Nguyen ham & tich phan pot

Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

Chương IV NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 1 Nguyên Hàm
A.Tóm Tắt Lý Thuyết:
1.Đònh nghóa nguyên hàm:
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu
'
F (x)= f(x)
( ; )x a b∀ ∈
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên
[ ]
;a b
' '
'( ) ( ); ( ; )
( ) ( ); ( ) ( )
F x f x x a b
F a f a F b f b
+ −
= ∀ ∈

⇔

= =

2.Đònh lý:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x)+C cũng là một nguyên hàm củaf(x) trên
(a;b)
c∀
(hằng số) .
* Cho F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì tồn tại hằng số C sao cho:

( ) ( ) ; ( ; )F x G x C x a b= + ∀ ∈
.
⇒
Mọi nguyên hàm F(x) của f(x) trên (a;b) đều có thể viết dưới dạng :F(x)+C với C là hằng số;
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
( )f x dx
∫
,đọc là tích phân bất đònh của
f(x) hay là họ các nguyên hàm của f(x).
Vậy
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
,trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tuỳ ý.
3.Các tính chất của nguyên hàm:

'
) ( ( ) )
) . ( ) . ( ) ; 0
a f x dx
b a f x dx a f x dx a= ≠
∫
∫ ∫


[ ]
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ;( ( ))
c f x g x dx f x dx g x dx
d f t dt F t C f u du F u C u u x

+ = +
= + ⇒ = + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4.Mọi hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
đều có nguyên hàm trên đoạn đó .
5. Bảng các nguyên hàm :
1
( 1)
1
ln
(0 1)
ln
x x
x
x
dx x c
x
x dx c
dx
x c
x
e dx e c
a
a dx c a
a
α
α

α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= +
= +
= + < ≠
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
2
2
sin
sin
(1 )
(1 )
sin
cosxdx x c
xdx cosx c
dx
tg x dx tgx c
cos x
dx
cotg x dx cotgx c

x
= +
= − +
+ = = +
+ = = − +
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
1
( 1)
1
ln
(0 1)
ln
u u
u
u
du u c
u
u dx c
dx
u c
u
e dx e c
a
a dx c a
a
α
α

α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= +
= +
= + < ≠
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
2
2
cos sin
sin cos
(1 )
(1 ) cot
sin
udu u c
udu u c
du
tg u du tgu c
cos u
du
cotg u du gu c

u
= +
= − +
+ = = +
+ = = − +
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

TRẦN HỮU QUYỀN - 1 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

3
5
2
2 2
2
2 3
3
1) ( 4 )
2 1
2)
( 1)
3)
4) (1 2 )
x x dx
x
x

dx
x
x
dx
x
x dx
− +
+
+
−
∫
∫
∫
∫
2
5) (2 )
6)
2
7)
1
8) (2 )
x x
x
x
x
x
x
x
e e dx
e

dx
e
dx
e
e
e dx
cos x
−
−
−
+
+
∫
∫
∫
∫
20
1
2
2
4
10) (2 1)
11) (1 )
12) ( ) ;( 0)
(ln )
13)
x dx
x xdx
cos ax b dx a
x

dx
x
+
+
+ ≠
∫
∫
∫
∫
2
3
14)
15)
16) sin
17) cot
cosx
tgxdx
x
dx
x a
e xdx
gxdx
+
∫
∫
∫
∫
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
3

4
3
1) 1
2) (5 )
3) ( )
sin
4 ( )
sin
x x dx
x x dx
tgx tg x dx
x cosx
dx
x cosx
+
 
−
 
+
−
+
∫
∫
∫
∫
2
2
2
5) ( 1). 2 5
3 4ln

6)
7)
8)
x x x dx
x
dx
x
cos xdx
sin xdx
+ + +
+
∫
∫
∫
∫
3
3
9)
10) sin
11) sin 7 2
12) 7 3
13) sin 7 sin 4
cos xdx
xdx
xcos xdx
cos xcos xdx
x xdx
∫
∫
∫

∫
∫
sin
14)
1 3
2
15)
sin .
16)
1 3sin
17)
( ln )
x
dx
cosx
cos x
dx
x cosx
cosx
dx
x
dx
x x x
+
+
+
∫
∫
∫
∫

Bài tập3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
3
4
3
1) sin .cos
2) cos .sin
cos
3)
sin
sin
4)
cos
x xdx
x xdx
x
dx
x
x
dx
x
∫
∫
∫
∫
3
2
2
2
2

1 2
5)
sin
6) .sin
7)
8)
1 3
cosx
x
x
x
cosx
dx
x
e xdx
x e dx
e
dx
e
−
−
∫
∫
∫
∫
2
2 3 3
2
3 3
2

9) .
10) 8
11)
1
11)
1
x
x e dx
x x dx
x
dx
x
x
dx
x
−
−
+
−
∫
∫
∫
∫
2
2
1 ln
12)
13) . 1 4sin
1 sin 2
14)

sin
1 2sin
15)
x
dx
x
cosx xdx
x
dx
x
x
dx
cos x
+
+
+
−
∫
∫
∫
∫
Bài tập4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
2
2
2
1)
25
2)
25

