skkn mới nhất skkn một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11 chủ đề tìm giới hạn dãy số

MỤC LỤC
Nội dung
I- MỞ ĐẦU

Tran
g
2

1. Lí do chọn đề tài.

2

2. Mục đích nghiên cứu.

2

3. Đối tượng nghiên cứu.

2

4. Phương pháp nghiên cứu.

2

II- NỘI DUNG

3

1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

3

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

4

2.1. Thuận lợi.

4

2.2. Khó khăn.

4

3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

5

3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số bằng cách tìm cơng thức
số hạng tổng qt của dãy số đó.

5

3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số bằng cơng thức cơ bản.

9

3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số bằng nguyên lý kẹp.

13

Bài tập tham khảo.

15

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

17

III- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

17

Tài liệu tham khảo

1

download by :

18


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Dãy số và giới hạn của dãy số là phần mở đầu của bộ mơn giải tích, do vậy
nó đóng vai trị quan trọng đối với môn học và đối với người học. Bài tốn tính
giới hạn của dãy số thường xun xuất hiện trong các kì thi olimpic Tốn, các kì
thi học sinh giỏi quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Song khái niệm dãy số
học sinh mới được làm quen trong chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu của
giải tích tốn học. Các dạng tốn liên quan đến nội dung này thường là khó đối

với học sinh THPT không chuyên, các em học sinh không định hướng hoặc chưa
nắm được cách thức để giải các bài toán về tính giới hạn của một dãy số, đặc
biệt là các bài tốn trong các kì thi học sinh giỏi.
Qua thực tế giảng dạy chương trình mơn tốn lớp 11 những năm qua, cũng
như việc ôn luyện trực tiếp cho đội tuyển học sinh giỏi mơn tốn lớp 11, tơi
nhận thấy rằng phần lớn các em học sinh chỉ làm được các bài toán đơn giản về
giới hạn của dãy số, cịn đối với các bài tốn dãy số nằm trong đề thi học sinh
giỏi các cấp thì các em học sinh hầu như khơng làm được hoặc làm chưa hồn
chỉnh câu này.
Xuất phát từ các lý do trên tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học
sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Qua nội dung các bài toán
trong đề tài này nhằm giúp các em học sinh giỏi lớp 11 khơng chun có thêm
kiến thức, kĩ năng giải một số bài tốn về tính giới hạn của dãy số nhằm đáp ứng
cho việc học và ôn thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 11.
2. Nhiệm vụ của đề tài.
+ Nắm được định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn,
định lý tồn tại giới hạn của một dãy số, nguyên lý kẹp để tìm giới hạn của dãy
số.
+ Nắm được cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất của nó để tìm cơng
thức số hạng tổng quát phục vụ cho việc tính giới hạn của dãy số.
+ Nắm vững một số công thức cơ bản và biết tính tổng hoặc tích của các
dãy số hữu hạn có quy luật.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Các em học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 trường THPT Yên Định 2.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Chỉ xét các bài tốn tính giới hạn của một số dãy số có quy luật hoặc dãy số
cho bởi hệ thức truy hồi tuyến tính mà học sinh được học trong chương trình
mơn tốn lớp 11 hoặc các dãy số có thể dùng định lý kẹp để giải.
5. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn

đề liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng để nắm bắt
được những mặt hạn chế, những sai lầm thường gặp của học sinh giỏi lớp 11
THPT trong q trình học chun đề tính giới hạn của dãy số.
2

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và đối
chứng tại một số lớp học cụ thể để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp. Kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý bằng phương pháp thống kê
toán học trong khoa học giáo dục.

II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận.
1.1. Định nghĩa dãy số:
Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương
dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là dãy số )

được gọi là một

Người ta thường kí hiệu dãy số u = u(n) bởi
1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm.
+ Dãy số

được gọi là dãy số tăng nếu

+ Dãy số
được gọi là dãy số giảm nếu
1.3. Dãy số bị chặn. 
+ Dãy số

được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho

+ Dãy số

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho

+ Dãy số

được gọi là bị chặn nếu tồn tại m và M sao cho 

1.4. Cấp số cộng.
1.4.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn ) mà
trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng
ngay trước nó và một số d khơng đổi, nghĩa là
là cấp số cộng
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
1.4.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu
cơng sai d thì số hạng tổng qt

của nó được xác định theo công thức sau:

1.4. 3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Giả sử
cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi

là một

là tổng n số hạng đầu tiên của

nó. Khi đó, ta có:
1.5. Cấp số nhân.

3

và

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

1.5.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn ) mà
trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng
ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:
là cấp số nhân
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

.

