CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTƠN

Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Nhị thức newton và ứng dụng
I Nhị thức newton
1 Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n 1
b + c
2
n
c
1
n 2
b
2
+ + c
n
n-1
ab
n 1
+ c

n
n
b
n
(*)
kkn
n
nk
k
n
baC

=

=
2 Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức
ở vế trái.
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:
C
0
n;
C
1
n
; C
2
n
; C

n-1
n
; C
n
n
;
Với chú ý: C
k
n
= C
n
n
k
0 < k < n.
3 Một số dạng đặc biệt:
+ Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ + C

n-1
n
x
n-1
+ C
n
n
x
n
+ Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta đợc (2)
(1 - x)
n
= C
0
n
- C
2
n
x+ C
2
n
x
2
+ (-1)
k
C
k
n
x
k

+ + (-1)
n
C
n
n
x
n
(3)
4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta đợc
C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
+ Thay x = -1 vào (3) ta đợc:
C
0
n
- C
1

n
x + C
2
n
- + (-1)
n
C
n
n
= 0
A - áp dụng
I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó:
Bài 1: Thực hiện khai triển:
Chuyờn Nh Thc Niutow 1
1
1

+
=
k
n
k
n
C
k
kn
C
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
(3x 4)
5

CT: Ta có (3x 4)
5

kk
k
k
xC )4.()3(
5
5
0
5
=

=

= 3
5
. C
0
5
. x
5
+ 4.3
4
C
1
5
x
4
+ + 4

5
C
5
5
Trong khai triển đó
+ Có 6 số hạng.
+ Các hệ số có tính đối xứng nhau
+ Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số
C
0
5
= 1 C
1
5
= 5 C
2
5
= 10
Vậy (3x 4)
5
= 243x
5
1620 x
4
+ 4320 x
3
5760 x
2
+ 3840 x 1024
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a: S
1
= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C
6
6
b: S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
C
2
5
+ +2
5
C

5
5
c: S
3
= 3
17
. C
0
17
4
1
. 3
16
. C
1
17
+ 4
2
. 3
15
. C
2
17
4
3
.3
14
. C
3
7

+ -4
17
.C
17
17
d: S
4
= C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C
10
11
+ C
11
11
e:
0
1
2001
2002

2001
20022002
2000
2001
1
2002
2001
2002
0
20024
CCCCCCCCS
k
k
k
+++++=


Giải:a ta có
S
1
= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C

6
6
= (1 + 1)
6
= 2
6
= 64
b:Ta có (1 + x)
5
k
k
k
xC

=
=
5
0
5
(1)
Thay x = 2 vào (1) ta đợc:
S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2

2
. C
2
5
+ +2
5
C
5
5
= 3
5
= 243
c:Ta có:
S
3
= 3
17
. C
0
17
4
1
. 3
16
. C
1
17
+ 4
2
. 3

15
. C
2
17
4
3
.3
14
. C
3
7
+ -4
17
.C
17
17
= C
0
17
.3
17
+ C117.3
16
(-4)
1
+ C
2
17
3
15

(-4)
2
+ C
3
17
3
14
(-4) + + C
17
17

(-14)
17
= (3 4)
17
= (3 4)
17
= -1
d: Ta có (1 + 1)
11
= C
0
11
+ C
1
11
+ C
2
11
+ + C

6
11
+ C
2
11
+ + C
11
11
Mặt khác C
k
11
= C
11
11-k
với k

(0,1,2, 11)
Do vậy: (1 + 1)
11
= 2 (C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9

11
+ C
10
11
+ C
11
11
) = 2S
4
S
4
= 2
10
Chuyờn Nh Thc Niutow 2
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
e: Ta có
k
k
k
k
C
kk
k
k
kk
CC
2001
2001
20022002
2002

)!2001(!
!2002!2002
)!2001(
)!2002(
.
)!2002(!
!2002

=

=



=


Từ đó: S
5
= 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001
)11(2002) +=+++ CCC
Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho:
C
o

n
+ 2 C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + 2
n
C
n
n
= 243 (1)
Giải: Ta có
C
o
n
+ 2 C
1
n
+ 2 C
2
n
+ + 2
n
C
n
n
= (1 + 2)
n

= 3
n
Vậy (1) 3
n
= 243 = 3
5
n = 5
Bài tập tơng tự
Bài 4: Viết khai triển (3x 1)
16
và chứng minh rằng
3
16
. C
o
16
3
15
C
1
16
+ + C
16
16
= 2
16
.
Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:
a: S
1

= 2
n
C
0
n
+ 2
n-2
C
2
n
+ 2
n-4
C
4
n
+ + C
n
n
b: S
2
= 2
n-1
C
1
n
+ 2
n-3
C
3
n

+ 2
n-5
C
5
n
+ +C
n
n
c: S
3
= C
6
10
C
7
10
+ C
8
10
+ C
9
10
+ C
10
10
Bài 6: Tính tổng
S =
2000
2000
2

2000
1
2000
0
2000
2001 3. CCCC ++++
II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển
Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lu ý:
1 Ta có: (a + b)
n
=
Do đó hệ số của số hạng thứ i là C
i
n
, và số hạng thứ i: C
i
n
a
n-i
b
i
2 Ta có
Do đó: Hệ số x
k
trong khai triển trên là C
i
n
với i là nghiệm của phơng trình ( n
i) + i = k
Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x.

Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức.
Chuyờn Nh Thc Niutow 3
iin
n
n
i
baC

=

1
0

=
+

=
==+
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
n
n
xCxxCbx

0
)(
0
)()()(

( )

=

=+=








+
n
i
ni
n
n
xxCxx
x
x
xx
0
3/212/53/22/52

)()(
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là:
Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x biết.
C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79
Giải: + Xét PT: C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79 (1)
Ta có PT (1)
(do n N)
Khi đó:
Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển.

T/m
Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C
5
12
Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT
Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của
khai triển đó đã cho.
Giải: Ta có:
Ta có ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là:
c
0
n
; c
1
n
2
-1
; c
2
n
2
-2
;
Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
C
0
n
+ C
2
n

2
-2
= 2C
1
n
2
-1

Chuyờn Nh Thc Niutow 4
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=
=
==

=
n
nn
nn
n
n
C
n
2/763/232/56

9
84)()( xxxC
=

( )
n
xxx
15/283
+
12
015679
2
)1(
1
2
=
=+=

++
n
nn
nn
n

=

=+
12
0
5/28123/41215/28

3
)()()
k
kkk
n
xxCxxx
15
28
3
)12(4
12
0
12
kk
C
k
k


=

=
50
15
28
3
)12(4
==

k

kk
n
x
x )
2
1
(
4
+
nknk
n
n
k
nn
xxCxx
x
x )2()()2()
2
1
(
4/112/1
0
4/112/1
4

=


=+=+
4

32
0
2
kn
k
n
k
x
=

=

=
089
8
)1(
1
2
=+=

+ nnn
nn



=
=

8
1

n
n
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ
b) n = 8 ta đợc:
Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8

Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C
o
8
2
0
x
4
= x
4
k = 4 hạng tử hữu tỷ: C
4
8
2
-4

Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x)
n
CT: Ta có (1 + x)
n
=
- Các hệ số trong khai triển là:
C
o

n
; C
1
n
; C
n
n.
Ta có n, k nguyên, không âm và k < n ta có:
&
Ta có:

Tức là: C
k
n
tăng khi k tăng và
C
k
n
giảm khi k giảm và
Vậy n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại
Với n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2
Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)
n
biết rằng tổng các hệ

số bằng 4096
CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
bằng:
C
o
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
= 4096 n = 12
Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
C
o
12
; C
1
12
; , C
12
12
Chuyờn Nh Thc Niutow 5

4
316
8
8
0
8
4
2
1
k
kk
k
xcc
x
x


=

=








+
16 3k = 4i; i N

0 < k < 8



=
=
4
0
k
k
xx
8
35
=
kk
n
n
k
xC

=0
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=

1)1()!1(
!
1
+
=

knk
n
C
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
<>
=
><


n
k
k
n
C
C

CC
k
n
k
n
k
n
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
><
=
<>


n
k
k
n
C
C
CC
k

n
k
n
k
n
k
n
2
1+
<
n
k
2
1+
>
n
k
2
1+
=
n
k

+
4
2
1
x
x
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Thực hiện so sánh C
k
12
và C
12

k-1
bằng cách xét;
(1)
Từ (1) suy ra
Vậy C
k
12
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C
6
n
= 924
Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.
Giải: Ta có gọi t
k
là số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
Ta có =

=
8
0K
Xét (1)
Từ (1) suy ra:
t
k 1
< t
k

t
k 1
> t
k
Tức là: Khi k chạy từ 0 dến 8 thì:
t
k
tăng khi k tăng và k < 6
t
k
giảm khi k tăng và k > 6
Vậy t
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng
Ví dụ 7: Khai triển đa thức . P
x
= ( 1 + 2x)
12
Chuyờn Nh Thc Niutow 6
1

1313
)!13()!1(
!12
)!12(!
!12
1
12
12
=

=


=

kk
k
kk
kk
C
C
k
k
2
13
1
1
12
12
12

1
12
<><


k
C
C
CC
k
k
kk
2
13
11
2
13
1
1
12
12
12
1
12
><<<>


kk
C
C

CC
k
k
kk
8
3
2
3
1






+
8
3
2
3
1






+
k
k

C
C
t
t
kk
k
kk
k
k
k
)9(2
3
2
3
1
3
2
3
1
19
1
8
8
8
1

=

=




61
)9(2
1
1

<>

>

k
k
k
t
t
k
k
61
)9(2
1
1
<<

<

k
k
k
t
t
k
k
2187
1792
3
2

3
1
62
6
8
=












C
hk
k
C

3
2
3
1
8
8
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Thành dạng P
(x)
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
20
x
10
Max (a
1
a
2

a
12
)
Giải: Ta có (1 + 2x)
12
=
Suy ra : a
k
= C
k
12
2
k
với k = 1,12
Xét (1)
Từ (1), suy ra:
a
k + 1
< a
k

a
k + 1
> a
k

Vậy a
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C
8

12
. 8
8
= 126720
VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
Giải: Ta có
Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2)
n
. Xét
khai triển (x+2)
n
=
Hạng tử thứ 9 có h.s là C
8
n
2
8
lớn nhất trong các hệ số

