Bài tập về luỹ thừa

LŨY THỪA

BÀI 1

I.

KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

 Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a   và n   * . Khi đó a n  a.a.a....a (n thừa số a).
 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0.
1
Cho a   \ 0 và n   * . Ta có: a  n  n ; a 0  1 .
a
n

0
 Chú ý: 0 và 0  n    khơng có nghĩa.
2. Căn bậc n






Cho số thực b và số nguyên dương n  2 .
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b .
Khi n lẻ, b   : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b .
Khi n chẵn và b  0 thì khơng tồn tại căn bậc n của số b.

Khi n chẵn và b  0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là n 0  0 .
Khi n chẵn và b  0 có 2 căn bậc n của số thực b là n b và  n b .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực a  0 và số hữu tỷ r 

m
m
, trong đó m  ; n  ; n  2 . Khi đó a r  a n  n a m .
n

4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ

Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và  rn  là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn   .
n 
Khi đó lim a rn  a .
n 

II.

TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
1. Một số tính chất của lũy thừa

Cho hai số dương a và b và  ,    . Khi đó ta có các cơng thức sau:
a  a   a  

a
 a  
a

 

a 



 a . 



 ab 

 a  b

a
a

 
b
b

 Tính chất 1. a 0  1 a  0  và a1  a .
 Tính chất 2. (Tính đồng biến, nghịch biến)
 Nếu a  1 thì a  a      ;
 Nếu 0  a  1 thì a  a      .
“Nếu hơm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt

a

 
b





b
 
a


 Tính chất 3. (So sánh lũy thừa khác cơ số)
am  bm  m  0
Với 0  a  b , ta có:  m
.
m
a  b  m  0





Chú ý
Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.

2. Một số tính chất của căn bậc n

 Với a, b  ; n  * , ta có:
●

 Với a, b  , ta có:
 Đặc biệt:

n

2n

a 2 n  a a ;

p q
thì

n m

n

●

2 n 1

a 2 n 1  aa .

a p  m a q , a  0, m, n nguyên dương, p, q nguyên.

a  m n a m .

1

RÚT GỌN BIỂU THỨC

PHƯƠNG PHÁP
Cách 1. Dùng các tính chất của lũy thừa và căn bậc n .
Cách 2. Dùng máy tính Nhập biểu thức cần rút gọn vào máy tính. CALC a = 10; b = 100. Ta thu được

kết quả (1). Sau đó ta bấm từng đáp án. Xem đáp án nào ra Kết quả (1) thì chọn đáp án đó!
 Chú ý: Bản chất là gán giá trị vào biểu thức, nếu thực sự là biểu thức rút gọn thì khi thay giá trị
đó vào, kết quả phải giống nhau.

Ví dụ 1. Cho biểu thức P 

x. 3 x 2 . x 3 , với x  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

13

Ví dụ 2. Biết rằng

B. P  x 24 .

13

C. P  x 6 .

D. P  x 8 .

x . 3 x 2 . x  x n với x  0 . Tìm n.

A. n  2 .

Ví dụ 3. Cho biểu thức P 

A. k  6 .

13

13

A. P  x 12 .

B. n 
3

2 k

2
.
3

C. n 

4
.
3

D. n  3 .
23
24

3

x. x . x , với x  0 . Biết rằng P  x , giá trị của k bằng:
B. k  2 .

C. k  3 .

D. k  4 .

“Nếu hơm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt




a 2 3 . a1
Ví dụ 4. Cho biểu thức P 

a1

A. P  a 3 .

3

1 3



, với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

3

B. P 

1
.
a

C. P  a .

D. P 

1
a

3

.

m

a 4 b a a
.
   với a; b  0 . Tìm m.
Ví dụ 5. Cho biểu thức P 
b a b b
3

A. m 

7

.
24

B. m 
7

6

A. Q  a .

C. m  

7
.
12

D. m  

7
.
24

1

a 6 .b 3

Ví dụ 6. Cho biểu thức với Q 

7
.