1.5.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu
bội

thì số hạng tổng qt

của nó được xác định theo công thức sau:

1.5.3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Giả sử
cấp số nhân với công bội
tính theo cơng thức:

và cơng

thì

là một

là tổng n số hạng đầu tiên của nó được

1.6. Phương trình sai phân tuyến tính đơn giản.
1.6.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Phương trình sai phân
tuyến tính cấp một có dạng
1.6.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai: Phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai có dạng
1.7. Ngun lý kẹp.
Cho ba dãy số
Nếu

;

và
thì

thỏa mãn
.

1.8. Định lý về sự tồn tại giới hạn của dãy số.
Định lý: Một dãy số tăng ( giảm ) và bị chặn trên ( dưới ) thì có giới hạn.
1.9. Phương pháp quy nạp tốn học.
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên
mọi n mà khơng thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì
thiết quy nạp ), chứng minh nó đúng với n = k + 1.

là đúng với
( gọi là giả

Đó là phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt là phương pháp quy
nạp.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Thuận lợi: Trong những năm gần đây công tác bồi dưỡng cho học sinh
giỏi khối 11 rất được nhà trường và BGH quan tâm. Chất lượng học sinh cũng
4

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

được nâng cao, đa số các em đều có ý thức trong học tập, các thầy cơ trong tổ
tốn hăng say nhiệt tình trong vấn đề ơn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi.
2.2. Khó khăn: Tuy chất đội tuyển đã được nâng cao, tuy vậy giữa các em

học sinh cịn có khoảng cách nhất định, kiến thức về phần giới hạn của dãy số
trình bày trong sách giáo khoa chỉ là kiến thức cơ bản, tài liệu tham khảo cho
học sinh và giáo viên về chuyên đề giới hạn dãy số khơng nhiều. Tuy nhiên các
bài tốn về tính giới hạn của dãy số trong kì thi học sinh giỏi các cấp lại rất khó
và đa dạng, cần vận dụng nhiều kiến thức, nhiều kĩ năng mới giải quyết được
các bài tốn đó.
Được tổ Tốn trường THPT n Định 2 trực tiếp phân công dạy chuyên đề
giới hạn của dãy số cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11, tôi nhận thấy rằng
các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài tốn về tính
giới hạn của dãy số. Vì vậy thơng qua đề tài này tôi mong rằng sẽ phần nào giúp
các em học sinh giải thành thạo các bài tốn tính giới hạn của dãy số, đặc biệt là
các bài toán về giới hạn dãy số trong đề thi học sinh giỏi các cấp.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn của một dãy số bằng cách tìm cơng thức
số hạng tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của
cấp số cộng, cấp số nhân, hoặc sử dụng cách giải một số phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 và cấp 2 để tìm ra cơng thức số hạng tổng quát, từ đó suy ra
giới hạn dãy số cần tính.
+ Dùng cấp số cộng và cấp số nhân:

Bài 1: Cho dãy

được xác định như sau:

Tìm
Giải : Từ điều kiện đề bài suy ra 

Do đó dãy

là cấp số cộng với cơng sai

Vậy
5

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Bài 2: Cho dãy

được xác định như sau:

Hãy tìm số hạng tổng quát

và tính giới hạn

Giải : Mấu chốt của bài tốn ở đây chính là tìm số hạng tổng qt
Ta có

(2) với mọi

Đặt

. Khi đó từ (2) ta có

Như vậy

với mọi

.

lập thành cấp số nhân với q=2 và

.

Ta có:
=
Hay

.
. Vậy

: Cho dãy số

được xác định như sau:

Bài 3
Hãy tìm số hạng tổng qt
Giải:

và tính giới hạn

Từ giả thiết ta có:
Đặt

. Khi đó từ (3) ta có

(3) với mọi
với mọi

.

lập thành cấp số cộng với cơng sai d=1 và

.

Ta có:

Hay

. vậy

Bài 4: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2016 ) Cho dãy số

6

được xác định bởi:

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Tìm cơng thức số hạng tổng qt và tính giới hạn của dãy số

Giải:
Từ giả thiết ta có:
với mọi
(4)
Đặt

. Khi đó từ (4) ta có
lập thành cấp số nhân với

với mọi
và

Ta có:

.

.
. Vậy

Bài 5: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2017 ) Cho dãy số

Tìm cơng thức số hạng tổng qt
Giải: Ta có

được xác định bởi:

và tính giới hạn của dãy số

Đặt
Vậy

Bài 6: Cho dãy số

xác định bởi:
và

với mọi

.

