC giáo viên vẽ cùng một màu (vàng)
Từ những hình ảnh trên sẽ giúp học sinh yếu kém có nhiều thuận lợi
hơn khi kết luận AB = AC, OB = OC.
a. Theo giả thiết cho đường tròn (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến và kết luận
là OA

⊥
BC. Vậy để chứng minh OA
⊥
BC ta phải chứng minh điều gì ? OA
là đường trung trực của BC không ? Gợi ý học sinh nhìn vào hình vẽ để
chứng minh OA là đường trung trực của BC.
GV ghi tóm tắt lên bảng
Chứng minh OA
⊥
BC
OA là đường trung trực của BC
(định lý)
OB = OC (=R) ; AB = AC (tính chất tiếp tuyến).(GT)
b. GV hướng dẫn tương tự đối với câu b
OA//BD (hay OH // BD)

OH là đường trung bình của tam giác CBD
OC = OD (= R) ; BH = CH (chứng minh câu a)
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Phân tích: (1) (2) (3) (kết luận đến giả thiết)
Trình bày: (3) (2) (1) (giả thiết đến kết luận)
10
Giáo viên lưu ý học sinh dựa vào phần phân tích để trình bày bài giải.
Dựa vào phần phân tích học sinh dễ dàng thực hiện và bài chứng minh không
bị lủng củng.
a. Ta có : OB = OC (=R)
AB = AC (tính chất tiếp tuyến)
=> OA là đường trung trực của BC
=> OA
⊥

BC
b. Gọi H là giao điểm của OA và BC .
Có: OC = OD (= R)
BH = CH (OA là đường trung trực của BC)
=> OH là đường trung bình của
∆
CBD
=> OH // BD (điều phải chứng minh)
Với cách làm như trên GV đã định hướng khai thác triệt để giả thiết mà
đề bài đã cho.
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Yêu cầu HS kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm hay thiếu sót gì
không ? hoặc xem có cách giải nào khác không ?
Chẳng hạn :
a. Có
∆
ABC (hoặc
∆
OBC) cân
Mà AH (hoặc OH) là đường phân giác của  (hoặc Ô)
Vì Â
1
= Â
2
(hoặc Ô
1
= Ô
2
) nên AH cũng là đường cao
=> AH

⊥
BC (hoặc OH
⊥
BC) hay OA
⊥
BC
1.1.6. Quan niệm sai lầm trong giải toán
“Sai lầm” là trái với yêu cầu khách quan hoặc lẽ phải, dẫn đến hậu quả
không hay.
Đặc điểm của "sai lầm trong khi giải toán" là có sự mất cân đối giữa
hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh trong đó:
11
+ Giáo viên là người truyền đạt, giảng dạy theo tài liệu có sẵn trong
sách giáo khoa, sách giáo viên. Giáo viên trở thành trung tâm và việc làm này
lặp đi lặp lại một cách máy móc, ít quan tâm đến khả năng sáng tạo của học sinh.
+ Học sinh học tập một cách thụ động, máy móc làm việc theo mẫu có
sẵn, không có tư duy dẫn đến nội dung học tập đơn điệu, các năng lực tiềm
ẩn, khả năng sáng tạo không có cơ hội bộc lộ và phát triển.
+ Học sinh giải toán vi phạm các yêu cầu của một lời giải.
1.2. Các quan điểm về khắc khục sai lầm của học sinh khi giải toán
1.2.1. Quan niệm chung về khắc phục sai lầm của học sinh trong học tập
Các nhà tâm lý học đã khẳng định rằng: “ Mọi trẻ em bình thường đều
có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông cơ bản, dù cho chương
trình toán học đã hiện đại hoá”. [12].
Như vậy có thể thấy các sai lầm của học sinh khi giải toán có thể hạn
chế và sửa chữa được với những biện pháp sư phạm thích hợp. Các biện pháp
này phải dựa trên mối quan hệ hữu cơ của các khoa học: Tâm lý học, giáo dục
học, triết học duy vật biện chứng, toán học, logic học, phương pháp dạy học
môn toán Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh, cũng như phương
pháp dạy học nói chung phải phản ánh: cấu trúc bên ngoài và cấu trúc bên

