Ôn thi đại học Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,
tọa độ trọng tâm, .
Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :
−→
a = 4
−→
j ;
−→
b = −
−→
i + 2
−→
j ;
−→
c = 3
−→
i + 2
−→
j −
−→
k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ
−→
a = (−3;1; 2),
−→

b = (1;3; 4),
−→
c = (−3; 2; 0).
1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3
−→
a, 3
−→
a − 2
−→
b ,
−→
a −3
−→
b + 2
−→
c .
2. Hãy biểu diễn vectơ
−→
d = (−1;0; 2) theo ba vectơ
−→
a,
−→
b ,
−→
c .
Bài 13.3 : Cho hai vectơ
−→
a và
−→
b tạo với nhau một góc 120

◦
. Tìm |
−→
a +
−→
b | và |
−→
a −
−→
b | biết |
−→
a| = 3, |
−→
b | = 5.
Bài 13.4 : Cho vectơ
−→
a = (1; −3; 4).
1. Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
−→
b = (2;y
0
; z
0
) cùng phương với
−→
a .

2. Tìm tọa độ của vectơ
−→
c biết rằng
−→
a và
−→
c ngược hướng và |
−→
c | = 2|
−→
a|.
Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C
′
(4; 5; −5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình
hộp.
Bài 13.6 : Trong kh ông gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A
′
B
′
C
′
D

′
, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA
′
= 2a, A(0;0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A
′
(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−−→
DB
′
.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA
′
.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B
′
CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• S
∆ABC
=
1
2

[
−−→
AB,
−−→
AC] ;
• V
h.hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
=
[
−−→
AB,
−−→
AD].
−−→
AA
′
;
• V
ABCD
=
1
6
[

−−→
AB,
−−→
AC].
−−→
AD ;
• d(AB, CD) =
[
−−→
AB,
−−→
CD].
−−→
AC
[
−−→
AB,
−−→
CD]
;
• d(M, AB) =
|[
−−→
MA,
−−→
MB]|
|
−−→
AB|
=

|[
−−→
MA,
−−→
AB]|
|
−−→
AB|
;
• cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u |.|
−→
v |
;
• sin(
−→
u ,
−→
v ) =
[

−→
u ,
−→
v ]
|
−→
u |.|
−→
v |
;
• cos A = cos(
−−→
AB,
−−→
AC) ;
• cos(AB, CD) =
cos(
−−→
AB,
−−→
CD) .
2. Hai vectơ
−→
u và
−→
v cùng phư ơng khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
v ] =

−→
0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ).
3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
−−→
AB và
−−→
AC cùng phương.
4.
−→
u ⊥
−→
v khi và chỉ khi
−→
u .
−→
v = 0.
5. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi [
−−→
AB,
−−→
AC].
−−→
AD = 0.
Bài 13.7 : Cho vectơ
−→
a = (2;4; 0),
−→
b = (−3; 2; 1),
−→
c = (1; 2 −1).

1. Tính cosin của các góc sau : (
−→
a,
−→
b ), (
−→
b,
−→
c ), (
−→
c ,
−→
a ).
2. Tính các tích vô hướng
−→
a .
−→
b ,
−→
b .
−→
c ,
−→
c .
−→
a .
3. Tìm toạ độ của vectơ
−→
v sao cho
−→

v ⊥
−→
a ,
−→
v ⊥
−→
b và |
−→
v | = |
−→
c |.
Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3), C(−2; 4; 1).
1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.
Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5).
1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm.
2. Tìm độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ B.
Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2).
1. Tìm toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz.
2. Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng của H qua A. Tìm toạ độ điểm K tr ên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng.
Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1; −1; 2), C(2; 3;1).
1. Chứng minh tam giác ABC có
A là góc tù.
2. Tính chu vi tam giác ABC.
3. Tìm điểm M tr ên Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0; −1; 2), C(1; 0;3).
1. Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0; −1), B(1;3; −2), C(3; −4;1).

1. Tìm điểm M tr ên trục Ox sao cho MA = MB.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 250

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm điểm N tr ên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC.
3. Tìm điểm P trê n mặt phẳng Oxy sao cho |
−−→
PA +
−−→
PB +
−−→
PC| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây
1. M tr ê n trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1; −4), B(−2; 3; 0).
2. M tr ê n mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1; −4), B(−2; 1; 0), C(4; 5; −2).
Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2; −2), B(1; 2; −5).C(0; 1; −1), D(2; 0; −3). Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng .
2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
biết :
A(−2; 4; 1), B(1;−1; 2), A
1
(5; −1; 0), C
1
(−2; 0; 1).

1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.
2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A
1
B
1
. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B
1
C
1
.
Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Biết A(−3; 2; 1), C(4; 2; 0), B
1
(−2; 1; 1), D
1
(3; 5; 4).
1. Xác định toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
, B, D và tâm K của hình hộp.
2. Tìm điểm M trên đường thẳng AA
1

sao cho KM =
√
59
2
.
Bài 13.18 : Cho hình chóp S.ABCD có :
S
3; 3;
13
2
, A(1; 2; 3), B(−1; 4; 6), C(2; 1; 10), D(4; −1; 7).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và SI⊥(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD.
2. Tính thể tích hình chóp.
Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :
1.
−→
a = (1;1; 2),
−→
b = (3; 3; 6)
2.
−→
a = (−2;1; 3),
−→
b = (1;3; −4)
3.
−→
a = (−1;1; −2),
−→
b = (2;3; −7)
4.

−→
a = (1;1; 0),
−→
b = (0; 0; 1)
Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c sau đây :
1.
−→
a = (−3;1; 1),
−→
b = (2;3; 5),
−→
c = (−4; 1; 0). 2.
−→
a = (2;1; −1),
−→
b = (3;1; 2),
−→
c = (−2; −1; 1).
Bài 13.21 : Cho hai điểm A(−3; 2; 1), B(1; 3; −4).Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn OC = 1
và các vectơ
−−→
OA,
−−→
OB,

−−→
OC đồng phẳng.
Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(−2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2), C(0; 1; 1), D(−2; 1;0).
1. Chứng minh A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.
2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD.
3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0; −1; 1), C(0; 0; −1).
1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngo ại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó.
2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 251

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0), C(1;2; 3).
1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.
2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).
Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3; −2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được th oả mãn :
OC = 1 và các vectơ
−−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC đồng phẳng.
Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2;1; 3), B(1; 1; 1), C(−4; −3; 2).
1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng
1
2
.

