Tính đơn điệu của hàm số

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
4 3
2 2 1y x x x= − + +
2
2
x
y
x
−
=
+
2
2
2
x x
y
x
− +
=
−
2
1
x
y
x
=
+
( 1) ( 0)y x x x= − >
2

1
4 3
y
x x
=
− +
3 2
7
x
y
x
−
=
+
2
2
3 2
2 1
x x
y
x x
− +
=
+ −
2
2 4 1y x x= − + +
2 3 4
16
16 2
3

y x x x x= + − −
4 2
8 5y x x= + +
2
2
9
x
y
x
=
−
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
+
2
5 3
2
x x
y
x
− +
=
−
2

25y x= −
4 3
1
5
2
y x x x= + − +
7 6 5
7
9 7 12
6
y x x x= − + +
1
3
x
y
x
+
=
2
3
1
x
y
x
=
+
2
2 3y x x= + +
2
2 3

1
x x
y
x
− − +
=
+
2
8 9
5
x x
y
x
− +
=
−
1
2
1
y x
x
= − +
+
2
2 3
2 1
x x
y
x
+

=
+
2
2 3y x x= − +
2
4y x= −
2
2y x x= −
Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)
I. Cơ sở lý thuyết
1. Cho hàm số
( )y f x=
xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên
( , ) '( ) 0, ( , )a b D khi f x x a b⊂ ≥ ∀ ∈
* Hàm số nghịch biến trên
( , ) '( ) 0, ( , )a b D khi f x x a b⊂ ≤ ∀ ∈
2. Xét tam thức bậc hai
2
( ) axf x bx c= + +
,
0a
≠
*
2
0
ax 0
0
a
bx c

>

+ + ≥ ⇔

∆ ≤

*
2
0
ax 0
0
a
bx c
<

+ + ≤ ⇔

∆ ≤

II. Bài tập áp dụng
A – HÀM ĐA THỨC
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R.
2

' 3 6( 1) 3 ( 2)y x m x m m= − − + −
a. Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
3 0
' 6 9 0
3
2
a
m
m
= >

⇔

∆ = + ≤

⇔ ≤ −
b. Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
3 0
( ô )
' 6 9 0
a
v nghiem
m
= <

⇔


∆ = + ≤

Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R
Cho hàm số
2
( )y x m x m= − −
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
3 2
'y x mx m= − + −
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
3 2
2
0,
1 0
0
0
x mx m x
a
m
m
⇔ − + − ≤ ∀
= − <

⇔

∆ = ≤


⇔ =
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
2 ( 1) 3y x x m x m= − + − + +
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 3 4 1y x x m= − + −
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
3 4 1 0,
3 0
' 3 7 0
7
3
x x m x
a
m
m
⇔ − + − ≥ ∀
= >

⇔

∆ = − + ≤

⇔ ≥
Vậy: Với

7
3
m ≥
thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số
2
( ) 6y x m x mx= − − +
. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 3 2y x mx m= − + −
Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
2
2
3 2 0,
3 0
3 0
0 3
x mx m x
a
m m
m
⇔ − + − ≤ ∀
= − <

⇔

∆ = − ≤


⇔ ≤ ≤
Vậy: Với
0 3m
≤ ≤
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
2
' 3 6 3(2 1)y x mx m= − + −
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
3 6 3(2 1) 0,
1 0
' 2 1 0
1
x mx m x
a
m m
m
⇔ − + − ≥ ∀
= >

⇔


∆ = − + ≥

⇔ =
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + +
. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 2( 1) 3y x m x m= − + − + +
Hàm số luôn luôn giảm khi
' 0,y x≤ ∀
2
2
2( 1) 3 0,
1 0
( ô )
' 4 0
x m x m x
a
v nghiem
m m
⇔ − + − + + ≤ ∀
= − <


⇔

∆ = − + ≤

Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Cho hàm số
3 2
3 1y x mx x= − + −
. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 3 2 3y x mx= − +
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
3 2 3 0,
3 0
' 9 0
3 3
x mx x
a
m
m
⇔ − + ≥ ∀
= >

⇔

∆ = − ≤


⇔ − ≤ ≤
Vậy: Với
3 3m− ≤ ≤
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
1
( 1) 2( 1) 2
3
y x m x m x= − − + − −
. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 2( 1)y x m x m= − − + −
Hàm số luôn tăng trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
2( 1) 2( 1) 0,
1 0
' ( 1)( 3) 0
1 3
x m x m x
a
m m
m
⇔ − − + − ≥ ∀
= >

