Tổ hợp và xác suất

Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I - LÝ THUYẾT
1) Qui tắc cộng và qui tắc nhân
: a) Qui tắc cộng
• Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn
đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào thì thì có
m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
• Dưới dạng tổng quát: Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, m
2
cách chọn đối
tượng x
2
m
n
cách chọn đối tượng x
n
và nếu cách chon đối tượng x
i
không
trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng x
j
nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 n) thì có m
1
+ m
2

+ + m
n
cách chọn một trong những đối tượng đã cho.
Ví dụ 1: có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. hỏi có bao nhiêu
cách chọn một trong các quyển đó.
Ví dụ 2: từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có các
chữ số khác nhau.
: b) Qui tắc nhân
Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô. Từ
tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng tàu hỏa, máy bay, ôtô. Muốn đi từ tỉnh A tới
tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh
C?
• Nếu có m cách chọn đối tượng x và với mỗi cách chọn đối tượng x có n
cách chọn đối tượng y thì ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y)
• Tổng quát: Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, với mỗi cách chọn đối tượng
x
1
có m
2
cách chọn đối tượng x
2
. Sau đó với mỗi cách chọn x
1
và x
2
như thế

có m
3
cách chọn đối tượng x
3
Cuối cùng với mỗi cách chọn x
1
, x
2
, x
3
, ,
x
n-1
có m
n
cách chọn x
n
, thì ta có m
1
m
2
m
n
cách chọn dãy x
1
, x
2
, , x
n
.

2) Hoán vị
a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần
tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
b) Số hoán vị của n phần tử.
Định lí: Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có:
P
n
= n(n-1)(n-2) 3.2.1 = n!
3) Chỉnh hợp
a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1≤k≤n) phần tử sắp thứ
tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử của A
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là
lẻ.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
1
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là
k
n
A
thì ta có:
)!kn(
!n
)1kn) (1n(nA
k
n
−
=+−−=

4) Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n)
phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho.
Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo.
Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?
b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là
k
n
C
thì ta có:
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì
hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?
c) Các hệ thức:
•
kn
n
k
n
CC
−
=

•
k
n
k
1n
1k
1n
CCC =+
−
−
−
• A
!k.C
k
n
k
n
=
5) Nhị thức newton
a) Công thức nhị thức newton:
nn
n
kknk
n
1n
1n
n0
n
n
bC baC baCaC)ba( +++++=+

−−
=
∑
=
−
n
0k
kknk
n
baC
b) Các tính chất:
• Số các số hạng của công thức là n + 1
• Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức n.
• Số hạng tổng quát có dạng:
kknk
n
baC
−
. Đây là số hạng thứ k + 1 trong
khai triển của nhị thức.
• Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng
nhau.
•
n
n
k
n
1
n
0

n
nn
C C CC)11(2 +++++=+=
•
n
n
nk
n
k1
n
0
n
n
C)1( C)1( CC)11(0 −++−++−=−=
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
2
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
c) Tam giác pascan
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP
1. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số.
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng
giữ thì giống nhau?
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5?
5. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, Từ thành phố A đến thành
phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành
phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B
với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đên thành phố D?

6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội
diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi
đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các
vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau.
7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau?
9. Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên
sao cho:
a) Chữ số đầu tiên là 3.
b) Các chữ số khác nhau.
c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2.
d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
10. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ
số, các chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Các số là số lẻ.
b) Các số đều chia hết cho 5.
c) Trong đó nhất thiết phải có số 5.
d) trong đó nhất thiết phải có số 0.
11. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần.
12. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó
có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
13. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
Hỏi trong đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu từ số 1.
b) Bắt đầu bởi 23
c) Không bắt đầu bởi 345
d) không nhỏ hơn 234.

Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
3
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
14. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a) Là số chẵn.
b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là 1.
15. (HVCNBCVT TPHCM - 98)Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể
thành lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số
đó có mặt chữ số 0 và 1.
16.Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt một lần.
17. (ĐHQGTPHCM - 99). Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
a) có bao nhiêu tập con X của A thỏa mãn điều kiện X chưa 1 và không
chứa 2.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ
tập A mà không bắt đầu từ 123.
18. (HVNH TPHCM - 99)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,
3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau.
b) Các chữ số được xếp tùy ý.
19. (ĐH KIẾN TRÚC - 98)
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4,. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn
có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số trên có mặt một lần.
20. HVQS - 2000
Một lớp học sinh có 20 em trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách thành lập đội gồm 4 em học sinh trong đó có:
a) Số nam và số nữ bằng nhau.
b) Ít nhất có một nữ.

21. ĐHQG TPHCM - 2000
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách
văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6
cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách
thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng.
(6048 cách)
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể
loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có tất cả
bao nhiêu cách.(579600 cách)
22. QGTPHCM - 98
Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một
đoàn đại biểu có 5 người ( gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên) đi dự
trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đoàn đại biểu nói trên.(15840
cách)
23. ĐH LUẬT - 99
Một đoàn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn
bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
4
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên 3 toa.(81 cách)
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị
khách nói trên.(24 cách)
24. ĐH HUẾ - 99
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó sắp xếp thứ tự
ngẫu nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành.(288 số)
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành.(312 số)

25. ĐHSP VINH - 99
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số nói trên có thể lập được bao nhiêu
số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.(1260 số)
26. ĐHQGHN - B - 2000
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác
nhau mà không chia hết cho 5. (96 số)
27. ĐH HUẾ - A - 2000
Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để
lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
a) Nếu phải có ít nhất là hai nữ.
b) Nếu phải chọn tùy ý,
28. ĐH HUẾ - D - 2000.
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta lập được:
a) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một.
(156 số)
b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng
đôi một.(36 số)
c) Có bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau
từng đôi một.(16 số)
29. ĐH Y HN - 2000
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Cần lập đoàn công
tác gồm 3 người cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu
cách?(90 cách)
30. ĐHTN - A - 2000
Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 5 người, sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó.(5400 cách)
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.(12900 cách)
31. ĐHTN - D - 2000
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong

đó có đủ mặt 3 chữ số trên.(150 số)
32. ĐHSP II - 2000
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các
chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.(10080 số)
33. HVKTQS - 2000
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
5
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở
địa điểm A, hai người ở địa điểm B, còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công.(1260 cách)
34. ĐHGTVT - 2000
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có hai cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu
cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó
có ít nhất một cán bộ lớp.(324 cách)
35. ĐHCS - 2000
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.(50.000 số)
36. ĐHQG TPHCM - A - 2000
a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số
đầu tiên là chữ số lẻ.(42.000 số)
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 3 chữ
số lẻ và 3 chữ số chẵn( Chữ số đầu tiên phải khác 0).(64.800 số)
37. ĐHQG TPHCM - A - 2001
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu
tiên phải khác 0), Trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1.
(33.600 số)
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng
chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn
lại có mặt không quá 1 lần.(11.340 số)
38. ĐH HUẾ - A - 2001

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, sao cho không có chữ số nào lặp lại
đúng 3 lần. (8.676 số)
39. ĐH HUẾ - D - 2001.
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham
dự lễ mít tinh tai trường với yêu cầu có cả nam lẫn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn.
40. ĐHKTQD - 2001
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà
mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải nhất thiết có mặt chữ số 5.
(1.560 số)
41. ĐH KIẾN TRÚC TPHCM - 2001
a) Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.(648 số)
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số
đôi một khác nhau?(3000 số)
42. ĐHNNI - B - 2001
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10
chữ số được chọn ra từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần,
các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.(544.320 số)
43. HVKTQS - 2001
Có 16 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh
đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi
tổ có ít nhất hai học sinh khá.(3.780 cách)
44. TSĐH - B - 2002
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
6
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
Cho đa giác đều A
1
, A

