Bài tập lớn môn giải tích 1 đề tài số 1 tìm hiểu về tọa độ cực

ĐẠI QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH 1
ĐỀ TÀI SỐ 1

TÌM HIỂU VỀ TỌA ĐỘ CỰC

GV hướng dẫn: TH.S LÊ NGUYỄN HẠNH VY
NHĨM: GT1-L25-14
TP Hồ Chí Minh, 2023


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC
STT
1
2
3
4
5
6

MSSV
2311473
2312384
2313527
2311536

2313575
2311243

HỌ
Trần Huỳnh Vĩnh
Quang Cẩm
Cao Nguyễn Phương
Trần Nguyên
Ngô Nuyễn Diễm
Trang Quốc

TÊN
Khang
Nguyên
Trâm
Khánh
Trinh
Huy

GHI CHÚ
Nội dung câu 1
Nội dung câu 2
Nội dung câu 3
Power Point
Word
Latex

GV hướng dẫn: TH.S LÊ NGUYỄN HẠNH VY

NỘI DUNG CÂU HỎI

Tìm hiểu về tọa độ cực, Polar System, trong phần 9.4 và 9.5, Soo T.Tan Single
variable - Calculus early transcendentals. Yêu cầu làm rõ những điểm sau:
Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực
Câu 2: Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes
Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn bởi các duờng cong trong tọa độ
cực.
u cầu
* Xây dựng lai cơng thức tính tích phân từ tong Riemann.
* Vận dung duợc cơng thúc đễ tính diện tích miền ph˚ang.

1


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

NHẬN XÉT CỦA GV HƯỚNG DẪN

2


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

MỤC LỤC
1. GIẢI BÀI TỐN

TRANG 4

Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực

TRANG 4

Ví dụ 1

TRANG 5

Ví dụ 2

TRANG 5

Câu 2: Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

TRANG 6

Ví dụ 1

TRANG 6

Ví dụ 2

TRANG 6

Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn
bởi các duờng cong trong tọa độ cực.

TRANG 7

Ví dụ 1

TRANG 10

Ví dụ 2

TRANG 10

2. TỔNG KẾT

TRANG 12

3. NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO

TRANG 13

3


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

1. GIẢI BÀI TỐN
Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực
Trích dẫn Polar System, trong phần 9,4, Soo T.Tan Single variable - Calculus
early transcendentals: The Polar Coordinate System
“To construct the polar coordinate system, we fix a point O called the pole (or
origin) and draw a ray (half-line) emanating from O called the polar axis. Suppose
that P is any point in the plane, let r denote the distance from O to P, and let

denote the angle (in degrees or radians) between the polar axis and the line
segment OP.Then the point P is represented by the ordered pair (r,θ ) , also written
P(r,θ ), where the numbers r and are called the polar coordinates of P.
The angular coordinate is positive if it is measured in the counterclockwise
direction from the polar axis and negative if it is measured in the clockwise
direction. The radial coordinater may assume positive as well as negative values.
If r> 0, then P(r,θ ) is on the terminal side of θ and at a distance r from the origin.
If r < 0, then P(r,θ ) lies on the ray that is opposite the terminal side of 0 and at a
distance of |r| = -r from the pole.Also, by convention the pole O is represented by
the ordered pair (0,θ ) for any value of θ . Finally, a plane that is endowed with a
polar coordinate system is referred to as an re-plane.”.

=> Cách vẽ tọa độ cực : Nếu bạn muốn vẽ bằng tay trên giấy, hãy sử dụng bút và
compa để đánh dấu các điểm trên trang giấy theo giá trị của r và θ đã cho trước và
sau đó kết nối các điểm đó để tạo ra đồ thị.
-Để xác định một điểm trong tọa độ cực, bạn sử dụng cặp giá trị (r,θ ), trong đó r
là khoảng cách từ điểm đến gốc độ và θ là góc tạo bởi đường thẳng nối điểm đó
với trục x dương.