⇔


∆ = − − ≤

⇔ ≤ ≤
Vậy: Với
1 3m
≤ ≤
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
1 1 3
(sin cos ) sin 2
3 2 4
y x m m x x m= − + +
. Tìm m để hàm số đồng biến trên
R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
2
3
' (sin cos ) sin 2
4
y x m m x m= − + +
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
3
(sin cos ) sin 2 0,

4
1 0
1 2sin 0
1 2sin 0
2 2 2
6 6
12 12
x m m x m x
a
m
m
k m k
k m k
π π
π π
π π
π π
⇔ − + + ≥ ∀
= >

⇔

∆ = − ≤

⇔ − ≤
⇔ − + ≤ ≤ +
⇔ − + ≤ ≤ +
Cho hàm số
3 2
2 1y x mx x= + + +

. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 3 2 2y x mx= + +
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
3 2 2 0,
3 0
' 6 0
6 6
x mx x
a
m
m
⇔ + + ≥ ∀
= >

⇔

∆ = − ≤

⇔ − ≤ ≤
Vậy: Với
6 6m− ≤ ≤
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
(2 1) ( 2) 2y mx m x m x= − − + − −

. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D =R
2
' 3 2(2 1) 2y mx m x m= − − + −
Trường hợp 1:
0 ' 2 2m y x= ⇒ = − ⇒
m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2:
0m ≠
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
3 0
' (2 1) 3 ( 2) 0
0
2 1 0
0
( ô nghiem)
1
a m
m m m
m
m m
m
v
m
= >


⇔

∆ = − − − ≤

>

⇔

+ + ≤

>

⇔

= −

Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Tìm m để hàm số
3 2
1
(3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + −
luôn đồng biến
Lời giải: TXĐ: D = R

2
' ( 1) 2 3 2y m x mx m= − + + −
Trường hợp 1:
1 0 1 ' 2 1m m y x− = ⇔ = ⇒ = + ⇒
m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠
Hàm số luôn đồng biến khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
( 1) 2 3 2 0,
1 0
' 2 5 2 0
2
m x mx m x
m
m m
m
⇔ − + + − ≥ ∀
− >

⇔

∆ = − + − ≤

⇔ ≥
Vậy: Với
2m
≥

thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
1
3
y mx mx x= + −
. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2 1y mx mx= − + −
Trường hợp 1:
0 ' 1 0m y= ⇒ = − < ⇒
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0m ≠
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
2
2
2 1 0,
0
' 0
0
( ô )
0 1
mx mx x
a m
m m
m
v nghiem

m
⇔ − + − ≤ ∀
= − <

⇔

∆ = − ≤

>

⇔

≤ ≤

Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Định m để hàm số
3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x
−
= − − + − +
luôn luôn giảm
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' (1 ) 4(2 ) 4 2y m x m x m= − − − + −
Trường hợp 1:

1
1 ' 4 2 0
2
m y x x= ⇒ = − + ≤ ⇔ ≥
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1m
≠
Hàm số luôn giảm khi
2
1 0
1
2 3
2 3
' 2 10 12 0
a m
m
m
m
m m
= − <
>


⇔ ⇔ ≤ ≤
 
≤ ≤
∆ = − + ≤



Cho hàm số
3 2 2
2
( 2) ( 8) 1
3
m
y x m x m x m
+
= − + + − + −
. Tìm m để dồ thị hàm số nghịch
biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
2
' ( 2) 2( 2) 8y m x m x m= + − + + −
Trường hợp 1:
2 0 2 ' 10m m y+ = ⇔ = − ⇒ = − ⇒
m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2m ≠ −
Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
2
2
( 2) 2( 2) 8 0,
2 0
' ( 2) ( 2)( 8) 0
2
m x m x m x

a m
m m m
m
⇔ + − + + − ≤ ∀
= + <

⇔

∆ = + − + − ≤

⇔ < −
KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa
Cho hàm số
2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x= − + + + +
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2 2
' ( 1) 2( 1) 3y m x m x= − + + +
Trường hợp 1:
2
1 0 1m m− = ⇔ = ±
*
1 ' 4 3m y x= ⇒ = + ⇒
m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
*

1 ' 3 0m y= − ⇒ = > ⇒
m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2
1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠ ±
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x≥ ∀
2 2
2
2
( 1) 2( 1) 3 0
1 0
2 2 4 0
1 2
m x m x
m
m m
m m
⇔ − + + + ≥