VD9: Cho khai triển
1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển
bằng . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức trên.
2 Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Tìm n.
Chuyờn Nh Thc Niutow 7
kkk
k
kk
k
xCxC 2)2(
12

12
0
12
12
0

==
=
)12(2
1
)!11(!)1(
!122
)!12(!
!12
2
2
11
12
1
k
k
kk
kk
C
C
a
a
kk
n
kk

k
k

+
=
+


==
++
+
3
23
1
)12(2
1
1
1
>>

+
>
+
k
k
k
a
a
k
k

3
23
1
)12(2
1
1
1
<<

+
<
+
k
k
k
a
a
k
k
nn
x
n
x
)2(
5
1
)
5
2
5

( +=+
n5
1
knkk
n
n
k
xC

=

2
0
12
2
25
11
2
1
2
2
1
2
22
22
78
98
7
8
9

8
7788
9988
=





>
>















>
>

>

>
nn
CC
CC
C
C
C
C
CC
CC
nn
nn
n
n
n
n
nn
nn
n
x)
3
2
2
1
( +
n
2
1285
n
x

)
5
2
5
( +
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Giải: Ta có
Theo gt

(thoả mãn) hoặc n = -26,75 (l)
Vậy n = 7 ta có khai triển :
HST9:
Lập tỉ số:
Do đó (a
k
) tăng khi 0 < k < 15 => (a
k
) max = a
15
Do đó (a
k
) giảm khi 16 < k < 27 => (a
k
) max = a
16
Mà
Nên (a
k
) max = a
15

= C
27
2
3
. 3
-15
.
2) Kết quả: n {17, 18, 19 }làm tơng tự VD8
VD10: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khi khai triển.
Giải: ta có
Để hạng tử là số nguyên thì
Vậy các hạng tử là số nguyên là C
3
19
3
8
2; C
9
19
3
5
2
3
; C
15
19
3
2
2
5

VD11: Biết rằng trong khai triển (x - )
n
= C
0
n
x
4
C
1
n
x
n-1
+ C
2
n
x
n-2

Hệ số của hạng tử thứ ba - (1)
n
C
n
n
( )
n
Trong KT trên là : C
2
n
= 5
Chuyờn Nh Thc Niutow 8

27
0115564161285
9
)1(16
3
4
1
2
1285
9
4
2
1
2
3
2
2
1
2
1
)
3
9
(
9
4
2
1
3
2

2
1
2
1
)
3
2
2
1
(
2
2
2
1
10
2
2
2
1
10
=
===

++
=+++
+++++=+


n
nn

nn
CCC
xCxCxCCx
nn
n
n
n
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
kkkk
k
xCx )
3
2
()
2
1
()
3
2
2

1
(
27
27
27
0
27
=

=+
)270(32)
3
2
()
2
1
(
272
27
27
27
==

kCCa
kkkkkk
k
1501
1
27
5

4
32
3.2
.
272
27
)1(27)1(2
1
27
1

+

==

++

+
k
k
k
C
C
a
a
kkk
kk
k
k
k

1516
15
16
1
16
1517
4
3
aa
a
a
==>=

=
n
x
)
5
2
5
( +
3
2
19
19
19
0
3
19
19

19
0
19
3
23)2()3()23(
kk
k
k
kkk
k
CC

=

=

==+





==
==
==

=

155
95
31
2
319
60
1930
2
319
190
,
2
19
3

190
,
3
2
19
190
km
km
km
Nk
N
m
m
m
N
k
k
Nkm
N
k
mk
k
Nkm
N
k
N
k
k
Nk
3

1
3
1
9
1
3
1
9
1
90)1(45
)!2(!2
!
==

nn
n
n
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
n
2
n 90 = 0 n = 10 hoặc n = -9 (loại)
Khi n = 10 thì khai triển (x - )
10
sẽ có 11 số hạng.
Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 đó là:
III Tính các tổng C
k
n
và cmđt chứa C
k

n
Bài 1: Với n số nguyên d ơng CMR
a) C
1
n +
2 C
2
n
+ + (n 1) C
n-1
n
+ n C
n
n
= n. 2
n-1
b) 2.1 C
2
n
+ 3.2 C
3
n
+ + n (n 1) C
n
n
= n (n 1) 2
n-2
CM: Với mọi x và n là số nguyên dơng ta có;
(1 + x)
n

