200 Câu hình học tọa độ cực hay.

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): xyz–32–50+=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).

·
(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)
Þ
(Q) có VTPT
P
nnAB,(0;8;12)0
éù
== ¹
ëû
u
uurr
rr


Þ
Qyz():23110+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),
2330Pxyz(): +++=. ĐS: Qxyz():220-+-=

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
AB
(2;1;3),(1;2;1)- và song song với đường thẳng
xt
dyt
zt
1
:2
32
ì
=-+
ï
=
í
ï
=
î
.

·
Ta có BA (1;3;2)=
u
ur
, d có VTCP u (1;2;2)=-
r
.
Gọi n
r
là VTPT của (P)

Þ

nBA
nu
ì
^
í
^
î
u
ur
r
rr

Þ
chọn nBAu,(10;4;1)
éù
==
ëû
u
ur
rr


Þ
Phương trình của (P): xyz104190-+-=.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
() và d

2
()có phương trình:
xyz
d
1
112
();
231
-+-
==,
xyz
d
2
413
():
693

==. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d
1
) và d
2
() .

·
Chứng tỏ (d
1
) // (d
2
). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
26420++-+ =. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng xyz():4110
a
++-= và tiếp xúc với (S).

·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ()
a
là n (1;4;1)=
r
.

Þ
VTPT của (P) là:
[ ]
P
nnv
,(2;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng: xyzm220-++=.
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP(,())4=

m
m
21
3
é
=-
Û
ê
=
ë
.
Vậy: (P):
xyz2230-++= hoặc (P): xyz22210-+-=.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
xyz
d
1
1
():
123
+
==

và
xyz
d
2
14
():

125

==. Chứng minh rằng điểm Mdd
12
,, cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

·
d
1
qua M
1
(0;1;0)- và có u
1
(1;2;3)=
r
, d
2
qua M
2
(0;1;4) và có u
2
(1;2;5)=
r
.
uu
12
;(4;8;4)0
éù
= ¹

ëû
r
rr
, MM
12
(0;2;4)=
uuuuu
ur
Þ
uuMM
1212
;.0
éù
=
ëû
uuuuu
ur
rr
Þ
dd
12
, đồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
dd
12
,
Þ
(P) có VTPT n (1;2;1)=-
r
và đi qua M

1
nên có
phương trình xyz220+-+=. Kiểm tra thấy điểm MP(1;–1;1)()Î .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz33
221

== và mặt cầu
(S): xyzxyz
222
22420++ +=. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=
r
.
(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[ ]
nui,(0;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng:
y
zD20-+=.
(P) tiếp xúc với (S)
Û
dIPR(,()) =
Û

D
22
14
2
12
-+
=
+

Û
D 325-=
Û

D
D
325
325
é
=+
ê

=-
ë


Þ
(P): yz23250-++= hoặc (P): yz23250-+-=.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy
222
2440+++ = và
mặt phẳng (P): xz30+-=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;1)-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
P
n (1;0;1)=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: AxByCzABC
222
(3)(1)(1)0,0-+-++=++¹
(Q) tiếp xúc với (S)
Û
dIQRABCABC
222
(,())43=Û-++=++ (*)

QP
QPnnACCA()().00^Û=Û+=Û=-

rr
(**)
Từ (*), (**)
Þ
BAABBAAB
2222
53287100-=+Û-+=
Û

A
BAB274=Ú=-

·
Với
AB
2= . Chọn B = 1, A = 2, C = –2
Þ
PT (Q): xyz2290+ =

·
Với
AB
74=- . Chọn B = –7, A = 4, C = –4
Þ
PT (Q): xyz47490 =
Câu hỏi tương tự:
a) Với Sxyzxyz
222
():24450++-+-+=, PxyzM():2650,(1;1;2)+-+= .
ĐS:

Qxyz():2260++-= hoặc Qxyz():1110250-+-=.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
–242–30++++=.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .

·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)
Þ
(P): y – 2z = 0.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
222–10+++-+=
và đường thẳng
xy
d
xz
20
:
260
ì
=
í

=
î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn có bán kính r 1= .

·
(S) có tâm I(1;1;1) , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Chọn
MNd(2;0;2),(3;1;0)-Î.
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3

Ta có:
MP
NP
dIPRr
22
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï

=-
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2(),3(1)
177,2(),3(2)
é
==-+=
ê
=-=-+=
ë

+ Với (1)
Þ
(P): xyz40+ = + Với (2)
Þ
(P): xyz717540-+-=

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
1
1
:
211
D
-
==

-
,
xyz
2
1
:
111
D
-
==

và mặt cầu (S): xyzxyz
222
–224–30++++=. Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D
1
và D
1
.

·
(P): yz3320+++= hoặc (P): yz3320++-=

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
xyzxyz
222
246110++-+ = và mặt phẳng (
a
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (

b
) song song với (
a
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .

·
Do (
b
) // (
a
) nên (
b
) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = Rr
2222
534-=-=
Do đó
D
D
D

D (loaïi)
222
2.12(2)3
7
4512
17
22(1)
+ +
é
=-
=Û-+=Û
ê
=
ë
++-

Vậy (
b
) có phương trình xyz22––70+=.
Câu hỏi tương tự:
a)
yzxyzSx
22
246110
2
(): ++++ =
, xyz():22190+-+=
a
,
p

8
p
= .
ĐS: xyz():2210+-+=
b























www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

Trang 4

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): xyz0++= và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .

·
PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
A
xByCz 0++= (với ABC
222
0++¹).

·
Vì (P)
^
(Q) nên:
A
BC1.1.1.0++=
Û
CAB= (1)

·
dMP(,())2=
Û

ABC
ABC
222

2
2
+-
=
++

Û

A
BCABC
2222
(2)2()+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ABB
2
850+=
Û

B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë


·
Từ (3): B = 0

Þ
C = –A. Chọn A = 1, C = –1
Þ
(P): xz0-=

·
Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8
Þ
C = 3
Þ
(P): xyz5830-+=.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
xyz13
114

== và
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.

·
Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: axbyczb20+++= ( abc
222
0++¹)

D
đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4)=
r

Ta có:

abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
()
5
4
(;())
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î
ï
++
î
P

Û

ac

ac
4
2
ì
=
í
=-
î
.

·
Với ac4= . Chọn acb4,18==Þ=-
Þ
Phương trình (P): xyz48160-+-=.

·
Với ac2=- . Chọn acb2,12==-Þ=
Þ
Phương trình (P): xyz2240+-+=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
Md
1
:;(0;3;2),3
114
D
-
==-=.
ĐS: Pxyz():2280+ = hoặc Pxyz():48260-++=.

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
z
():12
1
ì
=
ï
=-+
í
ï
=
î
và điểm
A
(1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

·
(d) đi qua điểm M(0;1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=
r
. Gọi nabc(;;)=
r
với abc
222
0++¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): axbyczaxbyczbc(0)(1)(1)00-+++-=Û+++-= (1).

Do (P) chứa (d) nên:
unabab.0202=Û+=Û=-
rr
(2)

( )
abcbc
dAPbcbc
abcbc
22
22222
3252
,()3335235
5
-+++
=Û=Û=Û+=+
+++


( )
bbccbccb
2
22
440202Û-+=Û-=Û= (3)
Từ (2) và (3), chọn
b 1=-
Þ
ac2,2==-
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz2210 += .