− >

⇔

∆ = − + + ≤


⇔ < − ∨ >
Vậy: Với
1 2m m

≤ − ∨ >
thì bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
1
( 3) 2
3
y m x x mx= + − +
. Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
' ( 3) 4y m x x m= + − +
Trường hợp 1:
3 0 3 ' 4 3m m y x+ = ⇔ = − ⇒ = − − ⇒
m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
3m ≠ −
.
a. Hàm số luôn đồng biến khi
' 0,y x≥ ∀
2
2
( 3) 4 0,
3 0
3 4 0
1
m x x m x

a m
m m
m
⇔ + − + ≥ ∀
= + >

⇔

∆ = − − + ≤

⇔ ≥
b. Hàm số luôn nghịch biến khi
' 0,y x≤ ∀
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT

2
2
( 3) 4 0,
3 0
3 4 0
4
m x x m x
a m
m m
m
⇔ + − + ≤ ∀
= + <

⇔


∆ = − − + ≤

⇔ ≤ −
Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. Xác định giá trị m để hàm số đã cho
nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= − − + −
Trường hợp 1:
0 ' 2 6m y x= ⇒ = − ⇒
m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0m ≠
Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,y x≤ ∀
2
2
2( 1) 3( 2) 0,
0
2 4 1 0
2 6
2

mx m x m x
a m
m m
m
⇔ − − + − ≤ ∀
= <

⇔

∆ = − + + ≤

−
⇔ ≤
Cho hàm số
( )
2 3 2
1
2 2 1
3
y m m x mx x= + + + +
. Xác định m để hàm số sau đồng biến trên
R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Ta có:
( )
2 2
' 2 2 2y m m x mx= + + +
Xét 2 trường hợp:
*

2
0
2 0
2
m
m m
m
=

+ = ⇔

= −

+ m = 0
⇒

' 0,y x≥ ∀
nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = - 2
1
' 4 2 0
2
y x x⇒ = − + ≥ ⇔ ≤
nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
*
2
0
2 0
2
m

m m
m
≠

+ ≠ ⇔

≠ −

Hàm số đồng biến trên R khi
2
2
'
0
2 0
4 0
0
4 0
y
a
m m
m m
m m
>

+ >

⇔ ⇔ ≤ − ∨ ≥
 
∆ ≤
− − ≤




Vậy với
4 0m m
≤ − ∨ ≥
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= + + + −
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải
TXĐ: D = R
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
2 2
' 3( 5 ) 12 6y m m x mx= + + +
Trường hợp 1:
2
5 0 0, 5m m m m+ = ⇔ = = −
+
0 ' 6 0m y= ⇒ = > ⇒
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+
5 ' 60 6m y x= − ⇒ = − + ⇒
m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2
5 0m m+ ≠
Hàm số đồng biến trên R khi

' 0,y x≥ ∀
2 2
3( 5 ) 12 6 0,m m x mx x⇔ + + + ≥ ∀
2
2
5 0
' 2 10 0
0 5
a m m
m m
m

= + >

⇔

∆ = − ≤


⇔ < ≤
Vậy: Với
0 5m≤ ≤
thì yêu cầu bài toán được thỏa
B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
x m

−
=
+ −
luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ:
{ }
\ 3D R m= −
2
2
3 2
'
( 3)
m m
y
x m
− +
=
+ −

Hàm số luôn đồng biến khi
' 0, 3y x m≥ ∀ ≠ −
2
3 2 0
1 2
m m
m m
⇔ − + ≥
⇔ ≤ ∨ ≥
Cho hàm số

2 2
2
1
x m x m
y
x
+ + −
=
+
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó
Lời giải:
TXĐ:
{ }
\ 1D R= −
2 2
2
2 2
'
( 1)
x x m m
y
x
+ + − +
=
+
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi
' 0, 1y x≥ ∀ ≠ −
2 2
2

2 2
2 2 0, 1
1 0
3 0
( 1) 2( 1) 2 0
1 13 1 13
2 2
x x m m x
a
m m
m m
m m
⇔ + + + − ≥ ∀ ≠ −
= >


⇔ ∆ = − − + ≤


− + − + + − ≠

+ −
⇔ < ∨ >
− −
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Cho hàm số
x
y
x m