= C
0
n
+ C
1
n
x+ C
2
n
x
2
+ + C
n-1
n
x
n-1
+ C
n
n
x
n
(1)
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x ta đợc.
n(1 + x)
n-1
= C
1
n
+ 2C
2

n
x + + (n - 1) C
n-1
n
. x
n-2
+ n C
n
n
x
n-1
(2)
a) thay x = 1 vào (2) ta đợc.
n. 2
n-1
= C
1
n
+ 2 C
2
n
+ + (n 1) C
n-1
n
+ n C
n
n
(ĐPCM)
b) Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x
Ta đợc:

n(n 1) (1 + x)
n-2
= 2.1 C
2
n
+ 3 . 2 C
2
n
x + + (n 1) (n 2) C
n-1
n
x
n-3
+ n (n 1) C
n
n
x
n-2
(3)
Thay x = 1 và (3) ta đợc.
n(n 1) 2
n-2
= 2.1 C
2
n
+ 3 . 2 C
2
n
x + + (n 1) (n 2) C
n-1

n
+
+ n(n-1) C
n
n
(ĐPCM).
* Chú ý:
(1) Nếu phải tính tổng có dạng:
S
1
= C
1
n
+ 2C
2
n
+ 3 C
3
n
+ + (n-1) C
n-1
n

n-2
+ n C
n
n

n-2
+ Xét khai triển (1 + x)

n
= (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc:
n(1 + x)
n-1
= (2)
+ Thay x = vào (2) kết quả.
Chuyờn Nh Thc Niutow 9
n
k
n
n
k
xC

=0
1
0

=

kk
n
n
k
xC
3
1
5355
10

27
28
)
3
1
( xxC =
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
+ Nếu phải tính tổng dạng.
S
1
= 2. 1C
2
n
+ 3.2C
3
n
+ + (n-1) (n-2) C
n
n-1

n-3
+ n (n-1)(n 2)C
n
n-1

n-3
+
n(n-1) C
n
n

n-2
Phơng pháp:
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc (2)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x đợc
n(n-1) (1+x)
n-2
= (3)
Thay x = vào (3) kết quả
Chẳng hạn tính tổng:
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
1 + 3 C
3
n
2
2
+ + (n-1) C
n
n-1
c
n-2
+ n C

n
n
2
n-1
= n(1+ 2)
n-2
= n3
n-2
.
VD2: CM các đẳng thức sau:
C
1
n
3
n-1
+ 2 C
2
n
. 3
n-2
+ + (n-1) C
n
n-1
3 + n C
n
n
= n 4
n-1
(1)
Hớng dẫn:

C1: Để ý: k. C
k
n
3
n-l
= k C
k
n
. 3
-k+1
. 3
n-1
= k 3
n-1
C
k
n
Từ đó (1) C
1
n
3
n-1
+ 2 C
2
n
3
n-1
+ + (n 1) C
n
n-1

n 2
+ 3
n-1
n C
n
n

n-1
= n. 4
n-2
C
1
n
+ 2 C
2
n
+ + ( n 1) C
n
n-1
( )
n-2
+ n C
n
n

k-1
= n ( )
n-1
= n (1 + )

n-1
Thay x = vào (2) ta đợc đpcm
Cách 2:
Để ý : n. 4
n-1
= n (3+ 1)
n-1
Xét khai triển (1)
+ Lấy đ/h 2 vế của (1) theo biến x ta đuợc.
(2)
Chuyờn Nh Thc Niutow 10
2
0
)1(

=


kk
n
n
k
xCkk
1
3
1
k
3
1
3

1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
1
kknk
n
n
k
n
xCx

=

=+ 3)3(
0
1
0
1
3)3(

=


=+
kknk
n
n
k
n
xCkx
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
+ Thay x = 1 vào (2) ta đợc.
n(3 + 1)
n-1
= C
1
n
3
n-1
+ 2 C
2
n
3
n-2
+ + n C
n
n
3
n-1

điều phải chứng minh
* Chú ý: Tính tổng có dạng.
S
3
= C
1
n

n - 1
+ C
n
2

n-2
+ + (n-1) C
n
n-2
+ n C
n
n
Cách 1: + Xét khai triển ( + x)
n
(1)
+ Lấy đ/h 2 vế của (1) theo biến x
Ta đợc n( + x)
n-1
(2)
Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả
VD3: CMR
2

n-1
C
1
n
+ 2
n-1
C
2
n
+ 3.2
n-3
C
3
n
+ 4. 2
n-4
C
4
n
+ + n C
n
n
= n. 3
n-1
(làm tơng tự VD2 với =
VD4: 1. Chứng minh các hệ thức sau:
C
o
n
+ 2 C

1
n
+ 3 C
2
n
+ + (n + 1) C
n
n
= (n + 2) 2
n-1
2) Tính tổng : S = 2 . 1 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + n (n 1) C
n
n-1
+ (n + 1) n C
n
n
.
Giải:
Cách 1:
Xét khai triển: (1 + x)
n
= C
o
n

+ C
1
n
+ C
2
n
x
2
+ C
n
n-1
x
n-1
+ C
n
n
c
n
f(x) = x (1 + x)
n
= C
o
n
x + C
1
n
x
2
+ C
2

n
x
3
+ + C
n
n-1
- x
n
+C
n
n
x
n+1
(1)
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta đợc.
(1 + x)
n
+ xn (1 + x)
n-1
= C
0
n
x + C
1
n
x
2
+ C
2
n

x
3
+ +n C
n
n-1
x
n-1
+
+ n(n+1) C
n
n
x
n
(2)
Thay x = 1 vào (2) ta đợc.
2C
1
n
+ 3 . 2 C
2
n
+ + n(n-1) C
n
n-1
+ (n + 1) n C
n
n
= (2 + n) 2
n-1
đpcm.