trong, đặc biệt cấu trúc bên trong phải chỉ ra được các thao tác trí tuệ, cách
thức tổ chức logic của nhận thức, lĩnh hội của học sinh.
Để hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh, giáo viên ngoài phương
pháp dạy học truyền thống cũng cần phải lựa chọn phương pháp dạy học phù
hợp, giáo viên phải biết kết hợp hài hoà các phương pháp.
Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đề
trong dạy học. Khi học sinh mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống có
vấn đề, không phải do giáo viên đề ra theo ý mình mà tự nó nảy sinh từ logic
bên trong của việc giải bài toán. Sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn và
mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh.
12
Sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ gợi được hoạt động học tập mà học sinh
sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng.
Tìm ra các sai lầm của chính mình hoặc của bạn mình đều là sự khám
phá. Từ sự khám phá này học sinh chiếm lĩnh được kiến thức một cách trọn
vẹn hơn. Tuy nhiên cần gây niềm tin cho học sinh là bản thân mình có thể
tìm ra được sai lầm trong một lời giải nào đó. Học sinh có thể suy nghĩ hoặc
trao đổi để tìm ra các sai lầm.
Trong tình trạng phân cực trình độ của học sinh như hiện nay (ngay cả
trong một lớp) thì phương pháp dạy học phân hóa có tác dụng rút bớt dần sự
phân cực. Giáo viên có thể đối xử cá biệt trong những pha dạy học đồng loạt
nhằm hạn chế và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán. Sự phân
hóa trong thông qua mức độ “bẫy” sai lầm khác nhau cho từng học sinh, thể
hiện ngay ở việc giáo viên giao bài tập trên lớp hoặc bài tập về nhà. Sự phân
hóa ngoài nhờ thông qua các công việc tổ chức học tập theo nhóm, tổ, phụ
đạo riêng cho những học sinh mắc nhiều sai lầm.
1.2.2. Quan điểm chỉ đạo việc hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh
1.2.2.1. Quan điểm 1: Tính kịp thời
Tính kịp thời được thể hiện qua sự nhanh nhạy của giáo viên trước các
tình huống điển hình, nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên nghiên cứu và dự doán được các sai lầm
của học sinh ở những thời điểm của năm học, từng giờ lên lớp.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên luôn ở tư thế thường trực với mục tiêu
dạy học nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán. Sự sai
lầm càng muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng vất vả bấy nhiêu.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải tranh thủ giao tiếp với học sinh,
không chỉ ở trên lớp mà còn trong nhiều hoàn cảnh khác để tận dụng cơ hội
thực hiện các biện pháp dạy học.
13
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên tìm cách hạn chế nguyên nhân sai lầm
của học sinh kể cả khi sai lầm chưa xuất hiện.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải củng cố thường xuyên các sai lầm
cho học sinh nhằm không để các sai lầm tái diễn.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên đánh giá bài giải học sinh qua điểm số
một cách công bằng.
Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải biết hướng dẫn, điều chỉnh, sửa
chữa một lời giải sai để học sinh tự tìm ra lời giải đúng.
1.2.2.2. Quan điểm 2: Tính chính xác
Sự chính xác trong lời giải là một yếu tố cơ bản của nhiệm vụ dạy học
toán. Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác từ ngôn từ tự
nhiên tới ngôn ngữ toán học. Giáo viên phải là chuẩn mực về tư duy chính
xác, lời giải chính xác.
Đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm. Đối với
học sinh giỏi thì có thể sự sai lầm của bài toán sẽ được học sinh phát hiện
nhưng đối với học sinh yếu hoặc trung bình có thể gây hoang mang mất niềm
tin ở giáo viên.
Giáo viên cần lựa chọn chính xác các biện pháp tối ưu cho mỗi tình
huống dạy học.
1.2.2.3. Quan điểm 3: Tính giáo dục
Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách của