2
3)
2 3 2
3 4
4)
4
dx
x
xdx
x
xdx
x x
x
dx
x
−
−
− −
−
−
∫
∫
∫
∫
2
2
2
2
3
2

5)
( 1)
6)
( 1)(2 1)
2 41 91
7)
( 1)( 12)
3 2 3
8)
dx
x x
xdx
x x
x x
dx
x x x
x x
dx
x x
+
+ +
+ −
− − −
+ −
−
∫
∫
∫
∫
2 2

2 2
2 2
2
2 2
9)
10) 4
11)
12)
9
13)
a x dx
x x dx
dx
x a
dx
x
dx
a x
−
−
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
2
2

2
2
2
14)
2
15)
4
1
16)
1
17)
dx
x x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
− +
−
−
+
∫
∫
∫
∫

TRẦN HỮU QUYỀN - 2 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

Bài 2: TÍCH PHÂN
A.Tóm tắt lý thuyết :
1.Đònh nghóa tích phân :( SGK)
Ký hiệu :
( ) ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
(công thức Newton-leibnitz)
2) Các tính chất của tích phân:
[ ]
) ( ) 0
) ( ) ( )
) . ( ) ( ) ,
) ( ) ( ) ( ) ( )
a
a
b a
a b
b b
a a
b b b
a a a
a f x dx

b f x dx f x dx
c k f x dx k f x dx k R
d f x g x dx f x dx g x dx
=
= −
= ∈
± = ±
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
[ ]
[ ]
[ ]
) ( ) ( ) ( )
) ( ) 0, , ( ) 0
) ( ) ( ), , ( ) ( )
) ( ) , , ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
b
a
b b
a a
b
a
e f x dx f x dx f x dx
f f x x a b f x dx
g f x g x x a b f x dx g x dx
h m f x M x a b m b a f x dx M b a

= +
≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
16
1
1
1
1)
2)
e
e
xdx
dx
x
∫
∫
2
1
2
1
3
2
2
3

1
1
1
3)
2
4)
2 5 7
5)
e
dx
x
x x
dx
x
x x
dx
x
−
+ −
∫
∫
∫
2
2
2
2
6) 3 5
7) sin 2 sin 7
cos xcos xdx
x xdx

π
π
π
π
−
−
∫
∫
2
2
1
0
2
2
1
8) sin 2
9)
1
10)
2
xcosxdx
x
dx
x
x
dx
x
π
π
−

+
+
∫
∫
∫
1
3
0
3
2
0
4
0
11)
(2 1)
4sin
12)
1
13)
x
dx
x
x
dx
cosx
cos xdx
π
π
+
+

∫
∫
∫
CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ:
Ta có thể sử dụng các kết quả sau đây để giải thì nhanh hơn là dùng phương pháp đổi biến số .
( ) ( )
'( ).
'( )
ln ( )
( )
u x u x
u x e dx e C
u x
dx u x C
u x
= +
= +
∫
∫

[ ] [ ]
'( )
( )
2 ( )
'( ). ( ) sin ( )
u x
dx u x C
u x
u x cos u x d u x C
= +

= +
∫
∫

[ ] [ ]
'( ).sin ( ) ( )
1
ax ax
u x u x d cos u x C
e dx e C
a
= − +
= +
∫
∫

BÀI TẬP2 :(đổi biến dạng 1)
2
1
0
1
3 1
0
1
0
1) .
2)
3)
1
x

x
e xdx
e dx
dx
x
−
+
+
∫
∫
∫
1
2
3
0
2
sin
0
1 ln
4)
5) sin .
6) .
e
x
x
dx
x
x cosxdx
e cosxdx
π

π
+
∫
∫
∫
6
0
2
0
7) 1 4 sin .
8)
1 sin
x cosxdx
cosx
dx
x
π
π
+
+
∫
∫
2
3
0
1
0
3
1
9)

10)
1
2
11)
3 2sin
cos xdx
x
dx
x
cosx
dx
x
π
π
+
+
∫
∫
∫
1
2
4
2 ln
12)
2
sin
13)
sin
e
x

dx
x
x cosx
dx
x cosx
π
π
+
−
+
∫
∫
BÀI TẬP 3:

TRẦN HỮU QUYỀN - 3 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

7
3
3 2
0
1
0
3
5 2
0
1)
1
2)
1

3) . 1
x
dx
x
dx
x
x x dx
+
+
+
∫
∫
∫
1
0
1
0
1
2
0
4)
1
5) 1
6)
(4 )
x
x
e
dx
e

x xdx
x
dx
x
−
−
+
−
−
∫
∫
∫
ln3
0
1
3 2
0
3
4
2
0
7)
2
8) 1
sin
9)
x
dx
e
x x dx

x
dx
cos x
π
+
±
∫
∫
∫
1
0
4
2
7
4
2
0
10)
2 1
11)
9
sin 4
12)
1
x
dx
x
dx
x x
x

dx
cos x
π
+
+
+
∫
∫
∫
ln 2
2
1
2
3
1
1
3
2
0
13)
1
14)
. 1
15)
1
x
x
e
dx
e

dx
x x
x dx
x x
+
+
+
∫
∫
∫
Bài tập 4: (đổi biến loại 2)
1
2
2
0
2
2
1
2
2
2
2
0
2
2 2
0
1) 1
2) 4
3)
1