b) Lấy đạo hàm 2 vế của (2) ta đợc.
n(1+x)
n-1
+ n (1+ x)
n-1
+ n. x (n 1) (1 + x)
n-2
= 2 C
1
n
+ 3.2 C
2
n
x + + n (n-1) C
n
n-1
c
n-2
(n+1) n C
n
n
x
n-1
(3)
Thay x = 1 vào (3) ta đợc.
Chuyờn Nh Thc Niutow 11
1
0

=

=
kknk
n
n
k
xCk

1
0

=

=
kknk
n
n
k
xCk

2
1
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
S = 2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + n (n-1) C

n
n-1
+ (n+ 1) n C
n
n
= 2n . 2
n-1
+ n (n-1) 2
n-2
= n. 2
n-2
. (n + 1)
Chú ý: Tính tổng:
S
4
= C
o
n
+ 2 C
1
n
+ 3 C
2
n

2
+ + n C
n
n-1

n-1
+ (n+1) C
n
n

n
.
Phơng pháp:
-Xét khai triển:
(1 + x)
n
(1)
+ Nhân 2 vế của (1) với x ta đợc.
x (1 + x)
n
(2)
Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo biến x ta đợc
(1 + x)
n
+ nx (1 + x)
n-1
(3)
Thay x = vào (3) kết quả tổng S
4
.
S
5
= 2. 1 C
1
n

+ 3. 2 C
2
n
+ + n (n 1) C
n
n-1

n-2
+ (n + 1) n C
n
n

n-1
Phơng pháp: Lấy đạo hàm 2 vế của (3) sau đó thay x = => kết quả.
VD5: Tính tổng.
S
1
= 2 C
1
n
+ 3. 2
2
C
2
n
+ 4.3

C
2
n

2
2
+ + n (n-1) C
n
n-1
2
n-2
+
+ (n+1) n C
n
n
2
n-1
S
2
= 1
2
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
+ 3
3
C
3
n

4
2
C
4
n
+ + p
2
C
p
n
+ + n
2
C
n
n
HD : Để ý p
2
C
p
n
= p.p C
p
n
= p [(p+1) 1] C
p
n
= p(p+1) C
p
n
p C

p
n
.
S
2
= [2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + p (p+1) C
p
n
+ + (n + 1) n C
n
n
]
- [ C
1
n
+ c
2
n
+ + pC
p
n
+ + n C
n
n

]
Giải: Xét f(x) = (1 + x)
n
= C
o
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ C
3
n
x
3
+ + C
n
n
x
n
Và g(x) = x (1 + x)
n
= C
o
nx
+ C

1
x
x
2
+ C
2
n
x
3
+ C
3
n
x
4
+ + C
n
n
x
n+1
Ta có f(x) = n (1 + x)
n-1
= C
1
n
+ 2 C
2
n
x + 3 C
3
n

x
2
+ + n C
n
n
x
n-1
.
f(1) = n. 2
n-1
= C
1
n
+ 2 C
2
n
+ 3 C
3
n
+ + n C
n
n
(1)
Chuyờn Nh Thc Niutow 12
kk
n
n
k
xC

=
=
0
1
0
+
=

=
kk
n
n
k
xC
kk
n
n
k
xCk )1(
0
+=

=
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
g

(x) = (1+ x)
n
+ nx (1 + x)
n-1

= C
o
n
+ 2 C
1
n
x + x C
2
n
x
2
+ 4 C
3
n
x
3

+ + (p + 1) C
p
n
x
p
+ + (n-1) C
n
n
x
n
.
g

(x) = 2n (1 + x)
n-1
+ n (n 1) x (1 + x)
n-2
= 2 C
1
n
+ 3 . 2 C
2
n
+ 4 . 3 C
3
n
x
2
+ + (p + 1) p C
p
n
x
p-1
+ + (n + 1) n C
n
n
x
n-2
g

(1) = 2n. 2
n-1
+ n (n-1) 2

n-2
.
= 2 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ 4. 3 C
3
n
+ + (= + 1) p C
p
n
+ + (n + 1) n C
n
n
.
Lấy (2) (1) S
2
= 2n. 2
n-1
+ n ( n- 1)
n-2
n. 2
n-1
= n. 2
n 2
(3n 1).
VD6: Với n nguyên dơng hãy chứng minh.