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI(1;1;0),(0;0;2),(1;1;1) Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
MP
NP
dIP
()
()
(,())3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2,(1)
57,2,(2)
é
=-=-=-
ê
==-=-
ë
.
+ Với (1)
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz20-++=
+ Với (2)
Þ
PT mặt phẳng (P): xyz7520+++=.

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
(1;1;2)- , B(1;3;0) ,
C(3;4;1)- , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
AP
BP

dCPdDP
()
()
(,())(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcd
abd
bcdabcd
abcabc
222222
20
30
3a42
ì
-++=
ï
++=
ï
í
-++++++

=
ï
ï
++++
î


Û

bacada
cabada
2,4,7
2,,4
é
===-
ê
===-
ë

+ Với bacada2,4,7===-
Þ
(P): xyz2470++-=.
+ Với cabada2,,4===-
Þ
(P): xyz240++-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A
BCD(1;2;1),(2;1;3),(2;1;1),(0;3;1) .
ĐS: Pxyz():427150++-= hoặc Pxz():2350+-=.

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
(1;2;3) , B(0;1;2)- ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P() đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P() bằng khoảng cách từ C đến P().

·
Vì O
Î
(P) nên Paxbycz():0++=, với abc
222
0++¹.
Do A
Î
(P)
Þ
abc230++= (1) và dBPdCPbcabc(,())(,())2=Û-+=++ (2)
Từ (1) và (2)
Þ
b 0= hoặc c 0= .

·
Với b 0= thì ac3=-
Þ
Pxz():30-=
·
Với c 0= thì ab2=-

Þ
Pxy():20-=
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A
BC(1;2;0),(0;4;0),(0;0;3) . ĐS: xyz6340-++= hoặc xyz6340-+=.

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A
(1;1;1)- , B(1;1;2) ,
C(1;2;2) và mặt phẳng (P): xyz2210-++=. Viết phương trình mặt phẳng ()
a
đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IBIC2= .

·
PT ()
a
có dạng: axbyczd 0+++=, với abc
222
0++¹
Do
A
(1;1;1)()
a
-Î nên: abcd 0+-+= (1); P()()
a
^ nên abc220-+= (2)
IBIC2= Þ dBdC(,())2(;())
aa

=
Þ

abcdabcd
abcabc
222222
222
2
+++-+-+
=
++++

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6


abcd
abcd
3360
(3)
5230
é
-+-=
Û
ê
-+-+=
ë

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

TH1 :
abcd
abcbacada
abcd
0
13
220;;
22
3360
ì
+-+=

ï
-+=Û==-=
í
ï
-+-=
î
.
Chọn abcd21;2;3=Þ=-=-=-
Þ
()
a
: xyz2230 =
TH2 :
abcd
abcbacada
abcd
0
33

220;;
22
5230
ì
+-+=
-
ï
-+=Û===
í
ï
-+-+=
î
.
Chọn
abcd23;2;3=Þ===-
Þ
()
a
: xyz23230++-=
Vậy:
()
a
: xyz2230 =hoặc ()
a
: xyz23230++-=

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương

trình
xyz
d
1
223
:
213

==,
xyz
d
2
121
:
214

==
-
. Viết phương trình mặt phẳng cách
đều hai đường thẳng dd
12
, .

·
Ta có d
1
đi qua A(2;2;3) , có
d
u
1

(2;1;3)=
r
, d
2
đi qua B(1;2;1) và có
d
u
2
(2;1;4)=-
r
.
Do (P) cách đều dd
12
, nên (P) song song với dd
12
,
Þ

Pdd
nuu
12
,(7;2;4)
éù
==
ëû
r
rr


Þ

PT mặt phẳng (P) có dạng: xyzd7240 +=
Do (P) cách đều dd
12
, suy ra dAPdBP(,())(,())=

Û

dd7.22.24.37.12.24.1
6969
+ +
= ddd
3
21
2
Û-=-Û=

Þ
Phương trình mặt phẳng (P): xyz144830 +=

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương
trình
xt
dyt
z
1
1
:2

1
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
,
xyz
d
2
211
:
122
+
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến (P).

·
Ta có : d
1
đi qua
A
(1;2;1) và có VTCP u
1
(1;1;0)=-
r


d
2
đi qua B(2;1;1)- và có VTCP là u
2
(1;2;2)=-
r

Gọi n
r
là VTPT của (P), vì (P) song song với d
1
và d
2
nên nuu
12
,(2;2;1)
éù
==
ëû

r
rr


Þ
Phương trìnht (P): xyzm220+++=.

m
ddPdAP
1
7
(,())(;())
3
+
== ;
m
ddPdBP
2
5
(,()) (,())
3
+
==
ddPddP
12
(,())2(,())= mm72.5Û+=+
mm
mm
72(5)
72(5)

é
+=+
Û
ê
+=-+
ë
mm
17
3;
3
Û=-=-
+ Với m 3=- Þ Pxyz():22–30++= + Với m
17
3
=- Þ Pxyz
17
():22 0
3
++-=

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A
(0;1;2)- , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): xyz
222
(1)(2)(1)2-+-++=.

·
(S) có tâm I(1;2;1)- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹
Ta có:
AP
BP
dIPR
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,,23(1)
38,,23(2)
é
=-= =+
ê

=-= =+
ë

+ Với (1)
Þ
Phương trình của (P): xy10 =
+ Với (2)
Þ
Phương trình của (P): xyz83570 +=

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A
(2;1;1)- . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

·
Ta có dOPOA(,()) £ . Do đó dOPOA
max
(,()) = xảy ra OAP()Û^nên mặt phẳng (P)
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2;1;1)=-
u
uur

Vậy phương trình mặt phẳng (P):
xyz260-+-=

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
xyz11
213

== . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
A
HHI³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH
uu
ur
làm VTPT
Þ
(P): xyz75770+ =.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
xtytzt2;2;22=-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

·

Gọi (P) là mặt phẳng chứa
D
, thì Pd()()
P
hoặc Pd()()É . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IHIA£ và IHAH^ .
Mặt khác
ddPdIPIH
HP
(,())(,())
()
ì
==
í
Î
î

Trong (P),
IHIA£ ; do đó maxIH = IAHAÛº. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
)
^
IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
(
)
nIA 6;0;3==-
r

uur
, cùng phương với
(
)
v 2;0;1=-
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là: xzxz2(4)1.(1)290 += =.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
12
:
212

== và điểm
A
(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
(P) có VTPT nabc(;;)=
r
, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)=

r
.
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Vì (P)
É
d nên
MP
nu
()
.0
ì
Î
í
=
î
rr

Þ

acd
abc
20
220
ì
++=
í
++=

î

Þ

cab
dab
2(2)
ì
=-+
í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
TH1
: Nếu b = 0 thì (P): xz10-+= . Khi đó: dAP(,())0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được (P): axyaza22(21)220+-+++=.
Khi đó:
dAP
aa
a
22
99
(,())32
845
13
22
22
==£

++
æö
++
ç÷
èø

Vậy
dAPmax(,())32=
Û
aa
11
20
24
+=Û=- . Khi đó: (P): xyz430-+-=.
Câu hỏi tương tự:
a)
xyz
dA
112
:,(5;1;6)
215
-+-
== . ĐS: Pxyz():210+-+=
b)
xyz
dA
12
:,(1;4;2)
112
-+

==
-
. ĐS: Pxyz():5134210+-+=

Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M(0;1;2)- và N(1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.