4) 4
x dx
x dx
x
dx
x
x x dx
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
( )
2 2 2
0
2
1
2
0
1
3
2
0
3
2
1

2
2
5)
6)
4
7) 1
8)
1
a
x a x dx
x dx
x
x dx
dx
x x
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1
2
0
3
2
0
1

4 2
0
2 2
0
9)
1
10)
3
11)
4 3
12)
a
dx
x
dx
x
dx
x x
dx
a x
+
+
+ +
+
∫
∫
∫
∫
13) Chứng minh rằng :

0 0
(sin ) (sin )
2
xf x f x
π π
π
=
∫ ∫
14) Cho
4 4
2 2
4 4 4 4
0 0
sin
;
sin sin
cos xdx xdx
I J
cos x x cos x x
π π
= =
+ +
∫ ∫
a) chứng minh rằng I=J.
b) Tính I.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Ta có
b b
b
a

a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
B1: Biến đổi
( ) ( ) ( )
1 2
b b
a a
I f x dx f x f x dx= =
∫ ∫
B2: Đặt
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
du df x
u f x
dv f x dx
v f x dx
 =
=
 
⇒
 
=
=





∫
B3: Tính
b
b
a
a
I uv vdu= −
∫
*) Chú ý: Phải thực hiện theo nguyên tắc sau:
- Chọn phép đặt
dv
sao cho dễ xác đònh được
v
.
-
b
a
vdu
∫
phải được tính dễ hơn
b
a
I udv=
∫
*) Các dạng cơ bản: Kí hiệu
( )

P x
là đa thức
Dạng 1:
( )
sinP x xdx
∫
,
( )
P x cosxdx
∫
,
( )
,
x
P x e dx
∫
( )
,
x
P x a dx
∫
nên đặt
( )
u P x=
Dạng 2:
( )
ln ,P x xdx
∫

( )

log ,
a
P x xdx
∫
Nên đặt
lnu x
=
,
log
a
u x=
Dạng 3:
sin
x
a xdx
∫
,
cos
x
a xdx
∫

.cos
ax
e xdx
∫
thì phảisử dụng tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý :Nếu
( )
P x

hoặc
log
a
x
có bậc cao thì ta có thể phải dùng tích phân từng phần nhiều lần liên tiếp
để tính.
Bài tập: Tính các tích phân sau:

TRẦN HỮU QUYỀN - 4 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

Bài tập 1:
ĐỀ THI
Bài 1:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2002)
a)
∫
=
1
0
2
dxxeI
x
b)
∫
=
2
0
3
sincos
π

xdxxJ
Bài 2:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2003)
a)
∫
=
1
0
2
dxxeI
x
b)
∫
+
=
1
0
12x
xdx
J
Bài 3:
3
1
ln
e
xdx
I
x
=
∫
(hk 2-ĐN năm 2004)

Bài 4:I=
2
(ln )
,
x
dx
x
∫
:(hk 2 –ĐN 2005)
Bài 5:(đề thi học kỳ 2 –TPHCM 2000)
a)
∫
+
=
1
0
2
1
dx
x
x
I
b)
∫
=
π
0
sin xdxxJ
Bài 6:
2

2
0
( sin )I x x co dx
π
= +
∫
sx
(TN-05)
Bài 7:
2
0
sin 2
4
x
I dx
co x
π
=
−
∫
2
s
( TN -2006)
Bài 8:
2 3
2
5
4
dx
I

x x
=
+
∫
(ĐHCĐ-kA-03)
Bài 9:
2
1
1 1
xdx
I
x
=
+ −
∫
:(ĐHCĐ-kA-04)
Bài 10: :(đề thi ĐHCĐ-kA 2006)
2
2
0
sin 2
4sin
x
I dx
co x x
π
=
+
∫
2

s
Bài 11:
2
4
0
1 2sin
1 sin
x
I dx
x
π
−
=
+
∫
2
(KB-03)
Bài 12:(đề thi ĐHCĐ-kB-2004)
1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
Bài 13:
2
0

sin 2 .
1
x cosx
I dx
cosx
π
=
+
∫
(KB-05)
Bài 14
2
2
0
I x x dx= −
∫
(KD-03)
Bài 15
3
2
2
ln( )I x x dx= −
∫
(KD-04)
Bài 16(đề thi ĐHCĐ-kD-2005)
2
sin
0
( )
x

I e co co dx
π
= +
∫
sx sx
Bài 17(đề thi đhspHCM-kA-2000)
1
2
0
0
4 11
)
5 6
)
x
a I dx
x x
b J co dx
π
+
=
+ +
=
∫
∫
4
s x
Bài 18(đề thi HH-kA-2000)
2
2

1
ln(1 )x
I dx
x
+
=
∫
Bài 19: thi QG TP-kB-2000)
2
3
sin
dx
I
x
π
π
=
∫
Bài 20( Ngân hàng kD-00)
2
4
0
1 2sin
1 sin
x
I dx
x
π
−
=