4
n
C
o
n
4
n-1
C
1
n
+ 4
n-2
C
2
n
+ + (-1)
n
C
n
n
.
= C
o
n
+ 2 C
1
n
+ + n 2
n-1
C

n
n
+ + 2
n
C
n
n
.
(2) C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + n.2
n-1
C
n
n
= n. 4
n-1
C
o
n
(n-1) 4
n-2
C
1
n
+ (n-2) 4

n-3
C
2
n
+ + (-1)
n-1
C
n
n-1
.
Giải (1) với mọi x và n là số nguyên dơng ta có.
(4 x)
n
= C
o
n
+ 4
n
C
1
n
4
n-1
x + 4
n-2
C
2
n
x
2

+ + (-1)
n
C
n
n
x
n
(1)
Thay x = 1 và (1)
3
n
= C
o
n
4
n
- C
1
n
4
n-1
+ C
2
n
4
n-2
+ + (-1)
n
C
n

n
(*)
Với mọi x và n là số nguyên dơng ta có:
(1 + x)
n
= C
o
n
+ C
1
n
x + + C
n
n
x
n
(2)
Thay x = 2 vào (2) ta đợc;
3
n
= C
o
n
C
1
n
2 + 2
2
C
2

n
+ + 2
n
C
n
n
(**)
Từ (*) và (**) đpcm.
với mọi x và n là số nguyên dơng ta có:
(1 + x)
n
= C
o
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ + C
n
n-1
x
n-1
+ C
n
n

x
n
(1)
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo biến x ta đợc:
n (1 + x)
n-1
= C
1
n
+ 2 C
2
n
x + + (n-1) C
n
n-1
x
n-2
+ n C
n
n
x
n-1
(2)
Chuyờn Nh Thc Niutow 13
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Thay x = 2 vào (2) ta đợc.
n. 3
n-1
= C
1

n
+ 4 C
2
n
+ + ( n- 1) C
n
n-1
x
n-2
+ n C
n
n
x
n-1
(3)
Với mọi x và n nguyên dơng ta có
(x 1)
n
= C
o
n
x
n
- C
1
n
x
n-1
+ + (-1)
n

C
n
n
(4)
Lấy đạo hàm 2 vế của (4) theo biến x
(x 1)
n-1
= n C
o
n
x
n-1
- (n-1)C
0
n
x
n-2
+ + (-1)
n-1
C
n
n-1
(5)
Thay x = 4 vào (5) ta đợc.
n. 3
n-1
= n. 4
n-1
C
o

n
(n-1) 4
n-2
C
1
n
+ (n-2) 4
n-3
(C
2
n
+ +
(-1)
n-1
C
n
n-1
(6)
Từ (3) và (6) => điều phải chứng minh.
Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng hoặc
Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn.
Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau:
1) S
1
= 2006. 3
2005
. C
0
2006
+ 2005. 3

2004
. C
1
2006
+ C
2
2006
+ +
HDG: + Xét khai triển (x + 1)
2006
= x
2006
C
0
2006
+ x
2005
C
1
2006
+ + (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1)
2006. (x + 1)
2005
= 2006.x
2005
C
0
2006
+ 2005 x

2004
C
1
2006
+ + (2)
+ Thay x = 3 vào (2) => S
1
= 2006.4
2005
.
2) S
2
= 5
2005
. C
1
2006
+ 2.5
2004
.4.C
2
2006
+ 3.5
2003
. 4
2
C
3
2006
+ +2006.4

2005
HDG: + Xét khai triển : (5 + x)
2006
= (1)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta đợc (2)
+ Thay x = 4 => S
2
= 2006.9
2005
.
S
3
= 99.3
98
C
0
99
98 . 3
97
C
1
99
+ 97 . 3
96
C
2
99
- + C
98
99

HDG: + Xét KT (x + 1)
99
=
+ Lấy đạo hàm 2 vế (1) theo x đợc (2) = (x + 1)
98
=
Chuyờn Nh Thc Niutow 14
k
n
n
k
Ck

=
=
0
k
n
n
k
Ckk )1(
0
=

=
2005
2006
C
2005
2006

C
2005
2006
C
2005
2006
C
kkk
k
xC

=

2006
2006
2006
0
5.
12006
2006
2006
0
2005
5.)5(2006

=

+
kkk
k

xCx
kk
k
xC

=

99
99
99
0
.
kk
k
xkC

=


98
99
99
0
)99(
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
+ Thay x = -3 vào (2) đợc S
3
= 99.2
98
S

4
= C
0
2006
+ 2C
1
2006
+ 3C
2
2006
+ 4C
3
2006
+ + 2007
HDG: + Tách S
4
= I + J; I = C
0
2006
+ C
1
2006
+ +
Và J = C
1
2006
+2C
2
2006
+ 3C

3
2006
+ + 2006
C
2
: Nhân 2 vế khai triển (1 + x)
2006
với x lấy đ/h 1 vế theo x sau đó thay x = 1 =>
kết quả.
S
5
= 3 C
0
2006
+ 4C
1
2006
+ 5C
2
2006
+ + 2009
HDG: + Xét KT: (1 + x)
2006
= (1)
+ Nhân 2 vế (1) với x
3
: x
3
(1 + x)
2006

= (2)
+ Lấy đ/h 1 vế của (2) theo x đợc (3)
+ Chọn k = 1 => kết quả S
5
= 2
2005
. 2012
6) S
6
=4.5
3
C
0
2007
+ 5.5
4
C
1
2007
+ 6.5
5
C
2
2007
+ + 2011.5
2010
Xét KT : x
4
(1 + x)
2007

làm tơng tự VD5.
* Nhận xét: với mọi x và n là số nguyên dơng ta có:
(1)
Lấy tích phân theo x hai vế của (1). Ta đợc.
(2)
+ Thay t = 1 và (2) ta đợc
Hay
Thay t = -1 vào (2 ) ta đợc
Chuyờn Nh Thc Niutow 15
k
n
k
k
n
n
xCx