học sinh làm mục tiêu giáo dục.
Giúp học sinh xác định được động cơ trong học tập môn toán. Đòi hỏi
giáo viên phải có phẩm chất, nămg lực xứng đáng là người thầy.
Là giáo viên không được xúc phạm về nhân cách khi học sinh mắc một
lỗi trong lời giải.
Giúp học sinh có ý trí trong học toán, giải toán, học sinh không ngại
khó, kiên trì, cẩn thận để đi tới lời giải đúng, giúp học sinh có thói quen tốt
14
như: tự kiểm tra bài của mình, phủ định sai lầm của mình, giúp bạn nhận ra
sai lầm.
Giúp học sinh không giấu dốt, dám hỏi khi không hiểu, không gian lận,
quay cóp.
Giúp học sinh thấy mọi sai lầm có thể sửa chữa nếu tìm ra nguyên nhân
và có trí khắc phục.
Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải công minh, rõ ràng, biết khen ngợi,
khích lệ học sinh sửa chữa được sai lầm. Giáo viên không vội vàng khi xử lý
các tình huống sai lầm của học sinh.
1.3. Điều tra
1.3.1. Điều tra từ học sinh
Thông qua điều tra, thăm dò học sinh khối 9 tại trường Trung học cơ sở
Hạc Trì thuộc thành phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ vào ngày 28/2/2013. Phiếu
điều tra tôi đã trình bày ở phụ lục.
Dựa vào kết khảo sát trực tiếp chúng tôi thống kê số học sinh mắc từng
sai lầm như sau. Các lỗi sai lầm được ký hiệu như sau:
Không hiểu khái niệm, ký hiệu: S
1
.
Tính toán nhầm lẫn: S
2.
Thiếu điều kiện, trường hợp: S

3.
Suy luận không lôgic: S
4
.
Hiểu sai đề toán: S
5
.
Nhớ sai công thức, tính chất, quy tắc: S
6
.
Diễn đạt kém: S
7
.
Trường Trung học cơ sở Hạc Trì:
Tổng số học sinh lớp 9A: 29 học sinh.
Tổng số học sinh lớp 9B: 27 học sinh.
15
Bảng 1
Lớp 9 A
Sai lầm S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S

6
S
7
Số học sinh
mắc sai lầm
5/29 18/29 22/29 9/29 3/29 20/29 26/29
Tỉ lệ % sai
lầm
17,24 62,07 75,86 31,03 10,34 68,97 89,66
Bảng 2
Lớp 9B
Sai lầm S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
Số học
sinh mắc
sai lầm
5/27 19/27 21/27 12/27 3/27 18/27 20/27
Tỉ lệ % sai

lầm
18,52 70,37 77,78 44,44 11,11 66,67 74,07
Bảng 3 (Bảng tổng hợp)
56 học sinh
Sai lầm S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
Số học
sinh mắc
sai lầm
10/56 41/56 43/56 21/56 6/56 38/56 46/56
Tỉ lệ % sai
lầm
17,86 66,07 76,79 37,5 10,71 67,86 82,14
Nhận xét:
Qua điều tra hai lớp thuộc khối lớp 9 trường Trung học cơ sở Hạc Trì –
Phường Minh Nông – Thành phố Việt Trì – Tỉnh Phú Thọ, tổng số học sinh
điều tra là 56 em, chúng tôi nhận thấy: các học sinh còn mắc rất nhiều sai lầm
trong giải toán, tỷ lệ học sinh mắc sai lầm xuất hiện nhiều ở các sai lầm thiếu