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu

1. Muốn viết đượ c phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó . Khi đó, phương trình mặt cầu là
(S ) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
.
2. Ta có A ∈ (S) khi và chỉ khi IA = R.
3. (S ) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi d(I, ∆) = R.
4. (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d(I, (P)) = R.
5. Nếu M(x
M
; y
M
; z
M
) thì
(a) d(M, (Oxy)) = |z
M
|, d(M, (Oyz)) = |x
M
|, d(M, (Ozx)) = |y
M
|.
(b) d(M, Ox) =

y
2
M
+ z
2
M
, d(M, Oy) =
x
2
M
+ z
2
M
, d(M, Oz) =
x
2
M
+ y
2
M
.
(c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (x
M
; 0; 0).
(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) c ó tọa độ (x
M
; y
M
; 0).
Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :

1. Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = 4.
2. Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0;1; −1).
3. Nhận I(3; 4; −1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
4. Nhận I(6; 3; −4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz.
Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây :
1. Có tâm trên trục hoàn h và đi qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1;4; −5).
2. Có tâm nằm trên mặt phẳ ng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2; −1; 5), B(2; 1; 1), C(−3;0; 2).
3. Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5), C(−2; 1; −2), D(0; 2; 3).
Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x + 2y − 4z = 0.
1. Xác định tạo độ tâm và tính bán kính của (S ).
2. Tìm toạ độ giao điểm A, B, C (khác gốc O) của (S ) với các trục toạ độ. Tính thể tích tứ diện OABC.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 252

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có ph ương trình x
2
+ y
2
+ z
2
+ x − y + z − 1 = 0.
1. Chứng minh rằng (Oxy) cắt mặ t cầu (S ) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.
2. Trục Oz cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB.
Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x

2
+ y
2
+ z
2
− 3x −y + z +
1
2
= 0.
1. Chứng minh rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.
2. Chứng minh rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.
Bài 13.33 : Cho S (−2; 2; −3), A(−2; 2; 1), B(2;4; 1), C(4; 0; 1), D(0;−2; 1).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S.ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S
m
) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0. Tìm m để (S
m
) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S
m
) : x

2
+ y
2
+ z
2
−2mx + 2my −4mz + 5m
2
+ 2m + 3 = 0. Xác định th am số m để (S
m
) là một mặt cầu. Tìm
tập hợp tâm I của mặt cầu (S
m
) khi m thay đổi.
Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian

Bước 1 : Tạo một góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi một vuông góc). Góc tam diện n ày có hai trục Ox, Oy thư ờng nằm trên
mặt đáy và trục Oz vuôn g góc với đáy.
Bước 2 : Tìm tọa độ của bốn điểm : gốc, các điểm nằm trê n các trục Ox, Oy, Oz.
Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán về hình học giải tích thông thường.
Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a.
1. Gọi I là trung điểm A
′

C, J là trun g điểm AB
′
. Chứng minh rằng AJ⊥A
′
I.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA
′
C
′
. Chứng minh rằng B
′
, G, D thẳng hàng.
Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD. A
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M, N, P lần lượt là tru ng điểm của BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc và khoảng cách
giữa C
1
N và MP.

Bài 13.38 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM =
a
2
và
N thuộc cạnh BC sao cho BN =
3a
4
. Chứng minh rằng MN⊥(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)⊥(S MN).
Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều ca o 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt
là trung điểm của S A và BC.
1. Tính thể tích tứ diện OS MN.
2. Đườn g thẳng MN cắt (S BD) tại điểm P. Tính OP.
3. Gọi K là trung điểm cạnh CD, I là điểm thay đổi trên cạnh S O với OI = m. Xác định m sao cho các đường thẳng AB, SC, KI
cùng song song với một mặt phẳng.
Bài 13.40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, S A⊥(ABCD) và SC = c. Gọi E là điểm đối
xứng của C qua B.
1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S B, S D. Chứng minh rằng các vectơ
−−→
AE,
−−→
AM,
−−→
AN đồng phẳng.
2. Cho M, N thay đổi lần lượt trên các tia S B, S D sao cho
S M
S D
= x,
S N
S B
= y. Tìm điều kiện của x, y sao cho các vectơ

−−→
AC,
−−→
AM,
−−→
AN
đồng phẳng.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 253

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
13.2 Phương trình mặt phẳng
Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(a) Vec tơ
−→
n 
−→
0 được gọi là vectơ pháp tuyến c ủa mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α).
Một mặt phẳ ng có vô số vectơ p háp tuyến, cá c vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.
1
(b) Nếu hai vectơ
−→
u,
−→
v khô ng cùng ph ương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ
−→
n = [
−→
u ,

−→
v ] là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
 0.
Khi đó
−→
n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (α). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ pháp tuyến
−→
n = (A; B; C) có phương trình
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z −z
0
) = 0.
3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng :

Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng
(P) là
x
a
+
y
b
+
x
c
= 1.
4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0;(Ozx) : y = 0.
Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3; −4), B(4;−1; 0). Viết phương trình của mặt ph ẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2;−4; 3), C(4; 5;6).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C.
Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điể m M(30; 15; 6).
1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α).
Bài 13.44 : Cho điểm A(2; −3; 4). Viết phương trình mặt phẳ ng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.
Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây
1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 5).
2. Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
3. Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho tam giá c ABC là tam giác đều.
1
Nếu
−→

n = (a; b; c) có a  0 là một vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = 1 hay một giá trị khác 0 bất kì
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 254

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
4. Qua điểm G(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
5. Qua điểm N(1; 1; 1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC là nhỏ nhất.
Bài 13.47 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của tứ
diện OABC nhỏ nhất.
Bài 13.48 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(4; −2; 1), B(1; 1; −2) và song song với trục Ox.
Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α
′
) : A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là
−→
n
α
= (A; B;C) và
−→
n
α
′

= (A
′
; B
′
;C
′
) thì
1. (α) và (α
′
) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′
không cùng phương.
2. (α) và (α
′
) song song khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′

cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M  (α
′
).
3. (α) và (α
′
) trùng nhau khi và chỉ khi
−→
n
α
và
−→
n
α
′
cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M ∈ (α
′
).
4. (α) và (α
′
) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
−→
n
α
.
−→
n
α
′
= 0.
Chú ý :

• Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By + Cz + D
′
= 0 với D
′
 D.
• Nếu (α)⊥(α
′
) khi đó
−→
n
α
′
sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α).
Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình
1. x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y −7z + 10 = 0;
2. 3x + 2y −z + 5 = 0 và 6x + 4y − 2z + 10 = 0;
3. x + 2y − z + 5 = 0 và −x −2y + z + 10 = 0;
Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng
(α) : 2x −my + 3z −6 + m = 0 và (α
′
) : (m + 3)x −2y + (5m + 1)z −10 = 0.
Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó
1. Song song với nhau. 2. Trùng nhau. 3. Cắt nhau. 4. Vuông góc với nhau.
Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng
(α) : 2x −my + 10z + m + 1 = 0 và (α
′
) : x −2y + (3m + 1)z −10 = 0.
Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng
(α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α
′

) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z −1 = 0.
1. song song. 2. vuông góc. 3. cắt nhau.
Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1; −1; 2) và mặt phẳng (α) : 2x −y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song
với (α).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 255

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.54 : Cho hai điểm P(3; 1; −1), Q(2; −1; 4) và (α) : 2x − y + 3z − 1 = 0. Viết phươ ng trình mặt p hẳng (R) qua hai điể m P, Q và
vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 13.55 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 3; −2) và vuông góc với hai mặt phẳng
(α) : x −3y + 2z + 5 = 0 và (α
′
) : 3x −2y + 5z + 4 = 0.
Bài 13.56 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; −1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x−y+ 3z+ 4 = 0.
Bài 13.57 : Viết phương trình mặt phẳng (α), biết mặt phẳng (α)
1. qua điểm M(1; −1; 5), N(0; 0; 1) và cùng phương với trục Oz.
2. qua điểm M(1; −1; 5) và song song với mặt phẳng (Oxy).
Bài 13.58 : Cho ba mặt phẳng
(α
1
) : 2x −z = 0; (α
2
) : x + y −z + 5 = 0; (α
3
) : 7x −y + 4z −3 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α
1
) và (α
2
) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α

3
).
Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng
(P) : 2x −y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳn g (P) và (Q) đồ ng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x−y+ 1 = 0.
Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : 19x − 6y −4z + 27 = 0 và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11 = 0.
Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
(β) : x + y −z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0
đồng thời
1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = 0. 2. tạo với trục Oy một góc 45
◦
.
Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là
d(M, (α)) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|

√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Chú ý :
• Nếu (P) ∥ (Q) thì d((Q), (P)) = d(M, (P)) với M là một điểm trên (Q).
• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).
Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :
– Giả sử
−→
n = (a;b; c) 
−→
0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
– Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương tr ình chứa a, b, c.
– Xét hai trường hợp
∗ Nếu a = 0, thay vào cá c điều kiện ta tìm được b, c.
∗ Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 256

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.62 : Tìm trên trục Oz các điểm cách đều A(2;3; 4) và mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z −17 = 0.
Bài 13.63 : Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mặt phẳng
(α) : x + y − z + 1 = 0 và (α
′
) : x − y + z −5 = 0.
Bài 13.64 : Cho (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0 và điểm A(−2; 4; 3). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính

khoản g cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm :
1. Cách đều hai mặt phẳng
(α) : x + y −z −1 = 0 và (α
′
) : x −y + z −5 = 0.
2. Cách đều điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0.
Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2; −1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M
0; 0;
1
2
đến mặt
phẳng (α) bằng
7
6
√
3
.
Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳn g (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳ ng
(P) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và (Q) : 2x + y − z − 15 = 0
đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.
Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y −2 = 0 và (Q) : 2x + y −2z −2 = 0.
1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz).
2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z −1 = 0, (Q) : 4x + 3y − z −5 = 0 và hai điểm A(1; 2; 4), B(−3; 2; 2).
1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ.
2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B.
3. Tìm điểm N tr ên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng
1
3

.
Bài 13.70 : Cho mặt phẳn g (P) : −2x + 3y −z + 3 = 0 và điểm A(1; 1; 1).
1. Chứng minh rằng điểm A không nằm trên (P). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với đ iểm A qua mặt phẳng (P).
3. Tìm trên trục Ox điểm M, trên mặt phẳng (P) điểm N sao cho A là trung điểm của đoạn MN.
Bài 13.71 : Tìm điểm M trên trục Oy trong mỗi trường hợp sau đây :
1. M cá ch đều điểm A và mặt phẳng 3x + 4y − z = 0.
2. M cá ch đều hai m ặ t phẳng 3x −2y + 2z − 1 = 0 và 4x + y − 1 = 0.
3. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x + y + 2z −3 = 0 gấp hai lần khoảng cách từ M đ ến mặt phẳng (Oxy).
Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 257

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC

Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α
′
) : A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là
−→
n
α
= (A; B;C) và
−→

n
α
′
= (A
′
; B
′
;C
′
) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α
′
) được tính theo công thức
cosϕ =
cos(
−→
n
α
,
−→
n
α
′
)
=
−→
n
α
.
−→
n

α
′
|
−→
n
α
|.|
−→
n
α
′
|
.
Chú ý : Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết góc giữa hai mặt phẳng ta thường làm như sau :
• Giả sử
−→
n = (a;b; c) 
−→
0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y −
√
5z = 0 một góc bằng 60
◦
.
Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60
◦

.
Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; −1) và :
1. vuông góc với các mặt phẳng
(β) : 2x −y + 3z −1 = 0 và (γ) : x + y + z −2 = 0.
2. vuông góc với (P) : x − y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :
x −1
2
=
y + 1
1
=
z
2
.
3. qua điểm B(2;0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + 1 = 0.
4. qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60
◦
.
Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(α) : mx + 2y + mz −12 = 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.
Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45
◦
.
Bài 13.76 : Trong k hông gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M(3; 0; 0) và N(0; 0; 1) đồng thời
tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
π
3
.
Bài 13.77 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(P) : 5x −2y + 5z −1 = 0 và (Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45
◦
.
Bài 13.78 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A
′
(0; 0; 1).
Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng CD
′
và tạo với mặt phẳng (BB
′
D
′
D) một góc nhỏ nhất.
Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳ ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R.
1. Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 258

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và m ặt phẳng (P) có một điểm A chung. Khi đó (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện và A được
gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥(P).