Hãy tính giới hạn của dãy số
Giải:
7

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Ta có
Đặt

, ta được
và
lập thành cấp số nhân với

và cơng bội q=2

. Vậy

+ Dùng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2
Bài 7: Cho dãy số

được xác định bởi:

Hãy tìm số hạng tổng qt
Giải:

và tính giới hạn

Phương trình đặc trưng
trong đó

có nghiệm

,

. Ta có

. Thay

vào phương trình ( 7 ) ta được:

Với n=1 ta được 3a+b=2
Với n=2 ta được 5a+b=4
Ta có

. Vì

nên

Suy ra

hay

. Vậy

Bài 8: Cho dãy số

được xác định bởi:
(8)

Hãy tìm số hạng tổng qt
Giải:
Phương trình đặc trưng
Ta có

trong đó

và tính giới hạn
có nghiệm
,

.
.

*
n

Thay u vào phương trình (8) ta được:

. Do đó
8

.

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Vì

nên

.
. Vậy

Hay
Bài 9: Cho dãy số

được xác định bởi:

Hãy tìm số hạng tổng qt
Giải:
Phương trình đặc trưng
Khi đó
Từ

Vậy

và tính giới hạn
có nghiệm

.

.
ta có hệ phương trình:

. Do đó

Bài 10: Cho dãy số

xác định bởi:

Hãy tìm số hạng tổng quát
Giải:
Phương trình đặc trưng

và tính giới hạn
có nghiệm kép

Khi đó
với
*
Thay u n vào (10) ta được:

Từ

hoặc

.

và

ta có hệ phương trình

Suy ra
. Vậy
3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng các công thức cơ bản.
Ta chú ý một số công thức cơ bản sau đây:
9

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

1)

2)

3)

4)

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán vận dụng các cơng thức nêu trên

Bài 1: Tính
Ta có
Bài 2: Tính
Giải:
Ta có

Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số

biết:

Ta có
=
=

. Vậy

Bài 4: Tính
Giải:
Ta có:

10

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Nhận xét : Để tính tổng hữu hạn

ta thường biểu diễn nó dưới dạng

Bài 5: Tính
Giải:
Ta có

.
.
.
;

;

Do đó:

.
là một đa thức bậc

có hệ số bậc

.
Và

là một đa thức bậc

Do đó:

.

Bài 6: Cho dãy số

Đặt
Giải:

có hệ số bậc

được xác định như sau:

, hãy tính

.

Dễ thấy:
Theo bài ra ta có :
11

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :

là .

là


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

.
Suy ra

.

Do đó

.

Mặt khác, từ

ta suy ra

.

Bằng quy nạp ta chứng minh được :

Từ đó ta có

: Cho dãy số

thỏa mãn:

Bài 7
Hãy tìm
Giải:
Dễ thấy

. Từ giả thiết ta có
. Đặt

.

ta được

Do đó

.

Vậy

.

Bài 8: ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2010 ) Cho dãy số

Tìm
Giải:

12

thỏa mãn

với

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Ta có
Với n

:

(1).
(2).

Từ (1) và (2) ta có

.

Suy ra

.

suy ra

=

Nhận xét : Để tính tích hữu hạn

ta thường biểu diễn nó dưới dạng

Bài 9: ( HSG Tỉnh Lạng Sơn năm 2012 ) Cho dãy số

xác định bởi:

Hãy tìm
Giải:
Vì

nên

Giả sử dãy số

có giới hạn là a thì

là dãy số tăng
( vơ lý )

Do đó
Ta có:

13

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng nguyên lý kẹp.
Phương pháp giải:
Định lý: Cho ba dãy số
Nếu

;

và
thì

Bài 1: Cho dãy số

thỏa mãn
.

xác định bởi:

Chứng minh rằng:
a)

b)

Từ đó suy ra
Giải:

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
b)
Chứng minh bằng quy nạp ta có:
Từ đó suy ra
Bài 2: Cho dãy số

xác định bởi:

Chứng minh rằng:
a)
b)
. Từ đó suy ra
Giải:
a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

b) Ta có:

14

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Đặt

, ta có

Bằng quy nạp ta chứng minh được:
Suy ra

. Vậy

Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số

với

Giải:

Ta có
Nên

. Vì

Bài 4: Cho dãy số

thỏa mãn

1. Chứng minh dãy
2. Xét dãy

nên

.
.

không bị chặn trên.
xác định bởi

Tìm
Giải:
1. Ta chứng minh bằng quy nạp rằng
Thật vậy:
Với n = 1, ta có

.

nên khẳng định đúng.

Giả sử khẳng định đúng với n = k

.

Ta có

.

Vậy

. Do đó dãy số đã cho khơng bị chặn trên.