điều kiện, tính toán nhầm lẫn, vận dụng sai quy tắc, diễn đạt kém.
1.3.2. Điều tra từ giáo viên
Ý kiến của giáo viên về những sai lầm của học sinh.
Bảng 4
16
STT Nguyên nhân sai lầm của học sinh % giáo viên đồng ý
1 Không hiểu khái niệm, kí hiệu. 83%(GV)
2 Tính toán nhầm lẫn
.
91%(GV)
3 Thiếu điều kiện, trường hợp. 90%(GV)
4 Suy luận không lôgic. 85%(GV)
5 Hiểu sai đề toán. 50%(GV)
6 Nhớ sai công thức, tính chất, quy tắc 78%(GV)
7 Diễn đạt kém 100%(GV)
1.4. Nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán
Dựa trên các kết quả điều tra trình bày ở mục 1.3, chúng tôi tổng hợp
và đưa ra những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm của học sinh khi
giải toán.
1.4.1. Nguyên nhân 1: Sai lầm do không nắm vững hệ thống khái niệm
toán học
Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong những sản phẩm của tư duy
toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu
đặc trưng cho bản chất của các đối tượng có chứa các dấu hiệu là một nội hàm
của khái niệm, tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại
diện của khái niệm. Nếu không nắm rõ nội hàm và ngoại diện khái niệm sẽ
dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất của khái
niệm từ đó các sai lầm khi giải toán xuất hiện. Mặt khác, nhiều khái niệm toán
học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó, việc học sinh không
nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới không hiểu và không có biểu tượng về

khái niệm khác. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính liên
kết lôgic. Có nhiều khái niệm khó trong toán học nếu ta không kịp thời có
những cố gắng hoàn thiện, đổi mới về phương pháp dạy học các khái niệm thì
học sinh rất khó khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm đó.
17
Ví dụ: Học sinh không hiểu khái niệm điểm nằm giữa hai điểm sẽ dẫn
tới việc không nắm vững được các khái niệm về trung điểm của một đoạn
thẳng, một tia nằm giữa hai tia từ đó sử dụng các phép chứng minh rất lúng
túng. Nắm không vững khái niệm về nghiệm của hệ phương trình nên nhiều
khi kết luận hệ có hai nghiệm x = ; y =
Như vậy việc nắm không vững các khái niệm của học sinh có thể dẫn
tới sai lầm trong lời giải. Nếu như giáo viên không có biện pháp kịp thời thì
chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh.
1.4.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc logic của định lý, quy tắc
Định lý là một mệnh đề được khẳng định đúng. Cấu trúc thông thường
của định lý có dạng
A B⇒
. Trong cấu trúc của định lý
A B⇒
thì A là giả
thiết của định lý cho chúng ta biết phạm vi sử dụng của định lý. Người ta còn
nói A là điều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh không nắm vững
hoặc coi thường giả thiết A của định lý nên dẫn tới sai lầm
Nhiều học sinh nhầm giả thiết của định lý cũng là điều kiện cần để có
kết luận nên mắc sai lầm.
Không nắm vững giả thiết của định lý nên học sinh áp dụng định lý ra
ngoài phạm vi của giả thiết.
Ví dụ: Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý đến giả
thiết chỉ áp dụng cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh
1

x
x
+
với
2 đã áp dụng ngay dẫn đến sai lầm
1
x
x
+
> 2 với
1x ≠
và
1
x
x
+
= 2 với x = 1.
Như vậy việc không nắm vững cấu trúc logic của định lý sẽ dẫn học
sinh đến nhiều sai lầm.
1.4.3. Nguyên nhân 3: Học sinh thiếu kiến thức cần thiết về logic
18
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán (một trong các
hình thức tư duy). Hoạt động suy luận giải toán dựa trên cơ sở của logic học.
Học sinh thiếu các kiến thức về logic sẽ mắc sai lầm trong suy luận từ đó dẫn
đến các sai lầm khi giải toán.
Học sinh chưa nắm vững các phép toán logic: giao, hợp, các quan hệ
bao hàm “ lớn hơn hoặc bằng ”, quan hệ tương đương, chưa quen với các
lượng từ “ với mọi ”, “ tồn tại ”, “ và ”, “ hoặc ”, “ nếu…thì ” dẫn đến việc
trình bày bài giải không hợp logic như vậy sẽ đi đến kết quả sai.
Học sinh thiếu những hiểu biết về các quy tắc suy luận nên dẫn tới