3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đườn g tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là
hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức
r
2
= R
2
− d
2
(I, (P)).
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.
Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6; −2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1).
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A.
Bài 13.80 : 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y −2z + 5 = 0.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 6x −2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).
Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− x − y − z +
1
2

= 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu.
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu biết tiếp diện cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = OB = OC.
Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z −1 = 0.
1. Hãy tìm tọa độ hìn h chiếu vuông góc của A trên (P). 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Bài 13.83 : Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z −2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Bài 13.84 : Cho mặ t phẳng (P) : 2x + 2y + z − m
2
− 3m = 0 và mặt cầu (S) : (x − 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z − 1)
2
= 9. Tìm m để mặt phẳng
(P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Bài 13.85 : Cho mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x −2z −m
2
= 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 6y −2z −22 = 0.
Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích bằng 2π.
Bài 13.86 : Cho mặ t cầu (S ) : (x + 1)
2

+ (y + 2)
2
+ (z + 3)
2
= 14 và điể m M(−1; −3; −2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M
và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x −3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z −1)
2
= 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = 0.
Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.
Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), với
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2(x + y + z) −22 = 0 và (P) : 3x −2y + 6z + 14 = 0.
Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P
1
) và (P
2
) có phương trình
(P
1
) : 2x −y + 2z −1 = 0 và (P

2
) : 2x − y + 2z + 5 = 0
và điểm A(−1; 1; 1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S) là mặt cầu bất kì đi qua A và tiếp xúc cả hai mặt phẳng (P
1
) và
(P
2
).
1. Chứng minh rằng bán kính mặt cầu (S ) là một hàng số và tính bán kính đó.
2. Gọi I là tâm mặt cầu (S). Chứng minh rằng I luôn thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.
Bài 13.90 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x − 1)
2
+ (y + 3)
2
+ (z −2)
2
= 49 tại điểm M(7; −1; 5).
Bài 13.91 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
−2x −4y −6z −2 = 0 và song song với mặt phẳng
(P) : 4x + 3y −12z + 1 = 0.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 259

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
13.3 Phương trình đường thẳng
Trong chương trình toán 12, chúng ta không xét dạng tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên trong tài liệu này khi chúng ta viết :

Cho đường thẳng ∆ :
Ax + By + Cz + D = 0
A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0
thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A
′
x + B
′
y + C
′
z + D
′
= 0.
Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
).

1. Xác định vectơ chỉ phương
−→
u = (a;b; c) 
−→
0 của đường thẳng :
(a) Nếu
−→
u 
−→
0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì
−→
u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
(b) Nếu có
−→
n
1
và
−→
n
2
cùng vuông góc với d thì vectơ
−→
u = [
−→
n
1
,
−→
n
2

] 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng
d :
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
hoặc d :
x − x
0
a
=
y −y
0
b
=
z −z
0
c
( nếu a, b, c đều khác 0).
Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :
1. Đi qua điểm A(2;0; −1) và có vectơ chỉ phươn g
−→

u = (−1;3; 5).
2. Đi qua hai điểm A(2;3; −1) và B(1;2; 4).
Bài 13.93 : Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương
của đườn g thẳng đó, biết :
1. d :
x −2
3
=
y
−3
=
z + 3
1
; 2. d : x =
y −1
2
=
z
3
. 3. d :
x −2
−3
=
y + 1
2
= −z + 1.
Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳ ng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương
của đườn g thẳng đó, biết :
1. d :
x = 1 + 2t

y = −3 + t
z = 5 −3t.
2. d :
x = 5
y = 2 + 3t
z = 1 + t.
3. d :
x = t
y = 1 + 2t
z = 5 −3t.
Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 260

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
1. Chuyển đường thẳng về dạng tham số
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct.
2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x
0
+ at; y
0
+ bt; z

0
+ ct).
3. Chuyển các đặc trưng hình họ c của M sang điều kiện về vectơ.
Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình
x = 2t
y = −1 + 3t
z = 2 + 2t.
Tìm điểm M trên đường thẳng d thỏa mãn
1. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x − y −z −3 = 0 là
√
6.
2. M cá ch đều hai m ặ t phẳng (Oxy) và (Oyz).
3. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nằm trên mặt cầu tâm O bán kính là 2
√
2.
Bài 13.96 : Cho hai đường thẳng d :
x
2
=
y
3
=
z − 1
1
, d
′
:
x = 1 + 2t
y = −1 −3t
z = −1 + t

và mặt phẳng (P) : 3x −y − z = 0.
1. Tìm điểm A trê n d, điểm B trên d
′
sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d
′
sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên
mặt phẳng (Oxz).
Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :
x −1
2
=
y
3
= z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y −2z − 6 = 0. Xác định các điểm A, B, C, D sao cho A, B
nằm trên d; S nằm trên (P) và S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng
196
√
10
3
.
Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆
′
trong không gian

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u và đường thẳng ∆

′
đi qua M
′
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u
′
.
1. ∆ và ∆
′
trùng nhau khi và chỉ khi
[
−→
u ,
−→
u
′
] =
−→
0
[
−→
u ,
−−−−−→
M
0
M
′
0

] =
−→
0 ⇔ M
0
∈ ∆ thì M
0
cũng thuộc ∆
′
.
2. ∆ và ∆
′
song song khi và chỉ khi
[
−→
u ,
−→
u
′
] =
−→
0
[
−→
u ,
−−−−−→
M
0
M
′
0

] 
−→
0 ⇔ M
0
∈ ∆ thì M
0
không thuộc ∆
′
.
3. ∆ và ∆
′
cắt nhau khi và chỉ khi
[
−→
u ,
−→
u
′
] =
−→
0
[
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M

0
M
′
0
= 0.
4. ∆ và ∆
′
chéo nhau khi và chỉ khi [
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0
M
′
0
 0.
Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳn g sau. Tìm tọa độ giao điểm của chún g nếu có. Viết phư ơng trình mặt phẳng
chứa hai đường thẳng đó nếu chúng đồng phẳng.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 261

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
1. d :
x −1
2
=

y − 7
1
=
z − 3
4
; d
′
:
x −6
3
=
y + 1
−2
=
z + 2
1
;
2. d :
x −1
2
=
y − 2
−2
=
z
1
; d
′
:
x

−2
=
y + 8
3
=
z −4
1
;
3. d :
x −2
4
=
y
−6
=
z + 1
−8
; d
′
:
x −7
−6
=
y − 2
9
=
z
12
;
4. d :

x −1
9
=
y − 6
6
=
z − 3
3
; d
′
:
x −7
6
=
y −6
4
=
z −5
2
;
5. d :
x = 9t
y = 5t
z = −3 + t
; d
′
là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(α) : 2x − 3y − 3z − 9 = 0 và (α
′
) : x −2y + z + 3 = 0.

Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d
′
chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d và (Q) son g song với d
′
và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3) đồng thời (R) song song với cả d và d
′
.
Bài 13.100 : Xét vị tr í tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phươn g trình sau :
d
1
:
x −1
2
=
y −2
−2
=
z
1
; và d
2
:
x = −2t
y = −5 + 3t
z = 4.
Bài 13.101 : Cho ha i đường thẳng
∆ :
x = 1 + 2t
y = −1 + t

z = −t
và ∆
′
:
x = 3 −t
′
y = 2t
′
z = −1 + t
′
.
1. Xác định vị trí tương đối giữa ∆ và ∆
′
. 2. Tìm giao điểm (nếu có) của ∆ và ∆.
Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u và mặt phẳng (P) đi qua M
1
và có một vectơ pháp tuyến
−→
n .
1. ∆ nằm trên (P) khi và chỉ khi
−→
u .
−→
n = 0

M
0
∈ ∆ thì M
0
cũng thuộc (P).
2. ∆ song song với (P) k hi và chỉ khi
−→
u .
−→
n = 0
M
0
∈ ∆ thì M
0
không thuộc (P).
3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi
−→
u .
−→
n  0.
Bài 13.102 : Xét vị tr í tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết :
1. d :
x −12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1

, (α) : 3x + 5y −z −2 = 0;
2. d :
x + 1
2
=
y − 3
4
=
z
3
, (α) : 3x −3y + 2z −5 = 0;
3. d :
x −9
8
=
y − 1
2
=
z − 3
3
, (α) : x + 2y −4z + 1 = 0;
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 262

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
4. d :
x − 7
5
=
y − 1
1

=
z −5
4
, (α) : 3x −y + 2z −5 = 0;
5. d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(P) : 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và (Q) : 2x − y + z −6 = 0,
(α) : 5x −z −4 = 0.
Bài 13.103 : Xác định giao điểm củ a đ ường thẳng d và mặt phẳng (P) trong những trường hợp sau :
1. d :
x = 12 + 4t
y = 9 + 3t
z = 1 + t
và (P) : 3x + 5y −z −2 = 0.
2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − 2 = 0; x + 2y − z − 1 = 0 và (P) : x + y + 2z − 1 = 0.
Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : 2kx + y − z + 1 = 0 và (α
′
) : x −ky + z − 1 = 0.
Với giá trị nào của k thì đườ ng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz).
Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :
x − 12
4
=
y − 9
3
=
z −1
1
và mặt phẳng (α) : 3x + 5y −z −2 = 0.
Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng


Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u . Kho ảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến đường thẳng ∆ là
d(M, ∆) =
−−−−−→
M
0
M
1
,
−→
u
|
−→
u |
.
Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :
• Giả sử
−→
u = (a; b; c) 
−→

0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm đượ c 2 p hương trìn h chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆
′
và mặt phẳng (P), ta có :
1. Nếu ∆ cắt ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
2. Nếu ∆ song song với ∆
′
thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M ∈ ∆
′
đến ∆.
3. Nếu ∆ và ∆
′
chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức
h =
[
−→
u ,
−→
u
′
].
−−−−−→
M
0

M
′
0
[
−→
u ,
−→
u
′
]
.
4. Nếu ∆ ∥ (P) thì khoảng cách giữa ∆ và (P) bằng khoảng cách từ một điểm thuộc ∆ đến (P).
Bài 13.106 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cho trong bài tập 13.98.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 263

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.107 : Cho đường thẳng ∆ :
x −1
2
=
y
1
=
z + 1
3
, ∆
′
:
x −6
2

=
y + 1
−2
=
z + 2
1
, mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và điểm
A(1; 0; 2).
1. Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆
′
.
2. Tìm điểm M tr ên Ox sao cho kh oảng cách từ M đến ∆ bằng 2
√
2.
3. Tìm điểm M tr ên Oy sao cho M cách đều ∆ và A.
4. Tìm điểm M tr ên Oz sao cho M cách đều ∆ và (P).
5. Tìm điểm M tr ên Ox sao cho M cách đều ∆ và ∆
′
.
6. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ∆
′
bằng 10.
7. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M cách đều ∆
′
và (P).
Bài 13.108 : Cho đường thẳng d :
x = 3 + 2t
y = −2 + t
z = −1 −t
và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

Gọi A là giao điểm của d và (P). Viết phương trình ∆ nằm trong (P) sao cho ∆⊥d và d(A, ∆) =
√
42.
Bài 13.109 : Cho đường thẳng d có phương trình
x = −1 − t
y = 3 + 2t
z = 4 + 3t.
1. Tìm điểm M tr ên trục Ox cách d một khoảng bằng
√
21
7
.
2. Tìm điểm N tr ên đường thẳng
x
2
=
y
3
=
z −1
1
cách d một khoảng bằng
13
√
42
14
.
Bài 13.110 : Cho đường thẳng d :
x + 1
−1

=
y − 2
2
=
z
3
và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz − 1 = 0.
1. Tìm điểm M nằm trên giao tuyến của (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d b ằ ng
√
26
2
.
2. Tìm m sao cho d ∥ (P). Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P).
Bài 13.111 : Cho đường thẳng d :
x − 1
1
=
y + 3
2
=
z + 2
−1
.
1. Tìm điểm M tr ên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến d là
5
√
2
2
.
2. Tìm điểm N tr ên mặt phẳng (Oyz) sao cho d(N, Oy) = d(N, Oz) =

3
√
15
d(N, d).
Bài 13.112 : Cho đường thẳng d :
x = 2 + 4t
y = 3 + 2t
z = −3 + t
và mặt phẳng (P) : −x + y + 2z + 5 = 0.
1. Chứng minh rằng d nằm trên (P).
2. Viết phương trình đường thẳng d
′
nằm trong (P), song song với d và cách d một khoảng
√
14.
Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u và mặt cầu (S) tâm I(a; b), bán kính R.
1. Nếu d(I, ∆) > R thì mặt cầu (S) và ∆ không có điểm chung.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 264