12

a; b  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

ab2

B. Q 

a
.
b

C. Q  ab .

D. Q  a b .

2

Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức T 

a 2 .  a 2 .b3  .b1
3

 a .b  .a
1

A. T  a 4 .b 6 .

5

.b 2

với a, b là hai số thực dương.

B. T  a 6 .b 6 .
3

x

x

3

x. 4

Ví dụ 8. Cho x, y  0 . Biết rằng

A. 0.

 x m và y 2 . y. 3

B. 2.



 .5  2 6 

B. P  5  2 6 .



A. 21009 .

Ví dụ 11.Rút gọn biểu thức Q 



B. 3  2 2 .21009 .

bằng

2 4



D. P  10  4 6 .

2018

bằng





C. 3  2 2 .21009 .



Ví dụ 12.Đơn giản biểu thức T 

B. Q  2 x .

C. Q  2 .

D. Q  2 .

a b
a  4 ab

ta được:
4
a4b 4a4b
B. T  4 b .

C. T  4 a  4 b .



D. 3  2 2 .

1  x 1  x 1
x  1  x 1 
. 

 với x  1 ta được
x  x  1  x 1
x  1  x  1 

A. Q  1 .

A. T  4 a .

 .3

D. 2.

2019

C. P  10  4 6 .

2019



Ví dụ 10.Giá trị của biểu thức M  3  2 2

D. T  a 6 .b 4 .

1
 y n . Tính m  n .
y2

C. 1.
2018

Ví dụ 9. Giá trị của biểu thức P  5  2 6

A. P  5  2 6 .

C. T  a 4 .b 4 .

D. T   4 b

“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt


2

SO SÁNH HAI SỐ

PHƯƠNG PHÁP
 Nếu cho hai số cụ thể: Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
am  bm  m  0
 Với 0  a  b , ta có:  m
.
m
a  b  m  0

 Nếu a  1 thì a  a      ;
Nếu 0  a  1 thì a  a      .
 Chú ý
 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
 Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.
Ví dụ 13.Nếu a

3

7

a

thì:

A. a  1 .

B. 0  a  1 .
m

C. a  2 .

D. 1  a  2 .

C. m  n .

D. Không so sánh được.

C. m  n .

D. Không so sánh được.

n

 3
 3
  
 thì:
 2 
 2 

A. m  n .
B. m  n .

Ví dụ 14.Nếu 


Ví dụ 15.Nếu



m

 

5 1



n

5 1

A. m  n .

thì:
B. m  n .

Ví dụ 16.Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A.  0,1

 2

 10 

 2

B.  0,1

.

 2

Ví dụ 17.Với giá trị nào của x thì đẳng thức

 10 



2
3

  a  1

A. a  1 .



1
3

 10 

 2

.

D. a 0  1, a  0 .

2017

x 2017  x đúng?
B. x   .
D. Không có giá trị x nào.

thì:
B. 0  a  1 .

Ví dụ 20.Kết luận nào đúng về số thực a nếu  2a  1

 1
 a0
A.  2
.

a


1


2

x 2020  x đúng?
B. x  0 .
D. x  0 .

A. x  0 .
C. x  0 .
Ví dụ 19.Nếu  a  1

. C.  0,1

2020

A. Khơng có giá trị x nào.
C. x  0 .
Ví dụ 18.Với giá trị nào của x thì đẳng thức

 2

B. 

1
a0.
2

C. a  2 .
3

D. 1  a  2 .

1

  2a  1 .

0  a  1
C. 
.
 a  1

D. a  1 .

“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt


2

Câu 1.

Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
5

7

A. a 6 .
Câu 2.

4

B. a 6 .

D. a 7 .

Viết biểu thức P  x5 . 3 x 2 . 5 x3  x  0  dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
61

117

A. P  x 30 .
Câu 3.

6

C. a 3 .

113

B. P  x 30 .

Cho a là số thực dương. Biểu thức
3

4 3

D. P  x 30 .

a8 được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

2

A. a 2 .

83

C. P  x 30 .

3

B. a 3 .

4

C. a 4 .

D. a 3 .

3 4

Câu 4.

a 
Cho 0  a  1 . Rút gọn P 
2

a .a

.

