TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM
CHUNG
CHỨNG MINH RẰNG MỘT TRONG 2 PT CÓ NGHIỆM
A) Tìm ĐK của tham số để PT bậc 2 có nghiệm chung:
I) Phương pháp giải :
Giả sử x
0
là nghiệm chung của 2 PT. Thay x =x
0


vào

2 PT ta được hệ với ẩn là các tham
số.
- Giải hệ tìm tham số.
- Thử lại với tham số vừa tìm, 2 PT có nghiệm chung hay không.
II) Bài tập :
Bài 1: Cho 2 PT: x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ ax + 1 = 0.
a) Xác định a để 2 PT trên có nghiệm chung.
b) Xác định a để 2 PT tương đương.
Giải
a) Giả sử x
0
là nghiệm chung của 2 PT đã cho, ta có hệ:






=++
=++
01
0
0
2
0
0
2
0
axx
axx

Trừ từng vế 2 PT tacó:
x
0
(1 – a) + a – 1 = 0
⇔
(1 – a) (x
0
– 1) =0
⇔



=
=

1
1`
0
x
a
Với a = 1 ta có PT: x
2
+ x + 1 = 0 vô nghiệm.
Với x
0
= 1, thay vào PT (1) ta được a = -2. Ngược lại với a = -2 thì PT x
2
+ x – 2 = 0
có nghiệm x
1
= 1, x
2
= -2 và PT x
2
– 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = 1.
Vậy với a = -2 thì 2 PT đã cho có nghiệm chung x = 1.
b) Hai PT tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm. Nếu chúng có nghiệm
chung thì theo câu a) 2 PT có tập nghiệm khác nhau.
Vậy để 2 PT tương đương thì chúng phải cùng vô nghiệm. Tức là:




<−=∆
<−=∆

04
041
2
2
1
a
a

⇔
2
4
1
<<
a
Bài 2:Tìm m để 2 PT sau có nghiệm chung:
2x
2
– (3a + 2)x + 12 = 0
4x
2
– (9a – 2)x + 36 = 0
Bài 3: Xác định m để 2 PT sau có nghiệm chung:
x
2
+ mx + 2 =0 và x
2
+ 2x + m = 0
Bài 4: CMR nếu 2 PT sau : x
2
+ax + b = 0 và x

2
+ cx + d = 0, có nghiệm chung thì :
(b – d)
2
+ (a –c) (ad – bc) = 0
Gợi ý: Giá sử x
0
là nghiệm chung, ta có:
x
0
2
+ ax
x

+ b = 0 và x
0
2
+ cx
0
+ d = 0. Tìm x
0
và x
0
2
rồi so sánh
Bài 5: Với giá trị nào của m thì 2 PT sau có nghiệm chung:
2x
2
+ (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x
2

– (2m – 3)x -1 = 0.
B) CMR một trong 2 PT có nghiệm:
I. Lí thuyết: Cho 2 số A + B
≥
0 thì ít nhất một trong 2 số A, B
≥
0.
Khi cho một trong 2 PT bậc 2 có nghiệm thì:
Tính
21
∆+∆
rồi chứng minh:
0
21
≥∆+∆
Hoặc tính
21
'
∆+∆
rồi chứng minh:
0'
21
≥∆+∆
Hoặc tính
21
'
∆+∆
rồi chứng minh:
0'
21

≥∆+∆
Hoặc tính
21
''
∆+∆
rồi chứng minh:
0''
21
≥∆+∆
Tuỳ từng bài áp dụng một trong 4 hệ thức trên.
II.Bài tập:
Bài 1:
Cho PT: x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
CMR: nếu ta có bm = 2 (c + n) thì ít nhất một trong 2 PT trên có nghiệm
Giải:
Δ
1
= b
2
– 4 c
Δ
2
= m
2
– 4n
Δ

1
+ Δ
2
= b
2
+ m
2
– 4 (c + n)
= b
2
+ m
2
– 2 bm ( Vì bm = 2 (c + n) )
= (b – m)
2

≥
0
Δ
1
+ Δ
2

≥
0, nên ít nh ất m ột trong hai biệt số Δ
1
, Δ
2

≥

0.
Chứng tỏ rằng một trong hai PT có nghiệm.
B ài 2:
Cho PT : x
2
+ 4mx + 4 = 0 v à x
2
+ (m – 2)x + m
2
– 1 = 0.
CMR một trong hai PT có nghiệm
B ài 3:
Cho 2 số b v à c sao cho
2
111
=+
cb
( b, c ≠ 0)
CMR ít nhất một trong hai PT sau có nghiệm:
x
2
+ bx + c = 0 v à x
2
+ cx + b = 0
B ài 4:
Cho ac ≥ 2 (b + d). CMR có ít nhất một trong hai PT x
2
+ ax + b = 0 v à x
2
+ cx + d = 0

có nghiệm