nhiều sai lầm khi thực hiện các phép tính chứng minh. Phân tích các suy luận
trong chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh bao gồm các bước cơ bản,
mà mỗi bước cơ bản được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là quy
tắc suy luận.
Học sinh nhiều khi nhầm phép suy ngược tiến là phép chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh với mọi a, b, c ta có bất đẳng thức:

2 2 2 2
3( ) ( )a b c a b c+ + ≥ + +
.
Có học sinh giải:

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3( ) ( )
2 2 2 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) 0
a b c a b c
a b c ab ac bc
a b a c b c
+ + ≥ + +
⇒ + + − − − ≥
⇒ − + − + − ≥
Do bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức cần
chứng minh đúng.
Lời giải đúng ở đây phải là:
Với mọi a, b, c ta luôn có
19

2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
2 2 2 2 2 2 0
3 3 3 2 2 2
3( ) ( )
a b a c b c
a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c
− + − + − ≥
⇔ + + − − − ≥
⇔ + + ≥ + + + + +
⇔ + + ≥ + +
1.4.4. Nguyên nhân 4: Học sinh không nắm vững phương pháp giải một số
loại toán cơ bản.
- Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản, học sinh
không nghĩ đủ trường hợp cần xét dẫn đến điều kiện sai.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không biện luận đủ các
trường hợp xảy ra của bài toán.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không áp dụng đúng
phạm vi và dẫn đến bế tắc, không lời giải.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ bỏ qua những bước
quan trọng và đi ngay đến kết luận.
Ví dụ: Khi giải bài toán quỹ tích học sinh thường bỏ qua phần đảo, giới hạn
quỹ tích.
- Không nắm vững phương pháp giải của cùng một bài toán, học sinh
không tìm được phương pháp giải tối ưu cho một bài toán cụ thể.

- Không nắm vững phương pháp giải, lời giải của học sinh sẽ không có
trình tự logic, sẽ không biết khi nào kết thúc lời giải.
1.4.5. Nguyên nhân 5: Học sinh không biết cách vận dụng mối liên hệ giữa
một số nội dung kiến thức trong chương trình.
Ví dụ: Khái niệm phương trình và hàm số có nhiều mối liên hệ với
nhau. Ta thấy phương trình là một hàm mệnh đề nói đến sự bằng nhau của hai
giá trị hai hàm số đã cho. Giải phương trình là đi tìm biến số đó để hai hàm số
cho bởi công thức ở mỗi vế của phương trình có giá tri bằng nhau. Bài toán
giải phương trình f(x) = 0 có thể phát biểu là tìm giá trị của x để hàm số
y = f(x) có giá trị bằng 0.
20
Nếu học sinh nắm được những mối liên hệ đó thì việc giải bài toán đã
cho có thể chuyển về việc giải bài toán phát biểu tương đương. Hoặc nếu
không nắm vững mối liên hệ việc vận dụng dẫn đến sai lầm. Chẳng hạn: học
sinh không hiểu nghiệm của hệ phương trình
{
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
=
là giao hai tập
hợp nghiệm của từng phương trình trong hệ thì quá trình giải hệ phương trình
dẫn đến sai lầm.
Kết luận:
Trong chương 1, chúng tôi đã giải quyết được một số vấn đề:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS.