·
PT (P) có dạng:
A
xByCzAxByCzBC(1)(2)020+++-=Û+++-=
ABC
222
(0)++¹

NPABCBCABC(1;1;3)()3202-ÎÛ-+++-=Û=+
PBCxByCzBC():(2)20Þ++++-=;
dKP
B
CBC
B
(,())
22
424
=
++

·
Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

·
Nếu B 0¹ thì
B
dKP
BCBC
C
B
222
11
(,())
2
424
212
==£
++
æö
++
ç÷
èø

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): xyz–30++=.

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc

Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():
xyz1
112
-
==

v to vi mt phng (P) : xyz2210 += mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.

ã

() qua im
A
(1;0;0) v cú VTCP u (1;1;2)=
r
. (P) cú VTPT n (2;2;1)
Â
=
r
.
Giao im Mm(0;0;) cho
A
Mm(1;0;)=-
uuu
ur
. (
a
) cú VTPT nAMumm,(;2;1)
ộự
==-
ởỷ
uu
urur
r

(
a
) v (P): xyz2210 += to thnh gúc 60
0
nờn :

( )
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr

m 22=- hay m 22=+
Kt lun : M(0;0;22)- hay M(0;0;22)+

Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao
tuyn d ca hai mt phng xy():210=
a
, xz():20
b
= v to vi mt phng
Qxyz():2210+= mt gúc
j
m
22
cos
9
j

=

ã
Ly
A
Bd(0;1;0), (1;3;2)ẻ . (P) qua A
ị
PT (P) cú dng:
A
xByCzB0++=.
(P) qua B nờn:
A
BCB320++=
ị

A
BC(22)=-+

ị
PBCxByCzB():(22)0-+++=

BCBC
BCBC
222
2222
22
cos
9
3(22)
j

+
==
+++


BBCC
22
13850+=.
Chn CBB
5
11;
13
=ị==.
+ Vi BC1==
ị
Pxyz():410-++=
+ Vi BC
5
, 1
13
==
ị
Pxyz():2351350-++=.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
(1;2;3),(2;1;6) v mt
phng Pxyz():230++-=. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3

cos
6
a
= .

ã
PT mt phng (Q) cú dng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++ạ.
Ta cú:
AQ
BQ
()
()
3
cos
6
a
ỡ
ẻ
ù
ẻ
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ


abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ

=-=-=-
ờ
=-==-
ở


ị
Phng trỡnh mp(Q): xyz43150-++= hoc (Q): xy30 =.
Cõu hi tng t:
a)
AB
(0;0;1),(1;1;0) , POxy
1
()(),cos
6
a
=.
S: (Q): xyz210-+-= hoc (Q): xyz210 += .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 10

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
xyz
30
:
240
ì

++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .

·
ĐS: Pxyz():2220++ = hoặc Pxyz():2220 +=

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz():52510-+-= và
Qxyz():48120 +=. Lập phương trình mặt phẳng
R
() đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
0
45=
a
.

·
Giả sử PT mặt phẳng (R): axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
R

Pabc()()5250^Û-+= (1);

·
abc
RQ
abc
0
222
482
cos((),())cos45
2
9

=Û=
++
(2)
Từ (1) và (2)
Þ

ac
aacc
ca
22
760
7
é
=-
+-=Û
ê
=

ë


·
Với ac=- : chọn abc1,0,1===-
Þ
PT mặt phẳng
R
xz():0-=

·
Với ca7= : chọn abc1,20,7===
Þ
PT mặt phẳng
R
xyz():2070++=
Câu hỏi tương tự:
a) Với PxyzQOyzM
0
():20,()(),(2;3;1),45 =º-=
a
.
ĐS:
R
xy():10++= hoặc
R
xyz():534230-+-=

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
xyz

1
111
:
113
D
-+-
==
-
và
xyz
2
:
121
D
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
D
và
tạo với
2
D
một góc
0
30=
a
.

·

Đáp số: (P): xyz511240+++= hoặc (P): xyz220 =.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,
xyz
2
235
:
211
D
+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P):
xyz2220 += hoặc (P): xyz240++-=
b)

xyz
1
11
:
211
D
-+
==
-
,
xyz
2
21
:
111
D
-+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P): xyz(18114)21(152114)(3114)0++++ =
hoặc (P): xyz(18114)21(152114)(3114)0-++ +=

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là
00

45,30 .

·
Gọi nabc(;;)=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij(1;0;0),(0;1;0)==
rr
.
Ta có:
OxP
OyP
2
sin(,())
2
1
sin(,())
2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î

Û

ab

cb
2
ì
=
í
=
î

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 11

PT mt phng (P):
xyz2(1)(2)(3)0-+--= hoc xyz2(1)(2)(3)0 +--=

Cõu 34. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): xyz250+-+= v ng
thng
xyz
d
113
:
211
++-
==. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to
vi mt phng (Q) mt gúc nh nht.

ã
PT mt phng (P) cú dng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++ạ. Gi

ã
PQ((),())=
a
.
Chn hai im
MNd(1;1;3),(1;0;4) ẻ. Ta cú:
MPcab
NPdab
()
()74
ỡỡ
ẻ=
ị
ớớ
ẻ=+
ợợ


ị
(P): axbyabzab(2)740++ ++=
ị

ab
aabb
22
3
cos.
6
542
a

+
=
++

TH1: Nu a = 0 thỡ
b
b
2
33
cos.
2
6
2
a
==
ị

0
30=
a
.
TH2: Nu a
ạ
0 thỡ
b
a
bb
aa
2
1

3
cos.
6
542
a
+
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
. t
b
x
a
= v fx
2
()cos
a
=
Xột hm s
xx
fx
xx
2
2
921
().
6
542

++
=
++
.
Da vo BBT, ta thy fx
00
min()0cos09030
a
===>
a

Do ú ch cú trng hp 1 tho món, tc a = 0. Khi ú chn bcd1,1,4===.
Vy: (P):
yz
40-+=.
Cõu hi tng t:
a) Vi (Q):
xyz2230++=,
xyz
d
12
:
121
-+
==
-
. S: Pxyz():25 30+++= .
b) Vi
xyz
QOxyd

12
()(),:
112
-+
==
-
. S: Pxyz():30-+-=.
c) Vi Qxyz():220 =,
xt
dyt
zt
:12
2
ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=+
ợ
. S: Pxyz():30++-=.

Cõu 35. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im MN(1;1;3),(1;0;4) v mt phng
(Q): xyz250+-+=. Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N v to vi (Q) mt gúc
nh nht.

ã
S: Pyz():40-+=.
Cõu hi tng t:

a)
MNQOxy(1;2;1),(1;1;2),()() . S: Pxyz():63570++-=.

Cõu 36. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng
xt
dyt
zt
1
:2
2
ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
. Vit phng
trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi trc Oy mt gúc ln nht.

ã
PT mt phng (P) cú dng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++ạ. Gi
ã
POy((),)=
a
.
www.VNMATH.com

PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Chọn hai điểm MNd(1;2;0),(0;1;2) Î. Ta có:
MPcab
NPdab
()2
()2
ìì
Î=-
Þ
íí
Î=-+
îî


Þ
(P):
ab
axbyzab20
2
-
++-+=
Þ

b
abab
22
2
sin

552
a
=
+-
.
TH1: Nếu b = 0 thì
0
0=
a
.
TH2: Nếu b
¹
0 thì
aa
bb
2
2
sin
552
a
=
æö
+-
ç÷
èø
. Đặt
a
x
b
= và fx

2
()sin=
a
.
Xét hàm số
fx
xx
2
4
()
525
=
-+
. Dựa vào BBT, ta được
fxx
51
max()
65
=Û=
Þ

0
0>
a
.
Vậy
a
lớn nhất khi
a
b

1
5
= . Chọn abcd1,5,2,9===-=
Þ
(P): xyz5290+-+=.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
d
1
12
:
121
-+
==
-
và
xyz
d
2
21
:
212
+-
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng d

2
là lớn nhất.