+
∫
2
Bài 21 (ĐH luật-2001)
1
5 3
0
1I x x dx= −
∫
1
3 2
0
1J x x dx= −
∫
Bài 22 (ĐHSPVinh-2001)
2
0
1 sin 2I xdx
π
= −
∫
Bài 23(Đh văn hoá HN-01)
4
0
sin .
sin 2
x cosx
I dx
x cos x
π

=
+
∫
2
Bài 24(ĐHTM – 97)
I=
ln
0
1
1
e
x
x
e
dx
e
−
+
∫
Bài 25(ĐHQGHCM – 00)
I=
( )
1
2
0
sin
x
e x dx
π
∫

Bài 26(ĐHCT – 00)
3
0
2 4
x
H dx= −
∫
Bài 27:
2
1
0
(2 1)
x x
In x e dx
−
= −
∫

TRẦN HỮU QUYỀN - 5 -
6
0
1
3
0
2
0
1) (2 )sin
2) .
3) ( 1)
x

x xdx
x e dx
x cosxdx
π
π
−
−
∫
∫
∫
( )
( )
1
2
0
2
4
0
1
2
0
2
2
1
4)
5) 2cos 1
6) 1
ln
7)
x

x
x e dx
x x
x e dx
x
dx
x
π
−
−
−
∫
∫
∫
∫
( )
( )
2
0
10
2
1
2 2
1
1
2 2
0
2
2
1

8) sin
9) lg
10) ln
11) 4 2 1
ln 1
12)
e
x
x xdx
x xdx
x xdx
x x e dx
x
dx
x
π
− −
+
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
0
2
0
3
4

0
13) .sin
14) cos
15) sin 4
x
x
x xdx
e xdx
e xdx
π
π
π
∫
∫
∫
( )
( )
( )
2
2
1
1
2 2 1
0
2
6
4
0
1
16) ln

17) 1
18) 1 cos sin
19) cos
e
x
o
x
xdx
x
x e dx
x x x
x xdx
π
π
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

Bài 3:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
BÀI TOÁN 1: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]

;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn
bởi:
- Đồ thò hàm số
( )
y f x=
- Trục
Ox
: (
0y =
)
- Hai đường thẳng
;x a x b= =
Được xác đònh bởi công thức :
( )
b
D
a
S f x dx=
∫
1) ĐHTMại 99: Tính
?
D
S =
, biết
D
giới hạn bởi đồ thò:
2
2y x x= −
,

1, 2x x= − =
và trục
Ox
.
2) HVCNBCVT 2001: Tính
?
D
S =
, biết
{ }
, 0, 1, 2
x
D y xe y x x= = = = − =
3) CĐTCKToán 2003: Tính
?
D
S =
với
{ }
2
4 , 1, 3D y x x x x= = − − = − = −
4) ĐHNN1 -97: Tính
?
D
S =
, với
, 0, , 0
3
D y tgx x x y
π

 
= = = = =
 
 
5) ĐHNN1 – 98: Tính
?
D
S =
,
2
ln
, 0, 1, 2
x
D y y x x
x
 
= = = = =
 
 
6) ĐHHuế – 99B: Tính
?
D
S =
,
ln
1, , 0,
2
x
D x x e y y
x

 
= = = = =
 
 
7) Tính
?
D
S =

2
3 1
, 0, 1, 0
1
x x
D y x x y
x
 
+ +
= = = = =
 
+
 
8) ĐHBKN – 2000: Tính
?
D
S =
,
2 3
sin cos , 0, 0,
2

D y x x y x x
π
 
= = = = =
 
 
BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
+
( ) ( )
1
:C y f x=
,
( ) ( )
2
:C y g x=

+ đường thẳng
,x a x b= =

Được xác đònh bởi công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫

PP giải: B1: Giải phương trình :
( ) ( )
f x g x=
tìm nghiệm

( )
1 2
, , , ;
n
x x x a b∈

( )
1 2

n
x x x< < <
B2: Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2
1
1

, ,
n
n
x x b
a x x
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx

= − + − + + −
= − + + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1) ĐHHuế 99A: Tính
?
D
S =
,
( )
{ }
5
1 , , 0, 1
x
D y x y e x x= = + = = =
2) Tính
?
D
S =
,
2 2
1 1
, , ,
sin cos 6 3
D y y x x
x x
π π
 
= = = = =
 

 
3) ĐHTCKToán 2001: Tính
?
D
S =
,
[ ]
{ }
2
2 sin , 1 cos , 0;D y x y x x
π
= = + = + ∈
4) HVBCVT 2000: Tính
?
D
S =
,
2
3 12
1 2sin , 1 , 0,
2 2
x x
D y y x x
π
π
 
= = − = + = =
 
 

TRẦN HỮU QUYỀN - 6 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

5) Tìm
b
sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò
( )
2
2
:
1
x
C y
x
=
+
và các đường thẳng
1, 0,y x x b= = =
bằng
4
π

BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thò:
( ) ( )
, ,y f x y g x x a= = =
.
Khi đó diện tích
( ) ( )
( )
0

x
a
S f x g x dx= −
∫
với
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình
( ) ( )
f x g x=
.
1) ĐHTCKToán 2000: Tính
?
H
S =
, với
{ }
, , 1
x x
H y e y e x
−
= = = =
2) HVNHàng –HCM _ 99: Tính
?
H
S =
,
{ }
2
1 , , 1H y x x Ox x= = + =

3) ĐH-CĐ_ 2002KD: Tính
?
D
S =
3 1
, ,
1
x
D y Ox Oy
x
− −
 
= =
 
−
 
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
2 ; 3 ; 0
x
y y x x= = − =
5) ĐHCĐoàn 2000: Tính
?
H
S =
,
{ }
, 2 0, 0H x y x y y= = + − = =

BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng
( )

D
giới hạn bởi đồ thò hai hàm số:
( ) ( )
;y f x y g x= =
PP giải: B1 : Giải phương trình
( ) ( )
0f x g x− =
có nghiệm
1 2

n
x x x< < <
B2: Ta có diện tích hình
( )
D
:
( ) ( )
1
n
x
D
x
S f x g x dx= −
∫
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2y x x= −
;
2
4y x x= − +

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2y x x= − +
và
3y x= −
3) ĐHBKHN -2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4y x= − −
và
2
3 0x y+ =

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 0y y x− + =
và
0x y+ =
5) ĐHKTQD – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
5 0y x+ − =
và
3 0x y+ − =
6) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4 3y x x= − +
và
3y x= +

7) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2

4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =
8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
3 3
2 2
y x x= + −
và
y x=
9) ĐHSPHN – 2000 A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
1y x= −
và
5y x= +

BÀI TOÁN 5: Tính diện tích hình phẳng
( )
D
giới hạn bởi ba đồ thò hàm số:
( ) ( ) ( )
; ;y f x y g x y h x= = =
PP giải: B1: Giải các phương trình :
( ) ( )

0f x g x− =
;
( ) ( )
0f x h x− =
;
( ) ( )
0g x h x− =
B2: Thiết lập công thức diện tích. ( Có thể vẽ ba đồ thò trên cùng hệ trục toạ độ )
1) ĐHCĐ - 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
y x=
;
2
8
x
y =
;
8
y
x
=
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x x= − +
;
2
y x=
;
2
2y x x= + −

BÀI TẬP:
1) ĐHQGHN – 97A : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x x= + +
và
2 4y x= +
.

TRẦN HỮU QUYỀN - 7 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
4y x=
và
2
4x y=
3) ĐHKTế – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x=
;
2 2 0x y− + =
và trục
hoành
Ox
.
4) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
ln x
y

x
=
, các đường thẳng :
1; 2x x= =
và trục hoành
Ox
.
5) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
3 2
4 6y x x x= − + +
và trục
hoành.
6) ĐHNN1 HN – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò:
y tgx
=
, đường thẳng
3
x
π
=
và
các trục toạ độ.
7) ĐHTLợi – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
1
4
y x=
và
2
1

3
2
y x x= − +
.
8) ĐHTMại – 96: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x=
và
2
x y= −
9) ĐHTCKToán – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x= −
và
2y x= − −
.
10) ĐHTCKToán – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
x
y e=
;
x
y e
−
=
và
1x
=
.
11) ĐHBKHN - 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2 3

sin cosy x x=
,
0;
2
x x
π
= =
và trục hoành.
12) ĐHTMại – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x x= −
,
1x
= −
,
2x
=
và
trục hoành
Ox
.
13) ĐHHuế 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
( )
5
1y x= +
,
x
y e=
và các đường
thẳng

0; 1x x= =
.
14) ĐHNN1 – 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
1
1
y
x
=
+
và
2
2
x
y =
15) ĐHTLợi – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
3 3
2 2
y x x= + −
và
y x=
.
16) ĐHSPHN – 2000B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
4 3y x x= − +
và
3y =
.
17) HVBCVT – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:

2
3
1 2sin
2
x
y = −
,
12
1
x
y
π
= +
và đường thẳng
2
x
π
=
.
18) ĐHTCKToán – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2 siny x= +
,
2
1 siny x= +
với
[ ]
0;x
π
∈
.

19) HVBCVT – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
x
y xe=
,
1x
= −
,
2x
=
và
trục hoành .
20) ĐHY TB- 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
5
x
y
−
=
,
3y x= −
và các trục
toạ độ.
21) ĐHKTQD HN -2000 : Parabon
2
2y x=
chia hình tròn
2 2
8x y+ =
thành hai phần, tính diện tích
mỗi phần

TRẦN HỮU QUYỀN - 8 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

22) .ĐHKTQD HN – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon
2
4y x x= −
và các đường
tiếp tuyến đi qua
5
;6
2
M
 
 
 
.
23) Cho đồ thò
( )
2
4
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )
C
, tiệm cận xiên của
( )
C
và
2; 4x x= =
24) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon
2
4 3y x x= − + −
và hai tiếp tuyến tại các điểm
( )
0; 3A −
;
( )
3;0B
25) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x x= − +
;
2
y x=
;
2
2y x x= + −