- Nghiên cứu các quan điểm về khắc phục sai lầm của học sinh khi
giải toán.
- Thông qua kết quả điều tra giáo viên và học sinh trường THCS Hạc
Trì tìm ra các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.
Qua việc tìm hiểu chúng tôi nhận thấy nhiều khi học sinh khá giỏi cũng
mắc sai lầm trong giải toán, những sai lầm này sẽ là nguyên nhân dẫn đến tâm
lý chán nản, hạn chế năng lực giải toán của học sinh. Dựa trên các nguyên
nhân đã trình bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số biện pháp nhằm
hạn chế và sửa chữa các sai lầm này góp phần nâng cao năng lực giải toán cho
học sinh.
21
CHƯƠNG 2
KHẮC PHỤC SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 9 KHI GIẢI TOÁN
2.1. Chương trình toán 9
Dưới đây là tóm tắt chương trình sách giáo khoa toán 9:
Phần đại số
Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba
1. Căn bậc hai.
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A
=
.
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương.
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.
5. Bảng căn bậc hai.
6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.
7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo).
8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
9. Căn bậc ba.

Chương II: Hàm số bậc nhất
1. Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số.
2. Hàm số bậc nhất.
3. Đồ thị của hàm số
(a 0)y ax b= + ≠
.
4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.
5. Hệ số góc của đường thẳng
(a 0)y ax b= + ≠
.
Chương III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
22
5. Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình.
6. Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình (tiếp theo).
Chương IV: Hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
- Phương trình bậc hai một ẩn.
1. Hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
.
2. Đồ thị hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
.

3. Phương trình bậc hai một ẩn.
4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
5. Công thức nghiệm thu gọn.
6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
7. Phương trình quy về phương trình bậc hai.
8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Phần hình học
Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôg.
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
3. Bảng lượng giác.
4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác.
5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Chương II: Đường tròn
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn.
2. Đường kính và dây của đường tròn.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
6. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
7. Vị trí tương đối của hai đường tròn.
8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo).
23
Chương III: Góc với đường tròn
1. Góc ở tâm. Số đo cung.
2. Liên hệ giữa cung và dây.
3. Góc nội tiếp.
4. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
6. Cung chứa góc.

7. Tứ giác nội tiếp.
8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp.
9. Độ dài đường tròn. Cung tròn.
10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
Chương IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu
1. Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón,
hình nón cụt.
3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
2.2. Một số ví dụ về sai lầm của học sinh khi giải toán
Qua thực tế hướng dẫn học sinh lớp 9 khi giải toán, chúng tôi nhận thấy
một số biểu hiện sai lầm của học sinh thể hiện qua các ví dụ sau:
2.2.1. Sai lầm khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba
Nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai, căn bậc ba và
trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu
sai đầu bài, thực hiện sai mục đích…Những sai lầm thường gặp khi học về
căn thức là: thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa, nhầm lẫn trong các phép
biến đổi biểu thức chứa căn thức, đưa thừa số vào dấu căn và ra khỏi dấu căn,
áp dụng sai hằng đẳng thức, sai lầm về thuật ngữ…
24
Ví dụ 1: So sánh
2
( 2 1)A = −


2
(1 3)B = −
Lời giải sai
2
( 2 1)A = −

=
2 1−
2
(1 3)B = −
=
1 3−
Vì
2 1−
>
1 3−
nên A > B
Phân tích sai lầm
Cách giải này sai do nguyên nhân 2 vì học sinh không nắm rõ quy tắc
2
A A=
. Khi khai căn phải có trị tuyệt đối nên kết quả sai vì rõ ràng:
2
(1 3) 1 3− = −
mà
(1 3) 0− <
Lời giải đúng
2
( 2 1)A = −
=
2 1−
=
2 1−
2
(1 3)B = −
=

1 3 3 1− = −
Ta có:
3 1 2 1− > −
. Vậy A < B.
Ví dụ 2 : Tìm x, biết :
2
)1(4 x
−
- 6 = 0
Lời giải sai

2
)1(4 x
−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x
⇔
2 (1- x) = 6
⇔
1- x = 3
⇔
x = - 2.
Phân tích sai lầm
25