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu d(I, ∆) = R thì mặt cầu (S ) và ∆ có một điểm A chung. Khi đó ∆ được gọi là tiếp tuyến và A được gọi là tiếp điểm, đ ồng
thời IA⊥∆.
3. Nếu d(I, ∆) < R thì mặt cầu (S ) và ∆ cắt nhau tại hai điểm A và B. Kh i đó độ dài AB được tính theo công thức
AB

2
4
= R
2
− d
2
(I, (P)).
Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)
2
+ (y − 1)
2
+ (z + 5)
2
= 109 và đường thẳng d :
x = −5 + 3t
y = −1 + 5t
z = 9 −4t.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm trên.
Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α) : 5x −4y + 3z + 20 = 0 và (α
′
) : 3x −4y + z −8 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; −1) và cắt d tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2

− 10x + 2y + 26z −113 = 0
và song song với hai đường thẳng :
d
1
:
x + 5
2
=
y − 1
−3
=
z + 13
2
; d
1
:
x = −1 + 3t
y = −1 −2t
z = 8.
Bài 13.116 : Cho đường thẳng d :
x
2
=
y − 1
1
=
z + 1
2
và hai mặt phẳng
(P) : x + y −2z + 5 = 0; (Q) : 2x − y + z + 2 = 0.

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đ ường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau :
1. có tâm I(1; 4; −7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y −7z + 42 = 0.
2. có tâm H(6; −8; 3) và tiếp xúc với trục Oz.
Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và
x − y + z −1 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : x + 2y + 2z + 7 = 0.
Bài 13.119 : Cho đường thẳng d :
x
2
=
y − 1
1
=
z + 1
2
và hai mặt phẳng
(α) : x + y −2z + 5 = 0 và (β) : 2x −y + z + 2 = 0.
1. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d với hai mặt phẳng (α) và (β). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β).
Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x −4y + 3z + 20 = 0 và 3x − 4y + z −8 = 0.
1. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm I trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB = 10.
Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 0 và
3y − 2z −1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 265

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.122 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt p hẳng 2x − 2y − z + 1 = 0 và x + 2y − 2z − 4 = 0 và mặt cầu (S) :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x − 6y + m = 0.
Tìm m để đường thẳng d c ắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
Bài 13.123 : Cho ba điể m A(2; 4; 1), B(− 1; 4; 0), C(0; 0; −3).
1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Cho đườ ng thẳng d :
x = 2 −5t
y = 4 + 2t
z = 1.
Chứng minh rằng d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt. Tìm tọ a độ hai giao điểm đó.
Bài 13.124 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 8x −11y + 8z −30 = 0 và x−y −2z = 0, mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
+
2x − 6y + 4z −15 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng


Giả sử ∆ đi qua M
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u, đường thẳng ∆
′
đi qua M
′
0
và có một vectơ chỉ phương
−→
u
′
và mặt phẳng (P) :
Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là
−→
n = (A; B;C) thì góc ϕ
1
giữa hai đường thẳng ∆ và ∆
′
; góc ϕ
2
giữa ∆ và (P) tính theo
công thức.
cos ϕ
1
=
cos(
−→

u ,
−→
u
′
) =
−→
u .
−→
u
′
|
−→
u|.|
−→
u
′
|
và sinϕ
2
=
cos(
−→
u ,
−→
n ) =
−→
u .
−→
n
|

−→
u |.|
−→
n|
.
Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau :
• Giả sử
−→
u = (a;b; c) 
−→
0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a  0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 1
1
=
z −2
1
với trục Ox.
Bài 13.126 : Tìm góc tạo bởi giữa đường thẳng d :
x + 3
2
=
y + 1

1
=
z −3
1
và mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 5 = 0.
Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x − zsin α + cos α = 0 và
y − z cos α − sin α, với α là số thực. Tính góc tạo bởi đường thẳng ∆ và trục Oz.
Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đườ ng thẳn g : ∆
1
là giao tuyến của hai mặt phẳng x − ay − z − 1 = 0 và
y − 2 = 0 ; ∆
2
là giao tuyến của hai mặt phẳng ax + 3y − a − 3 = 0 và z − 1 = 0.
Xác định a để ∆
1
và ∆
2
hợp với nhau một góc 45
◦
.
Bài 13.129 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy các góc bằng nhau và bằng
60
◦
.
Bài 13.130 : Trong khôn g gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(α) : x −y + z −5 = 0 và ∆ :
x
1
=
y − 2

2
=
z
2
.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3;−1; 1), nằm trong mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45
◦
.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 266

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x + 4
2
=
y − 3
1
=
z + 1
−1
. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆
với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Chứng minh rằng cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
Chú ý :

• Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì.
• Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ bởi mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp bởi (P) với các mặt phẳng tọa
độ.
Bài 13.132 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
d :
x −3
1
=
y −4
2
=
z + 3
−1
và (α) : 2x + y + z −1 = 0.
Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d
1
là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y − 2 = 0 và y + z −2 = 0
; d
2
:
x −2
2
=
y − 3
1
=
z + 5
−1
.

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d
1
và tạo với đường thẳng d
2
một góc bằng 60
◦
.
Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
∆ :
x = −t
y = −1 + 2t
z = 2 + t
và (α) : 2x −y −2z −2 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.
Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳ ng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng
khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác

Dựa vào các quan hệ song song, vuôn g góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1.
Chú ý :
• Nếu ∆ ∥ ∆
′
thì
−→
u
′
∆
cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu ∆⊥(P) thì
−→
n

P
cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu ∆⊥∆
′
thì
−→
u
′
∆
vuông góc với ∆.
• Nếu ∆ ⊂ (P) hoặc ∆ ∥ (P) thì
−→
n
P
vuông góc với ∆.
• Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song hoặc nằm trong của đường thẳng cần viết.
Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
1. Đi qua M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ :
x = 1 + 2t
y = −3t
z = 3 + 2t.
2. Đi qua điểm M(−2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + 1 = 0.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 267

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
3. Đi qua điểm M(2; −1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng
∆
1
:
x

−1
=
y + 1
1
=
z + 6
−2
và ∆
2
:
x = t
y = 1 −2t
z = 0.
4. Đi qua điểm M(1; 4; −2) và song song với các mặt phẳng
(α) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : 3x −5y − 2z − 1 = 0.
5. Đi qua điểm A(1;1; −2), song son g với (P) : x − y −z −1 = 0 và vuông góc với d :
x + 1
2
=
y − 1
1
=
z − 2
3
Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y − z + 1 = 0 và vuông góc
với đường thẳng d :
x + 2
1
=
y