3
2

17

A. P  a 9 .

23

B. P  a 2 .

7

C. P  a 2 .

D. P  a 2 .

9

Câu 5.

Với x  0 , hãy rút gọn biểu thức P  x x x x x : x16 .
5

13

A. P  x 32 .
Câu 6.

Biết

xa

9

B. P  x 32 .

1

C. P  x 48 .

D. P  x 32 .

2

b2

 x16 với x  1 và a  b  2 . Tính giá trị của biểu thức M  a  b .

x
A. M  18 .

B. M  14 .

D. M  6 .

C. M  8

2

Câu 7.

Cho a, b  0 , viết a 3 . a về dạng a x và
A. T  17 .

Câu 8.

Câu 9.

b b b về dạng b y . Tính T  6 x  12 y .

B. T 

7
.
12



 3  3 

C. T  14 .

2016

Giá trị của biểu thức P  1  3
A. 121008 .

3

D. T 

7
.
6

2016

bằng



B. 41008 .

1008

C. 1  3



.

1008



D. 3  3



.

5

Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức P  a 4 a 3 a a .
1

1

A. P  a 14 .

Câu 10. Viết biểu thức A  a a a : a
21
44

A. A  a .

11

B. P  a 120 .
11
6

B. A  a

C. P  a 40 .

13

D. P  a 60 .

với a  0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?


1
12

23

.

C. A  a 24 .

D. A  a

“Nếu hơm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt



23
24

.


7
6

Câu 11. Cho a, b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức T 

A. T 

a
.
b2

A. P  a 5 .

a



a

7 1

.a 2



2 2

2
3

.

ab2
b

C. T  .
a

B. T  ab .

Câu 12. Với a  0 thì biểu thức P 

a .b



6

a
.
b

D. T 

7

được rút gọn là

2 2

B. P  a 4 .

C. P  a 3 .

D. P  a .

4

4

Câu 13. Cho x  0, y  0 . Viết biểu thức x 5 . 6 x5 x  x m và y 5 : 6 y 5 y  y n . Tính m  n .

A.

11
.
6

8
B.  .
5



Câu 14. Giá trị của biểu thức P  3  3 8



A. 3  3 8

1009



2018

 13  3 8 
3

2

Câu 16. Đơn giản biểu thức


y y
 
 1  2
x x 

B. 2x

11
.
6

D.

8
.
5

2018



B. 192018 .

.

1
 1

Câu 15. Cho K   x 2  y 2 


A. x

C. 

C. 13  3 3 8

1009





D. 16  2 3 8

.



2018

.

1

với x  0, y  0 . Biểu thức rút gọn của K là?
C. x  1

D. x  1

C. 9a 2b .

D. 3a 2 b .

C. P  a10

D. P  a 2

81a 4b 2 , ta được:

A. 9a 2 b .

B. 9a 2 b .
2

Câu 17. Rút gọn biểu thức P 

A. P  a 2b 2

ab 2  ab1  a 1b 2
a 2b  a 2b 1 

3

B. P  a 2b10

.



1

2

 

2

1

2

4



Câu 18. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức P   a 3  b 3    a 3  a 3 .b 3  b 3  được kết



quả là

A. a  b .

B. a  b 2 .

 



D. a 3  b3 .

C. b  a .
1

1

a3 b  b3 a 3
 ab là
Câu 19. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức P 
6
a6b
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 20. Rút gọn biểu thức P 

a  8b
2
3

3

a  2 ab  4b

2
3

.
1

A. P  1 .

B. P  a  b .

C. P  3 a  2 3 b .

1

D. P  a 3  b 3 .

“Nếu hơm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt


Câu 21. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức P 

A.

4

b.

B.

Câu 22. Viết biểu thức

A.

5

A. 

B.

13
.
6

Câu 24. Viết biểu thức

A.

2017
567

a4b.

C. b  a .

D.