26) ĐHMĐC HN – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
siny x=
,
y x

π
= −
.
27) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4 3y x x= − +
và
3y x= +

28) CĐSPPThọ KA – 2003: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò
2 2
4 ; 2y x y x x= − = −
29) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =
30) ĐH – CĐ Dự bò 3 – 2002: Cho
( )
3 2
1 1
: 2 2
3 3
C y x mx x m= + − − −

. Tìm
5
0;
6
m
 
∈
 
 
sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thò
( )
; 0; 2; 0C x x y= = =
có diện tích bằng
4
31) Hình
( )
H
giới hạn bởi Parabol (P),
0, 1, 2y x x= = − =
. Lập phương trình Parabol (P) , biết (P)
có đỉnh
( )
1;2S
và diện tích
( )
H
bằng
15
.



ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH
BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền
D
giới hạn bởi các đường:
( )
y f x=
;
0y =
;
( )
; ;x a x b a b= = <
xung quanh trục
Ox
”.
PP giải: Ta áp dụng công thức
( )
2
2
b b
Ox
a a
V y dx f x dx
π π
= =
∫ ∫

Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền

D
giới hạn bởi các đường:
( )
x f y=
;
0x =
;
( )
; ;y a y b a b= = <
xung quanh trục
Oy
”.
PP giải: Ta áp dụng công thức
( )
2
2
b b
Oy
a a
V x dy f y dy
π π
= =
∫ ∫

1) Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi :
, 0, 0,
3
D y tgx y x x

π
 
= = = = =
 
 

a) Tính diện tích hình phẳng
D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi
D
quay quanh trục
Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh
Oy
của hình giới hạn bởi
Parabol
( )
2
: ; 2; 4
2
x
P y y y= = =
và trục
Oy
3) Cho hình phẳng
( )
D
giới hạn bởi
( )
2

: 8P y x=
và đường thẳng
2x =
. Tính thể tích khối tròn
xoay khi lần lượt quay hình phẳng
( )
D
quanh trục
Ox
và trục
Oy
.

TRẦN HỮU QUYỀN - 9 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền
D
giới hạn bởi các đường:
( )
y f x=
;
( )
y g x=
;
( )
; ;x a x b a b= = <
xung quanh trục
Ox
”.

PP giải: Ta áp dụng công thức
( ) ( )
2 2
b
Ox
a
V f x g x dx
π
= −
∫

1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh
Ox
hình phẳng
D
giới hạn bởi các đường:
2 1
1; 2; ;x x y y
x x
= = = =
2) Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
. Quay
D
xung quanh
Ox
ta được một vật

thể, tính thể tích của vật thể này.
BÀI TẬP
1) ĐHXDHN -97: Tính
Ox
V
biết:
{ }
ln , 0, 1,D y x x y x x e= = = = =
2) CĐSPBTre - KA – 2002: Cho
D
là miền giới hạn bởi đồ thò
2
; 0; 0;
4
y tg x y x x
π
= = = =
a) Tính diện tích miền phẳng
D
b) Cho
D
quay quanh
Ox
, tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành.
3) ĐHHH -99: Tính
Ox
V
biết:
3
2

,
3
x
D y y x
 
= = =
 
 
4) HVKTQS – 95: Tính
Ox
V
biết:
4 4
0; 1 sin cos ; 0,
2
D y y x x x x
π
 
= = = + + = =
 
 
5) ĐHKTQD -98: Tính
Ox
V
biết:
{ }
2
5 0; 3 0D x y x y= + − = + − =
6) ĐHLHN – 96: Tính
Ox

V
biết:
{ }
2
2 ; 2 4D y x y x= = = +
7) ĐHQGHN – 99B: Tính
Ox
V
biết:
{ }
2 2
4 6; 2 6D y x x y x x= = − + = − − +
8) ĐHNN1 HN -98: Tính
Ox
V
biết:
{ }
2
;D y x y x= = =
9) HVNH TPHCM – 99: Tính
Ox
V
biết:
( )
{ }
2
ln 1 ; 0; 1D y x x y x= = + = =
10)CĐCNHN 2003: Tính
Oy
V

biết:
1
; ; 0; 0
x
D y e y y x
e
 
= = = = =
 
 



NHỊ THỨC NIUTON
*) Công thức:
( )
0 0
n n
n
k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
− −
= =
+ = =
∑ ∑
*) Tính chất: a)
0
1

n
n n
C C= =
b)
k n k
n n
C C
−
=
c)
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
= +
d) Số hạng thứ
1k +
là
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
*) Khai triển thường dùng:
( )

0
1
n
n
k k
n
k
x C x
=
+ =
∑
và
( ) ( )
0
1 1
n
n k
k k
n
k
x C x
=
− = −
∑
*) Hệ thức đặc biệt
0 1 2 1
2
n n n
n n n n n
C C C C C

−
+ + + + + =
và
( )
0 1 2
1 0
n
n
n n n n
C C C C− + − + − =
I – BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ VÀ TÌM SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC.