4


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Ví dụ 1: Điểm M có tọa độ cực là (2,60°), ( điều này chỉ ra rằng khoảng cách từ
gốc O đến M là 2 và góc tạo bởi đường thẳng nối M với trục x dương là 60°)

Hình 1:

Ví dụ 2: Điểm P có tọa độ cực là (-2, 60°). Điều này có nghĩa là tạo khoảng cách
từ gốc đến P là -2 và góc bởi đường thẳng nối P với trục x dương là 60 độ

Hình 2:

5


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Câu 2: Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes
Trích dẫn Polar System, trong phần 9,4, Soo T.Tan Single variable - Calculus
early transcendentals: The Polar Coordinate System
“To establish the relationship between polar and rectangular coordinates, let’s
superim pose an xy-plane on an rf-plane in such a way that the origins coincide
and the posi tive x-axis coincides with the polar axis. Let P be any point in the
plane other than the origin with rectangular representation (x, y) and polar
representation (r, 0). Figure 6a shows a situation in which r>0, and Figure 6b
shows a situation in which r<0. If r>0, we see immediately from the figure that”
=> Để có thể thiết lập được mối quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes,
cho chồng tọa độ Descartes lên tọa độ cực sao cho gốc của 2 tọa độ trùng nhau và
trục dương của x trong tọa độ Descartes trùng với trục cực. Gọi P là một điểm bất
kỳ trên mặt phẳng tọa độ Descartes và tọa độ cực (không trùng với gốc tọa độ O)
lần lượt là (x, y) và (r,θ ). Chúng ta có hình vẽ như sau:

Hình 3:
Nếu r > 0, ta sẽ suy ra rằng x = r cos θ và y = r sin θ .
Nếu r < 0, chúng ta sẽ suy ra được

−y
y
x
−x
cos θ = −x
sin θ = −y
|r| = −r = r
|r| = −r = r
và cũng tương tự như r > 0 thì ta có x = r cos θ và y = r sin θ . Và có thể suy ra
ngược lại:
x2 + y2 = r2 và tan θ = xy nếu x ̸= 0
√
Ví dụ 1: Cho một điểm có tọa độ cực là (2 3, 60°), tìm tọa độ Descartes tương
ứng.
Giải:
√
√
√
x = r cos θ =√2 3 cos 60 = 3 y = r sin θ = 2 3 sin 60 = 3
=> (x, y) = ( 3, 3)
Ví dụ 2: Cho một điểm có tọa độ Descartes là (3, 4), tìm tọa độ cực tương ứng.
Giải:
r2 = x2 + y2 = 32 + 42 = 52
tan θ = xy = 43 => θ = arctan 43
=>(r, θ )=(5, arctan 34 )

6


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Câu 3: Cách tính diện tích miền phằng giới hạn bỏi các duờng cong trong tọa
độ cực.
Trích dẫn Polar System, trong phần 9,5 Soo T.Tan Single variable - Calculus early
transcendentals: The Polar Coordinate System

Cơng thức tính diện tích của 1 vùng giới hạn bởi 1 đường cong được xác
định bởi phương trình cực, chúng ta cần cơng thức tính diện tích một phần
hình trịn

Hình 4:

A=

1 2
2 r

θ (1)

Trong đó:
r là bán kính của đường trịn và θ là góc ở tâm đo được bằng radian
(hình 4)
Cơng thức này tuân theo việc nhận xét rằng diện tích của một hình quạt bằng
lần diện tích hình trịn

θ
A= 2π
π r2 =

7

1 2
2 r

θ

θ
2π


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Bây giờ hãy xem R là một khu vực được giới hạn bởi đồ thị của phương trình cực
r=f(θ )và hai tia, θ =α và θ =β , trong đó f(θ ) là một hàm liên tục không âm và 0 ⩽
β -α < 2π . Hãy xem P là một phân vùng đều trên đoạn[α;β ]:
α = θ1 < θ2 <...< θn = β

(a)Vùng R

(b) Vùng K

Các tia θ = θk chia khu vực R thành các tiểu vùng R1 ,R2 ,. . . ,Rn với diện tích tương
ứng ∆A1 ,∆A2 ,. . . ,∆An
Nếu chọn một giá trị θk∗ trong mỗi đoạn [θk−1 ;θk ], diện tích của ∆Ak của tiểu
vùng thứ k được giới hạn bởi các tia θ =α và θ =β được xấp xỉ bằng phần của một
đường trịn với góc trung tâm là

∆ θ = β −α
n
Và bán kính f(θk∗ ) (phần tơ sáng ở hình (b) . Sử dụng phương trình (1), ta có:

∆Ak =

1
2

[f(θk∗)]2 ∆ θ

Do đó, xấp xỉn diện tích A của R là :

A=∑nk=1 ∆Ak ≈ ∑nk=1 21 [ f (θk∗)]2∆θ (2)
Nhưng tổng phương trình (2) là tổng Riemann của hàm liên tục 21 f 2 trên khoảng
[α;β ].