2
, , A
2n
(với n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn O.
Biết rằng tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, , A
2n
nhiều gấp 20
lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, , A
2n
. Tìm n?( n
= 8)
45. TSĐH - B - 2004.
Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề
kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có
đủ 3 loại câu hỏi trên(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON
1. Chứng minh rằng:
1k
1n
k
1n

k
n
kAAA
−
−−
+=
2. Chứng minh rằng:
n
kn
21n
kn
2n
kn
AkAA
+
+
+
+
+
=+
3. Khai triển:
15
15
2
210
532
xa xaxaa)xxx1( ++++=+++
a) Tính hệ số a
10
= ?

b) Tính tổng:
15210
a aaaT ++++=

1521o
a aaaS −−+−=
4. Khai triển:
100
100
2
21o
100
xa xaxaa)2x( ++++=−
a) Tính hệ số a
97
?
b) Tính T =
10021o
a aaa ++++
c) Tính S =
10021
a100 a2a +++
5. Khai triển:
20
20
2
2x1o
102
xa xaaa)x3x21( ++++=++
a) Tính hệ số a

4
?
b) Tính tổng:
20210
a aaaS ++++=
6. Khai triển:
2n
n2
2
2x1o
n2
xa xaaa)x3x21(
+
++++=−+
Tính tổng:
n2210
a aaaS ++++=
7. Khai triển:
3992
3992
2
2x1o
19962
xa xaaa)xx1( ++++=++
a) Tính tổng
3992210
a aaaS ++++=
b) Tính tổng
3992210
a aaaS +−+−=

c) Chứng minh rằng
3992
3992
2
2
10
a2 a2a2aS ++++=

2401.
8. ĐHTL - II - 2000
Cho đa thức: P(x) =
14109
)x1( )x1()x1( ++++++
. Có dạng khai triển là: P(x)
=
14
14
2
21o
xa xaxaa ++++
. Hãy tính hệ số a
9
.
9. Đa thức P(x) =
2032
)x1(20 )x1(3)x1(2)x1( ++++++++
được viết dưới
dạng: P(x) =
20
20

2
21o
xa xaxaa ++++
. Tìm a
15
?
10. Trong khai triển:
12
)
x
3
3
x
( −
. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
?
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
7
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
11. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức:
n
3
2
)
x
x
xx( +
bằng 36. Tìm số hạng thứ 7?
12. Hãy tìm trong khai triển nhị thức:

18
3
3
)
x
1
x( +
số hạng độc lập đối với
x?
13. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của:
12
)
x
1
x( +
14. Hãy tìm số hạng đứng giữa của các khai triển sau:
a)
313
)aba( +
b)
303
)aba( +
15. Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển:
6
)153( −
17. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
124
4
)53( +
18. Tính hệ số của

1025
yx
trong khai triển
153
)xyx( +
19. Xác định hệ số của x
n
trong khai triển:
2n2
)nx x2x1( ++++
20. Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển:
10
3
5
)x
x
1
( +
21. Tìm hạng tử là một số nguyên trong khai triển:
9
3
)23( +
22. Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho trong khai triển: (1 + x)
n
có hai hệ
số liên tiếp có tỉ số là
15
7
.
23. Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức (x + 2)

n
hạng tử thứ 11 là
số hạng có hệ số lớn nhất.
24. Tìm số nguyên dương n sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển:
6
n4
n 1
)
4
4
22(
−
−
+
là 240.
25. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:
n3
2
nx2
1
nx2






+
là
64. Tìm hạng tử không chứa x.

26. Cho biết ba hạng tử đầu tiên trong khai triển
n
4
x2
1
x






+
có các hệ số
là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữ tỉ của
khai triển đã cho.
27. Tìm số nguyên dương x, biết trong khai triển:
x
3
3
1
23






+
tỉ số của

hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối là
6
1
.
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
8
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
28. Tìm các giá trị thực của số thực x, sao cho trong khai triển của:
m
1x
x
2
1
2