=
−
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Lời giải:
TXĐ:
{ }
\D R m=
2
'
( )
m
y
x m
−
=
−
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi
' 0,y x m≥ ∀ ≠
0
0
m
m
⇔ − ≥
⇔ ≤
Cho hàm số
2 2
( 2) 2 2
1
mx m x m m
y

x
− + + − +
=
−
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ:
{ }
\ 1D R=
2 2
2
2 3
'
( 1)
mx mx m m
y
x
+ − +
=
−
Trường hợp 1:
0 ' 0m y= ⇒ = ⇒
chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0
không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0m
≠
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
' 0, 1y x≤ ∀ ≠

2 2
3 2
2 2
2 3 0, 1
0
' 2 0
1 2 .1 3 0
0
2 0
0, 6
0
mx mx m m x
a m
m m
m m m m
m
m
m m
m
⇔ + − + ≤ ∀ ≠
= <


⇔ ∆ = − ≤


+ − + ≠

<



⇔ − ≤


≠ ≠

⇔ <
Cho hàm số
2 3 2
( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
+ − − − +
=
−
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ:
{ }
\D R m=
2 2 3 2
2
( 1) 2( ) 2
'
( )
m x m m x m m
y
x m
+ − + + + +
=

−
Trường hợp 1:
( )
2
2
1 ' 0, 1
1
m y x
x
= − ⇒ = > ∀ ≠ − ⇒
+
m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1m ≠ −
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,y x m≥ ∀ ≠
2 2 3 2
2 2 3 2
( 1) 2( ) 2 0,
1 0
2 2 0
( 1) 2( ). 2 0
1
1
2 0
1
m x m m x m m x m
a m

m
m m m m m m m
m
m
m
⇔ + − + + + + ≥ ∀ ≠

= + >

⇔ ∆ = − − ≤


+ − + + + + ≠

> −


⇔ ≥ −


≠

⇔ > −
C – BÀI TẬP NÂNG CAO
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử tồn tại
ax ( )
x K
m f x
∈

( ) ( ), ax ( ) ( )
( ) ( ), ax ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K m f x g m
f x g m x K m f x g m
∈
∈
< ∀ ∈ ⇔ <
≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
Giả sử tồn tại
min ( )
x K
f x
∈
( ) ( ), min ( ) ( )
( ) ( ), min ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K f x g m
f x g m x K f x g m
∈
∈
> ∀ ∈ ⇔ >
≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
Định m để hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3

y mx m x m x= − − + − +
đồng biến trong khoảng
(2; )+∞
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= − − + −
Điều kiện bài toán được thỏa khi
2
' 0, 2 2( 1) 3( 2) 0, 2y x mx m x m x≥ ∀ > ⇔ − − + − ≥ ∀ >
2
2 6
, 2
2 3
x
m x
x x
− +
⇔ ≥ ∀ >
− +
Xét hàm số
2
2 2 2
2 6 2 12 6
( ) '( )
2 3 ( 2 3)
x x x
g x g x
x x x x
− + − +

= ⇒ =
− + − +
3 6
'( ) 0
3 6
x
g x
x

= +
= ⇔

= −


Bảng xét dấu
x
−∞

3 6−
2
3 6+

+∞
g’(x) + 0 - - 0 +
g(x)
2
3
0
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT

6
3 2 6
−
+
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi
2
3
m ≥
Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng
( )
;0−∞
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6y x x m= + −
Hàm số đồng biến trên
( )
;0−∞
khi
' 0, ( ,0)y x≥ ∀ ∈ −∞
2
2
( ,0)
3 6 0, ( ,0)

3 6 ( ), ( ,0)
min ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
−∞
⇔ + − ≥ ∀ ∈ −∞
⇔ ≤ + = ∀ ∈ −∞
⇔ ≤
Ta có:
'( ) 6 6 0 1g x x x= + = ⇔ = −
Vẽ bảng biến thiên ta có
( ,0)
min ( ) ( 1) 3m g x g
−∞
≤ = − = −
Kết luận: Với
3m ≤ −
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
khoảng
( )
0;2
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6y x x m= − + +

Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi
' 0, (0,2)y x≥ ∀ ∈
2
2
(0,2)
3 6 0, (0,2)
3 6 ( ), (0,2)
max ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
⇔ − + + ≥ ∀ ∈
⇔ ≥ − = ∀ ∈
⇔ ≥
Ta có:
'( ) 6 6 0 1g x x x= − = ⇔ =
Vẽ bảng biến thiên ta có
(0,2)
max ( ) 0m g x≥ =
Vậy:
0m ≥
thì điều kiện bài toán được thỏa
Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x= − − + − +

. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên
[
)
2;+∞
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= − − + −
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Mặt khác:
2 2
1
(2) ( 1) (2 ) 1 2
1
2
x
f x f x x x
x
=


⇔ + = ⇒ + = ⇔

= −

Giải phương trình
2
2

3
2
3
log 3 2 (1)
2 4 5
x x
x x
x x
 
+ +
= + +
 ÷
+ +
 
Lời giải
Điều kiện
2
2
3 0
2 4 5 0
x x
x x

+ + >


+ + >


(đúng

x∀
)
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
3 3
(1) log ( 3) log (2 4 5) (2 4 5) ( 3)
log ( 3) ( 3) log (2 4 5) (2 4 5) (2)
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + + − + + = + + − + +
⇔ + + + + + = + + + + +
Xét
3
1
( ) log '( ) 0, 0
.ln3
f t t t f t t
t
= + ⇒ = > ∀ >
Mặt khác:
2 2 2
1
(2) ( 3) (2 4 5) 3 2 0
2
x
f x x f x x x x
x
= −


⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔

= −

Vậy:
{ }
1; 2S = − −
Giải phương trình
3 4 5 (1)
x x x
+ =
Lời giải
3 4
(1) 1
5 5
x x
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
Xét
3 4 3 3 4 4
( ) 1 '( ) ln ln 0,
5 5 5 5 5 5
x x x x
f x f x x
       
= + − ⇒ = + < ∀
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

⇒
f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác:
(2) 0f =
nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình
9 2( 2)3 2 5 0 (1)
x x
x x+ − + − =
Lời giải
Đặt
3 0
x
t = >
Phương trình trở thành
2
1 ( ai)
2( 2) 2 5 0
5 2
t lo
t x t x
t x
= −

+ − + − = ⇔

= −

Với
5 2 3 5 2 3 2 5 0

x x
t x x x= − ⇔ = − ⇔ + − =
Xét
( ) 3 2 5 '( ) 3 ln3 2 0,
x x
f x x f x x= + − ⇒ = + > ∀
⇒
f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình
5 7 16 14x x x x+ − + + + + =
Lời giải
Điều kiện của phương trình
5x
≥
. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét
( ) 5 7 16f x x x x x= + − + + + +
1 1 1 1
'( ) 0, 5
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
⇒ = + + + > ∀ >
− + +
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
⇒
f(x) là hàm số đồng biến trên
(5; )+∞

Mặt khác:
(9) 14f =
nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình:
5 3
1 3 4 0x x x+ − − + =
.
Giải. Điều kiện:
1
3
x ≤
. Đặt
( )
5 3
1 3 4 0f x x x x= + − − + =
.
Ta có:
( )
4 2
3
5 3 0
2 1 3
f x x x
x
′
= + + >
−
⇒ f (x) đồng biến trên
(
1

,
3

−∞


.
Mặt khác f (−1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = −1.
Giải phương trình
2
1 2
2 2 ( 1) (1)
x x x
x
− −
− + = −
Lời giải
2
2
2
1 2
1 2
1 2
(1) 2 2 2 1
2 2 ( 1)
2 1 2 (2)
x x x
x x x
x x x
x x

x x x
x x x
− −
− −
− −
⇔ − + = − +
⇔ − + = − − −
⇔ + − = + −
Xét
( ) 2 '( ) 2 ln 2 1 0,
t t
f t t f t t= + ⇒ = + > ∀
⇒
f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác:
2 2 2
(2) ( 1) ( ) 1 2 1 0 1f x f x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình
25 2(3 )5 2 7 0 (1)
x x
x x− − + − =
Lời giải
Đặt
5 0
x
t = >
. Phương trình trở thành
2
1 ( )

2(3 ) 2 7
7 2
t l
t x t x
t x
= −

− − + − ⇔

= −

Với
7 2 5 7 2 5 2 7 0
x x
t x x x= − ⇔ = − ⇔ + − =
Xét
( ) 5 2 7 '( ) 5 ln 5 2 0,
x x
f x x f x x= + − ⇒ = + > ∀
⇒
f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác:
(1) 0f =
nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình
3
2 7
log (1 ) log (1)x x+ =
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0

Đặt
7
log 7
t
t x x= ⇔ =
Phương trình (1) trở thành
3
3
3
2
1 7
log (1 7 ) 1 7 2 1
2 3
t
t
t
t t
t
 