·
d
1
đi qua M(1;2;0)- và có VTCP u (1;2;1)=-
r
.Vì dP
1
()Ì nên MP()Î .
PT mặt phẳng (P) có dạng:
A
xByCz(1)(2)0-+++= ABC
222
(0)++¹
Ta có: dPunCAB().02ÌÛ=Û=+
rr
.
Gọi
·
Pd
2
((),)=
a

Þ

ABAB
A

ABB
AABB
2
22
22
431(43)
sin.
3
245
3.245
++
==
++
++
a

TH1: Với B = 0 thì sin
22
3
=
a

TH2: Với B
¹
0. Đặt
A
t
B
= , ta được:
t

sin
tt
2
2
1(43)
.
3
245
+
=
++
a

Xét hàm số
t
ft
tt
2
2
(43)
()
245
+
=
++
. Dựa vào BBT ta có: ft
25
max()
7
= khi t 7=-

Û

A
B
7=-
Khi đó
f
53
sin(7)
9
=-=
a
.
So sánh TH1 và TH2
Þ

a
lớn nhất với
53
sin
9
=
a
khi
A
B
7=- .

Þ
Phương trình mặt phẳng (P) : xyz75 90 -+-= .

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
121
:
111
+-+
==
-
và điểm
A
(2;1;0)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.

·
ĐS: Pxyz():210++-=.

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 13

Cõu 39. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): xyz220-++= v im
A
(1;1;1)- . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A, vuụng gúc vi mt phng (Q) v
to vi trc Oy mt gúc ln nht.

ã
S: Pyz():0+= hoc Pxyz():2560++-=.

Dng 5: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n tam giỏc

Cõu 40. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho im A(4; 5; 6). Vit phng trỡnh mt
phng (P) qua A, ct cỏc trc ta ln lt ti I, J, K m A l trc tõm ca tam giỏc IJK.

ã
Gi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ị
xyz
P
abc
():1++=

IAaJAb
J
KbcIKac
(4;5;6),(4;5;6)
(0;;),(;0;)
=-=-
=-=-
u
uruur
uuruur
ị
abc
bc
ac
456

1
560
460
ỡ
++=
ù
ù
ớ
-+=
ù
-+=
ù
ợ
ị
abc
777777
;;
456
===
Vy phng trỡnh mt phng (P):
xyz456770++-=.
Cõu hi tng t
:
a) Vi A(1; 1; 1). S: (P): xyz30 +=

Cõu 41. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mt phng (P) thay i
qua AM ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chng minh
rng:
bc
bc

2
+= . T ú, tỡm b, c din tớch tam giỏc ABC nh nht.

ã
PT mp (P) cú dng:
xyz
bc
1.
2
++= Vỡ MP()ẻ nờn
bc
111
1
2
++=


bc
bc
2
+= .
Ta cú
A
Bb(2;;0)-
u
uur
,
A
Cc(2;0;)
uu

ur
Khi ú Sbcbc
222
()=+++ .
Vỡ bcbcbcbc
222
2;()4++ nờn Sbc6 .
M bcbcbcbc2()416=+ị. Do ú S 96 . Du "=" xy ra

bc4==.
Vy: Smin96= khi bc4==.

Cõu 42. Trong khụng gian to
Oxyz, cho im
A
(2;2;4) v mt phng P(): xyz40+++=.
Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v (Q) ct hai tia Ox, Oy ti 2 im B,
C sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 6.

ã
Vỡ (Q) // (P) nờn (Q): xyzdd0(4)+++=ạ. Gi s BQOxCQOy(),()=ầ=ầ

ị
BdCdd(;0;0),(0;;0)(0) <.
ABC
SABAC
1
,6
2
ộự

==
ởỷ
u
uuruuur


d 2=-

ị
Qxyz():20++-=.

Cõu 43. Trong khụng gian to
Oxyz, cho cỏc im
AB
(3;0;0),(1;2;1) . Vit phng trỡnh mt
phng (P) qua A, B v ct trc Oz ti M sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
9
2
.

ã
S: Pxy():22z30+ =.
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 14

Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

nhất.

·
Giá sử
A
aOxBbOyCcOz(;0;0),(0;;0),(0;0;)ÎÎÎ abc(,,0)> .
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
xyz
abc
1++=.
Ta có: MP(9;1;1)()Î
Þ

abc
911
1++= (1);
OABC
Vabc
1
6
= (2)
(1)
Û
abcbcacab9=++ ≥ abc
2
3
39()
Û
abcabcabc
32

()27.9()243³Û³
Dấu "=" xảy ra
Û

a
bcacab
b
c
abc
27
9
3
911
1
3
ì
=
ì
==
ï
ï
Û=
í
í
++=
ï
ï
=
î
î

Þ
(P):
xyz
1
2733
++=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2;4) . ĐS:
xyz
P():1
3612
++=

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OAOBOC
222
111
++
có giá trị
nhỏ nhất.

·
ĐS: Pxyz():23140++-=.

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OAOBOC++ có giá trị nhỏ
nhất.

·
ĐS:
xyz
P():1
2610510153615
++=
++++++
.


www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 15

TKG 02: VIT PHNG TRèNH NG THNG

Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng bng cỏch xỏc nh vect ch phng

Cõu 1. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
xyz
d
112
:
213
+
== v mt
phng P : xyz10 = . Vit phng trỡnh ng thng D i qua
A
(1;1;2)- , song song
vi mt phng P() v vuụng gúc vi ng thng d .

ã

dP
uun;(2;5;3)
ộự
==-
ởỷ
u
uruur
r
.
D
nhn u
r
lm VTCP
ị

xyz112
:
253
D
+
==
-


Cõu 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh:
{ xt=- ;
yt

12=-+ ;
zt
2=+( tRẻ ) v mt phng (P): xyz2230 =.Vit phng
trỡnh tham s ca ng thng D nm trờn (P), ct v vuụng gúc vi (d).

ã
Gi A = d
ầ
(P)
ị

A
(1;3;1)- .
Phng trỡnh mp(Q) qua A v vuụng gúc vi d: xyz260-+++=

D
l giao tuyn ca (P) v (Q)
ị

D
:
{
xtyzt1;3;1=+=-=+

Cõu 3. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng D:
xyz11
211
-+
==
-

. Lp phng trỡnh ca ng thng d i qua im M, ct v vuụng gúc
vi D.

ã
u (2;1;1)
D
=-
r
. Gi H = d
ầ

D
. Gi s Httt(12;1;)+-+-
ị
MHttt(21;2;)=
uu
uur
.
MHu
D
^
uu
uur
r


ttt2(21)(2)()0-+ =

t
2

3
=
ị

d
uMH3(1;4;2)==
uu
uur
r


ị
d:
xt
yt
zt
2
14
2
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
.

Cõu 4. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho mt phng (P): x + 2y 2z + 1 = 0 v hai

im A(1;7; 1), B(4;2;0). Lp phng trỡnh ng thng (D) l hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng AB trờn (P).