+
−
tổng các hạng tử thứ 3 và 5 là 135 và tổng hệ số 3 hạng tử cuối
là 22.
29. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 3 của khai triển:
5xlg
)xx( +

là 1.000.000
30. Chứng minh rằng trong khai triển
n2
)1x](snxx)2s[( +−+−
hệ số của x
8
là
2s
n
C
−
31. Tìm hệ số của x
n-1
và x
n-2
trong khai triển:
)
2
1
x) (
2
1
x)(
2
1
x)(
2
1
x(P
n32

n
++++=
32. Xét khai triển:
m
5
3lg)2x()x310lg(
)22(
−−
+
Cho biết hạng tử thứ 6 là 21 và các hệ số thứ 2, 3 và 4 của khai triển là các số
hạng thứ 1, 3 và 5 của 1 cấp số cộng. Tìm x?
33. Tìm hệ số của x
m
trong khai triển:
n1kk
)x1( )x1()x1( ++++++
+
Xét các trường hợp m < k và m ≥ k
34. Khai triển:
12
)x21()x(P +=
thành dạng:
P(x) =
12
12
2
21o
xa xaxaa ++++
. Tìm max(
)a, ,a,a

121o
.
35. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
5
5
52
5
21
5
0
5
C2 C2C2C ++++
b) B =
n
n
2
n
1
n
0
n
C CCC ++++
c) C =
1n
n
n
n
2
n

3
n
1n
2
n
1
n
C
C
n
C
C
3
C
C
2C
−
++++
d) D =
n
n
4
n
4n2
n
2n0
n
n
C C2C2C2 ++++
−−

e) E =
n
n
5
n
5n3
n
3n1
n
1n
C C2C2C2 ++++
−−−
f) F =
n
n
n2
n
21
n
0
n
C2 C2C2C ++++
g) G =
n
n
nn4
n
32
n
21

n
C2)1( C2C2C21 −++−+−
h) H =
17
17
173
17
1432
n
1521
17
160
17
17
C4 C34C34C3.4C3 −+−+−
i) I =
n
n
n2
n
21
n
0
n
C3 C3C3C ++++
k) K =
n2
n2
4
n2

2
n2
0
n2
C CCC ++++
m) M =
11
11
8
11
7
11
6
11
C CCC +++
(ĐHQGHN - 97)
n) N =
n
n
n4
n
3
n
2
n
1
n
C.n.)1( C.4C3C.2C −++−+−
(ĐHBK - 99)
36. Chứng minh rằng:

a)
nn
n
n
n2
n
2
1
n
0
n
n
2C.
3
1
.)1( C.
3
1
C.
3
1
C[3 =−+++−
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
9
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
b)
n
n2
2n
n

21
n
20
n
C)C( )C()C( =+++
c)
0C.)1( CCCC
n
n
n3
n
2
n
1
n
0
n
=−++−+−
d)
n
n2
2n2
n2
22
n2
21
n2
20
n2
C)C( )C()C()C( −=+−+−

e)
1C.2 C.2.)1( C.2.)1(C.)1(
n
n
nk
n
kk1
n
1n0
n
n
=++−++−+−
−
f)
1n2n2
n2
4
n2
2
n2
0
n2
2C CCC
−
=++++
g)
n
n
n1
n

0
n
n
n
n1
n
1n0
n
n
C.2 C.2CC.)1( C.4C.4 +++=−++−
−
h)
=−+−+−−
−−−−− 1n
n
1n2
n
3n1
n
2n0
n
1n
C.)1( C.4).2n(C4).1n(C.4.n
=
n
n
1n2
n
1
n

C2.n C.2.2C
−
+++
i)
n2
n2
4
n2
2
n2
0
n2
C CCC ++++
=
1n2
n2
5
n2
3
n2
1
n2
C CCC
−
++++
k)
1n1n
n
1n
n

0
n
2.nC C)1n(nC
−−−
=++−+
m)
1n1n
n
1n
n
0
n
2).1n(nC.2 C).2n).(1n(C).1n.(n
−−−
−=++−−+−
n)
nn21n2
n2
1n23
n2
32
n2
21
n2
8110C.10 C.10C10C.101 =+−+−+−
−−
p)
0C)1( C)3n(C)2n(C)1n(nC
1n
n