=
=+
0
)1(
11
1)1(
11
)1(
)1(
1
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
+
=
+
+

++
+

=+
+
=
+
+
=
+
=

k
Ct
n
x
k
x
C
n
x
xCdxx
k
n
k
n
k
n
k
k
n
n
k
n
kk
n
n
k
n

=
+
+
=
+

n
k
k
n
n
k
C
n
0
1
11
12
1
13
1
2

3
2
2
2
2
11

2
3
1
2
0
+

=
+
++++
++
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn

= =
+
+

=
+

+

=
+

n
k
n
k
k
n
kk
n
k
k
C
nk
C
n
0 0
1
1
)1(
1
1
1
)1(
1
1
2006
2006
C

2006
2006
C
2006
2006
C
2006
2006
C
kk
k
xC .
2006
2006
0

=
3
2006
2006
0
.
+
=

kk
k
xC
2007
2007

C
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Hay :
Thay t = 2 vào (2) ta đợc:
Hay
+ Xét khai triển:
x = 1/3 vào (1) ta đợc
Ta có
Từ khai triển (1) ta có:
(2)
Mặt khác:
(3)
Từ (2) và (3) ta có đẳng thức:
Chú ý: Để tính tổng dạng
Ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần của nhị thức Niu tơn.
Ví dụ 7: CM
Chuyờn Nh Thc Niutow 16
nn
CC
C
C
n
n
n
n
n
n
+
=
+

++
+
+
+

1
1
1
)1(
2111
2
2
1
0

=
+
+
=
+

n
k
k
n
k
n
k
C
n

0
1
1
2
1
13
1
13
1
2

3
2
2
2
2
11
2
3
1
2
0
+

=
+
++++
++
n
C

n
CCC
n
n
n
n
nnn
nnnkk
n
n
k
k
nnn
kk
n
kn
CxCxCxCCxCx )1()1( )1( )1()1(
1
0
2210
+++++==

=






++++=

+++=
+++=







n
n
n
n
nnnn
nn
n
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
nnn
n
CCCCC
CCCC
CCCC

3
1
)1(
3
1
3
1
3
1
32
3
1
)1(
3
1
3
1
3
2
3
1
)1(
3
1
3
1
3
1
1
2

2
110
2
2
10
2
2
10
[ ]
n
n
nn
n
x
xdxdxxI )1(1
1
1
11
)1(
)1()1()1(
2
0
1
2
0
2
0
+
+
=

+

===
+

n
n
n
k
nnn
k
k
n
k
n
k
kk
n
k
n
k
C
n
CCC
k
x
CxCI
123120
2
0

1
00
2
0
2
1
)1(

3
1
2
2
1
22
1
)1()1(
+
+
==
+

+++=
+
==


[ ]
nn
n
n

k
nnn
n
C
n
CCC )1(1
1
1
2
1
)1(

3
1
2
2
1
22
123120
+
+
=
+

+++=
+
)2)(1(1
00
+++
=

==
kk
C
k
C
k
n
n
k
k
n
n
k
hoặc
)12 (5.3
2 4.2
12
)1(

53
21
0
+
=
+

++
n
n

n
CCC
C
n
n
n
nn
n
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
Giải:
Xét: với n N
Ta xác định tích phân I
n
bằng phơng pháp tích phân từng phần, với đặt:



=
=




=
=

xv
dxxnxdu
dxdv
xu

nn 122
)1(2)1(

Khi đó:

kk
n
k
n
k
n
kk
n
k
n
k
n
xCx
xCx
2
0
2
0
)1()1(
)1()1(
=
=


=

=
Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta đợc.
12
)1(

53
12
)1()1()1(
21
0
2
0
12
0
2
1
0
2
1
0
+

++=
+
==
+
=


n

CCC
C
k
x
CxCdxx
n
n
n
nn
n
k
k
n
k
n
k
kk
n
kn
Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.
VD 8: CM:
Ta tính tích phân
Ta đợc (1)
Mặt khác ta có ( 1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1

n
.x + C
2
n
.x
2
+ + C
n
n
. x
n
Lấy TP ta có
dxxCdxxCdxxCdxCdxx
nn
nnnn
n
)1(
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1
0