ã
Gi (Q) l mt phng qua A, B v vuụng gúc vi (P)
ị
(Q): 8x + 7x + 11z 46 = 0.
(D) = (P) ầ (Q) suy ra phng trỡnh (D).

Cõu 5. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng
xz
d
xyz
20
:
3230
ỡ
-=
ớ
-+-=
ợ
trờn mt phng
Pxyz:250-++=.

ã
PTTS ca d:
xt
yt
zt

4
3
7
2
2
ỡ
=
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
. Mt phng (P) cú VTPT n (1;2;1)=-
r
.
Gi
A
dP()=ầ
ị
A
11
4;;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Ta cú BdBP
33
0;;0,0;;0()

22
ổửổử
-ẻ-ẽ
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Gi
Hxyz(;;) l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (P). Ta tỡm c
H
474
;;
363
ổử

ỗữ
ốứ
.
www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 16

Gi
D
l hỡnh chiu vuụng gúc ca d trờn (P)
ị

D
i qua A v H

ị

D
cú VTCP uHA3(16;13;10)==
uu
ur
r

ị
Phng trỡnh ca
D
:
xt
yt
zt
416
11
13
2
210
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=+
ợ
.
Cõu hi tng t
:

a) Vi
xyz
d
112
:
213
+
==, Pxyz():3250-+-=. S:
xm
ym
zm
123
:229
532
D
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=+
ợ


Cõu 6. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, gi A, B, C ln lt giao im ca mt phng
(
)
: 62360Pxyz++-= vi Ox, Oy, Oz. Lp phng trỡnh ng thng d i qua tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ng thi vuụng gúc vi mt phng (P).

ã
Ta cú: POxAPOyBPOzC()(1;0;0);()(0;3;0);()(0;0;2)ầ=ầ=ầ=
Gi
D
l ng thng vuụng gúc (OAB) ti trung im M ca AB; (
a
) l mt phng trung
trc cnh OC; I tõm mt cu ngoi tip t din OABC. Ta cú: I ()
D
=ầ
a

ị
I
13
;;1
22
ổử
ỗữ
ốứ
.
Gi J tõm ng trũn ngoi tip
D
ABC thỡ IJ
^
(ABC) , nờn d chớnh l ng thng IJ .

ị
Phng trỡnh ng thng d:

xt
yt
zt
1
6
2
3
2
2
13
ỡ
=+
ù
ù
ớ
=+
ù
ù
=+
ợ
.

Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 3 im
A
BC(1;2;1),(2;1;1);(0;1;2)- v
ng thng
xyz
d
112
:

212
-++
==
-
. Lp phng trỡnh ng thng
D
i qua trc tõm ca
tam giỏc ABC, nm trong mt phng (ABC) v vuụng gúc vi ng thng d.

ã
Ta cú ABACABAC(1;1;2),(1;1;3),(1;5;2)
ộự
=-= ị=
ởỷ
u
uuruuuruuuruuur


ị
phng trỡnh mt phng (ABC): xyz5290++-=
Gi trc tõm ca tam giỏc ABC l
Habc(;;), khi ú ta cú h:

( )
BHAC
abca
CHABabcbH
abcc
HABC
.0

232
.0301(2;1;1)
5291
ỡ
=
ỡỡ
-+==
ù
ùù
=+-==ị
ớớớ
ùùù
++==
ẻ
ợợ
ợ
uu
uruuur
uuuruuur

Do ng thng
D
nm trong (ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn:

ABC
ABCd
d
un
unu
uu

,(12;2;11)
D
D
D
ỡ
^
ộự
ị==-
ớ
ởỷ
^
ợ
rr
rrr
rr
.
Vy phng trỡnh ng thng
xyz211
:
12211
D

==
-

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 17

Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc

Cõu 8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng
trỡnh
xyz
d
11
:
211
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ca ng thng D i qua im M, ct v
vuụng gúc vi ng thng d v tỡm to im MÂ i xng vi M qua d.

ã
PTTS ca d:
xt
yt
zt
12
1
ỡ
=+

ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ
. d cú VTCP
u (2;1;1)=-
r
.
Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d
ị
Httt(12;1;)+-+-
ị
MHttt(21;2;)= +-
uu
uur

Ta cú MH
^
d

MHu.0=
uu
uur
r


t
2

3
=
ị
H
712
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
,
MH
142
;;
333
ổử
=
ỗữ
ốứ
uu
uur

Phng trỡnh ng thng
D
:
xyz21
142

==

.
Gi M
Â
l im i xng ca M qua d
ị
H l trung im ca MM
Â

ị
M
854
;;
333
ổử
Â

ỗữ
ốứ
.
Cõu hi tng t
:
a)
xyz
Md
311
(4;2;4);:
214
+-+
==

-
. S:
13
:
321
+-
D==
-
x
yz

Trong khụng gian cho im A(-4;-2;4) v ng thng (d) cú phng trỡnh: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t
ẻ
R. Vit phng trỡnh ng thng (
D
) i qua A; ct v vuụng gúc vi (d).

Cõu 9. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng
xyz
d
11
:
121
-+
==
-
v hai im
A
(1;1;2)- ,

B(1;0;2)- . Vit phng trỡnh ng thng D qua A, vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch
t B ti D l nh nht.

ã
d cú VTCP
d
u (1;2;1)=-
r
. Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d. Gi H l
hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn (P) khi ú ng thng
D
i qua A v H tha YCBT.
Ta cú: (P):
xyz250+ =. Gi s Hxyz(;;).
Ta cú:
d
HP
BHucuứngphửụng
()
,
ỡ
ẻ
ớ
ợ
uuur
r

ị
H
182

;;
333
ổử
ỗữ
ốứ


ị
uAH3(2;5;8)
D
==-
uu
ur
r

ị
Phng trỡnh
D
:
xyz112
258
+
==
-
.

Cõu 10. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
xyz11
:
231

++
D==
-
v hai im
A
(1;2;1),- B(3;1;5) . Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v ct ng thng
D sao cho khong cỏch t B n ng thng d l ln nht.

ã
Gi s d ct
D
ti M Mttt(12;3;1)ị-+ , AMtttAB(22;32;),(2;3;4)=-+ =
uu
uruuur

Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d. Khi ú dBdBHBA(,)=Ê. Vy dBd(,) ln nht bng BA
HA AMABAMAB.0^=
uu
uruuur
tttt2(22)3(32)402-+ +==
M(3;6;3)ị-
ị
PT ng thng
xyz
d
121
:
121
+
==

-
.

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
thẳng D:
x
yz11
212
+-
==
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

·
Phương trình tham số của
D
:
xt
yt
zt
12
1
2
ì
=-+

ï
=-
í
ï
=
î
. Điểm C
Î

D
nên Cttt(12;1;2)-+- .
ACtttAB(22;4;2);(2;2;6)=-+ =-
uu
uruuur
;
A
CABttt,(242;128;122)
éù
=
ëû
uu
uruuur

ACABtt
2
,21836216
éù
Þ=-+
ëû
uu

uruuur

Þ
SACAB
1
,
2
éù
=
ëû
uu
uruuur
= t
2
18(1)198-+ ≥ 198
Vậy Min S = 198 khi t 1= hay C(1; 0; 2)
Þ
Phương trình BC:
xyz336
234

==

.

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
122
:

322
+
==
-
và mặt
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).