A= limn→∞ ∑nk=1 12 [ f (θk∗)]2∆θ =

8

Rβ 1
2
α 2 [ f (θk )] dθ


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Định lí 1: Diện tích giới hạn bởi một đường cong cực
Cho hàm f liên tục, khơng âm trên [α;β ]. Trong đó θ ≤ β − α < 2π khi đó diện
tích A của vùng giới hạn bởi đồ thị r=f(θ ) , θ = α và θ = β và được đưa ra bởi

A=

Rβ 1
R
2 dθ = β 1 r 2 dθ
[
f
(θ
)]
k
α 2
α 2

Khi xác định giới hạn tích phân, hãy nhớ rằng khu vực được quét theo hướng
ngược chiều kim đồng hồ bởi tia xuất phát từ gốc, bắt đầu ở góc và kết thúc ở góc.
Diện tích giới hạn bởi hai đường cong cực

Hình 5:
Xét vùng R được giới hạn bởi đồ thị (hình 5) của các phương trình cực r=f(θ ) và
r=g(θ ) và các tia, θ = α và θ = β liên tục trên [α; β ]., trong đó 0 ≤ g(θ ) ≤ f (θ )
và θ ≤ β − α < 2π (hình 5). Từ hình vẽ,ta thấy diện tích A của R được tìm bằng
cách trừ diện tích của vùng bên trong r= g(θ ) khỏi diện tích của vùng bên trong r=
f (θ ). Sử dụng Định lí 1, ta thu được định lí sau:
Định lí 2: Diện tích giới hạn bởi hai đường cong cực:
Cho f và g liên tục trên [α; β ]., trong đó 0 ≤ g(θ ) ≤ f (θ ) và θ ≤ β − α < 2π.

Khi đó diện tích Acủa vùng giới hạn bởi đồ thị r=f(θ ) , θ = α và θ = β và được
đưa ra bởi

Rβ 1
2
2
α 2 [[ f (θ )] − [g(θ )] ]dθ

A=

9


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Ví √
dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
r= 3 + sin θ cho trong tọa độ cực

1Rβ 2
2 α r dθ
√
1 R 2π
A = 2 0 ( 3 + sin θ )2dθ
√
1 R 2π
= 2 0 (3 + 2 3 sin θ + sin2 θ )dθ

A=

= 21 [3θ
= 7π
2

√
− 2 3 cos θ + θ2 − sin42θ ]|2π
0

Hình 6:
Ví dụ 2: Tính diện tích
√ của hình phẳng bên trong đường cong (r) r = 3 sin θ và bên
ngoài đường (a) r = 3 + sin θ
Giao điểm
(
√

sin θ √
= 23
r = 3√sin θ
⇐⇒
r = 3 + sin θ
r = 323

Với 0 ≤ θ ≤ 2π ta được giao điểm
(

π
θ = 3√

θ = 2π
3
√
3 3 or
3
r= 2
r = 23

10


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

Diện tích của hình phẳng cần tìm: A =
2π

A=

1R 3
2 π3

=

1R 3
2 π3

=

1R 3
2 π3

=

1
2 [4θ

2π

2π

1Rβ 2
2
2 α [ f (θ ) − g (θ )]dθ

√
3 + sin θ )2]dθ

[(3 sin θ )2 − (

√
[8 sin2 θ − 2 3 sin θ − 3]dθ
√
3 sin θ − 3]dθ

[8 × 21 [1 − cos 2θ ] − 2

2π
√

− 2 sin 2θ + 2 3 cos θ − 3θ ]| π3
3

= π6

Hình 7:

11


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

2. TỔNG KẾT
Những gì chưa làm được đã làm được sau bài báo cáo này:
-Học được kỹ năng sử dụng Geogebra cơ bản
-Học được kỹ năng sử dụng Latex để viết code báo cáo bài tập lớn
-Học được kỹ năng làm việc nhóm hiệu quả hơn
-Tìm hiểu được 1 hệ tọa độ mới

12


BLT Giải tích 1

Nhóm 14

3. NGUỒN TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Polar System, trong phần 9.4, 9.5, Soo T. Tan Single variable- Calculus early

transcendentals.
- Đại cương giải tích 1
HAI HÌNH ẢNH ĐOẠN CODE VẼ TỌA ĐỘ BẰNG GEOGEBRA

Hình 8: Ví dụ 1 Câu 3

Hình 9: Ví dụ Câu 3

13