−2
=
z + 1
3
.
Bài 13.137 : Tìm tập hợp những điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(−1; 2; 0), C(2; −3; 2).
Bài 13.138 : Cho đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 1
1
=
z −2
3
và mặt phẳng (α) : x −y − z −1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua
A(1; 1; −2), song song với (α) và vuông góc với d.
Bài 13.139 : Viết phương trình tham số của đường thẳ ng ∆ là giao tu yến của hai mặt phẳng (α) : 2x−y+z+5 = 0 và (α
′
) : 2x−z+3 = 0.
Bài 13.140 : Cho đường thẳng ∆
x = 2 + 2t
y = −1 + 3t
z = −4 + 3t.
Viết phương trình đường thẳng ∆ dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt song song với Ox và Oy.
Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳ ng ∆ biết ∆ cắt ∆
′

1. Viết ∆
′

theo tham số t hoặc t
′
.
2. Giả sử ∆ cắt ∆
′
tại A. Do A ∈ ∆
′
nên A có tọa độ theo tham số t hoặc t
′
.
3. Từ các d ữ kiện bài toán ta thiết lập được phương trình để tìm đư ợc các tham số t và t
′
. Từ đó viết được đường thẳng ∆.
Chú ý :
1.
−→
n
1
⊥
−→
n
2
khi và chỉ khi
−→
n
1
.
−→
n
2

= 0.
2.
−→
n
1
cùng phương
−→
n
2
khi và chỉ khi [
−→
n
1
,
−→
n
2
] =
−→
0 (hoặc tọa độ tương ứng tỉ lệ).
3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
−−→
AB và
−−→
AC cùng phương.
4. Các bài toán dạng này có thể sử dụng phương pháp giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bài 13.141 : Cho ha i đường thẳng
∆
1
:

x = 8 + t
y = 5 + 2t
z = 8 −t
và ∆
2
:
x = 3 −7t
′
y = 1 + 2t
′
z = 1 + 3t
′
.
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung c ủa hai đường thẳng đó.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 268

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.142 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1;5; 5; ) và D(1; 1; 1).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa AC và BD.
Bài 13.143 : Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình :
d
1
:
x = −2 + 3t

y = t
z = 1 −2t
và
x = −2 + 2t
′
y = −t
′
z = 2 + t
′
.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt đồng thời d
1
, d
2
.
Bài 13.144 : Cho ba đường thẳng
d
1
:
x −2
3
=
y + 2
4
=
z −1
1
; d
2
:

x − 7
1
=
y − 3
2
=
z −9
−1
; d
3
:
x + 1
3
=
y + 3
−2
=
z − 2
−1
.
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồng thời d
1
và d
2
đồng thời song song với d
3
.
Bài 13.145 : Cho hai đường thẳng
d
1

:
x −1
3
=
y −2
1
=
z
1
và d
2
:
x = −1
y = t
z = 1 + t.
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Bài 13.146 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), cắt d :
x + 1
2
=
y
1
=
z
−1
và song song với (P) : x+ 3y+ z−1 = 0.

Bài 13.147 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 1 = 0 và cắt các đường thẳng
∆
1
:
x −1
2
=
y + 1
1
=
z −2
−1
và ∆
2
:
x −2
1
=
y
−1
=
z + 1
2
.
Bài 13.148 : Cho mặt phẳ ng (α) : x + 2y − z − 2 = 0 và đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 2
−1

=
z + 2
3
.
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α), vuông góc với d và cắt d.
Bài 13.149 : Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) : x + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng
d
1
:
x = 1 −t
y = t
z = 4t
và d
2
:
x = 2 −t
′
y = 4 + 2t
′
z = 1.
Bài 13.150 : Cho hai đường thẳng
d
1
:
x = 1 + t
y = −1 −t
z = 2
và d
2
:

x = 3 − t
′
y = 1 + 2t
′
z = t
′
.
Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 13.151 : Cho hai đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y − 1
2
=
z − 1
2
và d
2
:
x
−1
=
y + 1

−2
=
z −3
2
.
1. Tìm tọa độ giao điểm I của d
1
và d
2
.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d
1
và d
2
.
3. Viết phương trình đường thẳng d qua M(0; −1; 2) cắt d
1
và d
2
lần lượt tại A và B khác I sao cho AI = AB.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 269

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng

1. Hình chiếu H của A xuống ∆. Có một số cách sau :
(a) Gọi (P) là mặt phẳ ng chứa A và vuông góc với ∆. Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.
(b) Giả sử H ∈ ∆, nên H có tọa độ thỏa mã n ∆ (theo t). Do AH⊥∆ nên
−−→
AH.

−→
u
∆
= 0. Tìm được t, từ đó suy ra H.
2. Hình chiếu H của A xuống (P). Có một số cách sau :
(a) Gọi ∆ là mặt phẳng chứa A và vuông góc với (P). Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.
(b) Giả sử H ∈ ∆, nên H có tọa độ thỏa mã n (P). Do AH⊥(P) nên [
−−→
AH,
−→
n
(P)
] =
−→
0 . Tìm được H.
3. Hình chiếu vuông góc ∆
′
của ∆ xuống (P).
(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q)⊥(P).
(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆
′
là giao tuyến của (P) và (Q).
4. Hình chiếu ∆
′
theo phương đường thẳng d của ∆ xuống (P).
(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q) cùng phương với d ((Q) song song hoặc (Q) chứa d).
(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆
′
là giao tuyến của (P) và (Q).
5. Tìm điểm đối xứng A

′
của A qua d hoặc (P).
(a) Gọi H là hình chiếu v uông góc của A trên d hoặc (P).
(b) Khi đó H là trung điểm của AA
′
, tức là
x
A
′
= 2x
H
− x
A
y
A
′
= 2y
H
− y
A
.
Bài 13.152 : Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d :
x −1
2
=
y − 2
3
=
z + 3
4

trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 13.153 : Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :
x = 2 − t
y = 2t
z = −1 + 2t
trên (α) : x + y + z − 3 = 0.
Bài 13.154 : Tìm điểm đối xứng của điểm M(1; −3; 7) đối với mặt phẳng (α) : 2x + 5y −2z −6 = 0.
Bài 13.155 : Tính khoản g cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng d :
x + 2
1
=
y − 1
2
=
z + 1
−2
.
Bài 13.156 : Tính khoản g các giữa các cặp đường thẳng
d
1
:
x − 1
2
=
y + 3
1
=
z −4
−2
và d