 
+ = ⇔ + = ⇔ + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Xét
3 3 3
1 7 1 1 7 7
( ) 1 '( ) .ln .ln 0,

2 3 2 2 3 3
t t
t t
f t f t t
   
   
= + − ⇒ = + < ∀
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
⇒
f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên
3 343t x= ⇔ =
là nghiệm duy nhất của phương trình
Giải phương trình
5 7
log log ( 2)x x= +
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là
0x
>
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Đặt
5
log 5
t

t x x= ⇔ =
Phương trình trở thành
7
5 1
log (5 2) 5 2 7 5 7 2 0 2 1 0
7 7
t t
t t t t t
t
   
= + ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ + − =
 ÷  ÷
   
Xét
5 1 5 5 1 1
( ) 2 1 '( ) .ln 2 .ln 0,
7 7 7 7 7 7
t t t t
f t f t t
       
= + − ⇒ = + < ∀
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
⇒
f(t) là hàm nghịch biến trên R
⇒
phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác:
(1) 0f =
nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Giải bất phương trình
3 2
2 3 6 16 2 3 4x x x x+ + + < + −
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là
2 4x− ≤ ≤
Bất phương trình được viết lại thành
3 2
2 3 6 16 4 2 3 (2)x x x x+ + + − − <
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét
2
3 2
3 2
3 3 3 1
( ) 2 3 6 16 4 '( ) 0, ( 2;4)
4
2 3 6 16
x x
f x x x x x f x x
x
x x x
+ +
= + + + − − ⇒ = + > ∀ ∈ −
−
+ + +
⇒
f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác:

(2) ( ) (1) 1f x f x⇔ < ⇔ <
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là
2 1x
− ≤ <
Giải bất phương trình
9 2 4 5x x+ + + >
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là
2x ≥ −
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét
1 1
( ) 9 2 4 '( ) 0, 2
2 9 2 4
f x x x f x x
x x
= + + + ⇒ = + > ∀ > −
+ +
⇒
f(x) là hàm số đồng biến trên
( 2; )− +∞
Mặt khác:
9 2 4 5 ( ) (0) 0x x f x f x+ + + > ⇔ > ⇔ >
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0
Giải bất phương trình
4 2 4
3 2 13
x x+ +
+ >
Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình
2x
≥ −
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét
4 2 4 4 2 4
1 1
( ) 3 2 '( ) 3 .ln3 2 .ln 2 0, 2
4 2 4
x x x x
f x f x x
x x
+ + + +
= + ⇒ = + > ∀ > −
+ +
⇒
f(x) là hàm số đồng biến trên
( 2; )− +∞
Mặt khác:
4 2 4
3 2 13 ( ) (0) 0
x x
f x f x
+ +
+ > ⇔ > ⇔ >
So với điều kiện ta có
0x >
là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình
2 3

log 1 log 9 1x x+ + + >
Lời giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Điều kiện xác định của phương trình là
1x > −
Xét
2 3 2 3
1 1
( ) log 1 log 9 log ( 1) log ( 9)
2 2
1 1
'( ) 0, 1
2( 1)ln 2 2( 9)ln 3
f x x x x x
f x x
x x
= + + + = + + +
⇒ = + > ∀ > −
+ +
⇒
f(x) là hàm số đồng biến trên
( 1; )− +∞
Ta có:
2 3
log 1 log 9 1 ( ) (0) 0x x f x f x+ + + > ⇔ > ⇒ >
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình
3 5
4

1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − <
(*)
Giải. Điều kiện
5
7
x ≥
. Đặt
( )
3 5
4
1 5 7 7 5 13 7f x x x x x= + + − + − + −
Ta có:
( )
( ) ( )
2 3 4
5
3
4
5 7 13
1
0
2 1
5 (13 7)
3 5 7 4 7 5
f x
x
x
x x
′
= + + + >

+
× −
× − × −
⇒ f (x) đồng biến trên
)
5
,
7

+∞


. Mà f (3) = 8 nên (*) ⇔ f (x) < f (3) ⇔ x < 3.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
5
3
7
x≤ <
Giải bất phương trình
5
3 3 2 2 6
2 1
x x
x
− + − ≤
−
(1)
Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là
1 3