0

++++=+
Chuyờn Nh Thc Niutow 17
dxxI
n
n
)1(
2
1
0
=

[ ]
)12 (5.3
2 4.2
)12 (5.3
2 4.2
3
2

12
)1(2
12
2
12
2
)(2)1()1(2
1)1()1(2)1(2)1(
1

0
01
1
12
1
0
2
1
0
22
1
0
2
1
2
1
0
1
0
2
+
=
+
=


+
=
+
=

=
=+=







n
n
dx
n
n
I
n
n
n
n
I
n
n
I

IIndxxdxxxn
dxxxndxxxnxxI
nn
nn
nn
n
n
n
(2)
(3)
Ta có
Suy ra
1
12
1

2111
1
21
0
+

=
+
++
+
+
+
+
+

nn
CCC
C
n
n
nnn
n

+
1
0
)1( dxx
n
1
12
)1(
1
1
0
+

=+
+

n
dxx
n
n
1
12

1

2111
1
21
0
+

=
+
++
+
+
+
+
+
nn
CCC
C
n
n
nnn
n
(1)
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
=
VD 9: CM
Ta tính (1)
Ta có:
Vậy Từ (1) và (2) => điều phải chứng minh

VD 10: 1. - Tính tích phân
2 CM
Ta có:
(1)
2 Theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có

= (2)
So sánh (1) và (2) => điều phải chứng minh.
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng:
12
2
5
2
3
2
1
2
2
2
4
2
1
2
0
2


++++=++++
n

nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
Bài 2: Chứng minh rằng:
Chuyờn Nh Thc Niutow 18
1
1
1
)1(

4
1
3
1
2
1
3210
+

=
+

+++
nn
C
CCCC
n
n
n

nnnn
1
1
)1(
1
0
+

=+=


n
dxxI
n
nn
nnnn
n
nn
nnnnn
n
xCdxxCxdxCdxCdxx
xCxCxCxCCx


++++=+
+++++=+
1
0
2
1

0
2
1
0
1
1
0
0
1
0
332210
()1(
)1(
)2(
1
)1(

3
1
2
1
1

32
)1(
1
210
1
0
1

1
0
3
21
0
2
11
0
0
1
0
n
n
n
nnn
n
n
nnnn
n
C
n
CCC
n
x
C
x
C
x
CxCdxx
+

+++=
+
++++=+
+

+



dxxxI
n
)1(
2
1
0
=

)1(2
1
22
)1(

6
1
4
1
2
1
210

+
=
+

+++
n
C
n
CCC
n
n
n
nnn
)1(2
1
1
)21(
2
1
)1()1(
2
1
)1(
1
0
12
2
1
0
22

1
0
+
=
+

=
==


+
nn
xdxdxxxI
n
nn
1
0
12
11
0
4
11
0
22
1
0
1225130
2222210
22210
12

)1(
42
1
)1(
)1( )1(
)( )()()1(
)1(
+
++=
+++=
+++=+
+++++=+
+
+

n
x
C
x
Cxdxxx
CxCxCxxCxx
xCxCxCCx
xCxCCxCCx
n
n
nn
n
n
n
nn

nnn
n
nn
nnnn
n
nn
nnnnn
n
n
n
n
nnn
C
n
CCC
22
)1(

6
1
4
1
2
1
210
+

+++
Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý
n

n
n
nnn
CCCC
2
221
2
20
)( )()( =+++
Bài 3: Chứng minh:
1
2
22
2
22
2
21
2
20
)1()( )()()(
n
nn
nnnn
CCCCC =+++
Bài 4: Chứng minh rằng:
(-1)
n
C
0
n

+ (-1)
n-1
2C
1
n
+ + (-1)
n-k
2
k
C
k
n
+ 2
n
C
n
n
= 1
Bài 5: Chứng minh rằng:
C
0
2n
+ C
1
2n
+ C
4
2n
+ +
22

2
)(
n
n
C
= 2
2n-1
Bài 6: chứng minh rằng:
Bài 7: Chứng minh rằng:
Bài 8: Chứng minh rằng với các số k, nN và 5 < k < n ta có
Bài 9: Tính tích phân
Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2
a Tính tích phân
b Chứng minh rằng
Bài 11: Tính tích phân:
Rút gọn tổng
Chuyờn Nh Thc Niutow 19
)1(3
12
33
1

6
1
3
1
1
10
+

=
+
++
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
)1(2
1
22
)1(

4
1
2
1
10
+
=
+

++
n
C
n

CC
n
n
n
nn
15
5
10
55

5
1

+
+++=
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCCC
dxxxI
n
)1(
2
1
0

=

)1(2
1
)1(2
)1(

6
1
4
1
2
1
210
+
=
+

++
nn
C
CCC
n
n
n
nnn
dxxxI
n
)1(
22

1
0
=

)1(3
12
33
1

9
1
6
1
3
1
1
210
+

=
+
++++
+
n
C
n
ccc
n
n
nnnn

dxxxI
19
1
0
)1( =

19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
21
1
20
1

4
1
3
1
2
1
CCCCCS ++=
Cï §øc Hoµ Tæ : To¸n - Lý
Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)

2001
a – TÝnh f (x)
b – TÝnh tæng
Bµi 13: TÝnh tæng
Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho.
P< n vµ p < m ta cã
Chuyên đề Nhị Thức Niutow 20
2001
2001
2000
2001
1
2001
0
2001
20022001 2 CCCCS ++++=
2005
2005
2004
2005
1
2005
0
2005
20062003 2 CCCCS
++++=
011110

m
p

nn
p
n
p
mn
p
mn
p
mn
CCCCCCCCC ++++=
−−
+