2
:
x + 2
−4
=
y −1
−2
=
z + 1
4
.
Bài 13.157 : Cho mặt phẳng (P) : 6x + 3y + 2z − 6 = 0 và điểm A(0; 0; 1).
1. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên (P).
2. Tìm tọa độ điểm A
′
là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Bài 13.158 : Cho tứ diện ABCD có A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1;1; 1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng
(ABC).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 270

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.159 : Cho mặt phẳ ng (P) : 3x + 6y −z −2 = 0 và đường thẳng d :
x = 8 + 4t
y = 6 + 3t
z = t.
Viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với d qua mặt phẳng (P).
Bài 13.160 : Cho đường thẳng d :
x + 2

3
=
y + 2
2
=
z
−1
và điểm M(4; −3; 2). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
Bài 13.161 : Cho đường thẳng ∆ :
x = 1 + 2t
y = 2 −t
z = 3t
và điểm M(2; −1; 3).
Tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆.
Bài 13.162 : Cho hai đường thẳng
∆
1
:
x −3
−7
=
y −1
2
=
z −1
3
và ∆
2

:
x −7
1
=
y − 3
2
=
z − 9
−1
.
Viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆
3
đối xứng với ∆
2
qua ∆
1
.
Bài 13.163 : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
d :
x + 1
1
=
y − 1
2
=
z −3
−2
và (P) : 2x −2y + z −3 = 0
Viết phương trình hình chiếu vuông góc d
′

của d trên (P).
Bài 13.164 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
(α) : 5x −4y −2z −5 = 0 và (α
′
) : x + 2z −2 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x −y + z −1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d
′
của d trên mặt phẳng (P).
Vấn đề 11 : Bài toán cực trị

1. Mối quan hệ đường vuông góc và đường xiên.
2. Bất đẳng thức tam giác và các bất đẳng thức kinh điển.
3. Hoặc đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.
4. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ song song với mặt phẳng (P) cố định th ì ∆ nằ m trên mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P).
5. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ vuông góc với ∆
′
cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với ∆
′
.
Bài 13.165 : Cho điểm A(−1;2; 3), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình
d :
x −1
2
=
y
1
=
z + 2
−2
và (P) : x − y + 5z − 6 = 0.

1. Trong các điểm thuộc d, tìm điểm cách A một khoảng ngắn nhất.
2. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM ngắn nhất.
Bài 13.166 : Vẫ n hỏi như bài 13.165 với giá trị lúc này là A(0; 2; 0), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình
d :
x = 1 + t
y = −2 + 3t
z = t
và (P) : 3y −4z + 1 = 0.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 271

CHUYÊN ĐỀ LU Y ỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.167 : Cho ha i đường thẳng
∆ :
x
2
=
y −2
1
=
z + 1
−2
và ∆
′
:
x = 1 + 2t
y = t
z = 5 −t.
1. Chứng minh rằng ∆ và ∆
′
chéo nhau.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆
′
sao cho AB đạt giá trị nh ỏ nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, (P) song song với cả hai đường thẳng ∆ và ∆
′
.
Bài 13.168 : Cho ha i đường thẳng
∆ :
x − 1
1
=
y + 2
2
=
z + 1
−2
và ∆
′
:
x = 2t
y = 1 −t
z = 2 −2t.
1. Chứng minh rằng ∆ và ∆
′
chéo nhau.
2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆
′
sao cho AB đạt giá trị nh ỏ nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và (P) song song với ∆
′

.
Bài 13.169 : Cho A(0; 2; 1), B(2; −1; 1). Tìm điểm M trên đường thẳng ∆ :
x −1
2
=
y
−1
=
z + 2
3
sao cho
1. Tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 2. Tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13.170 : Cho đường thẳng ∆ :
x
1
=
y − 1
2
=
z + 1
−2
và hai điểm A(0; 1; 2), B(−1;2; 3). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho
1. MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
3. |2
−−→

MA −
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
4. |2
−−→
MA +
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.171 : Cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z −3 = 0 và hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
1. MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
3. |2
−−→
MA −
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
4. |2
−−→
MA +
−−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.172 : Cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 5 = 0 và mặt cầu (S) : (x − 1)
2
+ y
2
+ (z − 2)

2
= 9.
1. Tìm điểm M thuộc (S) sao cho M cá ch (P) một khoảng
(a) lớn nhất; (b) nh ỏ nhấ t.
2. Chứng minh rằng (P) cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
3. Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của (S ), biết tiếp diện đó song song với (P).
Bài 13.173 : Cho A(1; 2; 3), B(0; 2; −1) và đường thẳng ∆ :
x
1
=
y + 2
1
=
z −2
3
. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết
1. (P) qua B và cách A một khoảng lớn nhất;
2. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và (P) cách ∆ một khoảng lớn nhất.
3. (P) chứa ∆ và cách A một kho ảng
(a) lớn nhất; (b) nh ỏ nhấ t.
4. (P) chứa B, O và cách A một khoảng
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 272

CHUYÊN ĐỀ LU YỆN THI ĐẠI HỌC
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
5. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và cách A một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
6. (P) chứa ∆ và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
7. (P) chứa A, ∆ ∥ (P) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
8. (P) chứa ∆ và tạo với trục Ox một góc
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
Bài 13.174 : Cho A(1; 0; 2), B(0; 0; 1), mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và đường thẳng ∆ :
x = 1
y = 1 + t
z = t.
Viết phương trình đường thẳng d, biết
1. d đi qua A, cắt ∆ và cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
2. d qua A, d ∥ (P) và d cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
3. d qua A, d⊥∆ và d cách B một khoảng
(a) lớn nh ất; (b) nhỏ nhất.
4. d nằm trong (P), d ∥ ∆ và B cách d mộ t khoảng nhỏ nhất.
5. d nằm trong (P), d⊥(Q) và B cách d một khoảng nhỏ nhất, với (Q) : 4x + y −z −3 = 0.
13.4 Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 13.175 (CĐ08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d có phương trình
x
1
=
y
−1
=
z − 1
2
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm toạn độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
Bài 13.176 (CĐ08) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

BAD = ABC = 90
◦
, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông
góc với đáy và S A = 2a. Gọi M và N lần lượt là tru ng điểm S A và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối
chóp S.BCNM theo a.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 273