2. Ta có

Bằng cách cộng các đẳng thức trên ( với k = 1, 2, …, n ) ta được:

15

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Vì

. Vậy

Bài 5: Cho dãy số

được xác định bởi

Tìm

Giải:
Vì

. Do đó

là dãy tăng, suy ra

Mặt khác, ta có

.

Do đó

.

Thay vào (*) ta được

.

Vì:

nên:

Bài 6: Cho dãy số
minh rằng dãy số
Giải:
Từ giả thiết ta có
Vì vậy

thỏa mãn

. Chứng

có giới hạn bằng 0 khi
, do đó dãy số

.
là dãy tăng.

.
,

16

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

. Mà

nên:
.

Bài tập tham khảo
Bài 1. ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2019 ) Cho dãy số

Hãy tìm số hạng tổng quát

và tính giới hạn

Bài 2. ( HSG Tỉnh Hà Tĩnh, năm 2019 ) Cho dãy số

Đặt
hạn đó.

được xác định bởi:

Chứng minh dãy

thỏa mãn

có giới hạn hữu hạn và tính giới

Bài 3. ( HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019 ) Cho dãy số

được xác định bởi:

Tính giới hạn
Bài 4. ( HSG Tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2019 ) Cho dãy số

Đặt

Tính

Bài 5. ( HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2019 ) Cho dãy số

17

thỏa mãn

thỏa mãn

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

cơng thức tổng qt của dãy số

. Tính

Tìm
Bài 6. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2000 ) Cho dãy số

thỏa mãn

Tính
Bài 7. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2006 ) Cho dãy số

thỏa mãn

Tính

Đặt
Bài 8. Cho dãy số

thỏa mãn

Tìm
Bài 9. ( HSG Tỉnh Thanh Hóa năm 2018 ) Cho dãy số

thỏa mãn

Tính giới hạn
Bài 10. ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2018 ) Cho dãy số

18

được xác định bởi:

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

Tính giới hạn
4. Hiệu quả của SKKN
+ Trước khi áp dụng sáng kiến, tôi thấy rằng phần lớn các em học sinh giỏi
mơn tốn lớp 11 đều ngại học hoặc gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài tốn
thuộc chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Tuy nhiên sau khi áp dụng các giải pháp
nêu trên, hầu hết các em trong đội tuyển học sinh mơn tốn lớp 11 đã hăng say
và làm rất thành thạo các bài tốn tìm giới hạn dãy số.
+ Giúp bản thân dạy học có hiệu quả, có nhiều động lực để tiếp tục cố gắng

tìm tịi sáng tạo trong q trình thực hiện nhiệm vụ chuyên môn.
+ Chia sẻ kinh nghiệm của bản thân với đồng nghiệp cũng như học hỏi từ
đồng nghiệp để tìm ra cách dạy học phù hợp đối với học sinh giỏi mơn tốn 11.
+ Giúp các em học sinh có hứng thú, có động lực và có niềm tin để học tập
chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’.
+ Giúp học sinh tiến bộ nhanh trong việc làm các bài tập tìm giới hạn dãy số
từ đó đạt kết quả cao hơn trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
+ Đề tài này đã nêu được một số phương pháp tìm giới hạn dãy số có dạng
đặc biệt hoặc dãy số cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp
hai. Từ các phương pháp đó đã giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán
lớp 11 giải quyết thành thạo các bài tốn tìm giới hạn của dãy số trong các kì thi
học sinh giỏi các cấp.
+ Phương pháp sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm cơng thức số hạng
tổng qt dãy số thực sự dễ hiểu đối với học sinh, cịn phương pháp sử dụng
phương trình sai phân tuyến tính cịn xa lạ đối với học sinh, cần có nhiều thời
gian để các em học sinh có thể tiếp thu được nội dung này.
+ Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, tơi hy vọng đề tài này sẽ
giúp ích phần nào cho các thầy, cơ giáo và các em học sinh lớp 11 trường THPT
trong việc học và ôn thi học sinh giỏi.
+ Kết quả thực nghiệm của đề tài là cơ sở đề khẳng định đề tài là thiết thực,
mang lại hiệu quả cho cả người dạy và người học, có thể là tư liệu hữu ích cho
các bạn đồng nghiệp tham khảo, vận dụng. Khả năng ứng dụng của đề tài vào
thực tiễn dạy học của nhà trường là khả thi và đề tài còn có thể phát triển mở
rộng, phạm vi nghiên cứu hơn nữa để phù hợp hơn với nhiều đối tượng học sinh.
Tài liệu tham khảo

19

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

download by :


skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so

skkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.soskkn.moi.nhat.skkn.mot.so.kinh.nghiem.on.thi.hoc.sinh.gioi.lop.11.chu.de.tim.gioi.han.day.so