1n3
n
2
n
1
n
0
n
=−++−−−+−−
−−
q)
1n
12
n1
C

21
C
11
C
C
1n
n
n
2
n
1
n
0
n

+
−
=
+
++
+
+
+
+
+
r)
1n
1
1n
C)1(
C
4
1
C
3
1
C
2
1
C
n
n
n
3
n

2
n
1
n
0
n
+
=
+
−
++−+−
37.
a) Tính:
∫
−
1
0
n2
dx)x1(x
b) Chứng minh:
)1n(2
1
C
2n2
)1(
C
6
1
C
4

1
C
2
1
n
n
n
2
n
1
n
0
n
+
=
+
−
+++−
38.
a) Tính: I =
∫
−
2
0
n
dx)x1(
b) Chứng minh:
])1(1[
1n
1

C2
1n
1
)1( C2
2
1
C2
nn
n
1nn1
n
20
n
−+
+
=
+
−++−
+
39. Chứng minh đẳng thức:
1n
13
C
1n
2
C
3
2
C
2

2
C2
1n
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
+
−
=
+
++++
++
40. Chứng minh đẳng thức:
1n
n
C
1n
)1(
C
3
1
C

2
1
n
n
1n
2
n
1
n
+
=
+
−
++−
+
41. ĐHTL - 99. Chứng minh rằng :
k
3n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
CCC3C3C
+
−−−
=+++

Tài liệu luyện thi đại học môn toán
10
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
42. ĐHQGHN - D - 99. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k, n thỏa mãn n ≥ k
≥ 2 ta có:
2k
2n
k
n
C)1n(nC)1k(k
−
−
−=−
43. Dùng đẳng thức:
nmnm
)x1()x1()x1(
+
+=++
Chứng minh:
k
nm
k
m
0
n
1
m
1k
n

0
m
k
n
CCC CCCC
+
−
=+++
44. Chứng minh rằng :
3k
3n
2k
2n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
CCCC4C5C2
+
+
+
+
+++
+=+++
45. ĐHSP TPHCM - 2000
a) Tính: I =

∫
+
1
0
n
dx)x1(
b) Tính tổng:
n
n
2
n
1
n
0
n
C
1n
1
C
3
1
C
2
1
CS
+
++++=
45. ĐHNNI - 99
a) Tính:
∫

−
2
0
19
dx)x1(x
b) Rút gọn tổng:
19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
C
21
1
C
20
1
C
4
1
C
3
1
C
2

1
S −+−+−=
46. ĐH Mở - 99. Cho n là số tự nhiên lơn hơn 2.
a) Tính tích phân: I =
∫
+
1
0
n32
dx)x1(x
b) Chứng minh:
)1n(3
12
C
3n3
1
C
9
1
C
6
1
C
3
1
1n
n
n
2
n

1
n
0
n
+
−
=
+
++++
+
47. TSĐH - A - 2002. Cho khai triển:
n
3
x
n
n
3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3

x
2
1x
2C 22C2C22








++
















+









=








+
−−
−
−−
−
−
Biết rằng trong khai triển đó
1
n
3
n
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, Tìm n và x.

48. TSĐH - A - 2004. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của:
[ ]
8
2
)x1(x1
−+
49. TSĐH - A - 2003. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức newton của
.x
x
1
n
5
3






+
Biết rằng:
)3n(7CC
n
3n
1n
4n
+=−
+

+
+
(x, n ∈ N*)
50. TSĐH - B - 2003. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
12
C
3
12
C
2
12
C
+
−
++
−
+

−
+
+
51. Tìm số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức:
1k
14
2k
14
k
14
C2CC
++
=+
52. Tìm số x nguyên dương thỏa mãn phương trình:
x14x9C6C6C
23
x
2
x
1
x
−=++
53. Giải phương trình:
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
11
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
a)
2
x2
2

x
A50A2 =+
b)
x
2
7
CCC
3
x
2
x
1
x
=++
c)
5n
5
n3n
PA720P
−+
=
d)
1023C CCC
10x
x
3x
x
2x
x
1x

x
=++++
−−−−
e)
72
P
PA
1x
yx
1y
1x
=
−
−
+
+
f)
n20A
3
n
=
g)
)15n(2A5A
2
n
3
n
+=+
h)
3

6x
3x
8x
A5C
+
+
+
=
(với x ∈
+
Z
)
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
12