4

a.

m

b3a
,  a, b  0  về dạng lũy thừa
a b

2
.
15

Câu 23. Viết biểu thức

4

4

a b
a  4 ab

được kết quả là
a4b 4a4b

a
  ta được m  ?
b

2
2
C. .
D.
.
5
15

4
.
15

23 4
về dạng lũy thừa 2m ta được m  ?
160,75
13
5
B.
.
C. .
6
6

5
D.  .
6

2 2
2 8
về dạng 2 x và biểu thức 3

về dạng 2 y . Ta có x 2  y 2  ?
4
8
4
11
53
2017
B.
C.
D.
6
24
576

Câu 25. Cho hai số thực dương a và b . Biểu thức

5

a3b a
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
b a b

hữu tỉ là
7

31

 a  30
A.   .
b

Câu 26. Đơn giản biểu thức

A. x 2  x  1 .

30

 a  30
B.   .
b
4

1

 a  31
C.   .
b

 a 6
D.   .
b

C. x 2  x  1 .

D. Cả A, B, C đều sai.

4

x8  x  1 , ta được:
B.  x 2  x  1 .

Câu 27. Cho x là số thực dương. Biểu thức

x x x x x x x x

được viết dưới dạng lũy thừa với

số mũ hữu tỉ là:
256

A. x 255 .

255

B. x 256 .

127

128

C. x 128 .

D. x 127 .





1
1
1



2
2
2
a

2
a

2
a
1


, (a  0, a  1), có dạng
Câu 28. Biểu thức thu gọn của biểu thức P  
1
1


a 1
2
2
a
 a  2a  1

m
P
 Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là

an
A. m  3n  1 .
B. m  n  2 .
C. m  n  0 .
D. 2m  n  5 .

Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng?
1

A. a 0  1, a .

B. a 2  1  a  1 .

C. 2 3  3 2 .

2

1
1
D.      .
4
4

“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”
Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt


Câu 30. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A.  0,1

 2

 10 





 2

.

B.  0,1

 2

 10 

. C.  0,1

2

 10 

 2

.

D. a 0  1, a  0 .

a 2

Câu 31. Nếu 2 3  1

 2 3  1 thì?

A. a  1 .

B. a  1 .

C. a  1 .

Câu 32. Với giá trị nào của x thì đẳng thức

Câu 33. Với giá trị nào của x thì đẳng thức

D. a  1 .

2016

x 2016  x đúng?
B. x  0 .
D. x  0 .

2017

x 2017  x đúng?
B. x   .
D. Khơng có giá trị x nào.

A. Khơng có giá trị x nào.
C. x  0 .

A. x  0 .
C. x  0 .
1

 2

1

 b 3 thì?
A. a  1;0  b  1 .
B. a  1; b  1 .

Câu 34. Nếu a 2  a 6 và b

2

C. 0  a  1; b  1 .

D. a  1;0  b  1 .

C. m  n .

D. Không so sánh được.

C. m  n .

D. Không so sánh được.

C. 0  a  1 .

D. 1  a  2 .

Câu 35. So sánh hai số m và n nếu 3, 2m  3, 2n thì:

A. m  n .

B. m  n .
m

n

 3
 3
Câu 36. So sánh hai số m và n nếu 
 
 .
 2 
 2 
A. m  n .
B. m  n .
Câu 37. Kết luận nào đúng về số thực a nếu a

A. a  1 .



1
17

a .



2
3

B. 

x 5





B. x 

1
.
2

1

C. a  1 .
3

1

a0.
2

Câu 40. Với giá trị nào của x thì x 2  4

1
A. x   .
2



  a  1 3 .

B. a  0 .

Câu 39. Kết luận nào đúng về số thực a nếu  2a  1

 1
 a0
A.  2
.

 a  1

1
8

B. a  1 .

Câu 38. Kết luận nào đúng về số thực a nếu  a  1

A. a  2 .



  x2  4

D. 1  a  2 .

1

  2a  1 .

0  a  1
C. 
.
 a  1
5 x 3

D. a  1 .

?

1
C. x   .
2

D. x 

“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ”

Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt

1
.
2