TRẦN HỮU QUYỀN - 10 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

1) ĐHNN 1 -2000A: Trong khai triển
( )
40
2
1
f x x
x
 
= +
 
 
, hãy tìm hệ số của
31
x
2) Hãy tìm trong khai triển nhò thức

18
3
3
1
x
x
 
+
 
 
số hạng độc lập đối với
x
3) ĐHQGHN – 2000B : Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
17
3
4
3 2
1
x
x
 
+
 
 
4) ĐH – CĐ _KD: 2004: Tìm các số hạng không chứa
x
tronh khai triển của
7

3
4
1
x
x
 
+
 
 
5) ĐHCĐ – 2003 A: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhò thức của
5
3
1
n
x
x
 
+
 
 
,
biết
( )
1
4 3
7 3
n n

n n
C C n
+
+ +
− = +
6) ĐHCĐ – 2002A: Trong khai triển nhò thức
1
3
2
2 2
n
x
x
−
−
 
+
 
 
có
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng
20n
. Hãy tìm
n
và
x

.
7) Trong khai triển nhò thức
( )
28 15
3
n
x x x
−
+
, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
8) Hãy tìm
n
trong khai triển
1 1
2 4
1
2
n
x x
−
 

+
 
 
, biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo thứ tự đó
lập thành một cấp số cộng.
9) Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhò thức
3
2
n
x
x x
x
 
+
 
 
 
bằng
36
. Hãy tìm
số hạng thứ
7
.
10) Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
3
3

x
x
 
−
 
 
11) Tính hệ số của
25 10
x y
trong khai triển
( )
15
3
x xy+
12) Khai triển
( )
2005
2 2005
0 1 2 2005
2 x a a x a x a x− = + + + +

a) Hãy tính hệ số
1000
a
b) Tính tổng
0 1 2005
T a a a= + + +
và
1 2 3 2005
2 3 2005S a a a a= + + + +

13) ĐHTLợi 2000: Cho đa thức
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
1 1 1P x x x x= + + + + + +
có dạng khai triển là
( )
2 14
0 1 2 14
P x a a x a x a x= + + + +
. Hãy tính hệ số
9
a
.
14) Cho đa thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
1 2 1 3 1 20 1P x x x x x= + + + + + + + +
có dạng khai triển là
( )
2 20
0 1 2 20
P x a a x a x a x= + + + +
. Hãy tính hệ số
15
a
.
15) ĐHCĐ – Dự bò 6 -2002: Trong khai triển
( ) ( )
10

11 10 9
1 2 10 11
1 2 x x x a x a x a x a+ + = + + + + +
, hãy
tìm hệ số
5
a
.
16) Khai triển
( )
5
2 3 2 15
0 1 2 15
1 x x x a a x a x a x+ + + = + + + +

TRẦN HỮU QUYỀN - 11 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

a) Hãy tính hệ số
10
a
b) Tính tổng
0 1 15
T a a a= + + +
và
0 1 2 15
S a a a a= − + − −

17) Khai triển
( )

10
2 2 20
0 1 2 20
1 2 3 x x a a x a x a x+ + = + + + +
a) Hãy tính hệ số
4
a
b) Tính tổng
1 2 3 20
2 3 20S a a a a= + + + +

18) ĐH-CĐ _KA: 2004: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
( )
8
2
1 1x x
 
+ −
 
19) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển
( )
15
3
x xy−
20) Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển
10
3

5
1
x
x
 
+
 
 
21) Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
( )
6
3 15−
22) Tìm số hạng của khai triển
( )
9
3
3 2+
là một số nguyên
23) Trong khai triển
( )
124
4
3 5+
có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
24) HVKTQSự 2000: Khai triển đa thức
( ) ( )
12
2 12
0 1 2 12
1 2 P x x a a x a x a x= + = + + + +

. Tìm hệ số
lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm
0 1 12
max( , , , )a a a
)
25) ĐHSPHN – 2001A: Trong khai triển
10
1 2
3 3
x
 
+
 
 
thành đa thức
9 10
0 1 9 10
a a x a x a x+ + + +
, hãy
tìm hệ số
k
a
lớn nhất? ( k=0,1,2,…, 10).
26) ĐHSPHN – 2000 D: Biết tổng các hệ số trong khai triển
( )
2
1
n
x +
bằng 1024, hãy tìm hệ số

a

của số hạng
12
ax
trong khai triển đó.
27) TN n ăm 2006-Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển nhò thức Niutơn của
(1 ) , ,
n
x n N
∗
+ ∈
biết
rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
28) :Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

7
4
3
)
1
(
x
x +
,
)0( >x
(Đề tuyển sinh năm 2004 –khối D)

29) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức

n
nx
nx
3
2
)
2
1
2( +
,biết rằng
64
3
3
2
3
1
3
0
3
=++++
CCCC
n
nnnn
.
30) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức

0)x (với ; ≠+
−

n
xxx )(
15
28
3
, cho biết
79
21
=++
−−
CCC
n
n
n
n
n
n
31) 1. Tìm số nguyên dương n sao cho:

2432 42
210
=++++
CCCC
n
n
n
nnn
( Đề thi tuyển sinh năm 2002 –khối D)
2. Tìm hệ số của số hạng chứa
8

x
trong khai triển nhò thức Niuton của
,)
1
(
5
3
n
x
x
+
biết rằng
)3(7
3
1
4
+=−
+
+
+
n
CC
n
n
n
n
(với n là số nguyên dương ,
0
>
x

)
3. Chứng minh rằng:
n
n
n
n
n
n
n
nn
CCCC
322 221
1
1
2
2
2
=+++++
−
−
.
32) (Đề thi tốt nghiệp năm2002)

TRẦN HỮU QUYỀN - 12 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau:
2:5:6::
11
1

=
−+
+
CCC
y
x
y
x
y
x
33) (Đề thi học kỳ II năm 2002-2003-Đồng Nai) (1,5đ)
1. Giải phương trình :
2
20
x
A
=

2. Hội đồng quản trò một trường học có 10 người namvà 2 người nữ.Hỏi có bao nhiêu cách
thành lập ban thường trực gồm 5 người trong đó có ít nhất một ngườig nữ.
34) (Đề thi tuyển sinh năm 2005-khối D)
Tính giá trò của biểu thức
4 3
1
,
( 1)!
3
n n
M
n

A A
+
+
=
+
biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
14922
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
.
35) (Đề thi tuyển sinh năm 2006-khốiA)
Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhò thức Niutơn của
7
4
1
( )
n
x
x
+
biết rằng :

1 2

20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
( n nguyên dương,
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử)
II – CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
1)
0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
n n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
− − − −
+ + + + + = + + + + + =
2)
1 2 2 1 1
1 4 4 4 4 5
n n n n
n n n
C C C
− −

+ + + + + =
3)
( )
1 2 3 1 1
2 3 1 2
k n n n
n n n n n n
C C C kC n C nC n
− −
+ + + + + + − + =
4)
( ) ( )
1 2 3
2 3 1 1 0
k n
k n
n n n n n
C C C kC nC− + − + − + + − =
5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 2
2.1 3.2 . 1 1 2 1 1 2
k n n n
n n n n n
C C k k C n n C n n C n n
− −
+ + + − + + − − + − = −
6)
( )
1 2 1

1
0
2 1

1 1 1 2 1 1 1 1 1
k n n
n
n n n n n
n
C C C C C
C
k n n n
−
+
−
+ + + + + + + =
+ + + + − + +
7)
( ) ( )
1 2
0
1
1 1
1 1 1 2 1 1 1
k n
k n
n n n n
n
C C C C
C

k n n
− + − + − + + − =
+ + + + +
8)
2 1 3 2 1 2005 2004 2006 2005
2006
0
2005 2005 2005 2005 2005
2005
2 2 2 2 2
3 1
2
1 1 1 2 1 2005 2006 2006
k k
C C C C C
C
k
+
−
+ + + + + + + =
+ + +
9)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2
2

n n
n n n n n
C C C C C+ + + + =

10)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
0 1 2 2
2 2 2 2 2
1
n
n n
n n n n n
C C C C C− + − + = −
11)
0 1 1 2 2 0

p p p p p
r q r q r q r q r q
C C C C C C C C C
− −
+
+ + + + =
II –Tính tổng:
1) Tính tổng
0 1 2004 2005
2005 2005 2005 2005
S C C C C= + + + +
2) Tính tổng
0 1 2 2 2004 2004 2005 2005
2005 2005 2005 2005 2005
2 2 2 2S C C C C C= + + + + +
3) Tính tổng

15 0 14 1 2 13 2 14 14 15 15
15 15 15 15 15
2 3.2 3 .2 3 .2. 3S C C C C C= + + + + +
4) Tính
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3S C C C C C C C C C C C= − + − + − + − + − +
5) ĐHBKHN 99: Tính
( ) ( )
1 2 3
2 3 1 1
k n
k n
n n n n n
S C C C kC nC= − + − + − + + −
6) Tính
1 2 1
0

2 3 1 1
k n n
n n n n n
n
C C C C C
S C
k n n
−
= + + + + + + +
+ +
, biết rằng

1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =

TRẦN HỮU QUYỀN - 13 -
Trường THPT DẦU GIÂY Giải Tích 12 -Nguyên Hàm,Tích Phân

7) Tính
2 3 1
0 1 2
2 2 2
2
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
+
= + + + +
+
8) ĐH – CĐ_ KB: 2003:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + +
+

III- Các bài toán khác
1) a) Tính tích phân
( )
1
2
0
1
n
I x x dx= −
∫
b) Chứng minh
( )
( )
0 1 2
1
1 1 1 1

2 4 6 2 2 2 1
n

n
n n n n
C C C C
n n
−
− + + + =
+ +
2) a ) Tính
( )
2
0
1
n
I x dx= −
∫
b) CMR:
( ) ( )
( )
0 2 1 3 3 1
1 1 1 1
2 2 2 1 2 1 1
2 3 1 1
n n
n n
n n n n
C C C C
n n
+
− + + + − = + −
+ +

3) Tính
( )
1
19
0
1I x x dx= −
∫
. Tính
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C= − + + + −


TRẦN HỮU QUYỀN - 14 -