·
Đường thẳng (d) có PTTS:
xt
yt
zt
13
22
22
ì
=-+
ï
=-
í
ï
=+
î
. Mặt phẳng (P) có VTPT n (1;3;2)=
r

Giả sử N(
-
1 + 3t ; 2

-
2t ; 2 + 2t)
Î
d
Þ
MNttt(33;2;22)=
uu
uur

Để MN // (P) thì MNnt.07=Û=
uu
uurr
Þ
N(20;
-
12; 16)
Phương trình đường thẳng
D
:
xyz224
976

==
-

Câu hỏi tương tự:
a)
xyz
d
12

:
121

==, Pxyz():3220+++=, M(2;2;4) . ĐS:
xyz133
:
111
D

==
-

b)
xyz
d
22
:
132
-+
== , Pxyz():210+-+=, M(1;2;–1) . ĐS:
121
:
295
+
D==

x
yz

c)

xyz241
322
-+-
==
-
,Pxyz():32320 =, M(3;2;4) . ĐS:
xyz324
:
569
-++
D==
-


Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng xyz():32290
a
-+-=và hai
điểm
A
(4;4;6) B,(2;9;3) . Gọi
EF
, là hình chiếu của
A
và B trên ()
a
. Tính độ dài đoạn
EF
. Tìm phương trình đường thẳng
D
nằm trong mặt phẳng ()

a
đồng thời
D
đi qua giao
điểm của
AB
với ()
a
và
D
vuông góc với
AB
.

·
ABn(2;5;3),(3;2;1)= =-
u
uur
r
a
, ABABn
19
sin(,())cos(,)
532
a
==
u
uur
r
a

EFABABABAB
2
361171
.cos(,())1sin(,())381
53214
aa
==-=-=

AB
cắt ()
a
tại K(6;1;9)- ; uABn,(1;7;11)
Da
éù
==
ëû
u
uruuuruur
. Vậy
xt
yt
zt
6
:17
911
D
ì
=+
ï

=-+
í
ï
=+
î


www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 19

Cõu 14. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 mt phng (P), (Q) v ng thng (d) ln
lt cú phng trỡnh:
xyz
PxyzQxyzd
11
():20,():3310,():
211

-+=-++=== . Lp
phng trỡnh ng thng D nm trong (P) song song vi mt phng (Q) v ct ng thng
(d).

ã
(P), (Q) ln lt cú VTPT l
PQPQ
nnnn(1;2;1),(1;3;3),(3;2;1)
ộự
=-=-ị=
ởỷ

r
rrr

PTTS ca (d): xtytzt12,,1=+==+. Gi A = (d)
ầ
(
D
)
ị

A
ttt(12;;1)++.
. Do A
è
(P) nờn: tttt122102+-++==-
ị

A
(3;2;1)
Theo gi thit ta cú:
P
PQ
Q
un
unn
un
,(3;2;1)
D
D
D

ỡ
^
ộự
ị==
ớ
ởỷ
^
ợ
rr
rrr
rr

Vy phng trỡnh ng thng
xyz321
():
321
D
+++
==.

Cõu 15. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 3 im
A
BC(1;2;1),(2;1;1),(0;1;2)- v
ng thng
xyz
d
112
():
212
-++

==
-
. Lp phng trỡnh ng thng D i qua trc tõm ca
tam giỏc ABC, nm trong mt phng (ABC) v vuụng gúc vi ng thng (d).

ã
Ta cú ABACABAC(1;1;2),(1;1;3),(1;5;2)
ộự
=-= ị=
ởỷ
u
uuruuuruuuruuur


ị
phng trỡnh (ABC): xyz5290++-=
Gi trc tõm ca
D
ABC l Habc(;;)
BHAC
abca
CHABabcbH
HABCabcc
.0
232
.0301(2;1;1)
()5291
ỡ
=
ỡỡ

-+==
ù
ùù
=+-==ị
ớớớ
ùùù
ẻ++==
ợợ
ợ
uu
uruuur
uuuruuur

Do (
D
)
è
(ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn:
ABC
ABCd
d
un
unn
uu
,(12;2;11)
D
D
D
ỡ
^

ộự
ị==-
ớ
ởỷ
^
ợ
rr
rrr
rr


ị
PT ng thng
xyz211
:
12211
D

==
-
.

Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): xyz250+-+=, ng
thng
xyz
d
313
:
211
++-

== v im
A
(2;3;4)- . Vit phng trỡnh ng thng D nm
trờn (P), i qua giao im ca d v (P), ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm im M trờn D sao
cho khong cỏch AM ngn nht.

ã
Gi B = d
ầ
(P)
ị
B(1;0;4)- . Vỡ
P
d
()
D
D
ỡ
è
ớ
^
ợ
nờn
P
d
un
uu
D
D
ỡ

^
ớ
^
ợ
rr
rr
.
Do ú ta cú th chn
Pd
unu
1
,(1;1;1)
3
D
ộự
==
ởỷ
r
rr

ị
PT ca
D
:
xt
yt
zt
1
4
ỡ

=-+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.
Gi s
Mttt(1;;4)
D
-+ ẻ
ị
AMttt
2
2
12626
3293
333
ổử
=-+=-+
ỗữ
ốứ

Du "=" xy ra

t
1
3
=

M
2111
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
. Vy AM t GTLN khi M
2111
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
.
Cõu hi tng t:
www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 20

a) Pxyz():2290+-+=,
xt
dyt
zt
1
:32
3

ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=+
ợ
. S:
:1
4
=
ỡ
ù
D=-
ớ
ù
=+
ợ
xt
y
zt


Cõu 17. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im
A
(3;1;1)- , ng thng
xyz2
:
122

D
-
==, mt phng Pxyz(): 50+-= . Vit phng trỡnh ca ng thng d i
qua im A , nm trong ( P) v hp vi ng thng
D
mt gúc
0
45 .

ã
Gi
d
uu,
D
rr
ln lt l cỏc VTCP ca d v
D
;
P
n
r
l VTPT ca ( P).
t
d
uabcabc
222
(;;),(0)=++ạ
r
. Vỡ d nm trong ( P) nờn ta cú :
Pd

nu^
rr


ị
abc0+=

bac =+ ( 1 ).
Theo gt: d
0
(,)45
D
=


abc
abcabc
abc
2222
222
222
2(2)9()
2
.3
++
=++=++
++
(2)
Thay (1) vo ( 2) ta cú :
a

caccc
2
15
143000;
7
+===-
+ Vi
c 0= : chn ab1==
ị
PTTS ca d l :
xt
yt
z
3
1
1
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ

+ Vi
a
c
15
7

=- : chn ac b7,15,8==-=-
ị
.PTTS ca d l:
xt
yt
zt
37
18
115
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
.

Cõu 18. Trong khụng gian to Oxyz, cho ng thng d:
xyz321
211
-++
==
-
v mt phng
(P): xyz20+++=. Gi M l giao im ca d v (P). Vit phng trỡnh ng thng D
nm trong mt phng (P), vuụng gúc vi d ng thi khong cỏch t M ti D bng 42 .