(*)
2 2
x≤ ≤
Xét
5 3 10
( ) 3 3 2 2 '( ) 2 0, (*)
2 1
2 1 3 2
g x x x g x x
x
x x
−
= − + − ⇒ = − − < ∀ ∈
−
− −
⇒
g(x) là hàm số nghịch biến trên
1 3
;
2 2
 
 ÷
 
Mặt khác: g(1) = 6
Khi đó:
(1) ( ) 6 ( ) (1) 1g x g x g x⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥
Kết luận:
1x ≥
là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình

2 2
2 3 6 11 3 1 (1)x x x x x x− + − − + > − − −
Điều kiện của bất phương trình:
1 3x
≤ ≤
2 2
(1) ( 1) 2 1 ( 3) 2 3x x x x⇔ − + + − > − + + −
Xét
2
2
1
( ) 2 , 0 '( ) 0
2
2
t
f t t t t f t
t
t
= + + ≥ ⇒ = + >
+
⇒
f(t) đồng biến trên
(0; )+∞
Mặt khác:
(1) ( 1) (3 ) 1 3 2f x f x x x x⇔ − > − ⇒ − > − ⇔ >
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là
2 3x< ≤
Giải bất phương trình sau
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − < −

(1)
Lời giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Điều kiện xác định của bất phương trình
6
7
x ≥
(1)
⇔

2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 0x x x x x+ + − + + − − + <

Đặt
t =
2 2
7 7 7 6 14 2 49 7 42x x t x x x+ + − ⇒ = + + −

( 0)t ≥
Phương trình trở thành :
2
182 0 14 13t t t+ − < ⇔ − < <
kết hợp điều kiện
( 0)t ≥

ta được
0 13 (1) 7 7 7 6 13t x x≤ ≤ ⇒ ⇔ + + − <
(2); điều kiện
6

;
7
x
 
∈ +∞
÷

 
Xét hàm
( ) 7 7 7 6f x x x= + + −
1 1 6
'( ) 0 ; ( ; )
7
2 7 7 2 7 6
f x x
x x
⇒ = + > ∀ ∈ +∞
+ −
hàm số đồng biến trên
6
;
7
x
 
∈ +∞
÷

 
Mặt khác
(6) 13f =

nên
( ) 13 6f x x< ⇔ <
vậy nghiệm của bất phương trình là
6
6
7
x≤ ≤
hay
6
.6
7
x
 
∈
÷

 
Giải bất phương trình
7 3
log log (2 ) (1)x x> +
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt
7
logt x=
Phương trình (1) trở thành
(
)
2
3

1 7
log 2 7 2 7 3 0 2. 1 0
3 3
t
t
t
t t
t
 
 
> + ⇔ + − < ⇔ + − <
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Xét
1 7 1 1 7 7
( ) 2. 1 '( ) 2. ln ln 0
3 3 3 3 3 3
t t
t t
f t f t
   
   
= + − ⇒ = + <
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

   
⇒
f(t) là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f(2) = 0 nên
7
1 7
2. 1 0 ( ) (2) 2 log 2 49
3 3
t
t
f t f t x x
 
 
+ − < ⇔ < ⇒ > ⇔ > ⇔ >
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Giải bất phương trình
3
8 2 ( 2) 1x x x x+ < + +
Lời giải:
Điều kiện
1x ≥ −
3
3 3
3
2
(*) (2 ) 2 ( 1 1) 1

(2 ) 2 ( 1) 1
(2 ) ( 1), ( )
2 1
0
0
0
0
1 17
4 1
0
8
x x x x
x x x x
f x f x f t t t
x x
x
x
x
x
x x
x
⇔ + < + + +
⇔ + < + + +
⇔ < + = +
⇔ < +
<

<



≥



≥
⇔ ⇔




 
+

< +

< <





Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Vậy bất phương trình có nghiệm
1 17
1
8
x
+
− ≤ <

Vấn đề 5: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình
3
2 2
( 2) 1
1
x x y y
x y

+ = + +


+ =


Lời giải:
3 3 3
3
(1) ( 2) 1 ( 1) 1
( ) ( 1), ( )
1
x x y y x x y y
f x f y f t t t
x y
⇔ + = + + ⇔ + = + + +
⇔ = + = +
⇔ = +
Thay
1x y= +
vào (2) ta có:

2
0 1
1 1 0
1 0
y x
y y
y x
= ⇒ =

+ + + = ⇔

= − ⇒ =

Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)
Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3x (1)
2x 4
x y y
y