ã

PTTS d:
xt
yt
zt
32
2
1
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
M(1;3;0)ị (P) cú VTPT
P
n (1;1;1)=
r
, d cú VTCP
d
u (2;1;1)=-
r

Vỡ D nm trong (P) v vuụng gúc vi d nờn VTCP
dP
uun,(2;3;1)
D
ộự
==-

ởỷ
r
rr

Gi N(x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn D, khi ú MNxyz(1;3;)=-+
uu
uur
.
Ta cú
MNu
NP
MN
()
42
D
ỡ
^
ù
ẻ
ớ
ù
=
ợ
uu
uur
r



xyz

xyz
xyz
222
20
23110
(1)(3)42
ỡ
+++=
ù
-+-=
ớ
ù
-+++=
ợ

ị
N(5; 2; 5) hoc N(3; 4; 5)

ã
Vi N(5; 2; 5)
ị
Phng trỡnh ca
xyz525
:
231
-++
D==
-

ã
Vi N(3; 4; 5)
ị
Phng trỡnh ca
xyz345
:
231
++-
D==
-
.

Cõu 19. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (
a
): xyz10+ = , hai ng
thng (D):
xyz1
111
-
==

, (DÂ):
xyz1
113
+
== . Vit phng trỡnh ng thng (d) nm
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 21

trong mt phng (
a
) v ct (DÂ); (d) v (D) chộo nhau m khong cỏch gia chỳng bng
6
2
.

ã
(
a
) cú VTPT n (1;1;1)=-
r
, (
D
) cú VTCP u (1;1;1)
D
=
r

ị
(
D
)
^
(
a
).
Gi
A
()()

D
Â
=ầ
a

ị

A
(0;0;1)- ; B ()()
D
=ầ
a

ị
B(1;0;0)
ị
AB (1;0;1)=
u
uur

Vỡ (d)
è
(
a
) v (d) ct (
DÂ
) nờn (d) i qua A v (
D
)
^

(
a
) nờn mi ng thng nm trong
(
a
) v khụng i qua B u chộo vi (
D
).
Gi
d
uabc(;;)=
r
l VTCP ca (d)
ị

d
unabc.0=+-=
rr
(1)
v
d
u
r
khụng cựng phng vi
AB
u
uur
(2)
Ta cú:
dddBd(,)(,)

D
=
ị

d
d
ABu
u
,
6
2
ộự
ởỷ
=
u
uur
r
r



bac
abc
22
222
2()6
2
+-
=
++

(3)
T (1) v (3)
ị
ac 0=


a
c
0
0
ộ
=
ờ
=
ở
.

ã
Vi a 0= . Chn bc1==
ị

d
u (0;1;1)=
r

ị

x
dyt
zt

0
:
1
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=-+
ợ


ã
Vi c 0= . Chn ab1=-=
ị

d
u (1;1;0)=-
r

ị

xt
dyt
z
:
1
ỡ
=

ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.

www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 22

Dng 3: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n hai ng thng khỏc

Cõu 20. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai
ng thng:
xyz
1
739
:
121
D

==
-
v
2
D
:
xt
yt
zt
37

12
13
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.

ã
Phng trỡnh tham s ca
1
D
:
xt
yt
zt
7'
32'
9'
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=-

ợ

Gi M v N ln lt l giao im ca ng vuụng gúc chung vi
D
1
v
D
2

ị
M(7 + t
Â
;3 + 2t
Â
;9 t
Â
) v N(3 7t;1 + 2t;1 + 3t)
VTCP ln lt ca
D
1
v
D
2
l a
r
= (1; 2; 1) v b
r
= (7;2;3)
Ta cú:
MNaMNa

MNbMNb
.0
.0
ỡỡ
ùù
^=

ớớ
^=
ùù
ợợ
uu
uurruuuurr
uuuurruuuurr
. T õy tỡm c t v t
Â

ị
To ca M, N.
ng vuụng gúc chung
D
chớnh l ng thng MN.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xt
yt
z
1
3
():12

4
D
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
,
x t
y t
z
t
2
22'
():2'
24'
D
ỡ
=-+
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
. S:
xyz

xyz
210470
:
3260
D
ỡ
+=
ớ
++=
ợ


Cõu 21. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng d i qua im
(
)
M 4;5;3 v ct c hai ng thng:
xy
d
yz
1
23110
:
270
ỡ
++=
ớ
-+=
ợ
v
xyz

d
2
211
:
235
-+-
==
-
.

ã
Vit li phng trỡnh cỏc ng thng:
xt
dyt
zt
1
11
1
53
:72
ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
,
xt

dyt
zt
2
22
2
22
:13
15
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ
.
Gi
A
ddBdd
12
,=ầ=ầ
ị

A
ttt
111
(53;72;) + , Bttt
222
(22;13;15)+-+

MAttt
111
(39;22;3)=-+
uu
ur
, MBttt
222
(26;34;52)=++
uu
ur

MAMBttttttttttt
12121221212
,(1381316;1339;13243148)
ộự
= ++-+ ++
ởỷ
uu
uruuur

M, A, B thng hng

MAMB,
uu
uruuur
cựng phng

MAMB,0
ộự
=

ởỷ
uu
uruuur
r



t
t
1
2
2
0
ỡ
=
ớ
=
ợ


ị

AB
(1;3;2),(2;1;1)
ị
AB (3;2;1)=-
u
uur

ng thng d qua M(4; 5; 3) v cú VTCP AB (3;2;1)=-

u
uur

ị

xt
dyt
zt
43
:52
3
ỡ
=-+
ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ

Cõu hi tng t
:
a) M(1;5;0),
xyz
d
1
2
:
133
-

==

,
xt
dyt
zt
2
:4
12
ỡ
=
ù
=-
ớ
ù
=-+
ợ
. S:
b) M(3; 10; 1) ,
xyz
d
1
213
:
312
-++
==,
xyz
d
2

371
:
121

==

S:
xt
dyt
zt
32
:1010
12
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ


www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 23

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
12
,

DD
và mặt phẳng (
a
) có
phương trình là
xt
xyz
ytxyz
zt
12
2
112
:53,:,():20
112
DDa
ì
=+
-++
ï
=+==-++=
í
ï
=
î
. Viết phương
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của
1
D
với (
a

) đồng thời cắt
2
D
và vuông góc với trục
Oy.
· Toạ độ giao điểm A của (
a
) và
1
D
thoả mãn hệ
xtt
ytx
A
zty
xyzz
21
531
(1;2;1)
2
201
ìì
=+=-
ïï
ïï
=+=
ÛÞ-
íí
==
ïï

-++==-
ïï
îî

Trục Oy có VTCP là j
(0;1;0)=
r
. Gọi d là đường thẳng qua A cắt
2
D
tại
Bttt(1;1;22)+-+-+ . ABtttdOyABjtAB(;3;21);03(3;0;5)= ^Û=Û=Þ=
u
uuruuurruuur

Đường thẳng d đi qua A nhận AB (3;0;5)=
u
uur
làm VTCP có phương trình là
xu
y
zu
13
2
15
ì
=+
ï
=
í

ï
=-+
î
.

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
zt
1
1
:12
12
ì
=+
ï
=+
í
ï
=+
î
, đường thẳng
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): xy2––10= và (Q): xyz22–50++=. Gọi I là giao
điểm của dd
12
, . Viết phương trình đường thẳng d
3
qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai

đường thẳng dd
12
, lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.

·
PTTS của
{
dxtytzt
2
:';12';32'==-+=- . Idd
12
=Ç
Þ
I(1;1;1) .
Giả sử: BtttdCtttdtt
12
(1;12;12), (';12';32')(0,'1)+++Î-+-ι¹

D
BIC cân đỉnh I
Û

IBIC
ABAC[,]0
ì
=
í
=
î
uu

uruuurur

Û

t
t
1
'2
ì
=
í
=
î
Þ
Phương trình
{
dxyzt
3
:2;3;12===+

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xyz4–3110+= và hai
đường thẳng d
1
:
x
1-
=
y
3
2

-
=
z
1
3
+
,
x 4
1
-
=
y
1
=
z
3
2
-
. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d
1
và d
2
.

·

Toạ độ giao điểm của d
1
và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d
2
và (P): B(3;–1;1)
Phương trình đường thẳng
D
:
xyz275
584
+
==

.

Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương
trình (P): xyz312350+ = và (Q): xyz34970-++=, (d
1
):
xyz531
243
+-+
==
-
, (d
2
):
xyz312
234
-+-

==
-
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
(Q) và cắt (d
1
), (d
2
).

·
(P) có VTPT
P
n (1;4;1)=-
r
, (Q) có pháp vectơ
Q
n (3;4;9)=-
r

www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 24

(d
1
) cú VTCP u
1
(2;4;3)=-
r
, (d

2
) cú VTCP u
2
(2;3;4)=-
r

Gi:
PQ
PdPP
QdQQ
uu
1
1
111
121
()()()
()(),()()
()(),()()
D
D
ỡ
=ầ
ù
ẫ
ù
ớ
ẫ
ù
=
ù

ợ
P
P
rr

ị
(
D
) = (P
1
)
ầ
(Q
1
) v (
D
) // (
D
1
)
(
D
) cú vect ch phng
PQ
unn
1
[;](8;3;4)
4
==
r

rr

(P
1
) cú cp VTCP u
1
r
v u
r
nờn cú VTPT:
P
nuu
11
[;](25;32;26)==
r
rr

Phng trỡnh mp (P
1
): 25(x + 5) + 32(y 3) + 26(z + 1) = 0 xyz253226550+++=
(Q
1
) cú cp VTCP u
2
r
v u
r
nờn cú VTPT:
Q
nuu

12
[;](0;24;18)==-
r
rr

Phng trỡnh mp (Q
1
): xyz0(3)24(1)18(2)0-++ =
yx
43100-+=
Ta cú:
PQ
11
()()()
D
=ầ
ị
phng trỡnh ng thng (
D
) :
xyz
yz
253226550
43100
ỡ
+++=
ớ
-+=
ợ

Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P):
xyz2230+= v hai
ng thng (d
1
), (d
2
) ln lt cú phng trỡnh
xyz41
221

==
-
v
xyz357
232
++-
==
-
.
Vit phng trỡnh ng thng (
D
) song song vi mt phng (P), ct d
1
() v d
2
() ti A v
B sao cho AB = 3.

ã

Ad
1
()ẻ ị
A
ttt(42;12;)++-; BdBttt
2
()(32;53;72)
ÂÂÂ
ẻị-+-+-

A
Btttttt(722;632;72)
ÂÂÂ
=-+ + +
u
uur
,
P
n (2;1;2)=-
r
.
T gi thit ta cú:
P
ABn
AB
.0
3
ỡ
=

ớ
=
ợ
u
uur
r



t
t
2
1
Â
ỡ
=
ớ
=-
ợ

ị
AAB(2;1;1),(1;2;2)-=-
u
uur
.

ị
Phng trỡnh ng thng (
D
):

xyz211
122
-+-
==
-
.

Cõu 27. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P):
xyz210-++= v hai
ng thng
xyz
d
1
123
:
213
-+-
==,
xyz
d
2
112
:
232
+
==. Vit phng trỡnh ng
thng D song song vi (P), vuụng gúc vi d
1
v ct d
2

ti im E cú honh bng 3.

ã
d
1
cú VTCP u
1
(2;1;3)=
r
, d
2
cú VTCP u
2
(2;3;2)=
r
, (P) cú VTPT n (2;1;1)=-
r
.
Gi s
D
cú VTCP uabc(;;)=
r
,
Ed
2
ẻ cú
E
x 3=
ị

E
(3;1;6)- .
Ta cú:
P
un
uu
d
1
1
()
.0
.0
D
D
ỡ
ỡ
=

ớớ
=
^
ợ
ợ
rr
rr
P



abc

abc
20
230
ỡ
-+=
ớ
++=
ợ



ac
bc
ỡ
=-
ớ
=-
ợ

ị
Chn u (1;1;1)=-
r


ị
PT ng thng
D
:
{
xtytzt3;1;6=+=-+=

Cõu 28. Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng dd
12
(),() v mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
d
1
12
():
121
++
==,
xyz
d
2
211
():
211

==; Pxyz():250+-+=. Lp phng
trỡnh ng thng (d) song song vi mt phng (P) v ct dd
12
(),() ln lt ti A, B sao cho
di on AB nh nht.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 25

ã
t
A
aaaBbbb(1;22;),(22;1;1)-+-++++
ị
ABababab(23;23;1)=-++-++-++
u
uur

Do AB // (P) nờn:
P
ABnba
(1;1;2)4^=-=-
u
uur
r
. Suy ra: ABaa(5;1;3)=
u
uur

ABaaaaa
22222
(5)(1)(3)28352(2)2733=-+ +-=-+=-+
Suy ra:
a
AB
b
2
min33
2

ỡ
=
=
ớ
=-
ợ
,
A
(1;2;2) , AB (3;3;3)=
u
uur
.
Vy
xyz
d
122
:
111

==.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng
xyz
d
1
8610
():
211
+
==

-

v
xt
dyt
zt
2
():2
42
ỡ
=
ù
=-
ớ
ù
=-+
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Ox v ct (d
1
)
ti A, ct (d
2
) ti B. Tớnh AB.

ã
Gi s:
A
ttt
111
(82;6;10)-++-

ẻ
d
1
, Bttt
222
(;2;42) +
ẻ
d
2
.

ị
ABtttttt
212121
(28;4);214)=-+ +-
u
uur
.
ABi,(1;0;0)=
u
uur
r
cựng phng


tt
tt
21
21
40

2140
ỡ
=
ớ
+-=
ợ



t
t
1
2
22
18
ỡ
=-
ớ
=
ợ


ị

AB
(52;16;32),(18;16;32)

ị
Phng trỡnh ng thng d:
{

xtyz52;16;32=-+=-=.

Cõu 30. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: (d
1
):
xt
yt
zt
238
104
ỡ
=-+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
v (d
2
):
xyz32
221
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Oz v ct c hai
ng thng (d
1
), (d

2
).

ã
Gi s
A
ttt
111
(238;104;)-+-+
ẻ
d
1
, Bttt
222
(32;22;)+
ẻ
d
2
.

ị

A
Btttttt
212121
(2826;248;)=-+ +-
u
uur

AB // Oz

A
Bkcuứngphửụng,
u
uur
r



tt
tt
21
21
28260
2480
ỡ
-+=
ớ
+=
ợ



t
t
1
2
17
6

5
3
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ

ị
A
1417
;;
336
ổử
-
ỗữ
ốứ


ị
Phng trỡnh ng thng AB: xyzt
1417
;;
336
ỡ
=-==+
ớ
ợ

Cõu 31. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) v
ng thng (d):
xyz
xyz
6320
632240
ỡ
-+=
ớ
++-=
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng D // (d) v ct cỏc
ng thng AB, OC.

ã
Phng trỡnh mt phng (
a
) cha AB v song song d: (
a
): 6x + 3y + 2z 12 = 0
Phng trỡnh mt phng (
b
) cha OC v song song d: (
b
): 3x 3y + z = 0
www.VNMATH.com