− = −


− =


Lời giải
3 3

(1) 3 3x x y y⇔ + = +
Xét
3 2
( ) 3 '( ) 3 3 0f t t t f t t= + ⇒ = + >
⇒
f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác:
3 3
3 3 ( ) ( )x x y y f x f y x y+ = + ⇔ = ⇒ =
Ta được hệ phương trình như sau:
2 2
2
2 4
x y
x y
x
x y
=
=


⇔
 
= ±
− =


Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)
Giải hệ phương trình
3 10 5

3 10 5
x y
y x

+ + − =


+ + − =


Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình
3 , 10x y− ≤ ≤
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình
3 10 3 10x x y y+ − − = + − −
Xét hàm số
1 1
( ) 3 10 '( ) 0, ( 3;10)
2 3 2 10
f t t t f t t
t t
= + − − ⇒ = + > ∀ ∈ −
+ −
⇒
f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
3 10 3 10 ( ) ( )x x y y f x f y x y+ − − = + − − ⇔ = ⇒ =
Ta được hệ phương trình như sau
1
1 1

3 10 5
3 10 5
x y
x y
x y x
x y
x y
x x
=
=


= =
 
 
⇔ ⇔ ⇔
   
= =
+ + − =
+ + − =


 


Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Giải hệ phương trình
3

1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −



= +

Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình
0, 0x y≠ ≠
Xét hàm số
2
1 1
( ) '( ) 1 0, 0f t t f t t
t t
= − ⇒ = + > ∀ ≠
⇒
f(t) là hàm số đồng biến trên
{ }
\ 0R
Mặt khác:
1 1
( ) ( )x y f x f y x y
x y
− = − ⇔ = ⇒ =

Ta được hệ phương trình như sau
3 3
1 5
2 1 2 1 0
1,
2
x y
x y x y
y x x x
x x
=

= =
 

⇔ ⇔
  
− ±
= + − + =
= =
 


Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm
1 5
1,
2
x y x y
− ±
= = = =

Vấn đề 6: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất
phương trình
Tìm m để phương trình
2
( 2 2 1) (2 ) 0m x x x x− + + + − ≤
có nghiệm
0;1 3x
 
∈ +
 
Lời giải:
2 2 2
( 2 2 1) (2 ) 0 ( 2 2 1) ( 2 ) 0 (*)m x x x x m x x x x− + + + − ≤ ⇔ − + + − − ≤
Đặt
2
2
1
2 2 0 ' 0 1
2 2
x
t x x t x
x x
−
= − + ≥ ⇒ = = ⇔ =
− +
Vẽ bảng biến thiên suy ra
[ ]
0;1 3 1;2x t
 
∈ + ⇒ ∈

 
( ) ( )
2
2 2
2
(*) 1 2 0 1 2 0
1
t
m t t t m t m
t
−
⇒ + − + ≤ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤
+
Xét
( )
2 2
2
2 2 2
( ) ,1 2 '( ) 0,1 2
1
1
t t t
f t t f t t
t
t
− + +
= ≤ ≤ ⇒ = > ≤ ≤
+
+
⇒

f(t) là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi
1 2
1
min ( ) (1)
2
x
m f x f
≤ ≤
≤ = = −
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( 1) 4( 1) (*)
1
x
x x x m
x
− + − =
−
Lời giải:
Điều kiện của phương trình
0 1x x≤ ∨ ≥
Với điều kiện trên thì
(*) ( 1) 4 ( 1) (**)x x x x m⇔ − + − =
Đặt
( 1)t x x= −
,
0t ≥
Phương trình (**) trở thành
2
4 0t t m+ − =

có nghiệm
0t ≥
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT
Điều kiện trên được thỏa khi
4m ≥ −
Tìm m để phương trình
2
2 ( 2)(4 ) 2x x x x m+ − + = −
có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình
2 4x
− ≤ ≤
Đặt
2 2
( 2)(4 ) (0 3) 2 8t x x t x x t= + − ≤ ≤ ⇔ − + = −
Phương trình trở thành
2
2 8t t m= − −
2
( ) 2 8g t t t m⇔ = − − =
Phương trình có nghiệm khi
[ ]
[ ]
0;3
0;3
min ( ) m x ( )g t m a g t≤ ≤
Ta có:
'( ) 2 2g t t= −

'( ) 0 1g t t= ⇔ =
Vẽ bảng biến thiên ta có
[ ]
[ ]
0;3
0;3
min ( ) m x ( ) (1) (3) 9 5g t m a g t g m g m≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949